Ung dung cua tich phan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.25 MB, 58 trang )
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA
TÍCH PHÂN ĐĂNG TRÊN
NHĨM CHÍNH STRONG
I. ĐỀ BÀI
Câu 1.
DẠNG 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Cho hàm số f x xác định và liên tục trên đoạn 5;3 có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện
tích các hình phẳng A , B , C , D giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và trục hoành lần
1
lượt bằng 6 ; 3 ; 12 ; 2 . Tích phân
2 f 2 x 1 1 dx bằng
3
A. 27 .
Câu 2.
B. 25 .
C. 17 .
D. 21 .
Cho hình phẳng H được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn y f x và
y g x . Biết rằng đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt có hồnh độ lần
lượt là 3 ; 1 ; 2 . Diện tích hình phẳng H (phần gạch sọc trên hình vẽ bên) gần với kết quả
nào dưới đây?
A. 3,11 .
Câu 3.
B. 2, 45 .
C. 3, 21 .
D. 2,95 .
Cho hàm số f x x3 ax 2 bx c và g x f dx e với a , b , c , d , e
có đồ thị như
hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y f x . Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đường cong y f x và y g x gần nhất với kết quả nào sau đây?
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!
Trang 1
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
Câu 4.
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. 4,5 .
B. 4, 25 .
C. 3,63 .
D. 3,67 .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f ( x) và trục hoành gồm hai phần: phần
phía trên trục hồnh có diện tích S1 2 và phần phía dưới trục hồnh có diện tích S2 5 (tham
4
khảo hình vẽ). Tích phân
x
f 2 2 dx bằng:
6
A. 14 .
Câu 5.
Cho parabol P : y
B.
3
.
2
C.
7
.
2
D. 6 .
1 2
x và đường trịn C có bán kính bằng 1 tiếp xúc với trục hồnh đồng
2
thời có chung một điểm A duy nhất với P . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P , C và
trục hồnh ( phần bơi đậm trong hình vẽ) bằng
A.
3 3 2
.
3
B.
29 3 9
.
24
C.
9 3 9 4
.
12
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
D.
27 3 8
.
24
Trang 2
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
Câu 6.
x2
Parabol y
chia hình trịn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính là 2 2 thành hai phần S và S
2
S
như hình vẽ. Tỉ số
thuộc khoảng nào sau đây.
S
2 1
A. ; .
5 2
Câu 7.
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1 3
B. ; .
2 5
Cho hai hàm số y x3 ax2 bx c ,
m, n , p
3 7
C. ; .
5 10
a , b, c
có đồ thị
7 4
D ; .
10 5
C
và y mx2 nx p ,
có đồ thị P như hình vẽ.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và P có giá trị nằm trong khoảng nào dưới đây?
A. 0;1 .
Câu 8.
B. 1; 2 .
C. 2;3 .
D. 3; 4 .
Quay hình phẳng H như hình được tơ đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối
trịn xoay có thể tích là:
A. V 4 3 .
B. V 6 3 .
C. V 5 3 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
D. V 2 3 .
Trang 3
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
Câu 9.
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Cho các hàm số f x ax 2 bx c và g x mx n có đồ thị lần lượt là đường cong C và
đường thẳng d như hình vẽ . Biết AB 5 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C và
đường thẳng d (phần tô màu) là S
p
(trong đó p, q
q
*
, p ; q 1 ). Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. p q 20 .
B. p 11q .
C. pq 69 .
D. p q 35 .
Câu 10. Cho hai số thực dương a , b khác 1 và đồ thị các hàm số y loga x , y logb x như hình vẽ
bên. Gọi d là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trục hồnh tại điểm A có hồnh độ
x k k 1 . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y loga x, d và trục hồnh, S 2 là
diện tích hình phẳng giới hạn bởi y logb x, d và trục hoành. Biết S1 4 S 2 . Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A. b a 4 .
Câu 11. Cho hình phẳng
B. a b4 .
H
C. b a4 ln 2 .
D. a b4 ln 2 .
giới hạn bởi các đường y x 2 y 0 , x 0 , x 4 Đường thẳng
y k 0 k 16 chia hình H thành hai phần có diện tích S1 , S 2 (hình vẽ). Biết S1 S2 .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. k 8 .
