Bài tập lớn cơ kết cấu

Bài tập lớn: Cơ kết cấu nâng cao
Bài 1:
2
Xác định tải trọng cho phép tác dụng lên thanh. Biết F=100 cm , [σ]=
2
100MN/m

2m

F

P

1m

2F

Giải:

- Số bậc siêu tĩnh: S=1.
- số đoạn thanh bị phá hoại dẻo sẽ là: S+1=2 đoạn. vậy cả 2 thanh đều bị phá hoại
dẻo.
- Xét cân bằng theo phương đứng ta có:
∑ Y σ ++ 22σσcchh ..FF == PPgghh
=0

⇔

σ cc
.
hh . F

F
⇔
⇔ ..σ .F
.F = P
+ .2
⇒ Pgh σ
=⇒3σ..cPhcg.hFh = 3σ ch .Fch
⇔ σ
ch .F +g 2σ ch .F = Pgh
h
P
3σ . = 3 [ σ ] F
P] = P
[⇒
F
g
=σ
ch F
⇒ [P] =
3
= 3 [σ ] F
.
=
nn
n
−
4
n
= 3.100.10

.100 = 3 ( MN )
−4
= 3.100.10 .100 = (3 MN )
h

Bài 2:
2
Xác định tải trọng cho phép của hệ. biết [σ]=16MN/m , a=10cm.

gh


a
a

q

A

B
2m

2m

- Số bậc siêu tĩnh: S=1
- Số thanh bị phá hoại dẻo là S+1=2. Vậy cả 2 thanh treo đều bị phá hoại dẻo.
- Sử dụng các mặt cắt (1-1) và (2-2) cắt qua các thanh treo và xét cân bằng phần
thanh tuyệt đối cứng ta có:
Nch
Nch

q

A

B
2m

2m

- Xét cân∑
bằng mơ
men tại điểm
có:
= 0A0 ta
M
qgh . 4 . 2
⇔⇔
A) = . F
(σ
ch. F
==M
++ 44..σσ ch..FF q . 4 . 2
22..σ

∑

gh

ch

ch

( A)

3. σ . F
⇒ q
= 3 . σ ch. F
=
66..σσ ch..
FF
ch
ch
=
⇒ q gghh =
8
44 MN 
q gh 3. σ 8
[ = 1.2
[q] =


=].F
n
4
m



Bài 3:

Xác định diện tích mặt cắt ngang của các dây treo biết dây (1) và dây (3) làm
2
2
bằng thép [σ]t=160MN/m , dây (2) làm bằng đuyra [σ]đ=120MN/m . Dây
(2) có diện tích gấp 1.5 lần dây (1) và (3). Biết P=100KN.


1

2

A

3

B

P
2m

2m

- Số bậc siêu tĩnh: S=1
- Số thanh bị phá hoại dẻo là S+1=2. Do tính chất đối xứng nên cả 3 thanh treo
đều bị phá hoại dẻo.
- Sử dụng các mặt cắt (1-1), (2-2) và (3-3) cắt qua các thanh treo và xét cân bằng
phần thanh tuyệt đối cứng ta có:
1

2

Nch

3

Nch

A

Nch

B

P
2m

2m

∑
ch
0

Y=
⇔
2..σ2 1.,15,σghd .dF. = P
t
t.F
.
ch

Y =0

2
⇔σ

+.
.F 1, 5σ
+

d

.F = P

t

∑∑ Y
⇒
F=

⇔
ch F
+

σ

=0
P

F = gP h

σ

g
h

5
P
2⇒.σ. ..F.F+=1=, 5.σ
⇒
ch
t
100
ch
=
ch

ch

t

ch

d

P


(

1ch=020 cm

2

)

2.2σ.σ
d
++1,15, .5σ.σ
2
.6 . .
2......1. ...=
==22 c m 2
+. . .1 . .., 100
=5.12
cm
22.1.166++1,15, .51.212
2
+ Diện tích mặt cắt ngang thanh thép là: F=2cm
2
+ Diện tích mặt cắt ngang thanh đuy ra là: F=3cm
tch

(( ) )


Bài 4:
Xác định diện tích mặt cắt ngang của các thanh của cơ hệ như hình vẽ. Biết thanh
2
2

(1) bằng thép [σ]1=120MN/m , thanh (2) bằng đuya ra [σ]2=80MN/m ,
2
thanh (3) bằng đồng có [σ]3=60MN/m . Diện tích mặt cắt ngang
F2=F3=2.F1
4m

