Đề toán vào 10 2022 2023

1

/>
Đề thi PTNK

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2022 - 2023
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG PHỔ THƠNG NĂNG KHIẾU

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Lời tác giả. Trong năm học 2022-2023, Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG Tp. HCM có sự thay
đổi về cấu trúc đề thi tuyển sinh mơn Tốn khơng chun. Cụ thể, đề thi năm nay gồm 2 phần: 10
câu trắc nghiệm và 4 câu tự luận, thay vì chỉ có phần tự luận như trước đây.
Phần tự luận năm nay nhìn chung có dạng đề giống các năm trước, bao gồm
○ Một câu biến đổi biểu thức chứa căn;
○ Một câu về hệ thức Viète;
○ Một câu phương trình vơ tỉ dạng đơn giản;
○ Một câu hình học đo lường;
○ Một câu hỏi toán thực tế; và
○ Một bài hình tổng hợp.
Dưới đây, chúng tơi xin giới thiệu phần tự luận của đề thi, cùng với hướng dẫn giải chi tiết cho từng
câu được biên tập ngay sau khi buổi thi kết thúc. Phần trắc nghiệm sẽ sớm được gửi đến các bạn
trong thời gian sớm nhất.
Đây là tài liệu được chia sẻ miễn phí với mục đích phi lợi nhuận, mong các bạn chia sẻ cũng trên tinh
thần phi lợi nhuận và tôn trọng tác giả. Xin chân thành cảm ơn.
Câu 1.

a) Cho
M=√

√
1
3
5
+
,N = a + 1 − √
,
a+2 a−4
a−1

a ≥ 0, a ̸= 1, a ̸= 4.

Tìm giá trị của a sao cho M · N = 3.
b) Cho hình vng ABCD và hình chữ nhật M N P Q với AB = M N . Biết rằng tổng chu vi
hai hình là 42cm, tổng diện tích hai hình là 55cm2 . Tính độ dài đường chéo AC, biết M N
là chiều rộng hình chữ nhật.
Lời giải.

a) Biến đổi biểu thức, ta được
1
5
M=√
+
=
a+2 a−4
N=

1/6

√

√

√
a−2+5
a+3
=
a−4
a−4

3
a−1−3
a−4
= √
=√
a−1
a−1
a−1
√
a+3
M ·N = √
.
a−1

a+1− √

Lương Văn Khải - Nguyễn Tiến Hoàng

2

/>
Đề thi PTNK

Như vậy,
√
a+3
M ·N =3⇔ √
=3
a−1
√
√
√
√
⇔ a + 3 = 3 a − 3 ⇔ a = 6 ⇔ a = 3 ⇔ a = 9.
Do A = 9 thoả mãn điều kiện xác định của đề bài, a = 9 là giá trị cần tìm.
b) Đặt M N = AB = a > 0, N P = b > 0(a < b). Khi đó,
ß
ß
4a + 2(a + b) = 42
3a + b = 21
⇒
a2 + ab = 55
a2 + ab = 55
⇒ a2 + a(21 − 3a) = 55 ⇒ −2a2 + 21a = 55
⇒ (2a − 11)(a − 5) = 0 ⇒
Với a =

11
, ta có
2
b = 21 − 3a = 21 −

11
2 .
a=5
a=

33
9
= < a, loại.
2
2

Với a = 5, ta có
b = 21 − 3a = 21 − 15 = 6 > a, nhận.
√
√
Thử lại đúng. Vậy AC = a 2 = 5 2cm.
□
Câu 2.
a) Giải phương trình:

√
x4 − 5x2 − 36 ( 2x + 3 + x − 6) = 0.

b) Tổ chức Sẻ Projecta là dự án thiện nguyện được thành lập bởi học sinh khối Văn trường Phổ

thơng Năng Khiếu, mục đích sẻ chia và giúp đỡ trẻ em và người lớn tuổi có hồn cảnh khó
khăn, với các hoạt động như qun góp dụng cụ học tập, quần áo, kinh phí cho các bạn học
sinh nghèo,...
Biết rằng, số tiền quyên góp được trong năm 2020 bằng 70% số tiền quyên góp được trong
năm 2021 nhưng lại cao hơn số tiền quyên góp được trong năm 2019 là 40%. Trong năm
2022, số tiền mà dự án quyên góp được gấp 3 lần số tiền quyên góp được trong năm 2021
và đồng thời nhiều hơn số tiền quyên góp được trong 2019 là 50 triệu. Như vậy, số tiền Sẻ
Project đã quyên góp được trong năm 2020 là bao nhiêu?
a

