(SKKN 2022) kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 11 trường THPT thọ xuân 5 giải nhanh, giải tốt một số dạng toán cơ bản và nâng cao trong bài đại cương về đường thẳng và mặt phẳng hình học 11

MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU

2

- Lí do chọn đề tài

2

- Mục đích nghiên cứu

2

- Đối tượng nghiên cứu

2

- Phương pháp nghiên cứu

2

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề

3
3

2.3.1.Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.

3

2.3.2. Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

8

2.3.3. Dạng 3:Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy trong
không gian.

10

2.3.4. Dạng 4: Xác định thiết diện của một mặt phẳng với hình
chóp
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục,với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.

13
17
17

3.1. Kết luận

17

3.2.Kiến nghị

17

1


1. MỞ ĐẦU
- Lý do chọn đề tài
Kỳ thi THPT Quốc gia đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo đổi mới cách thức tổ
chức từ năm 2017. Với cách thức tổ chức này, học sinh sẽ làm bài thi mơn Tốn
theo hình thức trắc nghiệm khách quan, nội dung thi trải khắp chương trình
THPT.
Nội dung câu hỏi được khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau, nhiều dạng câu
hỏi thực sự gây khó cho thí sinh, đặc biệt trong phân mơn hình học.Nhiều em
khi gặp một sốdạng bài tốn về quan hệ song song trong khơng giancịn khá
lúng túng, đôi khi không biết bắt đầu từ đâu.
Qua một thời gian giảng dạy, tôi nhận thấy rằng, nguyên nhân ở đây là do các
em chưa nắm vững hệ thống lý thuyết, đặc biệt là phương pháp chứng minh
cho từng dạng tốn và cách vận dụng chúngnhư thế nào
Có rất nhiều ý tưởng, nhiều phương pháp mới nhằm nâng cao khả năng tư
duy của học sinh, giúp học sinh có thể tự tin hơn và có khả năng giải quyết tốt
hơn câu hỏi đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong các bài thi
Với lý do đó, tơi chọn đề tài:

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 TRƯỜNG
THPT THỌ XUÂN 5 GIẢI NHANH, GIẢI TỐT MỘT SỐ DẠNG

TOÁN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO TRONG BÀI “ ĐẠI CƯƠNG VỀ
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG” - HÌNH HỌC 11.
-Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh biết cách tiếp cận và có thể giải quyết tốtmột sốbài toán cơ
bảntrong bài “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng.”.
- Dùng làm tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 11 và đồng nghiệp.
-Đối tượng nghiên cứu
 Học sinh trường THPT Thọ Xuân 5
 Các dạng bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian .
-Phương pháp nghiên cứu
 Tìm hiểu những khó khăn của học sinh khi làm các dạng bài toán cơ bản
và nâng cao trong bài “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng.”
 Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan.


Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn



Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm trong
q trình giảng dạy.



Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 11 trong các năm
vừa qua.
2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1.Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong q trình học mơn Tốn, khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức; sự
thông minh, tính sáng tạo của học sinh được đánh giá thơng qua q trình giải
bài tập. Nhờ q trình giải bài tập mà học sinh nhớ và vận dụng được các kiến
thức đã học, từ đó rút ra được các phương pháp giải; các phương pháp biến đổi
linh hoạt hoặc nhận dạng nhanh các dạng bài tập.
Tuy nhiên, quá trình nhận thức đó địi hỏi nhiều thời gian và phụ thuộc vào thái
độ học tập, năng lực, sự cố gắng của từng học sinh.Chính vì vậy, hệ thống các
dạng bài tập mức độ phù hợp, kiến thức lý thuyết vừa sức là việc làm cần thiết
của giáo viên và học sinh để kết quả học tập như mong muốn.
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng là một trong những kiến thức cơ bản
trong chương trình Hình học lớp 11. Việc dạy và học vấn đề này giúp học sinh
hiểu rõ hơn các tính chất của đường thẳng và mặt phẳng. Nhìn chung khi học
vấn đề này đại đa số học sinh thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
- Kĩ năng vẽ hình khơng gian cịn hạn chế.
- Hình vẽ minh họa ở sách giáo khoa cũng như sách bài tập cịn ít, “chưa đủ”
đểgiúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng.
- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác khó hiểu.
- Học sinh chưa biết cách phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
2.3. Giảipháp tiến hành để giải quyết vấn đề
Trong phần này tơi trình bày bốn dạng toán
* Dạng 1:Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.
* Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
*Dạng 3: Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy trong không gian.
* Dạng4: Xác định thiết diện của một mặt phẳng với hình chóp
Là các dạng toán thường gặp nhất và định hướng cho học sinh cách giải:
2.3.1. DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Phương pháp
Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và (  ) cần thực