2

1

3m

3

P=160kN
- Số bậc siêu tĩnh: S=1
- Số thanh bị phá hoại dẻo là S+1=2. Vậy ta sẽ có 3 trường hợp xảy ra các trường
hợp phá hoại dẻo như sau.
+ Trường hợp 1: Thanh 1 và thanh 2 bị phá hoại dẻo.
+ Trường hợp 2: Thanh 1 và thanh 3 bị phá hoại dẻo.
+ Trường hợp 3: Thanh 2 và thanh 3 bị phá hoại dẻo.
- Ta lần lượt đi xem xét từng trường hợp
*) Xét trường hợp 1:
1

1

Nch

Nc

2
ch

N

N2

h

N

3

N

N3

N1

2
ch

N3c

ch

h

P=160kN

P=160kN
TH1
Y= 0
⇔
P
∑

TH2

=
σ .F + 2.σ
t

gh

ch

⇒
 Pt
= F σ
gh
1
ch



1

ch

+
5

6

1

dr

.F .

5 dr 
.σ

ch




3

P=160kN
TH3


⇒
1

P
=6

+ dr 
.1
σ
ch 
5
n


[F ]

σ




t
ch



=

P

6
σ t  + . σ
 

5  




160
2
= 6 = 7, 407 cm
12 + .8

( )



dr






.F 2.dr .F . 3

 YHỗ0t.r. ợôghch1
Pn tậpt

6

⇒
 Pt +
= F σ
gh
1

5
ch

⇒
1


σ

+



ch

σ

5

.σ

dr

5
n


P

dr



=



P

6
σ t  + . σ


5  

.1

ch 



CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC]



ch

[ F ] =6
t

1[ĐỀ

ch








160
2
= 6 = 7, 407 cm
12 + .8
5
⇒ F2 = F3 = cm2
2.F1 = 14,814

( )

( )

*) Xét trường hợp 2:
X
=2.σ
4 = 0
⇔
.N
ch

∑

5

2

ch

1

(1)

.
3

t

(2)

.
5
N2

= 0

⇔

.F

d

5

⇒σ
N 2 = 2 F1

∑Y

d

Pgh

= σ ch .F1 +
Thay phương trình (1) vào phương trình (2) ta có:
3 5

P =
σ t .F + . σ d .F
gh
ch 1
 ch 
52

F =
[ [] 1 ] P+P 3
[ σ ] [σ ]
F1 =

[σ ]1 +31

[2
σ
2 ]3

( () )

2
160
= 16
0 2 3 = 7, 622 cm
+
.
6
= 1
= 7, 62 cm
3
3
12 2 .26
+

(

⇒ = = 15, 2 4 cm
F = F 32.F 1
2
⇒
=
= 15, cm
2
F =

2.F 24
F

(

2

3

)

1

*) Xét trường hợp 3:
X = 0 ⇔ 2.σ

∑

)

2

ch

1

5
⇒ F
1 = 0

ch

dr
1

.F .

4

=2.σ

d

.F

dr






(vậy trường hợp 3 loại).
- So sánh 3 trường hợp, ta chọn tổ hợp của trường hợp 2.
2
+ Diện tích mặt cắt ngang thanh thép: F1=7,62 (cm )
2
+ Diện tích mặt cắt ngang thanh đuya ra: F2=15,24 (cm )
2
+ Diện tích mặt cắt ngang thanh đồng: F3=15,24 (cm )

Bài 5:
Tìm tải trọng cho phép đặt lên thanh chế tạo không chính xác ở đầu dưới khi lắp
hụt 1 đoạn Δ. Để lắp được phải kéo thanh bằng 1 lực P=1MN. Biết thanh làm
2
2
bằng vật liệu có [σ]=200MN/m . Diện tích mặt cắt ngang 50cm và Δ rất nhỏ.


1m

P
2
m

?

