Đề thi toán THPT quốc gia 2022 (40)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (800.02 KB, 23 trang )
Câu 1:
ĐỀ TOÁN SỞ BẮC GIANG 2021-2022
Số cách chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ 7 học sinh là
A. 27.
B. A72 .
C. C 72 .
D. 7 2.
Câu 2:
Cho cấp số nhân un có u1 3 và u2 9 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
Câu 3:
A. 6 .
B. 12 .
Cho hàm số y f x xác định trên
C. 3 .
D. 3 .
và có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 2;3 .
B. 3; .
C. ; 2 .
D. 1; 4 .
Câu 4:
Cho hàm số y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ sau
Câu 5:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. x 1 .
B. x 1 .
C. x 0 .
D. x 2 .
Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 0.
B. 2.
Câu 6:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
A. x 1 .
Câu 7:
B. y 1 .
C. 1.
D. 3.
2x 1
là đường thẳng có phương trình nào sau đây?
x 1
C. y 2 .
D. x 1 .
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?
/>
A. y x3 3x 2 2.
Câu 8:
C. y x3 3x 2 2.
D. y x3 3x 2 2.
Đồ thị hàm số y x 4 4 x 2 3 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A. 0.
Câu 9:
B. y x 4 2 x 2 1.
B. 3.
D. 3 .
C. 1.
Với a; b là hai số dương tùy ý thì log a3b2 có giá trị bằng biểu thức nào sau đây?
1
A. 3 log a log b .
2
B. 2 log a 3log b .
1
C. 3log a log b .
2
D. 3log a 2 log b .
x
C. y 3 .
D. y 3x .
Câu 10: Đạo hàm của hàm số y 3x là
A. y 3x.ln 3 .
B. y 3x 1 .
ln 3
2
3
Câu 11: Cho a là một số thực dương tùy ý. Viết a . a dưới dạng lũy thừa của a với số mũ hữu tỉ.
7
7
5
A. a 6 .
B. a 3 .
Câu 12: Phương trình 52 x1 125 có nghiệm là
3
5
A. x .
B. x .
2
2
Câu 13: Phương trình log 2 (3x 1) 4 có nghiệm là
1
C. a 3 .
D. a 3 .
C. x 3 .
D. x 1 .
7
13
A. x .
B. x 6.
C. x 5.
D. x .
3
6
Câu 14: Biết f x dx F x C . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
b
A.
b
f x dx F b F a .
B.
a
b
C.
f x dx F b .F a .
a
b
f x dx F a F b .
D.
a
f x dx F b F a .
a
Câu 15: Họ các nguyên hàm của hàm số f x x sin x là
A. x cos x C .
2
B. x cos x C .
2
Câu 16: Cho hàm số f x liên tục trên
B. 7 .
A. 4 .
2
Câu 17: Cho tích phân
0
và
x2
cos x C .
C.
2
x2
cos x C .
D.
2
4
4
3
0
3
0
f x dx 10 , f x dx 4 . Tính tích phân f x dx.
C. 3 .
D. 6 .
2
f x dx 2 . Tính tích phân I 3 f x 2 dx .
0
A. I 6 .
B. I 2 .
C. I 8 .
D. I 4 .
Câu 18: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn của số phức z 1 2i là điểm nào dưới đây?
/>
A. Q 1; 2 .
B. P 1; 2 .
C. N 1; 2 .
D. M 1; 2 .
Câu 19: Cho hai số phức z1 2 i và z2 1 3i . Phần ảo của số phức z1 z2 bằng
A. 3 .
B. 3 .
C. 4 .
Câu 20: Tìm số phức liên hợp của số phức z i (3i 1).
D. 4i .
A. z 3 i .
B. z 3 i .
C. z 3 i .
D. z 3 i .
Câu 21: Thể tích V của một cái cốc hình trụ có bán kính đáy bằng 5 cm và chiều cao bằng 10 cm là
250
500
C. V
D. V 250 cm3 .
cm3 .
cm3 .
