Ứng dụng của tích phân vào diện tích và thể tích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ
TRƯỜNG THPT NƠNG CỐNG I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH
VÀ THỂ TÍCH

Người thực hiện: Lê Văn Nam
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Nông Cống I
SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2021


MỤC LỤC


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong thời đại cạnh tranh khốc liệt hiện nay, con người muốn hội nhập và
phát triển thì rất cần có khả năng tư duy sáng tạo. Có thể nói rằng, dạy học sinh biết
sáng tạo, có kỹ năng và khả năng xử lí tình huống là một nhiệm vụ hết sức quan
trọng của người thầy.
Phải nói tích phân là một loại tốn hay và khó, nó được vận dụng rất nhiều
trong các lĩnh vực đời sống. Trong chương trình ơn thi đại học của những năm
trước đây (khoảng 2017 trở về trước) thì bài tốn tích phân trong đề thi khơng được
ra nhiều về số lượng cũng như thể loại. Khi đó bài tốn tích phân được ra thường
tính một tích phân xác định của một hàm nào đó trên một đoạn ( đối với thi TN thì
chỉ cần bấm máy) hoặc tìm nguyên hàm của một hàm số cho trước.Tuy nhiên từ khi

chuyển sang thi trắc nghiệm thì tích phân hầu như được khai thác triệt để trong kiến
thức THPT. Chính vì vậy độ khó nó tăng lên, các dạng nó đa dạng hơn. Đặc biệt để
hoàn thành hết các câu về tích phân trong đề thi thì học sinh khơng những phải
thành thạo kiến thức về tích phân mà cịn biết tổng hợp các kiến thức liên quan
cũng như phải hiểu biết thực tế... Trong các dạng về tích phân thì phần " Ứng dụng
tích phân" có lẽ làm học sinh vất vả nhất. Bởi để xử lý được bài toán này học sinh
cần thiết lập được các công thức, mà để thiết lập được cơng thức đó cần nắm chắc
kiến thức cơ bản, ứng dụng thực tế và đôi khi phải thực sự tinh tế trong đó mới phù
hợp cho việc xử lý câu tích phân đó với thời gian ngắn.
Đây cũng là một dạng toán mà các em học sinh khá giỏi rất thích khám phá
cũng như các giáo viên dạy rất thích nghiên cứu về nó, bởi qua cách dạy" Ứng
dụng của tích phân ” giáo viên có thể rèn luyện khả năng tư duy, khả năng độc lập
làm việc và đặc biệt là khả năng thường xuyên tổng hợp các kiến thức cơ bản về
toán học, khả năng liên hệ thực tế... qua đó có thể tổng qt hóa các vấn đề liên
quan.
Do đó tơi quyết định chọn đề tài SKKN: “ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
VÀO TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH”nhằm giới thiệu với đồng nghiệp một số
kinh nghiệm của bản thân trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh giải
quyết các bài tốn ứng dụng tích phân, từ đó góp phần nâng cao chất lượng đại trà
cũng như chất lượng mũi nhọn trong giảng dạy mơn tốn bậc THPT.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Tôi luôn trăn trở làm sao để các em học sinh đại trà đam mê tốn hơn, sống
có mục đích lý tưởng hơn, đặc biệt là trong công tác ôn luyện đội tuyển cũng như
trong việc ôn luyện những học sinh là nhân tố lấy điểm cao trong kỳ thi tốt nghiệp
3


THPT, biết cách tư duy để định dạng được phương pháp giải một bài tốn tích phân
liên quan đến ứng dụng của nó và tự tin với các câu hỏi vận dụng cao trong các kỳ
thi TNTHPT và kỳ thi chọn học sinh giỏi.

