(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh giải nhanh một số bài toán liên quan đến hàm hợp bằng cách sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN HÀM HỢP BẰNG CÁCH SỬ DỤNG
BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP

Người thực hiện: Lại Thị Hương Lan
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HOÁ NĂM 2022


MỤC LỤC
Nội dung
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận

3.2. Kiến nghị

Trang
1
1
1
1
1
1
1
2
2
18
19
19
19


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Với hình thức thi trắc nghiệm đối với mơn tốn như hiện nay, việc tìm ra
cách giải đúng và nhanh cho một bài tốn là hết sức cần thiết. Vì có như vậy thì
mới nâng cao được kết quả học tập cũng như kết quả thi cử. Trong đề tài này tơi
xin trình bày: “Hướng dẫn học sinh giải nhanh một số bài toán liên quan đến
hàm hợp bằng cách sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp” để giúp các em
học sinh lớp 12 giải quyết tốt một số bài toán vận dụng, vận dụng cao liên quan
đến hàm hợp trong chương trình giải tích 12 chương I: Hàm số, đây là một lớp
bài tốn khó thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT mơn Tốn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài giúp các em HS lớp 12 Trung học phổ thơng có kiến thức và phương

pháp vững chắc để giải quyết nhanh một số bài toán liên quan đến hàm hợp
trong chương hàm số trong các đề thi tốt nghiệpTHPT. Qua đó góp phần thúc
đẩy sự hứng thú, say mê học tập và xóa bỏ mặc cảm sợ sệt về việc giải các bài
toán liên quan đến hàm hợp từ đó nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trong
Nhà trường.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Bảng biến thiên của hàm hợp
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài đã thực hiện các phương pháp nghiên cứu như:
- Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về phần hàm số (đặc biệt là
một số bài toán liên quan đến hàm hợp) trong chương trình Tốn Trung học phổ
thơng. Thu thập kiến thức bằng nhiều nguồn tài liệu và các đề thi thử tốt nghiệp
THPT của nhiều trường THPT trên toàn quốc.
- Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh giải quyết một số
bài toán liên quan đến hàm hợp trong chương hàm số giải tích 12.
- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm trên một số đối
tượng học sinh cụ thể để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trên thực tế đã giảng dạy các tiết học
tự chọn, ôn thi tốt nghiệp THPT chuyên đề về Hàm số. Khi giải bài tập toán, HS
phải được trang bị các kiến thức cơ bản của lớp dưới, các kỹ năng phân tích đề
bài để từ đó suy luận ra quan hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, giữa bài
toán đã làm và bài tốn sẽ làm, hình thành phương pháp giải toán linh hoạt và
sáng tạo.
Các bài tập ở mỗi tiết dạy phải được thiết kế và sắp xếp theo thứ tự từ dễ
đến khó, mỗi bài tập được giải theo hai cách, sử dụng phương pháp truyền
thống và sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp qua đó giúp HS nắm vững
phương pháp giải toán cũng như thấy được những ưu điểm của phương pháp sử
dụng bảng biến thiên của hàm hợp khi giải quyết dạng tốn này. Từ đó giúp HS

2

có hứng thú, đam mê và tạo ra động cơ học tập tốt đối với mơn tốn, đồng thời
phát triển được năng lực và phẩm chất của người học.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình giải tích lớp 12 số lượng câu hỏi liên quan đến hàm số
chiếm số lượng tương đối nhiều trong các đề thi. Qua quá trình giảng dạy và ôn
luyện cho học sinh bản thân nhận thấy rất nhiều học sinh còn sợ sệt, lúng túng,
mất phương hướng đường lối thậm chí là bỏ qua khi làm một số bài tập liên
quan đến hàm hợp mặc dù có câu khơng khó hoặc một số học sinh có làm được
thì phải mất một lượng thời gian dài chính vì vậy khi chưa thực hiện đề tài này,
chất lượng môn học rất thấp. Kết quả cụ thể qua bài kiểm tra như sau:
Lớ
p

Số Điểm 8-10 Điểm từ 6,5
H
đến dưới 8
S
45
0
0
5 11,1%

12
D
12E

Điểm từ 5
đến dưới 6,5

Điểm từ 2
đến dưới 5

Điểm dưới
2

22

48,8
14
31,1
4
9%
%
%
43
0
0
1
2,3 %
20
46,5
18
41,9
4
9,3%
%

%
Do đó việc hướng dẫn cho học sinh phương pháp là việc làm rất cần thiết .
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1: Cơ sở lý luận:
I. Cơng thức tính đạo hàm của hàm hợp: [f (u ( x) )]  u ( x) f (u ( x)) .
II. Định nghĩa cực trị của hàm số.
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y  f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng (a; b)
(có thể a là - ; b là là + ) và điểm x0
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) < f (x 0) với mọi x ( x0 – h ; x0 +h ) và x
x 0 thì ta nói hàm số f ( x ) đạt cực đại tại x0.
b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) > f (x 0) với mọi x (x0 – h ; x0 +h ) và
x x thì ta nói hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại x .
0