B. k 4 .
C. k 5 .
D. k 3 .
Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 và phần đường tròn x2 y 2 4 nằm
bên trên trục Ox bằng
1
A. .
2 2
B.
1
.
2
C.
2
2.
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!
D. 2 .
Trang 4
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Câu 13. Cho hàm số y f x có đồ thị C nằm trên trục hồnh. Hàm số y f x thỏa mãn các điều
5
1
y. y 4 và f 0 1 ; f
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và
4 2
trục hoành gần nhất với số nào dưới đây?
A. 0,95 .
B. 0,96 .
C. 0,98 .
D. 0,97 .
kiện
y
2
Câu 14. Cho parabol P : y x 2 và một đường thẳng d thay đổi cắt P tại hai điểm A , B sao cho
AB 2020 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và đường thẳng d . Tìm giá trị lớn
nhất Smax của S .
A. S max
20203 1
.
6
B. Smax
20203
.
3
C. S max
20203 1
.
6
D. Smax
20203
.
6
x2
x
3
; y
; y . Tính diện tích hình H là
9
12
x
1
31
1
B. 3ln 2 .
C. 3ln 2 .
D. 2 ln 3 .
2
64
2
Câu 15. Cho hình H giới hạn bởi các đường y
A.
34
3ln 2 .
63
Câu 16. Cho miền phẳng ( D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , hai đường thẳng x 1, x 2 và trục
hồnh. Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.
3
2
3
.
C.
.
D. .
2
2
3
Câu 17. Ta vẽ hai nửa đường trịn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường trịn lớn gấp đơi
đường kính của đường trịn nhỏ. Biết rằng nửa hình trịn đường kính AB có bán kính bằng 4 và
A. 3 .
B.
BAC 30 . Diện tích hình H (phần tơ đậm bằng)
A. 2 2 3 .
B. 2 3 3 .
C.
10
2 3.
3
D.
7
3 3 .
3
Câu 18. Cho đồ thị C : y x . Gọi M là điểm thuộc C , A 9; 0 . Gọi S1 là diện tich hình phẳng
giới hạn bởi C , đường thẳng x 9 và trục hồnh, S 2 là diện tích tam giác OMA . Tìm tọa độ
M để S1 2 S 2
A. 3; 3 .
B. 4; 2 .
D. 9;3 .
C. 6; 6 .
Câu 19. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên đoạn 5;3 có đồ thị như hình vẽ bên. Biết
diện tích các hình phẳng A , B , C , D giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và trục hoành lần
1
2 f 2 x 1 1 dx bằng
lượt bằng 6, 3, 12, 2. Tích phân
3
y
(C)
(A)
(D)
-5
A. 27 .
B. 25 .
(B)
O
3
x
C. 17 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!
D. 21
Trang 5
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Câu 20. Cho hàm số y f x có đồ thị trên đoạn 2;6 như hình vẽ bên dưới. Biết các miền A, B, C .
2
Có diện tích lần lượt là 32 , 2 và 3 . Tính tích phân
f 2 x 2 1 dx .
2
A.
45
.
2
B. 41 .
b
b
0
0
C. 37 .
D.
41
.
2
Câu 21. Cho b 0 và xdx x 2 dx . Diện tích của phần tơ màu của hình bên dưới là
A.
1
.
12
B.
1
.
6
C.
1
.
4
D.
1
.
3
1
a, b, c, d , e . Biết rằng đồ
2
thị của hàm số y f ( x) và y g ( x) cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ lần lượt 3; 1; 2 (tham
Câu 22. Cho hai hàm số f x ax 3 bx 2 cx 1 và g x dx 2 ex
khảo hình vẽ).
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
253
125
253
125
A.
.
B.
.
C.
.
D.
12
12
48
48
Câu 23. Hình phẳng H được giới hạn bởi đồ thị C của hàm đa thức bậc ba và parabol P có trục
đối xứng vng góc với trục hồnh. Phần tơ đậm của hình vẽ có diện tích bằng
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 6
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
11
7
5
37
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
12
12
12
Câu 25. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 1 và nửa trên của đường tròn
A.
x2 y 2 1 bằng?
1
1
4
2
.
B.
.
C.
1 .
1 .