1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong khuôn khổ của một SKKN, tôi chỉ đề cập đến việc rèn luyện khả năng
tư duy, kỹ năng và xử lí tình huống và liên hệ thực tế khi gặp một số bài tốn về “
ứng dụng của tích phân vào việc tính diện tích và thể tích”. Đối với học sinh đại
trà, khá và giỏi.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Sau khi dạy xong phần lý thuyết " Ứng dụng của tích phân vào tính diện tích
và thể tích", tơi cho học sinh thử làm một số bài ở mức độ nhận biết, thơng hiểu ...
thì thấy rằng có nhiều học sinh giải được, và làm tương đối tốt. Tiếp tục tôi giới
thiệu một số bài ở mức độ vận dụng và vận dụng cao ở loại nàythì rất ít học sinh
làm được, mặc dù đối tượng trong lớp có nhiều em là học sinh khá, giỏi của nhà
trường. Phải chăng do đề ra khó q, hay do tâm lí các em chưa tự tin. Tơi cho rằng
đề thi khơng phải q khó, bám sát dạng cơ bản. Tuy nhiên có biến hố một chút
làm cho học sinh lúng túng không biết phương hướng giải. Do đó nếu chỉ dựa vào
kinh nghiệm là chưa đủ. Điều quan trọng hàng đầu là phải rèn luyện được khả năng
tư duy , liên hệ thực tế để giải quyết vấn đề. Chính vì thế tơi sử dụng " Phương
pháp học nhóm" và Phương pháp " Giải quyết vấn đề" là chủ yếu! Tôi sẽ chia lớp
học thành các nhóm, thành phần đối tượng ở các nhóm sẽ cố gắng giống nhau, để
có sự tương tác qua lại và giúp đỡ lẫn nhau.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến
- Vấn đề: Nhiều học sinh đang lúng túng, mất tự tin khi tiếp cận phần " Úng
dụng của tích phân"
- Mục tiêu: Để các em học sinh tự tin là linh hoạt khi tiếp cận phần " Ứng
dụng của tích phân".
- Câu hỏi: Làm thế nào để các em học sinh tự tin và linh hoạt, giải chính xác
và nhanh nhất trong thời gian ngắn nhất.
Để làm tốt điều này, tôi ln trăn trở và quyết tâm nghiên cứu, tìm tài liệu từ
các nguồn như: SGK, sách bài tập SGK, Đê thi THPT các năm, tài liệu từ các nhóm
tốn trên tồn quốc, xin tài liệu từ các thầy cơ uy tín trong tỉnh nhà... sau khi chọn

4


lọc và tổng hợp tôi đã chọn ra các bài sao cho phù hợp với " Phương pháp nhóm"
và " phương pháp giải quyết vấn đề" mà mình đưa ra trước đó. Làm sao cho học
sinh dể tiếp cận nhất và đem lại hiệu quả cao nhất.
Chúng ta đều biết tích phân có rất nhiều ứng dụng, cũng như nhiều dạng tốn. Tuy
nhiên trong khn khổ SKKN này tơi xin đưa ra 2 dạng toán thường gặp trong các
kỳ thi quan trọng TNTHPT và Chọn học sinh giỏi của tỉnh nhà.
Dạng 1.Ứng dụng tích phân vào tính thể tích

Hình

(H )

phẳng

giới

hạn

bởi

(C1 ) : y = f ( x )

(C2 ) : y = g ( x )
 x = a , x = b (a < b )


thì

diện

tích

là

b

S = ∫ f ( x ) − g ( x) dx .
a

(C1 ) : y = f ( x )

b
(C2 ) : Ox : y = 0
S = ∫ f ( x) dx .

a
Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi  x = a, x = b (a < b) thì diện tích là

Selip = π ab.

x2 y 2
(E) : 2 + 2 = 1
a b
Hình thức đề thường hay cho
Hình thức 1:
Khơng cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y = f ( x), y = g ( x), x = a, x = b ( a < b)}
b

casio

→ ∫ f ( x ) − g ( x ) dx =
a

kết quả, so sánh với bốn đáp án.

Hình thức 2: Khơng cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y = f ( x), y = g ( x)}
Giải

f ( x) = g ( x)

tìm nghiệm

x1 ,..., xi ,

với

x1

nhỏ nhất,

xi

lớn nhất

xi

casio


→ ∫ f ( x) − g ( x) dx.
x1

Hình thức 3: Cho hình vẽ, sẽ giải phương trình tìm tọa độ giao điểm (nếu chưa cho
trên hình), chia từng diện tích nhỏ, xổ hình từ trên xuống, ghi cơng thức
và bấm máy tính.
5