0

Chú ý: 1. Nếu hàm số f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là
điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị
cực tiểu) của hàm số.
2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá
trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là
cực trị của hàm số.
3. Dễ dàng chứng minh được nếu hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên

khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f ( x0 )  0 .
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị


3

Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục trên khoảng K = ( x0 – h ; x0 + h ) và có
đạo hàm trên K hoặc trên K \ { x 0 }, với h > 0.
a) Nếu f  ( x)  0 trên khoảng ( x0 – h ; x0 ) và f  ( x)  0 trên khoảng
( x0 ; x0 +h ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x).
b) Nếu f  ( x)  0 trên khoảng ( x – h ; x ) và f  ( x)  0 trên khoảng
0

0

( x0 ; x0 +h ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x) .
x
f  ( x)

x0 – h

x0
+

x0 + h
-

f ( x)

f CĐ

x
f  ( x)

x0 – h

x0
-

f ( x)

x0 + h
+

f CT

III. Cơ sở của biện pháp :
Để giải quyết một số bài toán liên quan đến hàm hợp g = f (u(x)) bằng cách
sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm g = f ( u ( x )).
Giả sử ta được tập xác định D = ,
ở đây có thể là .
Bước 2: Xét sự biến thiên của u = u (x) và hàm y  f ( x)
( Bước này có thể làm gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản).
Bước 3: Lập BBT tổng hợp xét sự tương giao giữa [x; u = u(x)] và [u; g = f (u)]
(Bảng biến thiên này thường có 3 dịng )
x
u = u(x)

g=
f(u(x))

a1
u1

b1

b2 … bk

a2
u2

…
…

g(b2)…

g(u2)

…

an -1
un -1

an
un
g(un)

g(b1)

g (u1)
g(bk)
Cụ thể các thành phần trong bảng biến thiên trên như sau
Dòng 1: Xác định các điểm đặc biệt của hàm u = u (x), sắp xếp các điểm này
theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải, giả sử như sau:

4

( Xem thêm chú ý 1)
Dòng 2: Điền các giá trị

với ( i = )

Trên mỗi khoảng ( cần bổ sung các điểm cực trị của hàm số y  f ( x)

.
Trên mỗi khoảng ( cần sắp xếp các điểm
theo thứ tự chẳng hạn
hoặc (xem chú ý 2)
Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm g = f (u (x)) dựa vào BBT của hàm
y  f ( x) bằng cách hốn đổi: u đóng vai trị của x; f (u) đóng vai trị của f (x).
Sau khi hồn thiện BBT hàm hợp g = f(u(x)) ta thấy được hình dạng đồ thị hàm
này.
Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g = f (u(x)) để giải quyết các yêu cầu của bài toán
và đưa ra kết luận.
*Một số chú ý quan trọng khi sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp để giải
quyết một số bài tốn có chứa hàm hợp.
Chú ý 1:
- Các điểm đặc biệt của u = u(x) gồm: các điểm biên của tập xác định D,
các điểm cực trị của hàm u = u(x).
u  u ( x)
- Nếu xét hàm số
thì trong dịng 1 các điểm đặc biệt cịn có
nghiệm của PT u (x) = 0 ( là hoành độ giao điểm của u = u(x) với trục Ox ) .

u  u( x )
- Nếu xét hàm
thì trong dịng 1 các điểm đặc biệt cịn có số 0
( là hồnh độ giao điểm của u = u (x) với trục Oy).
Chú ý 2:
- Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của u = u(x).
- Điểm đặc biệt của hàm số y  f ( x) gồm: các điểm tại đó f ( x) , f  ( x)

khơng xác định; các điểm cực trị của hàm số y  f ( x) .
g  f (u ( x))
- Nếu xét hàm
thì trong dịng 2 các điểm đặc biệt cịn có
nghiệm của PT f ( x )  0 (là hoành độ giao điểm của u = u(x) với trục Ox ).
- Nếu xét hàm số

g  f (u ( x ))

thì trong dịng 2 các điểm kỳ dị cịn có 0
( là hồnh độ giao điểm của y  f ( x) với trục O y).
IV. Cách sử dụng đồ thị (hoặc bảng biến thiên) để biện luận số nghiệm của
phương trình f(x, m) = 0 (1) theo tham số m.
Bước 1: Biến đổi đưa phương trình (1)về dạng f ( x)  m Hoặc f ( x)  g (m )
(g (m) là hàm số theo tham số m).