Tìm hiểu thêm về Sẻ Project tại />
Lời giải.
3
a) ĐKXĐ: 2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ − . Ta có
2
√
x4 − 5x2 − 36 ( 2x + 3 + x − 6) = 0
2

⇔ x +4
2/6

√
x − 9 ( 2x + 3 + x − 6) = 0
2

ï
⇔

2

x
√ −9=0
.
2x + 3 = 6 − x

Lương Văn Khải - Nguyễn Tiến Hoàng


3

/>
Đề thi PTNK

Phương trình đầu tiên cho ta hai nghiệm x = 3 và x = −3. So với ĐKXĐ, ta loại nghiệm x = −3,
giữ lại nghiệm x = 3. Biến đổi phương trình thứ hai, ta được
ß
ß
ß 2
2x + 3 = (6 − x)2
2x + 3 = x2 − 12x + 36
x − 14x + 33 = 0
⇔
⇔
6−x⩾0
x⩽6
x⩽6
ß
⇔

(x − 3)(x − 11) = 0

x⩽6

⇔

x=3

Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Gọi t2019 , t2020 , t2021 , t2022 lần lượt là số tiền Sẻ Project quyên góp được cho năm 2019, 2020, 2021
và 2022. Từ đề bài, ta có

t2020 = 0, 7t2021



t2020 − t2019 = 0, 4 · t2019
t
= 3t2021


 2022
t2022 − t2019 = 50.000.000
Phương trình thứ hai cho ta
t2020 = 1, 4 · t2019 .
Kết hợp với phương trình đầu tiên, ta có
1, 4t2019 = 0, 7t2021 ⇔ t2019 = 0, 5t2021 .
Thay vào phương trình thứ tư:
3t2021 − 0, 5t2021 = 50.000.000.
hay
2, 5t2021 = 50.000.000 ⇔ t2021 = 20.000.000.
Từ đó,

t2019 = 0, 5t2021 = 0, 5 · 20.000.000 = 10.000.000,
và
t2020 = 1, 4t2019 = 1.4 · 10.000.000 = 14.000.000.
Vậy năm 2020, Sẻ Project quyên góp được 14 triệu đồng chẵn.
□
Câu 3. Cho phương trình
x2 − 2(m + 2)x + 2m + 1 = 0.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa
2(m + 2)x1 + x22 = 35 − 2m.
Lời giải.

a) Ta có
∆ = 4(m + 2)2 − 4(2m + 1) = 4(m + 1)2 + 8 > 0 ∀ m
nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt.
3/6

Lương Văn Khải - Nguyễn Tiến Hoàng


4

/>
Đề thi PTNK

b) Theo hệ thức Viète:
ß

x1 + x2 = 2(m + 2)
.

x1 x2 = 2m + 1

Ta có
x21 − 2(m + 2)x1 + 2m + 1 = 0 ⇒ 2(m + 2)x1 = x21 + 2m + 1.
Như vậy,
2(m + 2)x1 + x22 = 35 − 2m ↔ x21 + 2m + 1 + x22 = 35 − 2m
⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 + 4m − 39 = 0
4(m + 2)2 − 2(2m + 1) + 4m − 34 = 0
ï
ï
m+2=3
m=1
2
4(m + 2) = 36 ⇔
⇔
m + 2 = −3
m = −5
⇔

⇔

Vậy m = 1 và m = −5 thoả mãn điều kiện đề bài.
□
Câu 4. Cho △ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R). Điểm M thuộc cung nhỏ AB (M khác A, B).
Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B, C cắt AM theo thứ tự tại E, F . Gọi N là giao điểm của
BF, CE.
a) Tính BC theo R. Chúng minh AB ∥ CF và AB · AC = BE · CF .
b) Chứng minh △CEB ∽ △BF C. Chứng minh tứ giác M N CF nội tiếp.
c) M N cắt BC tại D. Chứng minh: DN · DM = DC 2 và D là trung điểm BC.
Lời giải.