hiện:
- Bước 1: Tìm hai điểm chung A và B của ( ) và (  ) .
- Bước 2: Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm ( AB  ( )  (  ) ).
Bài tập áp dụng.
Câu 1:Cho tứ diện ABCD . Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là
một điểm trên đoạn AO . Gọi I , J là hai điểm trên cạnh BC , BD . Giả sử IJ cắt
CD tại K , BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H , ME cắt AH tại F . Giao tuyến của
MIJ 
ACD 
hai mặt phẳng 
và 
là đường thẳng:

3


A. KM .
C. MF .
Nhận xét:

B. AK .
D. KF .

MIJ 
Mặt phẳng 
ngoài chứa ba điểm M , I , J cịn
chứa những điểm nào?

ACD 
Mặt phẳng 

ngồi chứa ba điểm A, C , D còn
chứa những điểm nào?

  MIJ  I  ACD   KF
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Do K là giao điểm của IJ và CD nên
Ta có F là giao điểm của ME và AH
Mà

AH   ACD 

,

ME   MIJ 

F   MIJ  I  ACD 

K   MIJ  I  ACD 

(1)

nên

(2)
  MIJ  I  ACD   KF
Từ (1) và (2) 
Câu 2:
Cho tứ diện ABCD . G là trọng tâm tam giác BCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng

 ACD  và  GAB  là:

A. AM , M là trung điểm AB .
B. AN , N là trung điểm CD .
C. AH , H là hình chiếu của B trên CD .
D. AK , K là hình chiếu của C
trên BD .
Nhận xét:
Dễ thấy hai mặt phẳng đã cho có điểm chung thứ nhất là A .
M không thuộc mặt phẳng  ACD  nên loại phương án A
N là trung điểm CD nên N  BG nên N là điểm chung thứ hai của hai mặt

 Chọn phương án B
phẳng 
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

4


A là điểm chung thứ nhất của  ACD  và  GAB 
G là trọng tâm tam giác BCD , N là trung điểm CD nên N  BG nên N là điểm
 ACD 
 GAB 
 ACD 

chung thứ hai của
GAB 
và 

là AN .

và

. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng

Câu 3:Cho hình chóp S . ABCD . Gọi I là trung điểm của
SD , J là điểm trên SC và không trùng trung điểm SC .

 và   là:
Giao tuyến của hai mặt phẳng 
A. AK , K là giao điểm IJ và BC .
B. AH , H là giao điểm IJ và AB .
C. AG , G là giao điểm IJ và AD .
D. AF , F là giao điểm IJ và CD .
Nhận xét:
Dễ thấy A là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.
IJ và BC khồng cùng thuộc một mặt phẳng nên không thể cắt nhau.

 Loại phương án A
IJ và AB khồng cùng thuộc một mặt phẳng nên không thể cắt nhau.

 Loại phương án B
IJ và AF khồng cùng thuộc một mặt phẳng nên không thể cắt nhau.

 Loại phương án C. Chọn D
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
ABCD

AIJ

A là điểm chung thứ nhất của  ABCD  và  AIJ 
IJ và CD cắt nhau tại F , còn IJ không cắt BC , AD , AB nên F là điểm chung
ABCD 
AIJ 
ABCD 
AIJ 
thứ hai của 
và 
. Vậy giao tuyến của 
và 
là AF .
Câu 4:Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần
 SMN 
 SAC 
BC
AD

lượt là trung điểm
và
.Giao tuyến của hai mặt phẳng
SD
SO
A.
.
B.
, O là tâm hình bình hành ABCD .
C. SG , G là trung điểm AB .D. SF , F là trung điểm CD .
Nhận xét:

Dễ thấy S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.
 Loại A
D không thuộc mặt phẳng  SAC  
O là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng 
 Chọn B
Hướng dẫn giải:

và

là:

5


Chọn B.