Bước 2: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên) của hàm số y  f ( x ) đã có
sẵn (hoặc chưa có lập lại) để biện luận số nghiệm của phương trình (1)
Nhận xét: Số nghiệm của phương trình f ( x)  m Hoặc f ( x)  g (m )
(g(m) là hàm số theo tham số m) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

5

y  f ( x) với đường thẳng y = m hoặc y = g (m ) (đường thẳng y = m hay y
= g (m) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành)
2.3.2. Các dạng bài tập (Các dạng tốn đề cập dưới đây đều có chung
giả thiết biết hàm số y  f ( x) hoặc biết BBT (hay đồ thị) của hàm số
y  f ( x ) hoặc biết đồ thị của hàm số y  f  ( x) ):
Để học sinh dễ hiểu, nhớ và biết cách lập bảng biến thiên của hàm hợp
giải một số bài toán liên quan đến hàm hợp ta có thể sắp xếp và chia thành
một số dạng tốn như sau:
Dạng 1: Tìm số điểm cực trị của hàm số hợp y  f (u ( x ))
Phương pháp:
Cách 1 (Cách giải truyền thống): Chuyển bài toán về tìm số nghiệm đơn
của phương trình [f (u ( x))]  0 .
Cách 2 (Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp): Thực chất của bài toán
là lập được BBT của hàm hợp y  f (u ( x )) , từ BBT ta dễ dàng đưa ra kết luận
của bài tốn.
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) .Hàm số y  f  ( x) có đồ thị như hình vẽ.

2
Hàm số y  f ( x  1) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5.
B. 7.
C. 4.
D. 3.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Cách giải truyền thống
Từ đồ thị hàm số y  f  ( x) ta có: f  ( x)  0 khi x = -1; x = 1; x = 4.
2
Lại có y   2 xf  ( x  1) . Suy ra y '  0

x  0
 2
x  1  1

 2

 x 1  1

 x 2  1  4

 x3  0

x   2

 x   5

.

Hay y '  0 có một nghiệm bội ba, bốn nghiệm đơn .
2
Vậy hàm số y  f ( x  1) có 5 điểm cực trị. Chọn đáp án A.
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp


6

Từ đồ thị hàm số y  f  ( x) ta có BBT của hàm số y  f ( x ) như sau
x
-1

+
f  ( x)
0
+
0
0
+
+
+
f ( x)
f(-1)
f(4)
Từ BBT trên suy ra f (-1) < f (1) và f (4) < f (1).
f ( x ) có 3 điểm cực trị là x = , x = 4
2
Đặt u  x  1 . Ta có u( x )  2 x; u  ( x)  0  x  0 .
y  f ( x 2  1)  f  u 
Ta có BBT của hàm
như sau
x
0
u
+
4
1
-1
1
4
f (u) +
f(1)

f(1)
f (4)
f(-1)
f(4)

+
+
+

2
Từ bảng trên ta thấy hàm số y  f (u )  f ( x  1) có 5 điểm cực trị.
Nhận xét: 1) Hàm số y  f ( x) có thể cho bằng cơng thức.

2) Ngồi cách giải trên từ đồ thị của hàm số y  f  ( x) ta có thể chọn
f  ( x)  ( x  1)( x  1)( x  2)  x 3  4 x 2  x  4 .
1
4
1
f ( x)  x 4  x3  x 2  4 x
4
3
2
Từ đó ta có thể chọn
.
35
29
40
f (1)  
f (1) 
f (4)  

12 ;
12
13 .
Ta có
;
2
Suy ra f (-1) < f (1) và f(4) < f (1) và bằng cách đặt u  x  1 ta

2
cũng dễ dàng lập được bảng biến thiên của hàm y  f (u )  f ( x  1) như trên.
Ví dụ 2: ( Đề minh hoạ của Bộ Giáo Dục Lần 1 năm 2021)
Cho hàm số bậc bốn y  f ( x ) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm

số

g  x   f  x 3  3x 2 

A. 5.
Hướng dẫn giải

là

B. 3.

C. 7.

D. 11.


7

Cách 1: Cách giải truyền thống

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y  f ( x) như sau
x
f  ( x)

-

a
-

b
0

+

c
0

-

+
0

+

+
+

f ( x)
3
2
2
3
2
Ta có g ( x)  f ( x  3 x ) suy ra g  ( x)  (3 x  6 x) f  ( x  3 x )
3 x 2  6 x  0
g  ( x)  0  
f  ( x3  3 x2 )  0

Vậy
x  0

 x  2
 x 3  3 x 2  a; a  0
 3
 x  3x 2  b; 0  b  4
 3
2
  x  3 x  c; c  4
3
2
Xét hàm số h ( x )  x  3 x .

x  0
h ( x)  3 x 2  6 x; h ( x)  0  
x   2
Ta có
Bảng biến thiên của hàm số h ( x ) :

x
h ( x )

h ( x)

-

-2
+

--

0
0
4

-

0
0

+


8
3
2
Ta có đồ thị của hàm h ( x )  x  3 x như trên . Từ đồ thị ta thấy:
Đường thẳng y  a cắt đồ thị hàm số y  h ( x) tại 1 điểm.