2
4
2
Câu 26. Cho hàm số f x ax 4 bx 3 cx 2 dx e với a 0 và g x px 2 qx 3 có đồ thị như
A.
D.
hình vẽ bên dưới . Đồ thị hàm số y f x đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số y g x tại
điểm có hồnh độ lần lượt là 2; 1;1 và m . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x g x tại
15
. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
2
hai hàm số y f x và y g x (phần được tơ đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình H
điểm có hồnh độ x 2 có hệ số góc bằng
bằng
1553
1553
1553
1553
.
B.
.
C.
.
D.
.
120
240
60
30
Câu 27. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y ln x , y 1 , y 1 x .
A.
A. S e
3
.
2
B. S e
1
.
2
C. S e
1
.
2
D. S e
3
.
2
Câu 28. Cho đồ thị C của hàm số y x 3 3 x 2 1 . Gọi d là tiếp tuyến của C tại điểm A có
hồnh độ x A a . Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và C bằng
a thỏa mãn đẳng thức nào?
A. 2a2 a 1 0 .
B. a2 2a 0 .
C. a2 a 2 0 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
27
, các giá trị của
4
D. a2 2a 3 0 .
Trang 7
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Câu 29. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y 2 x 2
A.
5
.
3
B.
10
.
3
C.
x 0 ,
8
.
3
D.
Câu 30. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C của hàm số y
y 3 x , y 0.
4
.
3
1 2
x 4 x 3 và hai tiếp tuyến
2
của C xuất phát từ M 3; 2 là
13
11
8
.
C. .
D.
.
3
3
3
Câu 31. Cho parabol f x x 2 2m (với m là số thực dương) và đường thẳng g x 2 x . Gọi S1 và
A.
5
.
3
B.
S 2 lần lượt là diện tích hai phần gạch chéo như hình vẽ. Để S1 2 S 2 thì số thực dương m nằm
trong khoảng nào dưới đây?
1 1
A. ; .
4 2
Câu 32. Gọi
S
1 3
B. ; .
2 4
3
C. ;1 .
4
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
C2 : y
C1 :
5
D. 1; .
4
2
y x3 3mx 2 2m3
3
và
x3
mx 2 5m 2 x . Gọi N , n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S khi
3
m 1;3 . Tính N n .
A.
27
.
4
B.
1
.
12
C.
20
.
3
D.
10
.
3
Câu 33. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn 0 a b c d và hàm số y f x . Biết hàm số
y f x có đồ thị cắt trục hồnh tại các điểm có hồnh độ lần lượt là a, b, c như hình vẽ.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên 0; d .
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 8
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. M m f b f a .
B. M m f 0 f a .
C. M m f 0 f c .
D. M m f d f c .
2
Câu 34. Cho P : y x 2 và đường thẳng d : y mx 3 với m
. Giả sử đường thẳng d cắt P
tại hai điểm A và B . Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng d và
P . Khi
S nhỏ nhất thì giá trị biểu thức P x A . y A xB . yB bằng
2
A. 82.
B. 18.
2
C. 10.
D. 40.
Câu 35. Gọi tam giác cong OAB là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y 2 x , y 3 x ,
2
y 0 (như hình vẽ). Diện tích của OAB bằng
A.
8
.
3
B.
5
.
3
C.
4
.
3
D.
10
.
3
Câu 36. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 . Đồ thị hàm số y f x được
8
5
19
cho như hình vẽ. Diện tích hình phẳng K , H lần lượt là
và
. Biết f 1 , tính
12
3
12
f 2.
A. f 2
23
.
6
2
3
B. f 2 .
C. f 2
2
.
3
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!
D. f 2
11
.
6
Trang 9
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC
Câu 37. Cho
hai
hàm
y mx 2 nx p m, n, p
C và P
y x3 ax 2 bx c a, b, c
số
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
có
đồ
thị
C
và
có đồ thị P như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?
C. 2;3 .
B. 1; 2 .
A. 0;1 .
D. 3; 4 .
3
2
2
Câu 38. Cho hai hàm số y f x x ax bx c và y g x dx ex h
a, b, c, d , e, h .