S là điểm chung thứ nhất của  SMN  và  SAC  .
O là
giao điểm của AC và MN nên
O  AC , O  MN do đó O là điểm chung thứ hai

SMN 
SAC 
của 
và 
. Vậy giao tuyến của hai mặt

SMN 
SAC 
phẳng 

và 
là SO .

Câu 5:Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I , J lần
lượt là trung điểm SA và SB .Khẳng định nào sau
đây là sai?
A. IJCD là hình thang.
SAB    IBC   IB
B. 
.

SBD    JCD   JD
C. 
.

IAC    JBD   AO O
D. 
,
là tâm hình bình hành
ABCD .
Nhận xét:
Từ mối quan hệ song song giữa IJ và CD suy ra phương án A đúng
Dễ thấy I và B là hai điểm chung của ( SAB) và ( IBC ) nên phương án B đúng.
Dễ thấy J và D là hai điểm chung của ( SBD) và ( JCD) nên phương án C đúng.

 Chọn D
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

 

 và 
Ta có 
hình bình hành ABCD .
Câu 6:
IAC  SAC

JBD    SBD 

SAC    SBD   SO
. Mà 
trong đó O là tâm

AD / / BC 
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang ABCD 
. Gọi M là trung

 và 
 là:
điểm CD . Giao tuyến của hai mặt phẳng 
A. SI , I là giao điểm AC và BM .B. SJ , J là giao điểm AM và BD .
C. SO , O là giao điểm AC và BD .D. SP , P là giao điểm AB và CD .
Nhận xét:
Tìm được điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng là S
Xét phương án A, cho học sinh giải thích tại sao I là điểm chung thứ hai của
MSB

SAC

 MSB  và  SAC 

6



 Chọn A
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

S là điểm chung thứ nhất của  MSB  và  SAC  .
I là giao điểm của AC và BM nên I  AC , I  BM
 MSB 
 SAC 
I

do đó

là điểm chung thứ hai của

và

.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng  MSB  và  SAC 
là SI .
Câu 7: Cho tứ diện ABCD . G là trọng tâm tam giác BCD , M là trung điểm CD ,
I là điểm trên đoạn thẳng AG , BI cắt mặt
phẳng  ACD  tại J . Khẳng định nào sau đây
sai?
A.

AM   ACD    ABG 

.

B. A , J , M thẳng hàng.
C. J là trung điểm AM .
DJ   ACD    BDJ 
D.

.

Nhận xét:
Ta lần lượt kiểm tra từng phương án.Chú ý cách xác định điểm J .Tìm xem trong
ACD 
mặt phẳng 
có đường thẳng nào cắt BI khơng.Dễ thấy đó chính là đường
thẳng AM .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

 M  BG
 M   ACD    ABG 

A   ACD    ABG   M  CD
Ta có
,
nên
AM   ACD    ABG 
AM   ACD    ABG 

.Do đó

.Vậy A đúng.

A , J , M cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt  ACD  ,  ABG  nên A , J , M thẳng

hàng, vậy B đúng.
Vì I là điểm tùy ý trên AG nên J không phải lúc nào cũng là trung điểm của
AM .
Câu 8:Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang ABCD và AD / / BC . Gọi I là
SAB 
giao điểm của AB và DC , M là trung điểm SC . DM cắt mặt phẳng 
tại J .
Khẳng định nào sau đây sai?

A. S , I , J thẳng hàng.
C.

JM  mp  SAB 

.

B.
D.

DM  mp  SCI 

.