3
3
3
Câu 22: Thể tích của một khối lập phương là 27 cm . Diện tích tồn phần của hình lập phương tương
ứng bằng
A. V 500 cm3 .
B. V
A. 54cm 2 .
B. 36cm 2 .
C. 9 cm 2 .
D. 16cm 2 .
Câu 23: Cơng thức tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là
A. Sxq 2 rh .
1
C. S xq rh .
3
B. S xq rh .
1
D. S xq r 2 h .
3
Câu 24: Một hình nón có bán kính đáy r 4 cm và diện tích xung quanh bằng 20 cm 2 . Độ dài đường
sinh của hình nón đó bằng
5
15
A. 5 cm .
B. cm .
C. cm .
D. 2 cm .
2
4
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A 1; 4; 2 , B 2;1; 3 ,
C 3;0; 2 và D 2; 5; 1 . Điểm G thỏa mãn GA GB GC GD 0 có tọa độ là
A. G 2; 2; 1 .
B. G 0; 1; 1 .
C. G 6; 3; 3 .
D. G 2; 1; 1 .
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu S : x 2 y 3 z 5 36 có tọa độ
2
2
2
tâm I là
3 5
3 5
C. I 1; ; .
D. I 1; ; .
2 2
2 2
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : x 2 y z 10 0 . Điểm nào sau
A. I 2; 3;5 .
B. I 2;3; 5 .
đây không thuộc mặt phẳng ?
A. N 4; 1;1 .
B. M 2; 3; 2 .
C. P 0;5; 20 .
D. Q 2;3;18 .
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm
A 1; 2; 2 , B 3; 2;0 là
A. u 2; 4; 2 .
B. u 2; 4; 2 .
C. u 1; 2; 1 .
D. u 1; 2; 1 .
Câu 29: Chọn ngẫu nhiên ba số phân biệt bất kì trong 20 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn
được ba số có tích là số lẻ bằng
17
5
7
.
C. .
D. .
19
19
19
3
2
Câu 30: Cho hàm số y x 3mx 12 x 3m 7 với m là tham số. Số các giá trị nguyên của m để
A.
2
.
19
B.
hàm số đã cho đồng biến trên là
A. 5 .
B. 4 .
Câu 31: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên
C. 3 .
?
/>
D. 6 .
A. y
x3
x2 x 2 .
3
B. y
3x 1
.
x 1
x3
x 2 3x 2 .
D. y x 4 x 2 1 .
3
Câu 32: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 2 x 2 3
C. y
trên đoạn 3; 0 . Tính giá trị biểu thức P m M .
A. 64 .
B. 64 .
C. 68 .
D. 68 .
Câu 33: Tập xác định của hàm số y log 1 x 2 7 x 3 là
2
A. 8; 7 0;1 .
B. 8; 7 0;1 .
C. 8; 7 0;1 .
D. 8; 7 0;1 .
Câu 34: Cho số phức z 2 i . Mô đun của số phức w z 3z bằng
A. 2 17 .
B. 17 .
C. 17 .
D. 68 .
Câu 35: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Tam giác SAB vuông cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy ABC . Góc giữa đường thẳng SC
và mặt phẳng ABC bằng
A. 30 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 50 .
Câu 36: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và đáy bằng 60 .
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng
a 3
a 3
.
B.
.
C. a 3 .
D. 2a 3.
3
2
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 , B 3;0;1 . Mặt cầu đường kính
A.
AB có phương trình là
A. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 0 .
B. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 0 .
C. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 12 0 .
D. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 6 0 .
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 2;3; 1 và vng góc với
mặt phẳng P : x 2 y 5 z 1 0 có phương trình là
x 3 y 1 z 4
x 1 y 2 z 5
.
B.
.
1
2
5
2
3
1
x 2 y 3 z 1
x 2 y 3 z 1
C.
.
D.
.
1
2
5
1
2
5
Câu 39: Cho hàm số f x ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ dưới đây
A.
/>
Đặt g x f
x 2 4 x 6 2 x 2 4 x x 2 4 x 6 12 x 2 4 x 6 1 . Tổng giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g x trên đoạn 1; 4 bằng
A. 12 2 12 .
Câu 40: Có bao nhiêu
B. 12 12 6 .
số nguyên x sao
C. 12 2 6 .
cho tồn tại
2log3 x y 1 log 2 x 2 2 x 2 y 2 1 ?
