Lớp môđun bất biến và đối bất biến lũy linh

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

LỚP MÔĐUN BẤT BIẾN VÀ ĐỐI
BẤT BIẾN LŨY LINH

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ.
MÃ SỐ: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNH

Đà Nẵng - Năm 2020


LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo PGS. TS. Trương Công
Quỳnh, cảm ơn sự động viên, hướng dẫn nhiệt tình của thầy trong suốt
quá trình tơi thực hiện luận văn này.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến q thầy cơ đã giảng dạy lớp cao học
“Đại Số Và Lý thuyết Số khóa 36”, tôi cũng xin được bày tỏ sự biết ơn
chân thành đến q thầy cơ khoa Tốn trường ĐH Sư Phạm - ĐH Đà
Nẵng đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập
và hồn thành luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐH Sư Phạm - ĐH Đà
Nẵng đã tạo điều kiện, môi trường học tập tốt nhất trong quá trình học
tập và hồn thành luận văn này.

Mặc dù tơi đã cố gắng hết sức tuy nhiên luận văn cũng khơng thể tránh
khỏi những sai sót vì vậy tơi thật sự mong nhận được những ý kiến đóng
góp của quý thầy cơ để luận văn của tơi được hồn thiện tốt hơn.

ii





MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.1. Một số định nghĩa liên quan đến lý thuyết vành . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Một số kiến thức liên quan đến lý thuyết môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Môđun xạ ảnh và mở rộng của môđun nội xạ . . . . . . . 11
1.2.2. Một số kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2. Môđun và vành bất biến lũy linh . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Một số khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Một số tính chất của mơđun bất biến lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. Môđun bất biến lũy linh trên vành Goldie nguyên tố . . . . . . . . . . . . 30

Chương 3. Môđun đối bất biến lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Một số tính chất và ví dụ của môđun đối bất biến lũy linh . . . . . . 36

iii


KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khái niệm môđun bất biến lũy linh và đối bất biến lũy linh đã được
nghiên cứu, khái qt hóa từ khái niệm của mơđun tựa nội xạ. Khái niệm
này ngày càng được biết đến nhiều hơn và được sử dụng để mô tả cấu
trúc của các môđun, các vành khác nhau. Một môđun được gọi là mơđun
bất biến lũy linh nếu nó bất biến qua bất kì tự đồng cấu nào của bao
nội xạ của nó. Nghiên cứu các mơđun bất biến lũy linh và đưa ra mối
quan hệ giữa môđun bất biến lũy linh và môđun tựa nội xạ cũng đã được
nghiên cứu. Chính điều này đã thúc đẩy chúng tơi tìm hiểu về mơđun này.
Mơđun là tựa nội xạ nếu nó bất biến qua các tự đồng cấu của bao nội xạ
của nó. Trên cơ sở này đã có rất nhiều cơng trình nghiên cứu khác nhau
và thu nhận được nhiều những tính chất quan trọng khác. Cũng như vậy
khi nghiên cứu đến môđun bất biến đẳng cấu người ta đã dễ dàng chỉ ra
được rằng nếu x là một tự đồng cấu lũy linh của mơđun M thì 1 + x là
một tự đẳng cấu của M . Và người ta chỉ ra được rằng tất cả các môđun
bất biến đẳng cấu là bất biến lũy linh nhưng điều ngược lại là không đúng
trong trường hợp tổng quát. Cho M là một R-môđun phải. Người ta cũng
chỉ ra được rằng một mơđun M có phủ xạ ảnh P → M là môđun đối bất
biến đẳng cấu khi và chỉ khi Ker(P → M ) là bất biến qua mọi tự đẳng

cấu của P . Tiếp tục qua trình nghiên cứu đó trên các vành Goldie nguyên
tố người ta cũng thu được kết quả khơng kém phần quan trọng khác đó
là: cho R là một vành Goldie nguyên tố, M là một R-mơđun phải bất
biến lũy linh khơng suy biến. Khi đó, tất cả các mơđun con đóng thực sự
của M là nội xạ và nếu M là R-mơđun phải đều thì M là môđun nội xạ.
Từ kết quả này, chúng ta có được rằng nếu M là một mơđun trên vành
Goldie phải ngun tố có udim(M/Z(M )) > 1 thì M là môđun đối bất
1