Biết hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
đã cho có diện tích bằng:
A. 12 .
B. 6 .
D. 8 .
C. 10 .
Câu 39. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường: y x , y sin x và x 0 . Gọi V là thể tích
khối trịn xoay tạo thành do D quay quanh Ox và V p
p . Giá trị của 24 p bằng:
C. 24 .
B. 4 .
A. 8 .
4
2
D. 12 .
2
x y
1 thành hai hình H1 và H 2 lần lượt có diện tích là
Câu 40. Biết P : y 1 x 2 chia E :
16 1
24
S1 và S 2 S1 S 2 . Gọi T
S2
, khẳng định nào sau đây đúng?
S1
A. T 3 .
B. 3 T 16 .
C. 16 T 1980 .
D. T 1980 .
Câu 41. Cho một parabol tiếp xúc với một đường tròn với các số liệu được cho như hình vẽ bên dưới.
Gọi H1 và H 2 là hai phần hình phẳng lần lượt có diện tích là S1 , S 2 như hình vẽ. Giá trị
T S1 S2 nằm trong khoảng
A. 0,038;0,043 .
Câu 42. Trên parabol
AB của
B. 0,044;0,055 .
C. 0,056;0,086 .
D. 0,031;0,037 .
y x2 1 P lấy hai điểm A 1; 2 , B 3;10 . Gọi M là điểm di động trên cung
P ,
M khác A, B . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và MA , gọi S 2
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và MB . Gọi x0 ; y0 là tọa độ của điểm M khi
S1 S 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính x02 y02 .
A. 29 .
B. 11.
C. 109 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!
D. 5 .
Trang 10
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
y x3 3x2 3mx m 1 . Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục
Câu 43. Cho hàm số
Ox có diện tích phần nằm phía trên trục Ox và phần nằm phía dưới trục Ox bằng nhau. Giá
trị của m là
B. 3 .
A. 4 .
5
4
C. 3 .
D. 2
5
3
Câu 44. Trong mặt phẳng cho hình vng ABCD cạnh 2 2 , phía ngồi hình vng vẽ thêm bốn nửa
đường trịn nhận các cạnh của hình vng làm đường kính (hình vẽ). Thể tích của khối trịn
xoay sinh bởi hình trên khi quay quanh đường thẳng AC bằng
A. 32 4 2 .
3
B. 16 2 2 .
3
Câu 45. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol
0 a b
C. 8 2 .
3
P : y x
2
D. 64 8 2 .
3
và hai đường thẳng y a , y b
(hình vẽ). Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P và đường thẳng
y a (phần tô đen); S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P và đường thẳng
y b (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của a và b thì S1 S2 ?
A. b 3 4a .
B. b 3 2a .
C. b 3 3a .
D. b 3 6a .
H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y x 32 , trục hoành và trục tung. Gọi
k1 , k2 k1 k2 lần lượt là hệ số góc của đường thẳng qua điểm A 0;9 và chia H thành ba
Câu 46. Gọi
hình mặt phẳng có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ bên). Giá trị của
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
k1 k2 bằng
Trang 11
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC
A. 13 .
Câu 47. Cho H
D. 27 .
C. 25 .
B. 7 .
2
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
4
4
x2 y 2
x2
1,
là hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y
và phần elip E :
16 4
4 2
y 0 . Diện tích của H
A. 2 4 .
3
bằng
B. 2 4 .
C. 2 2 .
3
3
D. 2 2 .
3
Câu 48. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3 x , cung trịn có phương trình y 4 x 2
2
(với 0 x 2 ) và trục hoành (phần tơ đậm trong hình vẽ). Diện tích của H bằng
y
2
2 x
O
5 3 2
.
3
Câu 49. Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đường cong y x2 2mx m2 1 , trục
hoành, trục tung và đường thẳng x 2 . Biết m m0 thì diện tích hình phẳng đó đạt giá trị nhỏ
A.
4 3
.
12
B.
4 3
.
6
C.
4 2 3 3
.
6
D.
nhất. Giá trị m0 gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
y
O
2
x
A. 0 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 3 .
Câu 50. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 3x2 2mx m2 1 , trục hoành, trục
tung và đường thẳng x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. m 4; 1 .