SI   SAB    SCD 

.
7


Nhận xét:
Ta lần lượt kiểm tra từng phương án.

 có đường thẳng
Chú ý cách xác định điểm J .Tìm xem trong mặt phẳng 
nào cắt DM khơng.Dễ thấy đó chính là đường thẳng AI .
Xét phương án A: Kiểm tra xem ba điểm S , I , J có cùng thuộc hai mặt phẳng
 A đúng.
nào khơng.Từ đó 
 B đúng.
Kiểm tra xem D và M có thuộc mp (SCI ) khơng.Từ đó 
 C sai.
Kiểm tra xem J và M có thuộc mp (SAB) khơng.Từ đó 
SAB

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
+) S , I , J thẳng hàng vì ba điểm cùng thuộc hai mp

 SAB  và  SCD  nên A đúng.
M  SC  M   SCI 
DM  mp  SCI 
+)
nên
vậy B đúng.

M   SAB 
JM  mp  SAB 
+)
nên
vậy C sai.
+) Hiển nhiên D đúng theo giải thích A.
2.3.2. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Phương pháp
Cơ sở của phương pháp tìm giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng ( )
là xét hai khả năng xảy ra:
- Trường hợp 1: ( ) chứa đường thẳng  và  cắt đường thẳng d tại I .
Khi đó: I  d    I  d  ( )

- Trường hợp 2: ( ) không chứa đường thẳng nào cắt d .
+ Tìm (  )  d và ( )  (  )   ;
+ Tìm I  d   ;
 I  d  ( ) .
Bài tập áp dụng.
8


Câu 1:Cho bốn điểm A, B, C , D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên
AB, AD lần lượt lấy các điểm M và P sao cho MP cắt BD tại E . Điểm E không
thuộc mặt phẳng nào sao đây:
BCD 
A. 
.

ABD 

B. 
.

CMP 
C. 
.

D. 

ACD 

.

A
P
M
E

B

D
Q
C

N

Nhận xét:
Để biết E có thuộc mặt phẳng mp( ) hay khơng ta kiểm tra xem E có thuộc
đường thẳng nào nằm trong mp( ) hay không.
Hướng dẫn giải:

Chọn D.
E  BD  E  ( BCD), E  ( ABD)
E  MP  E  (CMP)

Câu 2:Cho hình chóp tứ giác S . ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện
không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA .
MCD 
a) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng 
.
A. Điểm H, trong đó E  AB  CD , H  SA  EM
B. Điểm N, trong đó E  AB  CD , N  SB  EM
C. Điểm F, trong đó E  AB  CD , F  SC  EM
D. Điểm T, trong đó E  AB  CD , T  SD  EM
SBD 
b) Tìm giao điểm của đường thẳng MC và mặt phẳng 
.
I

AC

BD
H

MA

SI
A. Điểm H, trong đó
,
I


AC

BD
B. Điểm F, trong đó
, F  MD  SI
C. Điểm K, trong đó I  AC  BD , K  MC  SI
D. Điểm V, trong đó I  AC  BD , V  MB  SI
Nhận xét:

 các cạnh
Vìđáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau 
đối diện sẽ cắt nhau.
SAB 
MCD 
a) Chọn mặt phẳng phụ 
chứa SB và dễ xác định giao tuyến với 
.
SAC 
SBD 
b) Chọn mặt phẳng phụ 
chứa MC và dễ xác định giao tuyến với 
Hướng dẫn giải:

9


ABCD 
a) Trong mặt phẳng 
, gọi

E  AB  CD .Trong  SAB  gọi N  SB  EM
N  EM   MCD   N   MCD 

Ta có

và

N  SB nên N  SB   MCD  .


 Chọn phương án B

ABCD 
b) Trong 
gọi I  AC  BD .
SAC 
Trong 
gọi K  MC  SI .