Hình thức 4: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn y = f ( x), y = g ( x), y = h( x) ta nên vẽ
hình.
Dạng2. Ứng dụng tích phân tính thể tích
Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại các
điểm a và b, S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng
vng góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử S ( x) là hàm số liên
tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định:
b

V = ∫ S ( x) dx .
a

Thể tích khối trịn xoay
a) Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f ( x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox :

6

b) Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường x = g ( y), trục hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục
Oy :
7


d

O

y

c

x

 (C): x = g(y)

 (Oy): x = 0

 y= c
 y = d

d

2

Vy = pị éêëg(y)ùúû dy
c

c)Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f ( x), y = g ( x) (cùng nằm một phía so với Ox) và hai đường
thẳng x = a, x = b quanh trục Ox :

y

b

V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx .
a

Oa

f ( x)
g ( x)

b

x

Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích
Câu 1.
Tính diện tích hình phẳng được
gạch chéo trong hình bên

Lờigiải

8

Bình luận: Đây là một bài ở mức độ thơng hiểu, cho dạng hình vẽ học
sinh nhận ra ngay và đưa ra được cơng thức tính
S = ∫ ( − x 2 + 2 ) − ( x 2 − 2 x − 2 )  dx = ∫ ( −2 x 2 + 2 x + 4 ) dx.
−1
−1
2

Câu 2.

2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x − 3 và y = x − 3
Lờigiải
Bình luận: Đây là một bài ở mức độ thơng hiểu, Khơng cho hình vẽ, cho
dạng ( H ) :{ y = f ( x), y = g ( x)} , nắm được lý thuyết hs đưa ra được công thức
tính!
2

x = 0
x2 − 3 = x − 3 ⇔ x2 − x = 0 ⇔ 
x =1 .
Ta có Phương trình hồnh độ giao điểm:
1
1
1
2
S = ∫ ( x − 3) − ( x − 3) dx = ∫ x 2 − x dx =
6
0
0

Diện tích hình phẳng:
Câu 3.

.

Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong OAB ) trong hình
vẽ bên.

Lờigiải
Bình luận:Đây là một bài ở mức độ thơng hiểu, Cho hình vẽ, sẽ giải
phương trình tìm tọa độ giao điểm (nếu chưa cho trên hình), chia từng diện
tích nhỏ, xổ hình từ trên xuống, ghi cơng thức và bấm máy tính.
Phương trình hồnh độ giao điểm
 x =1
2
x = ( x − 2) ⇔ x2 − 5x + 4 = 0 ⇔ 
x = 4

Dựa vào đồ thị, khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là
1

2

0

1

S = ∫ xdx + ∫ ( x − 2 ) dx =
2

1 1 5
+ =
2 3 6

5
S=
6.
Vậy

9


Câu 4.

3
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x ,
y = x 2 − 4 x + 4 và trục Ox
Lờigiải

Bình luận: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn y = f ( x), y = g ( x), y = h( x) ta nên
vẽ hình. Đối với loại này học sinh thường bị lúng túng khi khơng vẽ hình
mà xét pt hồnh độ giao điểm rồi đua ra cơng thức ln

Dựa vào hình vẽ ta thấy hình phẳng cần tính diện tích gồm 2 phần:
3
Phần 1: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục Ox , x = 0 ,
x =1.
2
Phần 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 4 x + 4 , trục Ox ,

x =1, x = 2 .
Do
đó
diện
tích
cần
tính
là

1

2

1

2

S = ∫ x 3 dx + ∫ x 2 − 4 x + 4 dx = ∫ x 3dx + ∫ ( x 2 − 4 x + 4 ) dx

.
Sau đây chúng ta sẽ đến với một số câu vận dụng - VDC
0

Câu 1.

1

Cho hàm số

0

f ( x)

1

−5;3]
xác định và liên tục trên đoạn [
có đồ thị như hình

A , B , C , D
vẽ bên. Biết diện tích của hình phẳng ( ) ( ) ( ) ( ) giới hạn bởi đồ thị

hàm số

∫

1

−3

y = f ( x)

và trục hoành lần lượt là 6; 3; 12; 2 . Tính tích phân

 2 f ( 2 x + 1) + 1dx

10


Lời giải

Bình luận: Đây là bài ở mức độ vận dụng, hs cần nắm vững kiến thức tích
phân hàm hợp cũng như phân chia hình phẳng tốt
1

1

1

3

 2 f ( 2 x + 1) + 1dx = 2 ∫ f ( 2 x + 1) dx + x = ∫ f ( x ) dx + 4
−3
−5
−3
Ta có ∫−3 
3

f ( x ) dx = S(
Mà ∫
−5

Vậy ∫

1

−3

Câu 2.