Đường thẳng y  b cắt đồ thị hàm số y  h ( x) tại 3 điểm.
Đường thẳng y  c cắt đồ thị hàm số y  h ( x) tại 1 điểm.

Như vậy phương trình g  ( x)  0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.
g  x   f  x 3  3x 2 
Vậy hàm số
có 7 cực trị. Chọn đáp án C.
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp
3
2
Xét hàm số u ( x )  x  3 x

x  0
u  ( x )  3 x 2  6 x; u  ( x)  0  
x   2
Ta có
Gọi a, b, c là các điểm cực trị của hàm số y  f ( x) khi đó
a < 0 < b < 4 < c và ta cũng có f (a) < f(c) <0; f(b) > 0.
Ta có bảng biến thiên của hàm hợp y  f (u ) như sau:
x
u

+

a

b

4

b

f(b)
f (u)

0

b

f(b)
0

4

c

+
+
+

f(b)
0

0
f(c)

f(a)
g  x   f (u )  f  x3  3x 2 

Suy ra

có 7 điểm cực trị. Chọn đáp án C.
Nhận xét: Ở bài tập dạng này HS chưa biết giải bằng cách sử dụng BBT
của hàm hợp thì vẫn có thể giải bằng phương pháp truyền thống.
Khi mới làm quen và tiếp cận với phương pháp lập BBT của hàm hợp các
em sẽ thấy khó hiểu và tỏ ra rất lúng túng, bỡ ngỡ thấy bài toán dường như
phức tạp, nhưng khi đã làm qua một vài bài và hiểu được thì các em sẽ thấy
quen và làm nhanh hơn từ đó sẽ u thích phương pháp này hơn rất nhiều
vì nó sẽ cịn có nhiều điểm mạnh ở một số dạng đề cập tiếp sau đây:
Dạng 2: Tìm số nghiệm của phương trình: f (u(x)) = k (1) (k là hằng số cho
trước) hoặc phương trình có chứa hàm hợp y = f(u(x)).
Phương pháp:
Cách 1: giải theo phương pháp truyền thống: Đặt ẩn phụ
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp:
Bước 1: lập bảng biến thiên của hàm hợp y = f (u(x)).
Bước 2: xét sự tương giao của 2 đồ thị y = f(u(x)) và đường thẳng y = k
(Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của đồ thị


9

y = f(u(x)) với đường thẳng y = k).
Ví Dụ 1: (Kim Thanh Hải Dương 2020)
Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên sau:
x

y

-

-2

-

2
0

+

+

+
0

1

y

f (1  2 x)  

Số nghiệm thực của phương trình
A. 0.
B. 1.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Giải theo phương pháp truyền thống
Từ BBT ta có Từ đó suy ra

1
5 là
C. 3.

D. 2.

Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm thực.
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp
Đặt u  1  2 x .
Từ BBT của hàm số f ( x) ta thấy f ( x) có 2 điểm cực trị là x = -2 và x = 2.
Ta có bảng BBT của hàm y  f (1  2 x)  f (u ) như sau :
x
u

+

2

+
-

-2
1

+

f (u )

y=
-

1
5 có 2 nghiệm thực.
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm thực. Chọn đáp án D.

Nhận xét: Ở ví dụ này HS chưa biết cách sử dụng bảng biến thiên của hàm
hợp thì vẫn giải được theo phương pháp truyền thống. Tuy nhiên đến đây
hiểu HS đã hiểu và quen với phương pháp lập bảng biến thiên của hàm hợp
thì sẽ nhận thấy được ở đây dùng phương pháp lập bảng biến thiên của
hàm hợp sẽ đưa ra kết quả nhanh và chính xác hơn.
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x ) xác định liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ
bên
f (u )  


10

f ( x 2  2 x)  2

Tìm số nghiệm thuộc đoạn [0; 4] của phương trình
A. 4.
B. 3.
C. 5.
Hướng dẫn giải :
Cách 1: Giải theo phương pháp truyền thống

?
D. 6.

 f ( x 2  2 x)  2
f ( x  2 x)  2  
2
 f ( x  2 x )  2 .
Ta có phương trình
2

Từ đồ thị hàm số đã vẽ của y = f (x) ta có
 x2  2 x  1
x  1 2
f ( x 2  2 x)  2   2

 x  2 x  1  x  1
.