K  SI   SBD 

và K  MC nên
K  MC   SBD  
.  Chọn phương án C
Câu 3:Cho hình chóp tứ giác S . ABCD , M là một điểm trên cạnh SC , N là trên
Ta có

cạnh BC . Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng  AMN  .
A. Điểm K, trong đó K  IJ  SD , I  SO  AM , O  AC  BD, J  AN  BD
B. Điểm H, trong đó H  IJ  SA , I  SO  AM , O  AC  BD, J  AN  BD

C. Điểm V, trong đó V  IJ  SB , I  SO  AM , O  AC  BD, J  AN  BD
D. Điểm P, trong đó P  IJ  SC , I  SO  AM , O  AC  BD, J  AN  BD
Nhận xét:
Chọn mặt phẳng phụ ( SBD) .Ta tìm giao tuyến của mặt phẳng này với 
.Khi đó giao điểm của giao tuyến này với SD chính là giao điểm cần tìm.
Hướng dẫn giải:

AMN 

ABCD 
Trong mặt phẳng 
gọi
O  AC  BD, J  AN  BD .

SAC 
Trong 
gọi I  SO  AM và
K  IJ  SD .

Ta có

I  AM   AMN  , J  AN   AMN 

 IJ   AMN 

Do đó

.

K  IJ   AMN   K   AMN 



Vậy

 Chọn phương án A

.

K  SD  AMN

2.3.3. DẠNG 3: BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG
ĐỒNG QUY TRONG KHÔNG GIAN
a) Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng
là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng
giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.
10


tức là:
- Tìm d  ( )  ( ) ;
- Chỉ ra (chứng minh) d đi qua ba điểm A, B, C  A, B, C thẳng hàng.
Hoặc chứng minh đường thẳng AB đi qua C  A, B, C thẳng hàng.
b) Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai
đường thẳng thuộc đường đường thẳng còn lại.

Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chứng minh đường thẳng thứ nhất qua giao
điểm của hai đường thẳng còn lại.
- Bước 1: Tìm I  d1  d 2 .

- Bước 2: Chứng minh d3 đi qua I .
 d1 , d 2 , d3 đồng quy tại I .
Phương pháp 2
Cơ sở của phương pháp là ta cần chứng minh chúng đôi một cắt nhau và đôi một
ở trong ba mặt phẳng phân biệt.
- Bước 1: Xác định
 d1 , d 2  ( ); d1  d2  I1

 d 2 , d3  (  ); d2  d3  I 2
 d , d  ( ); d  d  I
3
1
3
 3 1

trong đó ( ) , (  ) , ( ) phân biệt
- Bước 2: Kết luận d1 , d 2 , d3 đồng quy tại I  I1  I 2  I 3 .
Bài tập áp dụng.
Câu 1:Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB và CD . Mặt


phẳng   qua MN cắt AD và BC lần lượt tại P , Q . Biết MP cắt NQ tại I . Ba
điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. I , A , C .
B. I , B , D .
C. I , A , B .
D. I , C , D .
Nhận xét:

11

Để chứng tỏ ba điểm nào đó thẳng hàng ta có thể chỉ ra rằng chúng nằm trên giao
tuyến của hai mặt phẳng phân biệt. Dễ thấy ba điểm I , B , D nằm trên giao tuyến
của hai mặt phẳng ( ABD) và (CBD ) nên chúng thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có MP cắt NQ tại I
 I  MP  I   ABD 


 I  NQ  I   CBD  .

 I   ABD    CBD 

.

 I  BD .
Vậy I , B , D thẳng hàng.

Câu 2:Cho tứ diện SABC . Trên SA, SB và SC lấy các điểm D, E và F sao cho
DE cắt AB tại I , EF cắt BC tại J , FD cắt CA tại K .Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. Ba điểm B, J , K thẳng hàng
B. Ba điểm I , J , K thẳng hàng
C. Ba điểm I , J , K không thẳng hàng
D. Ba điểm I , J , C thẳng hàng
Nhận xét:
Để chứng tỏ ba điểm nào đó thẳng hàng ta có thể chỉ ra rằng chúng nằm trên giao
tuyến của hai mặt phẳng phân biệt.Ba điểm I , J , K là điểm chung của hai mặt

 và 
phẳng 
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
ABC

Ta có

DEF 

nên chúng thẳng hàng.