Giải:

- Từ đây chúng ta thấy sẽ xảy ra hai trường hợp:
+ Trường hợp 1: nếu tải trọng P ≤1(MN), khi đó chỉ đoạn trên bị phá hoại
dẻo.
+ Trường hợp 2: Nếu tải trọng P>1 (MN), khi đó cả hai đoạn cùng bị phá
hoại dẻo.
- Xét trường hợp 1:
- Chiếu lên phương dọc trục thanh ta có:
∑ Z = 0 ⇔ Pgh = σ ch .F
⇒

[P]

P
=

g
h

=

[σ ] F =

20.50 = 1000 (kN

)

n

- Xét trường hợp 2:
- Chiếu lên phương dọc trục thanh ta có:
∑ Z = 0 ⇔ Pgh = 2σ ch .F
⇒

[P]

P
=

g
h

= 2[ σ

] F=

2.20.50 = 2000(kN

)

n

Bài 6:
Xác định đường kính trong và ngồi của thanh mặt cắt ngang vành khăn chịu tác
dụng của mô men xoắn bằng 9kNm. Biết đường kính trong bằng 0,8
2
đường kính ngồi, vật liệu có [τ]=70 MN/m .
Giải:

- Ta có


xoan

Mgh

ch

.Wdxoan

M xoan
xoan
 = gh

.Wxoan
τ
⇔ M
=
[
]
d


n
xoan


9.100

3
=
=
⇒

cm
d
=
128, 57
Wxoan M
7
[τ

( )

]

- Mặt khác ta có:

3

2π

3

 = 0,127693.D3


W
=
−
0,8D

D
 
  
d
 
3
2
2
 
  
xoan

- Vậy từ đây ta suy ra:

3

0,127693.D = 128, 57
⇒ D = 10( cm)

+ Đường kính ngồi D=10cm
+ Đường kính trong d=0,8D=8cm
Bài 7:
Một trục gồm 2 đoạn đường kính 8cm và 10cm. chịu xoắn bởi mô men M1, M2,
2
M3 . xác định trị số của chúng biết [τ]=90MN/m .

Giải:

- Trước tiên ta có: M3 = M2 + M1
- Ta có
3
M = τ
xoan (1)
gh
ch .Wd
3
xoan (1)
M gh
τch
⇒
M =
=

=
.Wd
3

- Với tiết diện tròn nên

n

d

n
3

xoan(1)

W
=
2.π .R
d

[τ ].Wxoan (1)

3

( )

= 261, 67 cm

3

⇒ M 3 = [τ

]

= 9.261, 67 = (kN.cm)
2355

.Wxoan
(1)
d

= 23, 55(kNm)
- Tương tự ta có:
1
M = τ
gh

M
⇒
M =
1

- Với tiết diện tròn nên

xoan (2)
ch .Wd
1
xoan (2)
gh

ch

τ

=
.Wd

n

=

[τ ].Wxoan (2)
d

n
3

( )

= 133,97 cm

xoan(2)

W
=
2.π .r
d

3

3

⇒
M1 = [τ .W xoan
(2)

]

= 9.133, 97 = (kN.cm)
1205

d

= 12, 05( kNm )
⇒ M 2 = M 3 − M1
= 23,55 −12, 05 = 11,50 ( kNm )

Bài 8:
Xác định hệ số an toàn của một thanh vành khăn chịu xoắn bởi mơ men có trị số
10kNm. Biết đường kính trong 10cm, đường kính ngồi 12cm, giới hạn
2
chảy τch =100 MN/m .
Giải:

- Ta có

xoan
Mgh

.Wdxoan

ch

xoan

⇒

- Trong đó:
M xoan

[Mn ] =

τ .Wxoan
⇒ n=
[M ]

ch

τch .Wd
d

= τch xoan
.W
3
3
3
2π d
 = 190, 493 cm
 12 =
W

−
10 
 

d
τ 3.Wxoan2   2 
gh
xoan

( )


⇒
[M ch
]=
⇒
n=

τc
h

d





 

n

.Wdxoan

[M ]

=

10.190, 493
1000

= 1, 905


Bài 9:
Xác định mô men cho phép đặt lên thanh, biết đường kính của thanh bằng 7cm,
2
ứng suất cho phép của mật liệu [τ]=150MN/m .

a

a

a

Giải:
- Số bậc siêu tĩnh s=1
- Số đoạn bị phá hoại dẻo là S+1=2 đoạn. vậy ta cần phải tìm xem đoạn nào sẽ bị
phá hoại dẻo.
- Vậy trước tiên chúng ta tìm xem nội lực 2 đoạn nào lớn hơn thì hai đoạn đó bị
phá hoại dẻo.
- Ta gọi mô men phản lực tại gối bên phải là M. và ta thay ngàm bằng mô men

xoắn M với điều kiện υ=0.
2

1

a

(M0
ϕ
⇒ M=

3

a

(M −

+ M) a
=
+
GJ p
M0

GJ p

a

2M 0 ) a

M .a

+
= 0
GJ p

3

- Vậy, dựa vào biểu đồ nội lực ta thấy đoạn bị phá hoại dẻo sẽ là đoạn 1 và đoạn
2.
- Vậy ta có:


⇒ M
.Wxoan
xoan gh
= 2τ
xoan
gh

- Trong đó:

d

M
2τch .Wdxoan
[ M ] = = ( 3M 0 ) =
n
n
xoan
⇔

0 = 2.[τ ]
d W
3M
2
2
[τ]=150MN/m =15kN/cm
3

3

xoan

W
2π .D=

( )

= 89, 75167 cm

3

=
2.π .
7
d
24
24
2.15.89, 75167
⇒ M0 =
= 897.5167

(kN.cm) = 8,975 (kNm) 3

Bài 10:
2
Xác định đường kính mặt cắt ngang của thanh. Biết M0=20kNm, [τ]=80MN/m .

0,8m

Giải:
- Số bậc siêu tĩnh S=1.
- Số đoạn bị phá hoại dẻo là S+1 =2 đoạn.
- Vậy cả hai đoạn cùng bị phá hoại dẻo.

0,8m


Z
M
⇔
=
τ= 0 M

∑

d

d gh

ch

.W xoan(1)
+τ

ch

.W

xoan(2 )

d

d
d

Mg

⇒

[M
]=

=

h

n

=

M0

 2 π  D 3
⇔

+ 
M 0 = [τ
]
 3 2


0
⇔ M =
24 [τ


⇒
D3 =

M0

[τ ] .
3,

[τ ] ( W
d

xoan (1d)

+ W

xoan (2)

)

3
2π  0, 8.D  

 

3  2

]24.D

3

 


2π



2000
=
3,
8.
024.3,14

+

1, 024π 

(

= 631,887 cm3

)

024π
24
24
⇒ D = 8,58(cm) , d=6,86(cm)

Bài 11:
Xác định các mô men chống uốn dẻo của các mặt cắt sau và so sánh với mô đun
chống uốn khi vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi.
Giải:
a) Với tiết diện hình vành khăn:

d

TTH deo

2d

- Vị trí trục trung hịa dẻo là vị trí chia tiết diện làm hai phần có diện tích bằng
nhau. vậy từ đó ta thấy trục trung hịa dẻo chính là trục nằm ngang đi qua tâm o.
- Mô men kháng uốn dẻo, được xác định bởi công thức.
W d = S1 − S 2

3.π ( 2d
=

3

)

−
64
3.π d 3
=
64

b) Tiết diện như hình vẽ:

3.π d
64

3


a

TTH deo

2a

2a
- Vị trí trục trung hịa dẻo là vị trí chia tiết diện làm hai phần có diện tích bằng
nhau. vậy từ đó ta thấy trục trung hịa dẻo chính là trục nằm ngang đi qua tâm o.

- Mơ men kháng uốn dẻo, được xác định bởi công thức.
W d = S1 − S 2
3
3

= a −
4

a

3

4=

3.a

c) Tiết diện như hình vẽ:
4a
y
TTH deo

2a

4a

a
- Vị trí trục trung hịa dẻo là vị trí chia tiết diện làm hai phần có diện tích bằng
nhau.
- Gọi vị trí trục trung hịa dẻo cách đỉnh dầm 1 đoạn y.
- Vậy ta có:

4a.2a + 4a.a
y.4a =
2
⇒ y = 1, 5a
- Vậy mô men kháng uốn dẻo của tiết diện là:


Wd = S1 + S2 + S3
1, 5a
0, 5a
(1, 5a.4a) +
(0, 5a.4a) + (2a
+ 0, 5a).(4a.a ) 2
2
= 4, 5a3 + 0, 5a3 +10a3
=

= 15a3
d) Tiết diện như hình vẽ:
- Vị trí trục trung hịa dẻo là vị trí chia tiết diện làm hai phần có diện tích bằng
nhau.
- Gọi vị trí trục trung hịa dẻo cách đáy dầm 1 đoạn y.
- Vậy ta có:

2a

TTH deo

4a

y
a

2a

a

2.(4.a ) + (2a.4a
2 ( y.a) =
2
⇒ y = 4a
- Vậy mô men kháng uốn dẻo của tiết diện là:
W d = S1 + S 2 + S3

)

= 2a.(a.4a) + 2a (a.4a) +
a.(4a.2a )
3

10cm
3

3

= 8a + 8a + 8a = 24a
d) Tiết diện thép chữ I số 20:
- Vị trí trục trung hịa dẻo là vị trí
chia tiết diện làm hai phần có diện
tích bằng nhau.