B. m 3;5 .
C. m 0;3 .
D. m 2;1 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 12
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
HẾT
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 13
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
1D
2A
3A
4D
5D
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
BẢNG ĐÁP ÁN
7B 8A 9D 10A 11B 12D 13C 14D 15C
6A
16B 17B 18B 19A 20D 21B 22C 23A 24C 25A 26A 27A 28B 29C 30C
31A 32C 33C 34B 35A 36B 37B 38D 39A 40A 41B 42A 43B 44A 45A
46D 47A 48D 49A 50D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
DẠNG 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Cho hàm số f x xác định và liên tục trên đoạn 5;3 có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện
tích các hình phẳng A , B , C , D giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và trục hoành lần
1
lượt bằng 6 ; 3 ; 12 ; 2 . Tích phân
2 f 2 x 1 1 dx bằng
3
C. 17 .
B. 25 .
A. 27 .
D. 21 .
Lời giải
Người làm: tartarus Tứng; Word hóa: Phùng Thị Mai Hoa
Chọn D
1
1
1
3
3
3
3
5
Ta có I
2 f 2 x 1 1 dx f 2 x 1 d 2 x 1 dx f x dx 4 .
3
Mặt khác dựa vào hình vẽ ta có
f x dx 6 3 12 2 17 .
5
1
Vậy I 2 f 2 x 1 1 dx 17 4 21 .
3
Câu 2.
Cho hình phẳng H được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn y f x và
y g x . Biết rằng đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt có hồnh độ lần
lượt là 3 ; 1 ; 2 . Diện tích hình phẳng H (phần gạch sọc trên hình vẽ bên) gần với kết quả
nào dưới đây?
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!
Trang 14
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC
A. 3,11 .
B. 2, 45 .
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
C. 3, 21 .
D. 2,95 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Quý
Người giải: Nguyễn Trần Quyền; Fb: Quyền Nguyễn Trần
Chọn A
Cách 1
Khơng mất tính tổng qt ta giả sử hàm số có đồ thị có 3 giao điểm phân biệt với trục hoành là
y f x , cịn hàm số có đồ thị có bốn giao điểm phân biệt với trục hoành là y g x .
Từ hình vẽ ta thấy y f x có 3 ; 2 là nghiệm đơn cịn 1 là nghiệm kép. Do đó ta có
f x a x 3 x 1 x 2 với a 0 .
2
3
1
3
Hơn nữa vì đồ thị của hàm số y f x đi qua điểm 0; nên a.3.12. 2 a
5
10
5
Từ hình vẽ ta thấy y g x có 3 ; 1 ; 2; c là nghiệm đơn 3 c 1 . Do đó ta có
g x b x 3 x 1 x 2 x c với b 0 .
Hơn
nữa
vì
đồ
thị
của
hàm
số
y g x
đi
qua
điểm
3
0;
2
nên
3
1
b.3.1. 2 . c bc
2
4
Xét hàm số h x f x g x x 3 x 1 x 2 a x 1 bx bc
Từ hình vẽ ta thấy h x không đổi dấu khi qua nghiệm x 3 nên h x có 3 là nghiệm kép.
Do đó ta có 3 là nghiệm biểu thức a x 1 bx bc
a 3 1 3b bc 0
1
1
3
5
. 2 3b 0 b
c .
10
4
20
3
Vậy diện tích hình H là S
2
3733
f x g x dx 1200 3,1108 .
3
Cách 2
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!
Trang 15
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Khơng mất tính tổng qt ta giả sử hàm số có đồ thị có 3 giao điểm phân biệt với trục hồnh là
y f x , cịn hàm số có đồ thị có bốn giao điểm phân biệt với trục hoành là y g x .
Xét hàm số h x f x g x . Từ đồ thị ta thấy h x không đổi dấu khi qua nghiệm x 3
nên
h x
có
3 là nghiệm kép cịn
1 ;
2
là nghiệm đơn. Do đó ta có
h x a x 3 x 1 x 2 .
2
3 3
1
Ta lại có h 0 a.32.1. 2 f 0 g 0 a .
5 2
20
Vậy diện tích hình H là S
2
3733
h x dx 1200 3,1108 .
3
Câu 3.
Cho hàm số f x x3 ax 2 bx c và g x f dx e với a , b , c , d , e
có đồ thị như
hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y f x . Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đường cong y f x và y g x gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 4,5 .