biến lũy linh khi và chỉ khi M là một môđun nội xạ.
Và cuối cùng là nghiên cứu về môđun đối bất biến đẳng cấu và môđun
đối bất biến lũy linh. Một số đặc tính quan trọng của chúng cũng đã được
tìm ra. Nếu các tự đồng cấu lũy linh của môđun M lên tự đồng cấu lũy
linh của M và M có phủ xạ ảnh thì M là đối bất biến lũy linh. Do đó với
mục đích đi tìm hiểu về môđun bất biến lũy linh, môđun tựa nội xạ và
mối liên hệ giữa chúng. Theo sự hướng dẫn của PGS. TS. Trương Công
Quỳnh, tôi đã chọn đề tài “Lớp môđun bất biến và đối bất biến lũy linh”
để thực hiện luận văn.

2. Mục tiêu nghiên cứu
2.1. Mục tiêu tổng quát
Luận văn tập trung nghiên cứu về lớp môđun bất biến và đối bất
biến lũy linh qua các tự đồng cấu của nó.

2.2. Mục tiêu cụ thể
Nghiên cứu về các khái niệm, tính chất và chỉ ra các các ví dụ liên
quan đến lớp vành và mơđun bất biến lũy linh trên vành R và vành Goldie
nguyên tố.
Nghiên cứu về các khái niệm, tính chất và chỉ ra các các ví dụ liên

quan đến lớp mơđun đối bất biến lũy linh.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Phạm trù các môđun trên một vành cho trước.
Lớp vành và môđun bất biến, đối bất biến lũy linh.

2


3.2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu trong phạm vi lớp các môđun trên vành

R và vành Goldie nguyên tố.

4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu
Nghiên cứu qua giáo trình, sách chuyên khảo, và các bài báo khoa học
có nội dung liên quan đến đề tài luận văn. Tổng hợp, hệ thống, phân tích
các tài liệu thu thập được để hệ thống được các kết quả liên quan.

4.2. Phương pháp chứng minh khoa học.
Đây là một đề tài lý thuyết nên chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên
cứu tài liệu và lập luận logic để chứng minh.

4.3. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia.

5. Cấu trúc của luận văn.
Luận văn được trình bày theo các nội dung chính sau:
LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục tiêu nghiên cứu
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
4. Phương pháo nghiên cứu
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này tơi sẽ trình bày một số định nghĩa, tính chất liên
3


quan đến vành và môđun sẽ sử dụng trong chương sau như điều kiện dãy
tăng và gia điều kiện dãy giảm, các định nghĩa về vành Artin và Nơte,
môđun và vành mà là nửa Artin, vành nguyên tố và nửa nguyên tố, định
nghĩa vành địa phương, vành hoàn chỉnh, vành Goldie, vành di truyền,
chuỗi vành tổng quát, vành chính quy von Neumann, vành hoàn chỉnh.
Các định nghĩa về vành và môđun đơn, căn và đế của vành và môđun,
định nghĩa về hạng tử trực tiếp và mơđun khơng phân tích được, môđun
con cốt yếu (lớn), môđun đối cốt yếu (bé), mơđun đều, mơđun chính
phương, mơđun liên tục, mơđun tựa liên tục và các kết quả liên quan
khác.
Chương 2: Môđun và vành bất biến lũy linh
Trong chương này chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm, ví dụ, một số tính
chất của môđun bất biến lũy linh trên vành R và vành Goldie nguyên tố.
Chương 3: Môđun đối bất biến lũy linh
Trong chương này chúng tôi sẽ đưa ra một số khái niệm và ví dụ của
mơđun đối bất biến lũy linh.

4


DANH MỤC KÍ HIỆU
Kí hiệu

Ý nghĩa

N

Tập hợp các số tự nhiên

Z

Vành các số nguyên

Q, R

Trường các số hữu tỷ, số thực

E(M )

Bao nội xạ của môđun M

End(M )

Vành các tự đồng cấu của môđun M

Im(f ), Ker(f )

Ảnh, hạt nhân của đồng cấu f

N ≤M

N không đẳng cấu với M

N M

N là môđun con của môđun M

N
N là môđun con thực sự của môđun M

N ≤e

N là môđun con cốt yếu lớn của môđun M

N M

N là môđun con đối cốt yếu (bé) của M

N ⊕M

Tổng trực tiếp của môđun N và môđun M

Rad(M ), J(R)

Căn của môđun M , căn của vành R

Soc(M )

Đế của môđun M

A ≤⊕ B

A là hạng tử trực tiếp của B

udim(M )
Q

Chiều Goldie của mơđun M
Tích trực tiếp

L

Tổng trực tiếp

HomR (M, N )

Mơđun các đồng cấu từ R-môđun M vào Rmôđun N

5


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này tôi sẽ đưa ra một số định nghĩa, tính chất cơ bản và
một số ví dụ liên quan được dùng trong các chương sau của luận văn.