Xét trên đoạn [0; 4] ta được 2 nghiệm x  1; x  1  2 .
 x2  2x  a
 x2  2x  a  0
f ( x  2 x)  2   2
 2
x

2
x

b

 x  2 x  b  0 với
2

 2  a  1

1  b  2
.

2

Với phương trình x  2 x  a  0 có   1  a  0 do trình PT này vơ
nghiệm.
x  1 b 1
x2  2x  b  0  
 x  1  b  1 ta có nghiệm
Với phương trình

x  1  b  1  0 cịn 0  1  b  1  4 , như vậy ở trường hợp này phương

trình có 1 nghiệm.
Kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm trong đoạn [0; 4].
(Hoặc HS có thể chọn a = -1,5 ; b = 1,5 thay vào Pt để thử bằng máy
tính cầm tay)
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp.
2
Đặt t  x  2 x , ta có t   2 x  2 , t   0  x  1 .


11

Từ đồ thị của hàm số f ( x) đã cho ta thấy hàm số này có 3 điểm cực trị
x = , x = 0 và f (0) = 1, f (1) = f (-1) = 2 và f (8) = m < -2.
y  f (t )
Ta có bảng biến thiên của hàm
như sau:
x
0
2
t  x  2x 0

1
-1

0

1

2

y  f (t)

4
8

2

1

1
m < -2
|m| > 2
2

y  f (t )

2 y=2

1

1

0

f (t )  2
Từ bảng trên ta thấy phương trình
có 3 nghiệm phân biệt.
Vậy PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt. Chọn đáp án B
Nhận xét: đến ví dụ này HS sẽ thấy được cách sử dụng bảng biến thiên của
hàm hợp có ưu thế tốt hơn phương pháp truyền thống. HS sẽ còn thấy rõ
hơn tính ưu việt của phương pháp lập bàng biến thiên của hàm hợp đối với
bài tốn có chứa hàm lượng giác cụ thể dưới đây
Ví dụ 3: (Đề minh hoạ của Bộ lần 2 năm 2020):
Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:
x
f  ( x)

-

-1
+

0
0
2

-

1
0

+

0
2

+
-

f ( x)
-

0

 5 
0; 
Số nghiệm thuộc đoạn  2  của phương trình

A. 7.
B. 4.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Cách giải truyền thống
 5 
Đặt

t  sin x , x   0;
  t   1;1
 2 

-

f (sin x ) 1 là

C. 5.

D. 6.

f  t   1, t   1;1
Khi đó phương trình f (sin x) 1 trở thành
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y  f (t) và đường
thẳng y = 1.


12

t  a   1; 0 
f  t 1 
 t  b   0;1 .
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
t  a  1; 0 
Trường hợp 1:
t  1; 0 
Ứng với mỗi giá trị
thì phương trình si n x  t có 2

nghiệm x1 , x2 thỏa mãn   x1  x2  2 .
t  b  0 ;1
Trường hợp 2:
.
t  0;1
Ứng với mỗi giá trị
thì phương trình có 3 nghiệm
5

0

x

x


;
2


x

;
3
4
5
x1 , x2 , x3
2
thỏa mãn
Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.
 5
 0;
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn  2



.

Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp

 5 
t  si n x, x  0; 
 2  . Ta có t   cos x, t   0  cos x  0
Đặt

  3 5 
 5 
x   , ,  do x  0; 
2 2 2 
 2 .
Suy ra
f  t 1
Khi đó phương trình f (sin x)  1 trở thành
.
Từ BBT của hàm số y  f ( x) ta thấy hàm số này có 3 điểm cực trị x   1, x  0 .
Ta có BBT của hàm y  f (t ) như sau:
x
t
f(t
)

0
0
0


2
1
2

0
0

3
2
-1
2

0

5
2
1
2

y=1
0

f  t 1
Dựa vào BBT trên dễ thấy phương trình
có 5 nghiệm phân biệt
Vậy PT đã cho có 5 nghiệm phân biệt. Chọn đáp án C.
Ví dụ 4: (Bỉm Sơn – Lần 3 - Năm 2021)
Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ


13

`

 7 
0; 
f f (cos x)   0
Số nghiệm thuộc đoạn  2  của phương trình 
là

A.7.
B. 5.
C.8.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải theo phương pháp truyền thống:

D. 6.

 x  x1 ;  2  x1  1
f  x   0   x  x2 ; 0  x2  1
 x  x3 ; 1  x3  2
Dựa vào đồ thị hàm số ta có
.

Do đó phương trình

 f  cos x   x1 ;  2  x1  1

f  f  cos x    0   f  cos x   x2 ; 0  x2  1
 f cos x  x ; 1  x  2
 3
3
 

t  cos x; x  ¡  t   1; 1
Xét phương trình f (cosx)  m . Đặt
.
Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x ) trên đoạn  1 ;1 ta có:
f (cosx )  x1 ,  2  x1   1
f (cosx)  x2 , 0  x2  1

.