B. 4, 25 .
C. 3,63 .
D. 3,67 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Quý; Người làm: Nguyễn Văn Tỉnh; Word hóa: Phạm Thị Trang
Chọn A
Từ hình vẽ suy ra f x x x 3 (do hệ số x 2 bằng 1 ).
2
g x f dx e dx e dx e 3 .
2
Đồ thị hàm số y g x cắt Ox tại x
3
3
và x 3 , trong đó điểm x là điểm tiếp xúc
2
2
3
d 2
2
d e 0
2
. Suy ra g x 2 x 6 2 x 3 .
e 6
3d e 0
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 16
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
3
3
1
1
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Diện tích hình phẳng S f x g x dx 15 x3 42 x 2 27 x 54 dx
2
3
1
2
9 x3 54 x 2 99 x 54 dx 9 x3 54 x 2 99 x 54 dx 4,5 .
Câu 4.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f ( x) và trục hồnh gồm hai phần: phần
phía trên trục hồnh có diện tích S1 2 và phần phía dưới trục hồnh có diện tích S2 5 (tham
4
khảo hình vẽ). Tích phân
x
f 2 2 dx bằng:
6
A. 14 .
B.
3
.
2
C.
7
.
2
D. 6 .
Lời giải
Tác giả: Vũ Văn Khiên; Fb: vũ khiên
Chọn D
Đặt: u
x
1
2 du dx .
2
2
Đổi cận: x 6 u 1 ; x 4 u 4
4
1
Khi đó: I 2 f u du 2 f u du f u du 2 S1 S 2 6 .
1
1
1
4
Câu 5.
1 2
x và đường trịn C có bán kính bằng 1 tiếp xúc với trục hồnh đồng
2
thời có chung một điểm A duy nhất với P . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P , C và
Cho parabol P : y
trục hồnh ( phần bơi đậm trong hình vẽ) bằng
A.
3 3 2
.
3
B.
29 3 9
.
24
C.
9 3 9 4
.
12
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
D.
27 3 8
.
24
Trang 17
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Quý; Người làm: Nguyễn Trung Kiên; Word hóa, Fb: Đinh Cơng Huấn
Chọn D
a2
Gọi A a ; P , I b;1 là tâm của C , b a 0 .
2
B b;0 C Ox , d là tiếp tuyến của P tại A .
2 a2
2 a2
AI b a;
, hệ số góc của d là: k 2 a.
, hệ số góc của AI là: k1
2
2 b a
2
2 a2
2
b a
a 3
1
2
AI 1
3
k1
Ta có:
.
3
3
3
k1k2 1 2 a 2
b
2
a. 2 b a 1
Do đó AI có phương trình là: y
Mà AB 3 AIB
3
3 3
3
5
x .
x
1
3
2
3
2
2
.
3
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P , C , Ox là:
3
S
0
Câu 6.
x
dx
2
3
3
x
6
2
0
3 3
2
3
3
5
x dx Squat AIB
3
2
3 2 5
x x
2
6
3 3
2
3
3
27 3 8
.
24
x2
chia hình trịn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính là 2 2 thành hai phần S và S
2
S
như hình vẽ. Tỉ số
thuộc khoảng nào sau đây.
S
Parabol y
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 18
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC
2 1
A. ; .
5 2
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
7 4
D ; .
10 5
3 7
C. ; .
5 10
1 3
B. ; .
2 5
Lời giải
Word hóa: Lưu Thị Hạnh;Fb:Hạnh Lưu
Chọn A
Phương trình đường trịn x 2 y 2 8 y 8 x 2 (Nửa đường trịn phía trên Ox )
Tọa độ giao điểm của đường tròn và Parabol là nghiệm của hệ phương trình:
x 2
x2 y 2 8
y 2
.
x2
x 2
y
2
y 2
Diện tích hình trịn: Str 8 .
2
Diện tích phần bơi đen S
2
Câu 7.
8 x2
x2
dx 7, 6165...
2
Cho hai hàm số y x3 ax2 bx c ,
m, n , p
a , b, c
có đồ thị
C
và y mx2 nx p ,
có đồ thị P như hình vẽ.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và P có giá trị nằm trong khoảng nào dưới đây?