Và nếu khơng nói gì thêm thì trong suốt luận văn này môđun M được
quy ước là R-môđun phải và R là vành kết hợp có đơn vị khác khơng.
Nội dung trong chương này được tác giả trích dẫn trong các tài liệu [1],
[16],[17], [20].

1.1

Một số định nghĩa liên quan đến lý thuyết vành

Định nghĩa 1.1.1. (1) Tập = các mơđun con nào đó của M được gọi là
thỏa mãn điều kiện dãy tăng (thường viết tắt là ACC) trong trường hợp
với mọi dãy

L1 ≤ L2 ≤ ... ≤ Ln ≤ ...
trong =, tồn tại một số tự nhiên n nào đó để cho Ln+i = Li (i = 1, 2, 3....)
(2) Tập = các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa điều kiện dãy
giảm (thường viết tắt là DCC) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≥ L2 ≥ ... ≥ Ln ≥ ...
trong =, tồn tại một số tự nhiên n nào đó để cho Ln+i = Li (i = 1, 2, 3....)
(3) Môđun MR được gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng các mơđun con
nào đó của M đều có phần tử cực đại. Môđun MR được gọi là Artin nếu
mỗi tập khác rỗng các mơđun con nào đó của M đều có phần tử cực tiểu.
Vành R được gọi là Nơte phải (Artin phải) nếu môđun RR là Nơte (Artin).
Định nghĩa 1.1.2. (1) Một iđêan P của vành R được gọi là iđêan nguyên
tố nếu P 6= R, với I, J là hai iđêan bất kì của R thỏa mãn IJ ⊆ P thì
6


I ⊆ P hoặc J ⊆ P .

(2) Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu 0 là một iđêan nguyên tố của
vành R.
Định nghĩa 1.1.3. (1) Giao một họ bất kì các iđêan nguyên tố của vành

R là một iđêan của vành R và ta gọi đó là iđêan nửa nguyên tố.
(2) Vành R được gọi là vành nguyên nửa tố nếu 0 là một iđêan nửa nguyên
tố của R.
Định nghĩa 1.1.4. Vành R được gọi là vành địa phương nếu tập các
phần tử không khả nghịch của R đóng đối với phép cộng.
Định nghĩa 1.1.5. Vành R được gọi là vành Goldie phải nếu R không
chứa một tổng trực tiếp vô hạn các iđêan phải của R và thỏa mãn điều
kiện ACC trên các linh hóa tử phải.
Định nghĩa 1.1.6. Một vành R được gọi là di truyền phải nếu tất cả
các iđêan phải của R đều là xạ ảnh.
Một vành R được gọi là vành bị chặn nếu mọi iđêan cốt yếu phải hoặc
trái của R đều chứa một iđêan khác không.
Định nghĩa 1.1.7. Một vành Artin phải và trái R được gọi là chuỗi tổng
quát nếu với mọi lũy đẳng nguyên thủy e của R, khi đó eR (Re) đều có
chuỗi hợp thành duy nhất là R-môđun phải (trái). Điều đáng chú ý là
mọi R-môđun trên một chuỗi vành tổng quát là một tổng trực tiếp của
chuỗi các môđun.
Định nghĩa 1.1.8. Một vành R được gọi là chính quy von Neumann
(chính quy mạnh) nếu ∀a ∈ R, ∃b ∈ R sao cho a = aba (tương ứng

a = a2 b).