F

A

M

E
T
N
O

B

4/6

D

C

Lương Văn Khải - Nguyễn Tiến Hoàng


5

/>
Đề thi PTNK

a) △ABC đều cho ta
’ = ABC

’ = ACB
’ = 60◦ , AB = BC = CA.
BAC
Gọi T là trung điểm của AC. Do △OAC cân tại O (OA = OC = R) nên OT ⊥ AC và OT là
’ Do đó
tia phân giác của AOC.
’
’
’ = 60◦ .
’ = AOC = 2ABC = ABC
AOT
2
2
Như vậy,

√
3
AT = AO · sin 60 = R ·
.
2
◦

Từ đó,
√
BC = AC = 2AT = R 3.
Vì CF là tiếp tuyến của (O) nên
’ = ABC
’ = 60◦ = BAC
’ ⇒ AB ∥ CF .
ACF

Vì BE là tiếp tuyến của (O) nên
’ = 60◦ = ACF
’.
ABE
Do AB ∥ CF nên
’ = AF
’
EAB
C.
Xét hai tam giác △ABE và △F CA, chúng ta có:
’ =F
’
○ ABE
CA = 60◦
’ = AF
’
○ EAB
C
⇒ △ABE ∼ △F CA (g.g) ⇒

AB
BE
=
⇒ AB · AC = BE · CF.
FC
CA

b) Ta có BE · CF = AB · AC = BC 2 nên
BC
CF

=
.
EB
BC
Vì AB ∥ CF nên
’ + BCF
’ = 180◦ ⇒ BCF
’ = 180◦ − ABC
’ = 180◦ − 60◦ = 120◦ .
ABC
△BCF và △EBC có:
CF
BC
=
EB
BC
’
’
○ BCF = EBC
○

’ = BEC
’ và CF
’
’
⇒ △BCF ∼ △EBC (c.g.c) ⇒ CBF
B = BCE.
’
Từ đó, vì CN
F là góc ngồi của △BN C nên

’
’
’
’
’
CN
F =N
BC + N
CB = N
BC + CF
B
’ = 180◦ − 120◦ = 60◦
= 180◦ − BCF
’ = AM
÷
= ABC
C.
Như vậy, chúng ta kết luận rằng tứ giác M N CF nội tiếp.
5/6

Lương Văn Khải - Nguyễn Tiến Hoàng


6

/>
c) Vì tứ giác M N CF nội tiếp nên
÷
’
’

N
MC = N
FC = N
CB.
Xét hai tam giác △DN C và △DCM , chúng ta có:
÷
○ Góc chung M
DC
÷ = DM
÷
○ DCM
C
DN
DC
=
⇒ DM · DN = DC 2 .
DC
DM
’
’
÷
’ = 60◦ nên BM
÷
’
Ta lại có BN
E = CN
F = 60◦ (hai góc đối đỉnh), mà BM
E = ACB
E = BN
E

⇒ △DN C ∼ △DCM (g.g) ⇒

÷
’ =N
’
⇒ BEM N là tứ giác nội tiếp ⇒ BM
N = BEN
BC.
Xét hai tam giác △DN B và △DBM , chúng ta có:
÷
○ Góc chung M
DB
÷ = DM
÷
○ DBM
B
DN
DB
=
⇒ DM · DN = DB 2 .
DB
DM
Vậy DB 2 = DC 2 , hay DB = DC, mà D nằm giữa B và C nên D là trung điểm của BC.
⇒ △DN B ∼ △DBM (g.g) ⇒

□
HẾT

6/6

Lương Văn Khải - Nguyễn Tiến Hoàng


NĂM HỌC 2022 – 2023

KẾ HOẠCH LỚP 8 - 9 CHUN TỐN
Lương Văn Khải - Nguyễn Tiến Hồng

Tóm tắt nội dung
Lớp 8 và lớp 9 chuyên Toán được mở ra với các mục đích sau:
1. Giúp các bạn học sinh lớp 8 làm quen với cách học và các kĩ năng học
chun Tốn. Đây là khoảng thời gian thích hợp để bắt đầu luyện tập kĩ
năng tự học, luyện tập tính kiên trì trong suốt q trình học, cũng như
xây dựng thói quen dành nhiều thời gian làm bài tập hàng ngày.
2. Chuẩn bị nền tảng kiến thức cho năm học trọng điểm lớp 9. Chương
trình Tốn THCS có sự liền mạch rõ rệt trong suốt 4 năm học, do đó
việc học trước một số chủ đề Tốn chun từ sớm là cần thiết.
3. Đối với lớp 9, chuẩn bị kiến thức cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chun
Tốn, với mục tiêu hướng đến những trường có khối chuyên mạnh và
truyền thống đào tạo tốt.
4. Rèn luyện, củng cố các kỹ năng giải Toán, cũng như bước đầu làm quen
với cách lập luận bài bản, chính xác, tuần tự. Các kỹ năng này rất có
ích khi học chương trình THPT chuyên, đặc biệt là hướng đến các kỳ thi
Olympic mức độ cao hơn ở bậc THPT.
5. Thúc đẩy tinh thần tự học, kiên trì tìm tịi và sáng tạo của học sinh.
6. Xây dựng cộng đồng học tập tương trợ cùng phát triển. Thực tế cho thấy
nhiều học sinh xuất sắc của thế hệ trước đã rất tích cực tham gia các
cộng đồng tương tự; hình thức của thời kỳ đó chủ yếu là các diễn đàn.