- Vậy chính là đổi xứng.
Wd = 2.Sx
= 2.104 =

( )

208 cm3

3

TTH
deo

20cm


Bài 12:
2
Xác định tải trọng cho phép đặt lên dầm sau: biết [σ]=160MN/m .
12cm
2cm
28cm

3m

1cm

Giải:
- Số bậc siêu tĩnh S=0.

- Số khớp dẻo hình thành là: S+1=1. Dựa vào biểu đồ mơ men ta thấy khớp dẻo
hình thành tại vị trí ngàm.

L=3m

- Ta có sơ đồ hệ dẻo như sau:

L=3m
- Ta có:

∑

M ph

=0
⇔

⇒ Pgh

⇒

[P]

d

= Pgh .L

M

σ

= L
=
Md
L
Pgh
σ
=
n =
ch .Wd
n.L

ch

.Wd

[σ ] W
=

- Bây giờ ta tính mơ men chống uốn dẻo.

d

L


- Gọi trục trung hòa dẻo cách đáy dầm 1 đoạn y. vì trục trung hịa sẽ chia dầm
thành hai phần có diện tích bằng nhau nên ta có:

(

y.1) =

⇒

(28 − y ) .1+ (12.2)
y = 26 (cm)

12cm
2cm
TTH deo

28cm

y
1cm
- Vậy ta có mơ men chống uốn dẻo là:
W d = S1 + S2 + S3

(

= 13.(26.1) +1.(2.1) + 3.(12.2) = 412 cm3

- Vậy từ đây ta có:

[P] =
[σ ] Wd
L

=

16.412

)

= 21,97 ( kN )

300

Bài 13:
2
Xác định kích thước của dầm. Biết dầm làm bằng vật liệu có [σ]=100MN/m . So
sánh với kết quá tính theo USCP.

0,3m

0,3m

0,3m

Giải:
- Số bậc siêu tĩnh S=0.
- Số khớp dẻo hình thành là: S+1=1. Dựa vào biểu đồ mơ men ta thấy khớp dẻo
hình thành tại vị trí C và B trên dầm.
- Ta có sơ đồ hệ dẻo như sau:


0,3m

0,3m

1kNm

- Ta có sơ đồ hệ dẻo như sau:

- Ta có:

∑

0,3m
1kNm

B

d

gh

ph

M = 0
= 30.P
⇔
M
P
[σ ] W
⇒ [P] =
gh
=

d
n Md =
30
30.
n

- Trong đó:
3

b
( Wd =
mơ men kháng uốn dẻo)

- Vậy ta có:

4

[ σ ] Wd

[P] = 30
10. b3

4.30
3
4
⇔ 1=
⇒ b =
30
10
⇒ b = 2, 289cm

( )

= 12 cm

3

- Vậy kích thước mặt cắt ngang của dầm là: (2,289; 3,434) (cm).
*) Tính theo ứng suất cho phép:
- Điểu kiện bền theo ứng suất cho phép:
M x max
σ
=
=
max
Wx

100

0, 375b

3

≤

[σ ]


⇒ 100
3

3
= 26, 67 cm
b ≥
0,
375.10
⇒ b = 2, 9876 ( cm )

(

)


Mx

σ
=
max
3

⇒ b ≥

max

Wx
100

100
=
≤
3

0, 375b

[σ ]

( )

= 26, 67 cm

3

0,
375.10
⇒ b = 2, 9876 ( cm )

- Vậy kích thước mặt cắt ngang của dầm là: (2,9876; 4,4814) (cm).
Bài14:
2
Xác định số hiệu mặt cắt ngang của dầm chữ I. Biết [σ]=120MN/m , q=
22,5kN/m. So sánh vởi kết quả tính theo ứng suất cho phép.

q

5m
Giải:
- Số bậc siêu tĩnh S=0.
- Vậy hệ sẽ bị phá hoại khi xuất hiện S+1 =1 khớp dẻo.
- Khớp dẻo sẽ xuất hiện tại vị trí mơ men lớn nhất theo phương pháp ứng suất
cho phép. Theo biểu đồ mơ men thì đó là vị trí giữa dầm.

q

5m
70,3125
- Sơ đồ hóa dẻo.

q

5m