7


1.2

Một số kiến thức liên quan đến lý thuyết môđun

Định nghĩa 1.2.1. Cho R là một vành có đơn vị và M là một nhóm cộng
aben. Ta gọi M là R–mơđun phải nếu có ánh xạ:

M ×R → M
(x, a) 7→ xa
thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) (x + y) a = xa + ya .
(2) x (a + b) = xa + xb .
(3) x (ab) = (xa) b .
(4) x.1 = x .
với mọi a, b ∈ R, với mọi x, y ∈ M .
Định nghĩa 1.2.2. Cho M là R-môđun phải. Tập con A của M được gọi
là mơđun con của M (kí hiệu A ≤ M hayAR ≤ MR ), nếu A là R-môđun
phải với phép tốn cộng và nhân mơđun hạn chế trên A.
Chú ý rằng kí hiệu A ≤ M để phân biệt với kí hiệu có tính tập hợp thuần
t A ⊂ M . Ngồi ra nếu ta viết A < M có nghĩa là A là môđun con
thực sự của M . A  M có nghĩa là A khơng là mơđun con của M . Sau
đây là đặc trưng của môđun con.
Định lý 1.2.3. Giả sử M là một R-môđun phải. Nếu A là tập con khác
rỗng của M, thì các điều kiện sau là tương đương
(1) A ≤ M .
(2) A là nhóm con của nhóm cộng của mơđun M và với mọi a ∈

A; r ∈ R ta có ar ∈ A.
(3) với mọi a1 , a2 ∈ A ta có a1 + a2 ∈ A, và với mọi a ∈ A; r ∈ R
ta có ar ∈ A.
Định nghĩa 1.2.4. (1) Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0 và

∀A ≤ M thì A = 0 hay A = M , nghĩa là M 6= 0 và M chỉ có hai mơđun
8


con là 0 và M .
(2) Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và với mọi A ≤ RR khi đó

A = 0 hay A = R, nghĩa là R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và
R.
(3) Mơđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực tiểu của môđun

M nếu như A 6= 0 và với mọi B ≤ M , B < A suy ra B = 0.
(4) Tương tự, môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực đại của
môđun M nếu như A 6= M và với mọi B ≤ M , B > A suy ra B = M .
Bổ đề 1.2.5. MR đơn khi và chỉ khi M 6= 0 và với mọi M = mR với
mọi phần tử m khác không của M .
Định nghĩa 1.2.6. Căn Jacobson của môđun MR được định nghĩa là giao
của tất cả các môđun con cực đại của M , và được kí kiệu là Rad(M ).
Nếu M khơng có iđêan con cực đại thì ta quy ước Rad(M ) = M .
Cho R là một vành. Khi đó Rad(RR ) = Rad(R R) là một iđêan hai
phía của vành R và kí hiệu là J(R).
Định nghĩa 1.2.7. Môđun con K của môđun M được gọi là hạng tử trực
tiếp trong M nếu có mơđun con K 0 của M sao cho M = K ⊕ K 0 . Kí hiệu
là K ≤⊕ M . Mơđun M khác khơng được gọi là khơng phân tích được nếu
0 và M là hạng tử trực tiếp duy nhất trong M.
Định nghĩa 1.2.8. Đế của môđun MR được định nghĩa là tổng tất cả
các môđun con đơn của M , và được kí kiệu là Soc(M ).
Định nghĩa 1.2.9. Một môđun được gọi là nửa Artin nếu mọi mơđun
thương khác khơng có đế khác khơng. Một vành R được gọi là vành nửa

Artin phải nếu môđun phải RR là nửa Artin.
Định nghĩa 1.2.10. Một vành R được gọi là vành hoàn chỉnh phải (trái)
phải nếu R/J(R) là nửa đơn và J(R) là T -lũy linh phải (trái) tương ứng.
9


Định nghĩa 1.2.11. Cho N là môđun con của R-môđun phải M được
gọi là môđun con cốt yếu (lớn) của M , kí hiệu là N ≤e M , nếu với mọi
môđun con khác không K của M ta đều có K ∩ N 6= 0. Khi đó ta cũng
nói M là mở rộng cốt yếu của N .
Cho K là môđun con của R-môđun phải M được gọi là mơđun con
đối cốt yếu (bé) của M , kí hiệu là K  M , nếu với mọi môđun con L
của M , K + L = M suy ra L = M .
Nếu mọi môđun con khác không của mơđun M là cốt yếu thì M
được gọi là mơđun đều.
Ví dụ 1.2.12. (1) Với mọi mơđun M ta đều có M ≤e M .
(2) Vành số nguyên Z được xem như một mơđun trên chính nó. Khi
đó, mọi iđêan khác 0 của Z (hay các môđun con khác 0 của Z) đều là
môđun cốt yếu trong Z.
Định nghĩa 1.2.13. Cho A là một môđun phải trên vành R, tập con