I  DE  AB, DE   DEF   I   DEF  ;

AB   ABC   I   ABC 

J  EF  BC

 1 .Tương tự

 J  EF   DEF 

 2
 J  BC   ABC 
K  DF  AC
 K  DF   DEF 

 3
 K  AC   ABC 

Từ (1),(2) và (3) ta
I
,
J
,
K
có
là điểm chung của hai mặt phẳng

 ABC  và  DEF  nên chúng thẳng hàng.

Câu 3:Cho hình chóp tứ giác S . ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo
12


AC và BD . Một mặt phẳng    cắt các cạnh bên SA, SB, SC , SD tưng ứng tại các
điểm M , N , P, Q . Khẳng định nào đúng?

A. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui.
B. Các đường thẳng MP, NQ, SO chéo nhau.
C. Các đường thẳng MP, NQ, SO song song.
D. Các đường thẳng MP, NQ, SO trùng nhau.
Nhận xét:

MNPQ 
 Loại ngay hai phương
Trong mặt phẳng 
thì MP và NQ cắt nhau 
án C và D.
Để chứng minh các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui ta cần chứng tỏ chúng

đôi một cắt nhau và đôi một ở trong ba mặt phẳng phân biệt là 
( SBD) 
 Chọn phương án A
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

MNPQ  ( SAC )
,
và

 gọi
Trong mặt phẳng 
I  MP  NQ .
Ta sẽ chứng minh I  SO .
MNPQ

Dễ thấy

SO   SAC    SBD 

.

 I   SAC 

 I  SO
 I   SBD 
Vậy MP, NQ, SO đồng qui tại I .

P

Q
Câu 4:Cho hai mặt phẳng   và   cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng a

P
. Trong   lấy hai điểm A, B nhưng không thuộc a và S là một điểm không

thuộc   . Các đường thẳng SA, SB cắt   tương ứng tại các điểm C , D . Gọi E
là giao điểm của AB và a .Khẳng định nào đúng?
A. AB, CD và a đồng qui.
B. AB, CD và a chéo nhau.
C. AB, CD và a song song nhau.
D. AB, CD và a trùng nhau
Nhận xét:
Để chứng minh các đường thẳng AB, CD và a đồng qui ta cần chứng tỏ chúng
đôi một cắt nhau và đôi một ở trong ba mặt phẳng phân biệt
Hướng dẫn giải:
P

Q

S  AB   P   S   P 
Trước tiên ta có S  AB vì ngược lại thì
(mâu thuẫn giả

SAB 
thiết) do đó S , A, B khơng thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng 
.

13

C  SA   SAB 
C  SA   Q   
C   Q 
Do
C   SAB 

 1
C

Q



 D  SB   SAB 
D  SB   Q   
 D   Q 
Tương tự
 D   SAB 

 D   Q 

 2

Từ (1) và (2) suy ra

CD   SAB    Q 

.

 E  AB   SAB 
 E   SAB 
E  AB  a  

 E  a   Q 
 E   Q   E  CD .Vậy AB, CD và a đồng
Mà
qui tại E .

2.3.4. DẠNG 4: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI
HÌNH CHĨP.
Phương pháp:


Để xác định thiết diện của hình chóp S . A1 A2 ... An cắt bởi mặt phẳng   , ta tìm


giao điểm của mặt phẳng   với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.

Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao điểm của    với hình chóp ( và mỗi
cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của hình chóp)
Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không
thẳng hàng.


Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng   và   thường được tìm như sau :



Tìm hai đường thẳng a, b lần lượt thuộc   và   , đồng thời chúng cùng nằm



trong mặt phẳng   nào đó; giao điểm M  a  b chính là điểm chung của   và

 .