: phương trình vơ nghiệm.

: phương trình có nghiệm cos x  a, 0  a  1 .

f (cosx )  x3 ,1  x3  2 : phương trình có nghiệm cos x  b,  1  b  0 .
 7 


Xét bảng biến thiên của hàm số y  cos x trên 
x
2

0
0
+
0
y

1

0;

2  ta có.

3
0

+

1

y

0
-1

Từ đó suy ra

7
2

-1


14

 7 
0; 2 
cos
x


a
,
0

a

1
Phương trình có nghiệm
có 3 nghiệm thuộc đoạn
 7 
0; 
Phương trình có nghiệm cos x  b,  1  b  0 có 4 nghiệm thuộc đoạn  2 

Rõ ràng các nghiệm này phân biệt

 7 
0; 
Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thuộc đoạn  2  .

Chọn đáp án A.
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp
 7 
t  f (cos x), x  0; 
 2  , ta có t    sin x f  (cosx) ;
Đặt
sin x  0
sin x  0
t  0  

 x   o;  ; 2 ; 3 

 f  (cos x)  0
 cos x   1
Từ đồ thị hàm số y  f ( x) đã cho ta có BBT của hàm số y  f ( x) như sau:
x
f  ( x)
f (x)
-

-1
+

1
0
3

-

+
0

+
+

-1

Từ BBT trên suy ra hàm số f (x) có 2 điểm cực trị là x = -1 và x = 1
Ta có BBT của hàm hợp y  f ( t ) , ( với f (3) > 3) như sau:
x
t

0
-1

f(t)

3

1


3
f(3)

1

2
-1

1

3
3
f (3)

7
2
1

3
y=0

-1

-1

-1

-1

Từ bảng trên suy ra PT f ( t )  0 có 7 nghiệm phân biệt. Chọn đáp án A
Nhận xét: ở ví dụ 2 và 3 bài tốn liên quan đến hàm hợp có chứa hàm lượng
giác ở trên giải theo cách sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp cho ra đáp
số nhanh và chính xác hơn rất nhiều so với cách giải truyền thống vì việc giải
và biện luận số nghiệm của PT lượng giác bằng đồ thị mất nhiều thời gian và
nhiều HS thường mắc sai sót.
Dạng 3: Tìm tham số m để phương trình có chứa hàm hợp có n nghiệm
phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước.
Ví dụ 1. (Chuyên Lam Sơn – Lần 2 năm 2021)


15

Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên dưới đây:
x
-4
-2
0
f  ( x)
0
+
0

0
+
2
f ( x)
-2
-3

+
+
+

2
Số giá trị nguyên của m để phương trình: 3 f ( x  4 x)  m  5 có ít nhất 5
 0;    .
nghiệm thuộc khoảng
A.12
B. 14
C.11
D. 13.
Hướng dẫn giải:
m5
3 f (t )  m  5  f (t ) 
t  x 2  4 x , x   0;   
3 (1)
Đặt
, PT đã cho trở thành
Cách 1: Giải theo phương pháp truyền thống

Ta có BBT

x

0

t

0

2

+
+

-4
x  0 ;   
Từ bảng trên suy ra với
thì t   4 .
t   4; 0 
Nhận xét mỗi nghiệm
cho 2 nghiệm x phân biệt, mỗi nghiệm
t  0;   
hoặc t   4 cho ta 1 nghiệm x.

Dựa vào BBT đề bài cho ta suy ra:
m5
 3
+ Nếu 3
thì PT (1) có 1 nghiệm t  0 khi đó PT ban đầu có 1
nghiệm (TH này loại)
m5

3 
 2
3
+ Nếu
thì PT (1) có 1 nghiệm t(2;0) và 1 nghiệm
t  0 khi đó PT ban đầu có 3 nghiệm (TH này loại)

m5
2
+ Nếu 3
thì PT (1) có 1 nghiệm t   4 , 1 nghiệm t( 2;0) và 1
nghiệm t  0 khi đó PT ban đầu có 4 nghiệm (TH này loại)
m5
 2   11  m  1
3
+ Nếu
thì PT (1) có 2 nghiệm t( 4;0)
và 1 nghiệm t  0 khi đó PT ban đầu có 5 nghiệm (TH này thoả mãn).
2 


16

m5
2
+ Nếu 3
thì PT (1) có 1 nghiệm t   2 và 1 nghiệm t  0 khi đó PT
ban đầu có 3 nghiệm (TH này loại)
m5
2