0 6= X ⊆ A. Ta định nghĩa linh hóa tử của X (trong R) là iđêan phải
annR (X) = {r ∈ R|xr = 0, ∀x ∈ X}
Linh hóa tử của tập X = {x} trong R được kí hiệu gọn là annR (x).
Khi không sợ nhầm lẫn về vành R ta có thể viết là ann(X) thay cho

annR (X).
Định nghĩa 1.2.14. Môđun con suy biến Z(M ) của R-môđun phải M
được xác định Z(M ) = {m ∈ M : annR (m) là iđêan phải cốt yếu của

R}. Nếu Z(M ) = 0, M được gọi là môđun không suy biến.
Định nghĩa 1.2.15. Môđun M được gọi là địa phương nếu M có một
mơđun con thực sự lớn nhất. Một cách tương đương, một môđun là địa
phương nếu và chỉ nếu nó là cyclic, khác khơng và có duy nhất một môđun
con thực sự cực đại.
Môđun M được gọi là khơng phân tích được nếu M 6= 0 và M khơng
có hạng tử trực tiếp khác 0, khác M .
10


Từ đinh nghĩa trên ta thấy ngay môđun địa phương là mơđun khơng
phân tích được.
Định lý 1.2.16. Đối với vành R, các mệnh đề sau là tương đương:
(1) R/J(R) là một thể.
(2) J(R) là iđêan phải (trái) cực đại.
(3) Với mỗi r ∈ R thì r hoặc 1 − r khả nghịch bên phải (hoặc trái).
(4)Với mỗi r ∈ R thì r hoặc 1 − r khả nghịch .
(5) Tập các phần tử khơng khả nghịch của R đóng kín đối với phép
cộng.
(6) RR là một môđun địa phương.
Định nghĩa 1.2.17. Vành R được gọi là nửa nguyên sơ nếu R/J(R) là
nửa đơn và J(R) là lũy linh.

1.2.1

Môđun xạ ảnh và mở rộng của môđun nội xạ

Định nghĩa 1.2.18. Cho UR là một mơđun. Nếu MR là một mơđun, thì

U được gọi là xạ ảnh theo M (hay U là M -xạ ảnh) trong trường hợp với

mọi toàn cấu g : MR −→ NR và mỗi đồng cấu v : UR −→ NR tồn tại
một R-đồng cấu v : U −→ M sao cho v = g ◦ v.
Một môđun M được gọi là xạ ảnh nếu M là N -xạ ảnh với mọi môđun
phải N .
Định nghĩa 1.2.19. Cho UR là một mơđun. Nếu MR là một mơđun, thì

U được gọi là nội theo M (hay U là M -nội xạ) trong trường hợp với mọi
đơn cấu f : KR −→ MR và mỗi đồng cấu v : KR −→ UR tồn tại một

R-đồng cấu v : M −→ U sao cho v = v ◦ f. Nếu M là M -nội xạ thì M
được gọi là mơđun tựa nội xạ.
Một môđun M được gọi là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi môđun phải

N.
Định nghĩa 1.2.20. Ta gọi cặp (PR , ρ) là một phủ xạ ảnh của môđun

MR nếu PR là một môđun xạ ảnh, ρ : PR −→ MR là một toàn cấu R11


môđun từ môđun xạ ảnh P vào M và thỏa điều kiện Kerρ là một môđun
con đối cốt yếu của P . Khi đó P gọi là phủ xạ ảnh của M .
Định nghĩa 1.2.21. (Các điều kiện Ci của môđun M )

(C1 ) Mọi môđun con của môđun M là cốt yếu trong một hạng tử
trực tiếp của M .

(C2 ) Mọi1 môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M thì nó
cũng là hạng tử trực tiếp của M .