14


Bài tập áp dụng.
Câu 1:Cho ABCD là một tứ giác lồi. Hình nào sau đây khơng thể là thiết diện
của hình chóp S . ABCD ?
A. Tam giác.
B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác.
Nhận xét:
Hình chóp S . ABCD có baonhiêu mặt?. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp có
tối đa bao nhiêu cạnh?
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Hình chóp S . ABCD có 5 mặt nên thiết diện của hình chóp có tối đa 5
cạnh.Vậy thiết diện khơng thể là lục giác.
Câu 2:Cho hình chóp S . ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt

phẳng    tuỳ ý với hình chóp không thể là:
A. Lục giác.
B. Ngũ giác.
C. Tứ giác.
D. Tam giác.
Nhận xét:

Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là đa giác được tạo bởi các giao tuyến
của mặt phẳng đó với mỗi mặt của hình chóp.
Hai mặt phẳng bất kì có nhiều nhất bao nhiêu giao tuyến?Hình chóp tứ giác
S . ABCD có 5 mặt nên thiết diện của    với S . ABCD cóthể là hình lục giác 6

cạnh được không?
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là đa giác được tạo bởi các giao tuyến
của mặt phẳng đó với mỗi mặt của hình chóp.
Hai mặt phẳng bất kì có nhiều nhất một giao tuyến.

Hình chóp tứ giác S . ABCD có 5 mặt nên thiết diện của   với S . ABCD có
khơng q 5 cạnh, khơng thể là hình lục giác 6 cạnh.
Câu 3:Cho hình chóp S . ABCD ( AB không song song với CD ). Điểm A nằm trên
cạnh SC .



Thiết diện của hình chóp với mp  ABA  là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Nhận xét:


Để tìm thiết diện của hình chóp với mp  ABA  ta tìm các giao tuyến của mặt
phẳng đó với các mặt của hình chóp.
Hướng dẫn giải:

15


Chọn B.

ABA 
SCD 
Xét 
và 
có

 A  SC , SC   SCD 

 A   ABA
 A là điểm chung 1.
Gọi I  AB  CD

 I  AB, AB   ABA 

I  CD, CD   SCD   I
Có 
là điểm chung 2.
  ABA    SCD   IA

ABA    SCD   AM
Gọi M  IA  SD . Có 

 ABA    SAD   AM ,  ABA   ABCD   AB ,  ABA    SBC   BA

Thiết diện là tứ giác ABAM .
Câu 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung

 là:
điểm SA . Thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi mặt phẳng 
A. Tam giác IBC.
B. Hình thang IJCB ( J là trung điểm SD ).
C. Hình thang IGBC ( G là trung điểm SB ).
D. Tứ giác IBCD .
Nhận xét:
Dễ thấy ( IBC )  ( SAB)  IB và ( IBC )  ( SBC )  BC . Gọi O là giao điểm của AC và
BD , G là giao điểm của CI và SO .
Khi đó G là trọng tâm tam giác SAC . Suy ra G là trọng tâm tam giác SBD .
Gọi J  BG  SD . Khi đó J là trung điểm SD .
Do đó ( IBC )  ( SAD)  IJ và ( IBC )  ( SCD)  JC .

 Chọn B
Hướng dẫn giải:
ChọnB.
Gọi O là giao điểm của AC và BD , G là giao điểm của CI và SO .
Khi đó G là trọng tâm tam giác SAC . Suy ra G là trọng tâm tam giác SBD .
Gọi J  BG  SD . Khi đó J là trung điểm SD .
IBC

 là hình thang IJCB ( J là trung
Do đó thiết điện của hình chóp cắt bởi 
điểm SD ).
Câu 5:Cho tứ diện ABCD , M và N lần lượt là trung điểm AB và AC . Mặt phẳng
IBC

( ) qua MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là đa giác  T  . Khẳng định nào sau

đây đúng?

T
A.   là hình chữ nhật.

T
B.   là tam giác.

16


C.   là hình thoi.
thang hoặc hình bình hành.
Nhận xét:
T

T
D.   là tam giác hoặc hình

Ta cần chia hai trường hợp:    qua MN cắt AD và    qua MN cắt hai cạnh
BD và CD .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

   qua MN cắt AD ta được thiết diện là một tam giác.
   qua MN cắt hai cạnh BD và CD ta được thiết diện là một hình thang.

