UNG DUNG CUA TICH PHAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Một số khái niệm và các kết quả cơ bản về ứng dụng của tích phân</b>

<i><b>1. Diện tích hình phẳng xác định bởi đường cong y = f(x)</b></i>

Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường
y = f(x) ;

y = 0

x = a; x = b (a < b)

Công thức tổng quát: <i>b</i> ( )
<i>a</i>

<i>S</i> 

_

<i>f x dx</i> (1)

Từ (1) suy ra các công thức hay dùng sau đây
a) Nếu <i>f x</i>( ) 0,  <i>x</i> [a,b]_{, ta có} <i>b</i> ( )

<i>a</i>

<i>S</i> 

_

<i>f x dx</i>

b) Nếu <i>f x</i>( ) 0,  <i>x</i> [a,b]_{, ta có} <i>b</i> ( )
<i>a</i>

<i>S</i> 

_

<i>f x dx</i>

c) Nếu f(x) tùy ý, khi đó…trong thí dụ sau, ta có <i>b</i> ( ) <i>d</i> ( ) <i>b</i> ( )

<i>a</i> <i>c</i> <i>d</i>

<i>S</i>

_

<i>f x dx</i>

_

<i>f x dx</i>

_

<i>f x dx</i>

<i><b>2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong</b></i>

Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
y = f(x)

y = g(x)

x = a; x = b (a < b)

Công thức tổng quát: <i>b</i> ( ) ( )
<i>a</i>

<i>S</i> 

_

<i>f x</i>  <i>g x dx</i> (1)

Từ (1) suy ra các công thức hay dùng sau đây

a) Nếu <i>f x</i>( )<i>g x</i>( ), <i>x</i> [a,b]_{, ta có} <i>b</i>

_

( ) ( )

_

<i>a</i>

<i>S</i> 

_

<i>f x</i>  <i>g x dx</i>

b) Nếu <i>f x</i>( )<i>g x</i>( ), <i>x</i> [a,b], ta có <i>b</i>

_

( ) ( )

_

<i>a</i>

<i>S</i> 

_

<i>g x</i>  <i>f x dx</i>

c) Trong trường hợp chung, giả sử trong thí dụ sau, ta có



( ) ( )





( ) ( )



<i>c</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>c</i>

<i>S</i> 

_

<i>f x</i>  <i>g x dx</i>

_

<i>g x</i>  <i>f x dx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b>3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự khép kín</b></i>

Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tự khép kín.
Giả sử y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại hai điểm A, B có hồnh độ tương ứng a, b. Khi đó

( ) ( )
<i>b</i>

<i>a</i>

<i>S</i> 

_

<i>f x</i>  <i>g x dx</i>

<i><b>4. Thể tích của vật thể</b></i>

- Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho bởi
y = f(x)

S: y = 0

x = a; x = b (a < b)
Cơng thức tính b 2

a

V=

_

f (x)dx

- Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho bởi

y = f(x)
S: y = g(x)

x = a; x = b



0<i>g x</i>( )<i>f x</i>( )



Công thức tính b 2 2

a

V=

_

_f (x)-g (x) dx_

- Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho bởi
hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tự cắt. Giả sử y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại hai
điểm phân biệt A, B có hồnh độ tương ứng là a, b



<i>a b</i>



. Giả sử 0<i>g x</i>( )<i>f x</i>( )

[a,b]

<i>x</i>

  _{. Khi đó}

b ₂ ₂

a

V=

_

_f (x)-g (x) dx_

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

y = f(x)
S: y = f(a)

x = 0
y = f(b)

Giả sử _{y = f(x)} _{x = f (y)}-1

 , khi đó

f(b) _-1 2

f(a)

V=

_

_f (y) dy_

<i><b>5. Sơ lược về bất đẳng thức tích phân</b></i>

- Giả sử f(x) và g(x) xác định và liên tục trên [a,b] sao cho <i>f x</i>( )<i>g x</i>( ), <i>x</i> [a,b]
Khi đó ta có <i>b</i> ( ) <i>b</i> ( )

<i>a</i> <i>f x dx</i> <i>a</i> <i>g x dx</i>





- Nói riêng, nếu gọi <i>M</i> <i>m</i>ax f(x), <i>x</i>[a,b]; m = min f(x), <i>x</i>[a,b]_{, khi đó ta có}

( ) <i>b</i> ( ) ( )

<i>a</i>

<i>M b a</i> 

_

<i>f x dx m b a</i> 

</div>

<!--links-->