(C3 ) Nếu M1 , M2 là các hạng tử trực tiếp của M mà M1 ∩ M2 = 0

thì M1 ⊕ M2 ≤⊕ M .
Định nghĩa 1.2.22. (1) M thỏa mãn điều kiện (C1 ) được gọi là CS môđun hay môđun mở rộng.
(2) Môđun M thỏa mãn điều kiện (C1 ) và (C2 ) được gọi là môđun
liên tục.
(3) Môđun M thỏa mãn điều (C1 ) và (C3 ) được gọi là môđun tựa
liên tục.
Định nghĩa 1.2.23. Một môđun M được gọi là một môđun chính phương
nếu có mơđun X mà M ∼
= X ⊕X và một mơđun được gọi là mơđun khơng
chính phương nếu nó khơng chứa một mơđun chính phương khác khơng
nào.
Định nghĩa 1.2.24. Một mơđun M được gọi là vơ hạn hồn tồn nếu
M∼
= M ⊕ M , và mơđun M được gọi là hữu hạn trực tiếp nếu M không
đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp thực sự của nó.

1.2.2

Một số kết quả liên quan

Bổ đề 1.2.25. ([3], Bổ đề 1) Cho đại số A trên trường F . Các mệnh đề
sau là tương đương
(1) Mỗi mơđun khơng phân tích được là tự nội xạ.
(2) Mỗi mơđun khơng phân tích được là bất biến đẳng cấu.
12


Bổ đề 1.2.26. ([15], Bổ đề 8.2) Các điều kiện sau là tương đương với
môđun M đã cho
(1) M là bất biến đẳng cấu.

(2) Mỗi đẳng cấu giữa hai môđun con cốt yếu của M mở rộng đến
một tự đẳng cấu của M .
Định nghĩa 1.2.27. Bao nội xạ của mơđun M là mơđun nội xạ E nào
đó thỏa mãn M ≤e E.
Định lý 1.2.28. Mọi mơđun đều có một bao nội xạ và chúng duy nhất
sai khác nhau một phép đẳng cấu.
Định lý 1.2.29. ([16], Định lý 3.5) Cho họ các môđun {Mα }α∈Λ . Các
mệnh đề sau là tương đương
(1) ⊕M α là A-nội xạ.
(2) ⊕i∈I {Mi } là A-nội xạ với mỗi tập con đếm được I ⊆ Λ.
(3) {Mα } là A-nội xạ với α ∈ Λ và lấy phần tử bất kì mi ∈ Mαi , i ∈
∞
T
T 0
N, αi ∈ Λ sao cho
m0i ≥a0 , với a ∈ A và
mi , n ∈ N thỏa điều kiện
i=1

i≥n

ACC.
Mệnh đề 1.2.30. ([19], Định lý 18.2) Cho P là một R-môđun
f

g

(1) Nếu 0 → M 0 →
− M→
− M 00 → 0 là các dãy khớp các mơđun và P

là M-xạ ảnh thì P là M’-xạ ảnh và cũng là M”- xạ ảnh.
(2) Nếu P là hữu hạn sinh và Mλ -xạ ảnh, với họ hữu hạn {Mλ }λ∈Λ
các R-mơđun thì P cũng là ⊕Λ Mλ -xạ ảnh.
(3) Nếu P là xạ ảnh và K ≤ P là mơđun con bất biến đầy đủ thì

P/K cũng là xạ ảnh.
Định lý 1.2.31. ([17], Định lý 30) Cho {e1 , e2 , ..., em } là tập cơ sở của
các lũy đẳng nguyên thủy của một vành nửa hoàn chỉnh R. Khi đó
(1) {e1 R, e2 R, ..., em R} là một tập hợp đại diện của các R mơđun
phải xạ ảnh khơng phân tích được sai khác một đẳng cấu.
13


(2) Mỗi R-môđun xạ ảnh PR , tồn tại các tập hợp A1 , A2 , ..., Am sao
cho PR ∼
= e1 R(A1 ) ⊕ ... ⊕ em R(Am ) .

14


CHƯƠNG 2

MÔĐUN VÀ VÀNH BẤT BIẾN
LŨY LINH
Trong chương này chúng tơi trình bày tổng quan các kết quả về mơđun
bất biến lũy linh trong vành R và vành Goldie nguên tố. Các kết quả trong
chương này chúng tôi tham khảo tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8],[11].