Đặc biệt khi mặt phẳng này đi qua trung điểm của BD và CD , ta được thiết diện

là một hình bình hành.
Câu 6: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N , Q lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC. Thiết diện của hình chóp với mặt

 là đa giác có bao nhiêu cạnh ?
phẳng 
A. 3. B. 4. C. 5.
D. 6.
Nhận xét:
MNQ

Để tìm thiết diện của hình chóp với mp  MNQ  ta tìm các giao tuyến của mặt
phẳng đó với các mặt của hình chóp.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Thiết diện của hình chóp với mặt
MNQ 
phẳng 
là ngũ giác MNPQR.
Đa giác này có 5 cạnh.

Ngồi ra, để giải được một bài tốn về hình học khơng gian ngồi việc nắm
vững các phương pháp, kỹ năng giải tốn thì hình vẽ đóng một vai trị quan
trọng, hình vẽ tốt giúp cho chúng ta nhìn ra được hướng giải quyết, phát hiện
ra được vấn đề của bài tốn. Hình vẽ tốt là một hình vẽ đảm bảo được các
điều kiện sau:
- Đảm bảo được các quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình khơng gian.
- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, thể hiện được tính thẩm mỹ .
- Biết cách xác định đối tượng trên hình vẽ phù hợp với u cầu của bài tốn.
- Hình vẽ khơng thừa cũng không thiếu dữ kiện của đề bài.

17


- Ngồi ra để có được một hình vẽ tốt cần phải nắm vững các khái niệm về
hình khơng gian như: hình chóp, hình tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ,
hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập phương…, phân biệt được hình đa diện
với hình đa giác, tứ diện với tứ giác.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Khi thực hiện nội dung kiến thức này trong q trình giảng dạy, tơi đã tiến hành
thử nghiệm nhằm mục đích kiểm nghiệm khả năng thực thi và tính hiệu quả của
việc sử dụng nội dung của sáng kiến vào việc giảng dạy lớp 11 trường THPT
Thọ Xuân 5 (năm học 2020 – 2021) theo chương trình chuẩn.Kết quả đạt được
như sau:
Điểm dưới
Lớp
Số HS
Điểm 5,6 Điểm 7 Điểm 8,9,10
trung bình
Lớp thử nghiệm11A2
40
2
17
12
13
Lớp đối chứng11A3
41
8
18
7

8
Qua thực tế áp dụng đề tài trong việc ôn luyện cho các em, tôi nhận thấy rằng ở
lớp thử nghiệm các em đã thích thú và tự tin giải các bài tốn đại cương về
đường thẳng và mặt phẳng trong không gian một cách nhanh chóng và chính
xác, đã biết cách suy nghĩ để tiếp cận và giải khá tốt các bài toán loại này trong
các đề thi thử THPT QG.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Với mong muốn sáng kiến được hoàn thiện nhất, hữu ích nhất đối với các thầy
cơ giáo và các em học sinh,trong quá trình viết sáng kiến này tôi đã thực sự cố
gắng, nỗ lực làm việc.Tuy nhiên tơi biết mình sẽ khơng thể đáp ứng được những
mong đợi, đòi hỏi ngày càng cao của đồng nghiệp và học sinh.Vì vậy rất mong
nhận được sự ủng hộ và những góp ý, bổ sung của các thầy cơ giáo đề sáng kiến
này được hoàn thiện hơn, được áp dụng rộng rãi và có hiệu quả hơn. Xin trân
trọng cảm ơn.
3.2. Kiến nghị
Đề nghị SGD tập hợp các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt, in thành kỷ
yếu để giáo viên các trường THPT trong tỉnh có nguồn tài liệu tham khảo tốt, để
các sáng kiến có thể được áp dụng trong công tác giảng dạy.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 02 tháng 06 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
Người viết SKKN
Lê Mai Hương
18

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Các đề thi thử THPT QG của các trường THPT, các SGD trên cả nước
2. Một số tài liệu khác trên internet
3. Đểhọc tốt hình học 11- Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. HCM, năm
2007 của tác giả Trần Văn Hạo.
4. Giải bài tập hình học 11- Nhà xuất bản Đà Nẵng, năm 2001 của tác giả
Trần Đức Huy.
5. Quan hệ song song trong không gian. Tác giả Đặng Việt Đông.

19