A)

− S( B ) + S( C ) + S( D ) = 6 − 3 + 12 + 2 = 17

 2 f ( 2 x + 1) + 1dx = 21

Cho đường trịn có đường kính bằng 4 và 2 Elip lần lượt nhận 2 đường
kính vng góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip
đều bằng 1 . Tính diện tích S phần hình phẳng ở bên trong đường trịn và
bên ngồi 2 Elip

Lờigiải
Bình luận: Đây là một bài vận dụng cao. Học sinh sẽ bị lúng túng nếu
không đọc thật kỹ đề và phân tích cũng như liên tưởng thực tế hình vẽ tốt.
Nếu hiểu đề và vẽ tốt hình thì bài tốn sẽ nhanh gọn và đơn giản hơn nhiều
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

11


( E1 ) :

x2 y2
x2 y 2
+
=1
( E2 ) : + = 1
4
1
1
4

và

Hai Elip lần lượt có phương trình:
Tọa độ giao điểm của hai Elip trong góc phần tư thứ nhất là nghiệm
phương trình:
x2
1−
4 = 1 ⇔ x2 = 4 ⇒ x = 2 5
x2 +
4
5
5

S = π .22 − π .2.1 − 4
Diện tích hình phẳng cần tìm:

2 5
5

∫
0


x2
 2 1 − x2 − 1 −

4




÷dx = 3, 71
÷


Câu 3. ( Thực tế)
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 như hình
2
vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tơ đậm là 200.000 vnđ / m và phần cịn lại

100.000 vnđ / m 2 . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên là bao nhiêu? biết
A1 A2 = 8m B1B2 = 6m
,
và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ = 3m ?

Lờigiải
Bình luận: Cũng là tính diện tích hình phẳng, tuy nhiên nó kết hợp với
thực tế nữa thì lại đưa loại này lên một tầm cao mới, nó hay và ý nghĩa với
12


cuộc sống vô cùng. Điều này giúp học sinh biết được giữa lý thuyết và
thực tế nó gắn bó với nhau như nào?

x2 y 2
+ 2 =1
2
E
Gọi phương trình chính tắc của elip ( ) có dạng: a b

 A1 A2 = 8 = 2a

a = 4
x2 y2
3
⇔

→
E
:
( ) + = 1 ⇔ y = ± 16 − x 2
B1 B2 = 6 = 2b b = 3

16 9
4
Với
.

Suy ra diên tích của hình elip là

S( E ) = π a.b = 12π ( m 2 )

.

 3
MQ = 3 → M  x; ÷∈ ( E )
 2
Vì MNPQ là hình chữ nhật và

x2 1
3 
3


⇒ + = 1 ⇒ x 2 = 12 → M  −2 3; ÷; N  2 3; ÷
16 4
2 
2


Gọi S1 ; S2 lần lượt là diện tích phần bị tơ màu và khơng bị tơ màu
4

Ta có:

Suy ra:

(

4

3
x = 4sin t
S2 = 4. ∫ 16 − x 2 dx = 3 ∫ 16 − x 2 dx →
S2 = 4π − 6 3 ( m 2 )
42 3
2 3
S1 = S( E ) − S 2 = 8π + 6 3

)

(

)

. Gọi T là tổng chi phí. Khi đó ta có

T = 4π − 6 3 .100 + 8π + 6 3 .200 ; 7.322.000

(đồng).

Câu 4 ( Thực tế)
Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao GH = 4m , chiều
rộng AB = 4m , AC = BD = 0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là
2
hình chữ nhật CDEF tơ đậm có giá là 1200000 đồng /m , còn các phần để
13


2
trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng /m . Hỏi tổng số tiền để làm hai
phần trên là bao nhiêu?

Lờigiải
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox , A trùng O khi đó parabol
có đỉnh G ( 2; 4 ) và đi qua gốc tọa độ.