2.1

Một số khái niệm và ví dụ

Trước hết chúng ta định nghĩa khái niệm môđun bất biến lũy linh.
Định nghĩa 2.1.1. Cho M là một R-môđun phải. M được gọi là bất
biến lũy linh nếu f (M ) ≤ M với mọi tự đồng cấu lũy linh f của E(M ).
Chúng ta gọi một vành R là bất biến lũy linh phải nếu RR là môđun
bất biến lũy linh.
Chúng ta chú ý rằng nếu f là một tự đồng cấu lũy linh của E(M), thì

1 + f là một tự đẳng cấu của E(M ).
Ví dụ 2.1.2. Đặt Q :=

Q∞

i=1 Fi

trong đó Fi := K là một trường với tất
Q
cả i ∈ N, T là vành con của Q được sinh bởi ∞
i=1 Fi và 1Q . Khi đó T là
vành giao hốn, khơng là vành tự nội xạ. Hơn nữa, Q là một bao nội xạ
của T như một T -môđun.
Thật vậy, chúng ta sẽ chứng minh dựa vào số phần tử của K.
(i) Nếu |K| > 2, thì T là bất biến lũy linh mà nó khơng là bất biến
đẳng cấu. Thật vậy, |K| > 2 nên ta có thể chọn một phần tử a0 = (ai )i∈N
và ai 6= 0, ∀i ∈ N, a0 6= 1Q .
Xét ánh xạ γ : Q → Q

x 7→ a0 x
15

Khi đó γ là một T-tự đẳng cấu của QT , vì ai 6= 0, ∀i ∈ N nên tồn
tại b0 ∈ Q sao cho a0 b0 = b0 a0 = 1Q .
Xét ánh xạ β : Q → Q.

x 7→ b0 x
Rõ ràng, β là một nghịch đảo của γ . Do đó chúng ta có 1Q ∈ T và

γ(1Q ) = a0 ∈
/ T . Điều này chứng tỏ TT không phải là bất biến đẳng cấu.
Tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng TT là một môđun bất biến lũy linh.
Cho φ là một tự đồng cấu lũy linh bất kì của Q với φk = 0. Gọi φ(1Q ) =

(u1 , u2 , ...) và e1 = (1, 0, 0, ...) ∈ T . Khi đó, ta có φ(1Q )e1 = (u1 , 0, ...) ∈
T và cũng có
φ(φ(1Q )e1 ) = φ(u1 , 0, ...)
φ(1)φ(1Q )e1 = (φ(1Q ))2 e1 = φ(u1 , 0, ...)
Từ cách đặt của e1 ∈ T , ta có (φ(1Q ))2 e1 ∈ T . Vì vậy, chúng ta có

φ((φ(1Q ))2 e1 ) = φ2 (u1 , 0, ...)
φ(1)(φ(1Q ))2 e1 = (φ(1Q ))3 e1

= φ2 (u1 , 0, ...)

... = ...

= ...

... = (φ(1Q ))k+1 e1

= φk (u1 , 0, ...),

Từ đó suy ra (φ(1Q ))k+1 e1 = 0 hoặc uk+1
= 0 điều này suy ra u1 = 0.
1
Lặp lại quá trình này, chúng ta thu được un = 0, ∀n ∈ N. Do đó,

φ(1Q ) = 0.
Bây giờ, với bất kì x ∈ T , ta có

φ(x) = φ(1Q )x = 0. Vì vậy φ(T ) = 0 ≤ T.
(ii) Nếu |K| = 2, thì T là bất biến đẳng cấu theo [5, ví dụ 9].
Định nghĩa 2.1.3. Một phần tử của một vành được gọi là nil clean nếu
nó là một tổng của một lũy đẳng và một lũy linh và một vành được gọi
là nil clean nếu mọi phần tử của nó là nil clean.
16


Hệ quả 2.1.4. Cho một môđun M và giả sử rằng End(E(M)) là vành nil
clean mạnh. Khi đó M là một môđun bất biến lũy linh khi và chỉ khi M là
một môđun bất biến đẳng cấu.
Nếu End(E(M)) là nil clean mạnh, thì mỗi tự đẳng cấu của End(E(M))
đều có dạng 1 + ϕ với ϕ là tự đồng cấu lũy linh của E(M). Ta có (1 +