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 19
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TOÁN VD - VDC
A. 0;1 .
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
C. 2;3 .
B. 1; 2 .
D. 3; 4 .
Lời giải
Tác giả: Đỗ Thị Thúy Ngọc; Fb: Do Thi Thuy Ngoc
Chọn B
Từ hình vẽ, ta có phương trình hồnh độ giao điểm của C và P có hai nghiệm là
1 a b c m n p
2 2b 2n n b 1 1 .
x 1 và x 1 . Do đó ta có
1 a b c m n p
n
Mà P có trục đối xứng là đường thẳng x 1
1 n 2m 2 .
2m
Mặt khác C có hai điểm cực trị là x 1 và x 1 , hàm số y x3 ax2 bx c có
3 2a b 0 a 0
đạo hàm y ' 3x2 2ax b . Suy ra
3 .
3 2a b 0 b 3
a 0
b 3
Từ 1 , 2 và 3 ta có n 2
.
m 1
c p 1
Do đó C : y x 3 3 x c ; P : y x 2 2 x c 1 .
1
Diện tích phần gạch sọc là S
x
3
x 2 x 1 dx
1
Câu 8.
4
. Vậy S 1;2 .
3
Quay hình phẳng H như hình được tơ đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối
trịn xoay có thể tích là:
A. V 4 3 .
B. V 6 3 .
C. V 5 3 .
D. V 2 3 .
Lời giải
Tác giả:Đoàn Trường; Fb: Đồn Trường
Chọn A
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 20
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
x2 y 2 4
x2 3
Xét hệ phương trình:
x 3 x 3.
y 1
y 1
Do H đối xứng nhau qua Oy nên:
3
x3
V 2 4 x 1 dx 2 3 x dx 2 3x 4 3
3 0
0
0
3
3
2
2
2
Vậy chọn phương án A.
Câu 9.
Cho các hàm số f x ax 2 bx c và g x mx n có đồ thị lần lượt là đường cong C
và đường thẳng d như hình vẽ . Biết AB 5 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C
và đường thẳng d (phần tô màu) là S
p
(trong đó p, q
q
*
, p ; q 1 ). Khẳng định nào
sau đây đúng?
A. p q 20 .
B. p 11q .
C. pq 69 .
D. p q 35 .
Lời giải
Tác giả: Phùng Thị Mai Hoa. Fb: Phùng Thị Mai Hoa
Chọn D
Ta có A 0; c C , B 0; n d và AB 5 c n 5 c n .
Phương trình hồnh độ giao điểm của C và d là:
ax2 bx c mx n ax 2 b m x c n 0 ax 2 b m x 5 0 * .
Lại có hoành độ giao điểm của C và d là x 1 và x 5 nên * có dạng:
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 21
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
a x 1 x 5 0 ax 2 6ax 5a 0 .
Đồng nhất hệ số ta được a 1 .
5
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và d là S x 1 x 5 dx
1
32
.
3
Suy ra p 32 , q 3 p q 35 .
Câu 10. Cho hai số thực dương a , b khác 1 và đồ thị các hàm số y loga x , y logb x như hình vẽ
bên. Gọi d là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trục hồnh tại điểm A có hồnh độ
x k k 1 . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y loga x, d và trục hồnh, S 2 là
diện tích hình phẳng giới hạn bởi y logb x, d và trục hoành. Biết S1 4 S 2 . Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A. b a 4 .
B. a b4 .
C. b a4 ln 2 .
D. a b4 ln 2 .
Lời giải
Người làm: Nguyễn Thanh Tâm; Fb: Tâm Nguyễn
Chọn A
k
k
S1 log a x dx ; S 2 log b x dx
1
1
k
k 1
4
Ta có: S1 4 S 2 log a x 4 log b x dx 0
ln x
ln x dx 0
1
1
ln b
ln a
k
4
4
1
1
x ln x x 1 0
k ln k k 1 0 *
ln a ln b
ln a ln b
Xét hàm số g k k ln k k 1 với k 1 .
g k ln k 0, k 1 .
g k 0 k 1
hay k ln k k 1 0 k 1
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 22
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
phương trình *
Câu 11. Cho hình phẳng
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1
4
0 ln b 4ln a 0 ln b ln a4 b a4 .
ln a ln b
H
giới hạn bởi các đường y x 2 y 0 , x 0 , x 4 Đường thẳng
y k 0 k 16 chia hình H thành hai phần có diện tích S1 , S 2 (hình vẽ). Biết S1 S2 .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
B. k 4 .
A. k 8 .
C. k 5 .
D. k 3 .
Lờigiải
Tác giả: Nguyễn Thanh Tâm; Fb: Tâm Nguyễn
Chọn B
4
Ta có: S1 S2 x 2 dx
0
x3 4 64
.