2
Giả sử phương trình của parabol có dạng y = ax + bx + c ( a ≠ 0) .

Vì parabol có đỉnh là G ( 2; 4 ) và đi qua điểm O ( 0;0 ) nên ta có
c = 0
 b

 a = −1

=2

−
⇔ b = 4
 2a
c = 0
a.22 + b.2 + c = 4

.
2
Suy ra phương trình parabol là y = f ( x) = − x + 4 x .
4

 x3

32
S = ∫ ( − x + 4 x ) dx =  − + 2 x 2 ÷ =
m2 )
(
 3
0 3
0
Diện tích của cả cổng là
.
4

2

Mặt khác chiều cao CF = DE = f ( 0,9 ) = 2, 79(m) ; CD = 4 − 2.0, 9 = 2, 2 ( m ) .
14


Diện tích hai cánh cổng là
Diện tích phần xiên hoa là

SCDEF = CD.CF = 6,138 ( m 2 )
S xh = S − SCDEF =

.

32
6793
− 6,14 =
m2 )
(
3
1500
.

6,138.1200000 +

6793
.900000 = 11441400
1500
đồng.

Vậy tổng số tiền để làm cổng là
Bình luận: Tạm dừng cái hay cái đẹp của dạng 1, tôi tiếp tục đi tìm cái

hay cái mới ở dạng 2
Dạng 2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích
Câu 1.

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e , y = 0 , x = 0 và x = 1 .
Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox
bằng:
Lờigiải
Bình luận: Đây là bài mức độ thông hiểu, nên hs sẽ không gặp vấn đề gì
khó khăn khi nắm chắc lý thuyết cơ bản.
Ta có thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox
bằng:
3x

1

1

V = π ∫ ( e 3 x ) dx = π ∫ e 6 x dx
0

Câu 2.

2

0

.

2

H
Cho hình phẳng ( ) giới hạn bởi các đường y = x + 3, y = 0, x = 0, x = 2 .

H
Gọi V là thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay ( ) xung quanh
trục Ox . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lờigiải

15


2

V = π ∫ ( x 2 + 3) dx.

Câu 3.

2

0
Thể tích của vật thể được tạo nên là
Tính thể tích khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parapol (P):

y = x 2 và đường thẳng d: y = 2 x quay xung quanh trục Ox ?

Lờigiải
Bình luận: Đây là bài toán học sinh dể bị nhầm lẫn đối với các bài toán
khác, tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tơi ln tìm cách vẽ được hình
cho các em dể tưởng tượng! Công việc này sẽ rất hiệu quả khi các em gặp
những bài toán lạ mà đặc thù dùng hình xử lý.

16


x = 0
x2 = 2 x ⇔ 
x = 2
Xét phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị:

Ta có:
Câu 4. (VD)

2

2

2

2

0

0

0

0

VOx = π ∫ (2 x) 2 dx − π ∫ ( x 2 ) 2 dx = π ∫ 4 x 2dx − π ∫ x 4dx

y = 2 ( x 2 − 1) y = 1 − x 2
D)
(
Cho hình phẳng
được giới hạn bởi hai đường
;
.
D
Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành do ( ) quay quanh trục Ox .

Lờigiải
Bình luận: Thực chất đây khơng phải một bài đơn giản về cách tư duy,
nếu áp dụng máy móc cơng thức thì dẫn đến sai xót ngay. Nên mức độ ta
có thể xem là vận dụng, cái hay của bài này là sau khi vẽ hình, dựa vào
hình nhận xét mình sẽ cho một cơng thức tích phân vơ cùng đẹp

Phương trình hồnh độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số

y = 2 ( x 2 − 1)

y = 1 − x 2 là 2 ( x − 1) = 1 − x ⇔ x = ±1 .
2

Lấy đối xứng đồ thị hàm số
y = 2 ( 1 − x2 )

y = 2 ( x 2 − 1)

qua trục Ox ta được đồ thị hàm số

.