ϕ)(M ) ≤ (M ) + ϕ(M ) ≤ M + M = M . Vậy M là bất biến đẳng cấu.
Định nghĩa 2.1.5. Chúng tơi kí hiệu N(R) là tập các phần tử lũy linh
của R và U(R) là tập các phần tử khả nghịch của R. Một phần tử x ∈ R
được gọi là unipotent nếu 1 − x là lũy linh.
Định nghĩa 2.1.6. ([2]) Một vành R được gọi là UU-vành nếu tất cả các

phần tử là unipotent. Nghĩa là U (R) ⊆ 1 + N (R), và do đó 1 + N (R) =

U (R).
Ví dụ 2.1.7. Cho mơđun M, giả sử rằng End(E(M)) là một UU-vành.
Khi đó M là môđun bất biến lũy linh nếu và chỉ nếu M là bất biến đẳng
cấu. Chúng ta chú ý rằng nếu End(E(M)) khơng có ảnh đồng cấu đẳng
cấu với F2 thì M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là bất biến đẳng cấu.
Ví dụ 2.1.8. Mỗi miền ngun giao hốn là một mơđun bất biến lũy linh
trên chính nó. Hơn nữa, nếu R khơng phải là trường, thì R khơng phải
là bất biến đẳng cấu.
Thật vậy, cho R là một miền nguyên giao hoán và Q là một trường
các thương trong vành R. Khi đó, Q là một bao nội xạ của R như một
R-môđun. Điều này chứng tỏ rằng, tự đồng cấu không là tự đồng cấu lũy
linh duy nhất của QR . Do đó, R là bất biến lũy linh.
Giả sử rằng R không phải là trường. Khi đó tồn tại a0 ∈ Q và a0 ∈
/ R.
Xét ánh xạ γ : Q → Q

x 7→ a0 x.
Khi đó γ là một R-tự đẳng cấu của QR và γ(1) = a0 ∈
/ R. Do đó R
không phải là bất biến đẳng cấu.
17


Ta cũng có vành Z các số nguyên và vành K[x1 , x2 , ..., xn ] của tất cả
các đa thức trên một trường K là các vành bất biến lũy linh mà không
phải bất biến đẳng cấu.

2.2

Một số tính chất của mơđun bất biến lũy linh

Định lý 2.2.1. Mỗi môđun bất biến lũy linh là một C3 -môđun.
Chứng minh. Cho M là một môđun bất biến lũy linh và A, B là hai hạng
tử trực tiếp của M với A ∩ B = 0.
Vì A, B là hai hạng tử trực tiếp của M nên ta có thể viết M = A⊕A0
và M = B ⊕ B 0 , trong đó A0 , B 0 là các mơđun con nào đó của M.
Xét phép chiếu chính tắc π1 : M → A và π2 : M −→ A0 . Khi đó tồn
tại một đẳng cấu φ : B −→ π2 (B).
Đặt ϕ = (π1 )|B ◦ (φ)−1 : π2 (B) −→ A. Vì vậy, tồn tại một đồng
cấu ϕ : E(A0 ) −→ E(A) sao cho ϕ là một mở rộng của ϕ. Chú ý rằng

E(M ) = E(A0 ) ⊕ E(A).
Xét ánh xạ ψ : E(M ) −→ E(M ) xác định bởi ψ(x + y) = ϕ(x), với
mọi x ∈ E(A0 ) và y ∈ E(A). ψ|E(A) = ϕ và ψ 2 = 0. Vì M là môđun bất
biến lũy linh nên ψ(M ) ≤ M . Hơn nữa, với mỗi phần tử a ∈ A0 , ta có
T
ψ(a0 ) = ϕ(a0 ) ∈ M E(A) = A. Điều này chỉ ra rằng, ψ(A0 ) ≤ A và

ψ ◦ (π2 )|B = (π1 )|B .
Đặt M 0 = {a0 + ψ(a0 )|a0 ∈ A0 }. Khi đó, chúng ta có M = M 0 ⊕ A và

B ≤ M 0 . Do đó M 0 = B ⊕ (M 0 ∩ B 0 ) và vì vậy M = (A ⊕ B) ⊕ (M 0 ∩ B 0 ).

Mệnh đề 2.2.2. Giả sử rằng M là một môđun bất biến lũy linh, E(M ) =

E1 ⊕ E2 và π1 : E(M ) −→ E1 là phép chiếu chính tắc. Khi đó π1 (M ) là
một mơđun bất biến lũy linh. Hơn nữa, lớp các môđun bất biến lũy linh là
đóng dưới hạng tử trực tiếp.

Chứng minh. Giả sử rằng M là một môđun bất biến lũy linh và E(M ) =

E1 ⊕E2 . Gọi π1 : E(M ) −→ E1 là phép chiếu chính tắc. Khi đó π1 (M ) ≤e
18