A. 4.
B. 2.
C. 3.
e m
Câu 41: Cho hàm số f x 2 3
3
x x 1
x
1
tục trên
và
b
f x dx a.e c
khi
x0
khi
x0
với a , b , c
mãn
D. 1.
(với m là tham số). Biết hàm số f x liên
*
;
1
thức a b c m có giá trị bằng
A. 13 .
B. 35 .
số
D. 12 12 6 .
thực y thỏa
b
tối giản ( e 2, 718281828... ). Biểu
c
C. 11 .
D. 36 .
2
thỏa mãn z 2 2 z 7 z 2 z 0 ?
A. 3 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 4.
Câu 43: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC 2a và M là trung
điểm của đoạn BC . Biết SA vng góc với mặt phẳng ABC và khoảng cách giữa hai đường
Câu 42: Có bao nhiêu số phức
thẳng SB , AM bằng
z
a 6
. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
3
a3
a3 2
a3 2
2a 3 5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
6
9
3
Câu 44: Một bức tường lớn hình vng có kích thước 8m x 8m trước đại sảnh của một toà biệt thự được
sơn loại sơn đặc biệt. Người ta vẽ hai nửa đường trịn đường kính AD , AB cắt nhau tại H ;
đường tròn tâm D , bán kính AD cắt nửa đường trịn đường kính AB tại K . Biết tam giác
“cong” AHK được sơn màu xanh và các phần còn lại được sơn màu trắng (như hình vẽ) và
một mét vng sơn trắng, sơn xanh lần lượt có giá là 1 triệu đồng và 1, 5 triệu đồng. Tính số
tiền phải trả để sơn bức tường trên (làm tròn đến hàng ngàn).
A. 60567000 (đồng). B. 70405000 (đồng). C. 67128000 (đồng). D. 86124000 (đồng).
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có AB 2 AC và điểm M 2;0; 4 .
x y z
, điểm C thuộc mặt phẳng
1 1 1
P : 2 x y z 2 0 và AM là phân giác trong của tam giác ABC kẻ từ A ( M BC ).
Biết
điểm
B
thuộc
đường
thẳng
d:
Phương trình đường thẳng BC là
/>
x 2
A. y 2 t .
z 2 t
x 2
B. y t
.
z 4 t
x 2 t
C. y t
.
z 4 t
x 2 2t
D. y 2 t .
z 2 3t
Câu 46: Cho hàm đa thức y f x , biết hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Biết rằng f 0 0 và đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại đúng 4 điểm phân biệt.
Hỏi hàm số g ( x) f ( x6 ) x3 có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. 1.
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương x sao cho ứng với mỗi x có đúng 9 số nguyên y thỏa mãn
2
y 1
x2 3y x 0 ?
A. 64 .
Câu 48: Cho hàm
số
B. 67 .
y f x có
đạo
C. 128 .
hàm xác định
x f x x x 1 f x ; f 1 e 1. Biết rằng
D. 53 .
trên
1
a
0;
f x dx b ; trong đó
và
thỏa
mãn
a, b là những số
0
a
tối giản. Khi đó giá trị của 2a b tương ứng bằng
b
A. 4 .
B. 5 .
C. 8 .
D. 7 .
Câu 49: Giả sử z1 ; z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn z 6 8 i.z là số thực. Biết rằng
nguyên dương và phân số
z1 z2 6 . Giá trị nhỏ nhất của z1 3z2 bằng
D. 20 4 21 .
x 3 y 3 z
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 đường thẳng: d1 :
;
1
1
1
x 6 t
x 1 y 1 z
x y 2 z 1
; d3 :
; d 4 : y a 3t (với tham số t và a, b ). Biết
d2 :
1
2
1
1
1
1
z b t
A. 5 73 .
B. 5 21 .
C. 20 2 73 .
rằng khơng có đường thẳng nào cắt đồng thời cả 4 đường thẳng đã cho. Giá trị của biểu thức
2b a bằng
A. 2.
B. 3
C. 2.
D. 3.
/>
Câu 1:
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
A. 27.
B. A72 .
C. C 72 .
D. 7 2.
Lời giải
Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 7 phần tử. Số cách chọn 2 học
sinh của 7 học sinh là: C 72 .
Câu 2:
Cho cấp số nhân un có u1 3 và u2 9 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. 6 .