2 ( 1 − x 2 ) ≥ 1 − x 2 , ∀x ∈ [ −1;1]

Ta có

và

2

. Suy ra thể tích khối trịn xoay cần tìm là

64π
V = π ∫  2 ( x 2 − 1)  dx =
15 .
−1
1

2

Câu 5. ( VD)
17


Tính thể tích vật trịn xoay tạo bởi miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = x + 3 , y = − x + 3 , x = 1 xoay quanh trục Ox .
Lờigiải
Bình luận: Bài này tương tự bài trên sau khi vẽ hình, tuy nhiên bài trên là
lồng vào nhau, còn bài này sau khi tính phần lồng vào thì đang con thiếu
mất một phần. cái hay của hai bài này nằm ở sự tinh tế đó, điều này làm

cho học sinh cũng hiểu thêm về ý nghĩa của cuộc sống " Biết vươn tới cái
hay cái đẹp để hoàn thiện bản thân"

 x+3 = 0
x+3= − x+3 ⇔ 
⇔ x = −3
x
+
3
=
−
1


Xét phương trình
.

H
Xét hình ( )

giới bởi đồ thị các hàm số y = x + 3 ( −3 ≤ x ≤ −2 ) ,

y = x + 3 ( −2 ≤ x ≤ 1)

, y = 0 và x = 1 .
Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm chính bằng thể tích của vật thể trịn xoay
H
thu được khi quay quanh hình ( ) quanh trục Ox . Do đó

18

−2
1
2
43π
2
V = π ∫  x + 3  dx + π ∫ ( x + 3) dx =

−3 
−2

2 .

Tương tự ta có bài tiếp theo
Câu 6. ( VD)
S , S
Cho hai mặt cầu ( 1 ) ( 2 ) có cùng bán kính R = 3 thỏa mãn tính chất tâm

của ( S1 ) thuộc ( S2 ) và ngược lại. Tính thể tích V phần chung của hai khối
S , S
cầu tạo bởi ( 1 ) ( 2 ) .
Lờigiải

Phần chung của hai khối cầu tạo bởi ( S1 ) , ( S2 ) là một khối trịn xoay, tương
đương phần hình phẳng OAO′ quay quanh trục OO′ hay bằng hai lần phần
mặt phẳng tạo bởi AHO′ quay quanh trục OO′ .
O
Đặt hệ trục như hình khi đó phương trình đường trịn ( )

là

3
x 2 + y 2 = 9 ⇒ y = 9 − x 2 , điểm H có hồnh độ bằng 2 ; O′ có hồnh độ là

3 nên thể tích :
3

V =π∫
3
2

(

2

9− x

2

) dx = = π ∫ ( 9 − x )dx = 458 π
3
3
2

2

.

Câu 7. ( VDC)

Cho hình thang ABCD có AB song song CD và AB = AD = BC = a, CD = 2a .
Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình thang ABCD quanh trục là
đường thẳng AB .
19


Lờigiải

Dễ thấy ABCE là hình bình hành nên AE = BC = a . Vậy ADE là tam giác
đều.
Có

AH =

a 3
2 .

Xét hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Có phương trình

CD : y = −

a 3
2 ;

a 
A  ;0 ÷
xD = 0, xC = 2a
; 2 .

Phương trình

AD : y = 3 x −
2

a 3
2 .

a

2

a

2
2
a 3
 2
a 3  3π a 2
3a 2 
V = π ∫ 
−
2
π
3
x
−
=
.2
a
−

2
π
3
x
−
3
ax
+
÷

÷
÷
∫0 
∫0 
2 ÷
2 ÷
4
4 
0 



Vậy
2a


3π a 3
3a
3a 2
− 2π  x 3 − x 2 +

2
2
4


a

 2 3π a3
a3 5
x÷ =
− 2π . = π a 3
2
8 4
0
.

Cách 2: Thể tích khối trịn xoay được tạo ra theo đề bài là thể tích khối trụ
a 3
có chiều cao 2a bán kính đáy bằng 2 trừ đi thể tích hai khối nón cùng
a
a 3
2
2 .
có
chiều
cao
bán
kính
đáy
Vậy

2

2

a 3
1 a 3 a 5 3
V = π . 
2
a
−
2.
π
÷
÷ . = πa
÷
3  2 ÷
 2 
 2 4

Câu 8. ( VDC)
20


Gọi V là thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn
bởi các đường y = x , y = 0 và x = 4 quanh trục Ox . Đường thẳng
x = a ( 0 < a < 4)

cắt đồ thị hàm số y = x tại M (hình vẽ). Gọi V1 là thể tích
khối trịn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng
V = 2V1

. Tính a ?