3
+ Nếu
thì PT (1) có 1 nghiệm t   4 (loại) và 1 nghiệm t  0
khi đó PT ban đầu có 1 nghiệm ( TH này loại)
Vậy để PT ban đầu có ít nhất 5 nghiệm thuộc khoảng ( 0;  ) (chỉ xảy ra có
đúng 5 nghiệm) thì  11  m  1 mà m nguyên nên có 11 giá trị m thoả mãn đề
bài.
Cách 2: Giải theo phương pháp lập bảng biến thiên của hàm hợp
2
Đặt t  x  4 x; x (0;  ) , ta có t   2 x  4 , t   0  x  2
Từ BBT của hàm số đã cho ta thấy hàm số f (x) có 3 điểm cực trị là
x = - 4, x = -2, x = 0.
Ta có BBT của hàm hợp y  f (t ) như sau :
x
t

0
0

2
-4

-2

f (t)

2

-2

0

2

y=

+
+
+

-2
-3

-3

Từ BBT trên dễ dàng suy ra PT (1) có 5 nghiệm phân biệt thuộc (0;   ) khi
m5
2 
 2   11  m 1
3
.
m
Mà
nguyên nên có 11 giá trị m thỏa mãn đề bài . Chọn C
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục trên ¡ và có đồ thị như
hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để
phương trình





7. f 5  2 1  3cos x  3m  10

  
  2 ; 2 
có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn

là
A. 4.
B. 8.
Hướng dẫn giải :
Có



C. 6.



D. 5.





7. f 5  2 1  3cos x  3m  10  f 5  2 1  3cos x 

t 

3m  10 x     ;  
 2 2 
7
. (1)

3sin x
1  3cos x ; t   0  x  0 .

Đặt t  5  2 1  3cos x (2), có
Cách 1: Giải theo phương pháp truyền thống :


17

Ta có bảng biến thiên của hàm số t  5  2 1  3cos x
x




2

t

t

-


2

0
0

+

3

PT (1) trở thành
Nhận xét:

3
f  t 

3m  10
7

1

 *

với

t   1; 3

.

t  3

+) Với t  1 , suy ra phương trình (2) khơng có nghiệm thuộc

  
  2 ; 2 
.

  
  2 ; 2 
t

1
+) Với
, suy ra phương trình (2) có một nghiệm thuộc
.
  
 ; 
+) Với 1  t  3 , suy ra phương trình (2) có hai nghiệm thuộc  2 2  .

Dựa vào đồ thị của hàm số đã cho suy ra để phương trình đã cho có đúng
 3m  10
 4
 7
 m  6


 2  3m  10  0    4  m  10

3 .
 3
7

2 nghiệm thoả mãn đề bài thì
m   6; 1;0;1;2;3
Vì m¢ nên
.
Vậy có 6 giá trị nguyên m thỏa điều kiện bài toán.
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp
Từ đồ thị của hàm số y  f ( x) đã cho ta thấy hàm số này có 2 điểm cực trị là
x = 0 và x = 2
Ta có BBT của hàm hợp y  f (t ) với t  5  2 1  3cos x
x


2
0
t
3
2
1
0
f (t )
-2
-4

2


2
3
0

-4

Từ BBT suy ra: Để phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt thoả mãn đề

bài thì PT:

f  t 

3m  10
7

 3m  10
 4
m   6
 7

 4
3
m

10
 2 
   m  10
0
3
 3
7
có 2 nghiệm 

18

m   1;0;1;2;3; 6
Với m là số nguyên ta được
.
Vậy có tất cả 6 giá trị m . Chọn C.
Nhận xét: Từ 2 ví dụ trên HS thấy rất rõ cách sử dụng bảng biến thiên của
hàm hợp tỏ ra ưu thế mạnh hơn rất nhiều so với phương pháp truyền thống.
Từ BBT của hàm hợp chúng ta có thể giải quyết được nhiều bài toán liên
quan đến biện luận số nghiệm của PT đã cho. Việc giải theo phương pháp
truyền thống vừa dài dòng, biện luận phải phân chia nhiều trường hợp nên
dễ biện luận thiếu trường hợp từ đó dẫn đến lời giải sai.
Bài tập đề nghị:
Bài 1. (Triệu Sơn 2 – Lần 3 – Năm 2021)
Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và bảng biến thiên của hàm số
f  ( x ) như sau:
x

f  ( x)

+

-1

0

1

+
+

2
-1
-3

 ln( x 2  1)  2 
g  x  f 

2

 có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Hỏi hàm số

A. 5.
B. 7.
C. 9.
D. 4.
Bài 2. (Hàm Rồng năm 2021)
Cho đồ thị của hàm số: y  f ( x) như hình vẽ bên.

y
2

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham
y  f ( x  2017)  m
số m để hàm số
có 5 điểm
cực trị. Tổng tất cả các giá trị của các phần tử của
tập S bằng
A.12.