3 0 3
Có S1 S2
S1
32
3
4
x
2
k dx
k
x3
4
32
32
kx
3
3
k 3
64
k k
32
4k
k k
3
3
3
k 4.
Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 và phần đường tròn x2 y 2 4 nằm
bên trên trục Ox bằng
A.
2
1
.
2
B.
1
.
2
C.
2
2.
D. 2 .
Lời giải
Người làm: Nguyễn Mạnh Hà ; Fb: Nguyễn Mạnh Hà
Chọn D
x 2 khi x 2
Ta có: y x 2
2 x khi x 2
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 23
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
và x 2 y 2 4 y 2 4 x 2 y 4 x 2 . Đường tròn x2 y 2 4 bao gồm 2 nửa đường
tròn là y 4 x 2 nằm bên trên trục Ox và y 4 x 2 nằm bên dưới trục Ox . Theo u
cầu của bài tốn chỉ tính nửa trên của đường tròn nên ta lấy y 4 x 2 .
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 và phần đường tròn x2 y 2 4 nằm bên trên
trục Ox là phần tơ màu đậm như hình vẽ.
Cách 1:
Diện tích hình phẳng trên là:
2
2
2
x2
S 4 x 2 2 x dx 4 x 2 dx x 2 dx I1 x I1 2 .
2
0
0
0
0
2
2
Tính I1 4 x 2 dx .
0
Đặt x 2sin t , t ; ; dx 2cos t.dt .
2 2
Đổi cận x 0 t 0 ; x 2 t
2
.
2
2
2
2
0
0
0
0
1 cos 2t
dt
2
0
2
I1 4 x 2 dx 4 4sin 2 t .2.cos t.dt 4. cos t cos t.dt 4. cos 2 t.dt 4.
sin 2t 2
2t
.
2 0
Vậy S 2 (đơn vị diện tích)
Cách 2. Ta có diện hình phẳng cần tính bằng
1
diện tích hình trịn – diện tích tam giác vng cân.
4
Diện tích hình phẳng trên là:
1
1
S . R 2 .2.2 2 (đơn vị diện tích)
4
2
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 24
Sản phẩm của Group FB: TỔ 19 - STRONG TEAM TỐN VD - VDC
100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Câu 13. Cho hàm số y f x có đồ thị C nằm trên trục hồnh. Hàm số y f x thỏa mãn các điều
5
1
y. y 4 và f 0 1 ; f
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và
4 2
trục hoành gần nhất với số nào dưới đây?
kiện
y
2
A. 0,95 .
B. 0,96 .
C. 0,98 .
D. 0,97 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Quý; Word hóa (Fb): Hà Quốc Vũ
Chọn C
2
Ta có y y. y 4 yy 4 yy 4 x C 2 yy 8 x 2C .
y 2 8 x 2C y 2 4 x 2 2Cx C1 .
Do f 0 1 12 4.02 2C.0 C1 C1 1 .
2
2
5
5
1
1
1
Và f
4. 2C. 1 C 1 .
4 2
4
4
2
y 4 x 2 2 x 1
Suy ra y 2 4 x 2 2 x 1
y 4 x 2 2 x 1
1 5
1 5
x
.
4
4
Nhận xét: Đồ thị hàm số trong cả hai trường hợp trên đối xứng nhau qua trục Ox nên diện tích
cần tính trong hai trường hợp là bằng nhau.
1 5
1 5
Xét trường hợp C : y 4 x 2 2 x 1
x
.
4
4
C cắt Ox
S
1 5
4
1 5
1 5
tại hai điểm A
;0 và B
;0 nên diện tích cần tính là:
4
4
4 x 2 2 x 1 dx 0,9817477043 .
1 5
4
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!
Trang 25