Lờigiải
Bình luận: Cái khó của loại này là mình phải vẽ được hình và phân
chia hợp lý

4

Ta có:

4

x2
V = π ∫ xdx = π
= 8π
2
0
0

. Mà V = 2V1 ⇒ V1 = 4π .

Gọi K là hình chiếu của M trên Ox ⇒ OK = a, KH = 4 − a, MK = a .
Khi xoay tam giác OMH quanh Ox ta được khối tròn xoay là sự lắp ghép
của hai khối nón sinh bởi các tam giác OMK , MHK , hai khối nón đó có
cùng mặt đáy và có tổng chiều cao là OH = 4 nên thể tích của khối trịn
1
V1 = .π .4.
3
xoay đó là

( a)

2

=

4π a
3 , từ đó suy ra a = 3 .

Câu 9. ( VDC)
3
2
Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a, b, c, d ∈ ¡ , a ≠ 0 ) có đồ thị ( C ) .

Biết rằng đồ thị ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hồnh độ
âm và đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính thể tích
vật thể trịn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị

( C ) và trục hoành khi quay xung quanh trục

Ox .

21


Lờigiải
⇒ f ' ( x ) = 3 ( x 2 − 1)
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x )
.

Khi đó

f ( x) =

∫ f ' ( x ) dx = x

3

− 3x + C

.

Điều kiện đồ thị hàm số f ( x ) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 là:
3
 f ( x ) = 4
 x = −1
 x − 3x + C = 4
⇔
⇔


2
C = 2
 f ' ( x ) = 0
3 ( x − 1) = 0

3
2
suy ra f ( x ) = x − 3x + 2 ( C ) .

+ ( C ) ∩ Ox ⇒ hoành độ giao điểm là x = −2; x = 1 .
1

V =π

+Khi đó

∫( x

−2

3

− 3x 2 + 2 ) dx =
2

729
π
35

.

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
Trước khi áp đụng đề tài này, thì sự hoạt động ở trong lớp không được đồng
đều. Một số em học TB hay bị nãn và thiếu tự tin, ngược lại một số em học tốt lại
có ý cầm chừng, chưa phát huy hết khả năng của mình. Lớp chưa phát huy được
tinh thần học nhóm.
2.3. Các SKKN hoặc các giải pháp đã sử dụng giải quyết vấn đề
Trong đề tài, các bài tập tôi đưa ra theo mức độ tăng dần, chọn lọc kỹ càng từ

các nguồn tài liệu như: SGK, Tài liệu trên nhóm tốn VD-VDC, các đề thi
THPTQG trước đó... Nên việc nhóm hoạt động cũng tăng dần độ khó. Để sử lý
nhanh khơng những các kỹ năng phải tốt mà nhóm cịn phải đồn kết và biết tơn
trọng và lắng nghe nhau. Các em rất khí thế và vui vẻ tham gia và đem lại kết quả
tương đối nhanh và chính xác. Tuy nhiên ở mức độ một số câu VDC thì các em ở
mức độ trung bình đang cịn nhiều khó khăn. Tơi ln tìm cách giải thích thêm các
câu này cho những em đó khi các em có u cầu.Trong suốt q trình thực hiện đề
22


tài tơi ln động viên khuyến khích các em, khen thưởng nhóm làm nhanh và chính
xác, nhắc nhở những nhóm chưa hoàn thành nhiệm vụ đúng thời gian.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường
Vì đặc thù được nhà trường phân công dạy các lớp chọn và luôn được phân
đứng đội tuyển nên tơi đã có cơ hội nhiều lần thực hiện đề tài ở các cấp độ khác
nhau với nhiều đối tượng khác nhau. Khi sử dụng đề tài tại các lớp chọn hầu như
các em tốt tốn rất thích thú đặc biệt là các em trong đội tuyển toán của nhà trường.
Và hầu như các em học sinh ở mức độ trung bình khá tiếp thu tốt phần thơng hiểu
và vận dụng, cịn phần VDC đang cịn hạn chế. Vì vậy tại lớp thường tơi chỉ khai
thác một phần của đề tài ( chủ yếu là phần thông hiểu và vận dụng). Riêng đối với
các lớp chọn và đội tuyển tôi khai thác triệt để đề tài này!
Cụ thể:Ôn luyện đội tuyển năm học 2017 -2018 và ôn tập cho 20 em học
sinh nằm trong các đội tuyển: Tốn, lý, hóa, sinh của nhà trường.
Kết quả:
1.