B. 15.
C. 18.
D. 9.

x

O
3
6

Bài 3. (Chuyên Long An năm 2021)
x
f  ( x)

0
-

0

+

0

2
-

0

+

+
+
+

f ( x)

3
-2

-4

Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên ¡ có bảng biến thiên dưới đây
y  f ( 6 x  5 )  2021  m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
có 3 điểm cực đại.


19

A.5
B.6
C.7
D.4
Bài 4. (Câu 43 đề minh hoạ của Bộ năm 2019)
Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ .

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( sin x )  m có
 0;   .
nghiệm thuộc khoảng
A. [-1; 3)

B. (-1; 1)
C. (-1; 3)
D. [-1; 1)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm trong việc dạy và học
Thực tế, khi chưa thực hiện đề tài này nhiều HS còn e dè, lúng túng, ngại
học thậm chí bỏ qua khi giải các bài tốn liên quan đến hàm hợp thì nay sau khi
áp dụng đề tài này HS đã tỏ ra say mê và thích thú, giải quyết tốt được nhiều
dạng tốn khó liên quan đến hàm hợp. Chính vì vậy chất lượng mơn học được
nâng lên rõ rệt từ đó giúp các em tự tin hơn trong học tập và cũng như tự tin
hơn để bước vào kỳ thi THPT Quốc gia .
Kết quả cụ thể qua bài kiểm tra của 2 lớp như sau:
Lớp Số Điểm 8-10 Điểm từ 6,5
Điểm từ 5
Điểm từ 2 Điểm dưới
H
đến dưới 8 đến dưới 6,5 đến dưới 5
2
S
12 45 8
17,7
13
28.8
20
44,7
4
8.8
0
0
D
%

%
%
%
12E 43 4
9,3% 15
34,9
21
48,9
3
6.9
0
0
%
%
%
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Từ thực tế về công tác giảng dạy tôi thấy việc đưa ra cho HS những cách
giải và cách nhìn khác về một bài tốn là rất cần thiết. Đặc biệt trong bối cảnh
thi trắc nghiệm hiện nay thì việc tìm ra cách giải đúng và nhanh cho một lớp bài
tốn nhằm nhanh chóng nhìn thấy sự quen thuộc để suy luận ra đáp số là hết rất
cần thiết và có ý nghĩa vơ cùng quan trọng. Trải qua một thời gian nghiên cứu
tìm tịi, tổng hợp và đưa vào vận dụng đối với HS lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia


20

tôi thấy đa số các em HS nắm được nội dung và phương pháp của đề tài, đã biết
vận dụng thành thạo vào các bài toán cụ thể.
3.2. Kiến nghị

Đề tài này thực sự giúp HS 12 giải quyết nhanh một số bài tập liên quan
đến hàm hợp nên tôi thiết nghĩ đây có thể coi là một tài liệu tham khảo cho GV
và HS 12 trong việc dạy và học chuyên đề hàm số. Bản thân muốn chia sẻ nội
dung SKKN này tới các anh chị em đồng nghiệp và các em HS 12 khi học
chuyên đề hàm số. Trong khn khổ có hạn đề tài khơng tránh khỏi những thiếu
sót. Rất mong các đồng nghiệp trao đổi, góp ý để đề tài được hoàn chỉnh hơn.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 05 tháng 06 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Người viết sáng kiến

Lại Thị Hương Lan


21

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12 – NXB GD.
2. Một số bài toán, bài viết trên trang thư viện Violet, trang mạng
INTERNET,... .
3. Đề minh họa của BGD, đề thi thử của các trường trong cả nước.


22

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN

KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH
VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

TT

1

2

3

4

Tên đề tài SKKN
Một số sai lầm thường gặp
của học sinh khi giải các
bài toán liên quan đến đạo
hàm
Giúp học sinh khắc phục
một số sai lầm thường gặp
của học sinh khi giải
phương trình có chứa căn
trong chương trình tốn 10
Giúp học sinh khắc phục
một số sai lầm thường gặp
khi biến đổi biểu thức
lượng giác trong chương
trình tốn 10
Giải pháp giáo dục HS
trong lớp chủ nhiệm

phòng, chống lây nhiễm
dịch Covid- 19 và các dịch
bệnh trong trường học.

Cấp đánh giá xếp
loại
(Ngành GD cấp
tỉnh)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Ngành GD cấp tỉnh
Số 932/QĐ-SGD
ngày 11/9/2008

C

2007-2008

Ngành GD cấp tỉnh
Số 904/QĐ-SGD
ngày 14/12/2010

C

2009-2010

Ngành GD cấp tỉnh
Số 972/QĐ-SGD
ngày 24/11/2016

C

2015-2016

Ngành GD cấp tỉnh
Số 2088/QĐ-SGD
ngày 17/12/2020

B

2019-2020