1

Giới thiệu chung
1. Tên mơn học: Tốn chun 8, Tốn chuyên 9.
2. Số buổi học: 2 buổi/tuần.
3. Hình thức: online qua Zoom. Quản lý bằng Google Classroom, có nhóm trao
đổi qua Zalo để các bạn học sinh tuỳ ý thắc mắc và thảo luận.
4. Thời gian:
• Lớp 8 chun Tốn: 17:15 ∼ 19:00 thứ bảy và chủ nhật. Khai giảng vào
ngày thứ bảy 18/06.
• Lớp 9 chun Tốn: 19:15 ∼ 21:00 thứ ba và chủ nhật. Khai giảng vào
ngày thứ ba 14/06.
5. Phụ trách lớp:
(a) Lương Văn Khải. (Email: )
• HLV trưởng Gặp gỡ Tốn học và Trường đơng Tốn học miền Nam
giai đoạn 2017-2018.
• Biên tập viên nhiều ấn phẩm về Tốn Olympic THPT và Tốn
chun THCS.
• Đồng sáng lập blog "Tốn học cho mọi người".
• Thành viên BTC nhiều kỳ thi Toán tiếng Anh tại Việt Nam.
(b) Nguyễn Tiến Hồng. (Email: )
• Huấn luyện viên Gặp gỡ Tốn học giai đoạn 2019-2021.
• Giải Nhất Đại số và Giải tích, Olympic Tốn Sinh viên Tồn quốc
năm 2022.
• Giải Nhì Học sinh giỏi Quốc gia mơn Tốn năm 2019.
• Huy chương vàng Olympic 30/4 mơn Tốn các năm 2017, 2018.
6. Học phí dự kiến: mỗi lớp 2,000,000 đ/tháng. Học sinh có thể học thử miễn
phí trong hai tuần đầu.
2

2

Đăng ký

Truy cập
/>mY-V8ITeUJ2ZdakBw0pbGi29mru9Ig/viewform
hoặc quét mã QR

để đăng ký.

3

Nội dung học lớp 8 chuyên Toán

3.1

Đại số

1. Các hằng đẳng thức. Các bài toán biến đổi đại số.
2. Bất đẳng thức: các phương pháp cơ bản, AM-GM, Cauchy-Schwarz.
3. Phương trình và bất phương trình đưa về dạng đa thức.
3


3.2

Số học

1. Phép chia hết và phép chia có dư.

2. Số chính phương. Số nguyên tố - Hợp số.

3. Phương trình nghiệm nguyên cơ bản.

3.3

Hình học

1. Các tứ giác đặc biệt. Diện tích và ứng dụng.

2. Định lý Thalès. Tỉ lệ và tam giác đồng dạng.

3. Các định lý về thẳng hàng và đồng quy: Menelaus, Ceva.

3.4

Tổ hợp

1. Nguyên lý Dirichlet.

2. Nguyên lý cực hạn.

3. Nguyên lý quy nạp.

4. Các bài toán suy luận.

4

4

Nội dung học lớp 9 chuyên Toán

4.1

Đại số

1. Căn thức và ứng dụng.
2. Phương trình và hệ phương trình.
3. Các vấn đề về hàm số bậc hai.
4. Một số chủ điểm bất đẳng thức và đa thức.

4.2

Số học

1. Ước và bội. Các bài tốn về tính chất chia hết.
2. Đồng dư thức. Định lý Fermat, Wilson, Euler.
3. Ứng dụng trong bài tốn phương trình nghiệm ngun.

4.3

Hình học

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông. Tỉ số lượng giác.
2. Cơ bản về đường tròn. Đường tròn nội tiếp và bàng tiếp.
3. Góc nội tiếp. Tứ giác nội tiếp.
4. Định lý và mơ hình hình học. Điểm và đường cố định.

4.4

Tổ hợp

1. Các phương pháp chứng minh tổ hợp.
2. Suy luận trong bài toán tổ hợp.
3. Giới thiệu về bài toán đếm.

5