2.

Về kết quả đội tuyển

Giải

Nhất

Nhì

Ba

KK

Đội tuyển (5 HS)

1

1

1

2

Về kết quả ơn THPTQG ( Nhóm ơn luyện trong lớp của mình dạy)
Điểm cao

Trên 9 điểm

Trên 8 điểm

Ghi chú

20 học sinh

15 ( 66%)

4 ( 34%)

Một em 9,8

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Sau khi sử dụng đề tài để dạy cho học sinh đặc biệt nhóm học sinh giỏi và ơn
thi đội tuyển, tôi nhận thấy các em rèn được khả năng tư duy tốt hơn, phán đoán
nhanh nhẹn hơn và đặc biệt đem lại hiệu quả rõ rệt trong các kỳ thi quan trọng,
đồng thời sau khi sử dụng đề tài tôi thấy học sinh linh hoạt hơn trong công việc
cũng như tự tin hơn trong cuộc sống!
23


Mặc dù năng lực khả năng còn hạn chế, nhưng tơi thiết nghĩ trong thời đại
4.0 như hiện nay thì việc rèn luyện kỹ năng sống qua các bài học là một điều vô
cùng quan trọng và cấp thiết. Bên cạnh đó một nhà trường có tồn tại và phát triển
mạnh hay khơng thì khâu mũi nhọn là hết sức quan trọng. Chính vì thế mà ít nhất
đề tài này cũng góp một phần khơng nhỏ cho sự thành cơng trong sự nghiệp giáo
dục của cá nhân tơi nói riêng và cho sự phát triển của trường THPTNCI nói chung.
Có thể nói SKKN : “ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” bước đầu đã thành
cơng theo đúng mục đích của cá nhân tơi.
Tích phân có ứng dụng khá rộng lớn, nhiều dạng tốn về ứng dụng tích phân,
nhưng trong khn khổ đề tài tơi chỉ giới thiệu được hai dạng của nó. Hai dạng này
cũng là hai dạng thực dụng nhất trong đề thi TNTHPT hiện nay. Vì vậy mặc dù đã
rất cố gắng song đề tài chắc khó tránh khỏi sự bất hợp lí ở một vài điểm nào đó. Rất
mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp, học sinh và những ai yêu

thích tích phân để đề tài được hồn thiện hơn./. Trong q trình thực hiện đề tài tơi
có tham khảo các nguồn tài liệu từ các nhóm tốn trên cả nước, rất cám ơn các thầy
cơ ln tâm huyết vì nền giáo dục nước nhà!
Hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu bổ ích để đồng nghiệp tham khảo trong giảng
dạy và để học sinh vận dụng làm bài tập và tìm tịi khám phá vẻ đẹp mn hình
mn vẻ của tích phân.
3.2. Kiến nghị
Mong rằng trong thời gian tới tồn thế giới nói chung và đất nước Việt Nam
nói riêng sẽ vượt qua đại hoạn covic, để tất cả học sinh trong cả nước được đến
trường an toàn, để thảo sức đam mê và nghiên cứu các lĩnh vực mình đam mê trong
đó có tốn học. Tơi mong muốn lãnh đạo sở, lãnh đạo của các trường, tổ chuyên
môn quan tâm hơn tới các thiết bị, mơ hình của tốn học...để khi được học lý thuyết
các em vận dụng vào thực hành thì sẽ tốt hơn nhiều. Đặc biệt với tích phân nếu có
đầy đủ các thiết bị và mơ hình thì tơi nghĩ hiệu của của đề tài " ỨNG DỤNG CỦA
TÍCH PHÂN" nó sẽ sinh động và hiệu quả với các em hơn nhiều!
Tôi xin chân thành cảm ơn!

24


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 08 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Lê Văn Nam

25