Ta có: q
Câu 3:
B. 12 .
D. 3 .
C. 3 .
Lời giải
u2
3
u1
Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 2;3
B. 3;
C. ; 2
D. 2;
Lời giải
Từ bảng biến thiên của hàm số ta có hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2;3 .
Câu 4:
Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ sau
y
-1
1
O
x
-1
-2
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. x 1 .
B. x 1 .
Câu 5:
C. x 0 .
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 0 .
Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
D. x 2 .
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu f x ta thấy f x đổi dấu khi đi qua các giá trị
f x có 2 cực trị.
Câu 6:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
2x 1
là
x 1
/>
1,1 nên hàm số
B. y 1
A. x 1
Đồ thị hàm số y
C. y 2
Lời giải
D. x 1
ax b
có tiệm cận đứng là nghiệm phương trình cx d 0 nên đồ thị hàm
cx d
2x 1
có tiệm cận đứng là x 1
x 1
Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
số y
Câu 7:
y
2
O
2
x
2
A. y x3 3x 2 2
B. y x 4 2 x 2 1
C. y x3 3x 2 2
D. y x3 3x 2 2
Lời giải
+ Từ đồ thị ta thấy, đây là đồ thị hàm bậc ba với hệ số a 0 loại A, B
+ Đồ thị đi qua điểm A 0; 2 nên chọn đáp án C.
Câu 8:
Đồ thị hàm số y x 4 4 x 2 3 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A. 0.
D. 3 .
B. 3.
C. 1.
Lời giải
Đồ thị hàm số cắt trục tung: Cho x 0 suy ra y 3 .
Chọn đáp án
Câu 9:
D.
Với a; b là hai số dương tùy ý thì log a3b2 có giá trị bằng biểu thức nào sau đây?
1
A. 3 log a log b .
2
1
C. 3log a log b .
2
B. 2 log a 3log b .
D. 3log a 2 log b .
Lời giải
Áp dụng công thức lơgarit của tích và tính chất lơgarit ta phân tích được:
log a3b2 log a3 log b2 3log a 2log b
Câu 10: Đạo hàm của hàm số y 3x là
A. y 3x.ln 3 .
x
C. y 3 .
B. y 3.3x 1 .
ln 3
D. y x.3x 1 .
Lời giải
Ta có y a y a .ln a nên y 3 có y 3x.ln 3
x
x
x
2
Câu 11: Cho a là một số thực dương tùy ý. Viết a 3 . a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ.
7
7
A. a 6 .
5
B. a 3 .
2
2
1
2 1
C. a 3 .
Lời giải
1
D. a 3 .
7
Ta có a 3 . a a 3 .a 2 a 3 2 a 6 .
Câu 12: Phương trình 52 x1 125 có nghiệm là
3
5
A. x .
B. x .
2
2
C. x 3 .
/>
D. x 1 .
Lời giải
2 x 1
2 x 1
Ta có 5
125 5
5 2x 1 3 x 1
Câu 13: Phương trình log 2 (3x 1) 4 có nghiệm là
7
A. x .
3
3
B. x 6.
C. x 5.
D. x
13
.
6
Lời giải
Ta có: Điều kiện: x
1
.
3
Với điều kiện trên, phương trình: log2 (3x 1) 4 3x 1 24 3x 15 x 5 (Thỏa mãn)
Chọn đáp án
C.
Câu 14: Biết f x dx F x C .Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
b
A.
C.
b
f x dx F b F a .
B.
f x dx F b .F a .
a
a
b
b
f x dx F a F b .
D.
a
f x dx F b F a .
a
Lời giải
Dựa vào định nghĩa tích phân ta có đáp án là A
Câu 15: Họ các nguyên hàm của hàm số f x x sin x là
x2
cos x C .
A. x cos x C .
B. x cos x C .
C.
2
Lời giải
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:
2
2
x2
cos x C .
D.
2
x2
f x dx ( x sin x)dx xdx sin xdx cos x C
2
Câu 16: Cho hàm số f x liên tục trên
và
B. 7 .
A. 4 .
4
4
3
0
3
0
f x dx 10 , f x dx 4 . Tính tích phân f x dx
D. 6 .
C. 3 .
Lời giải
Áp dụng tính chất tích phân, ta có
4
3
4
3
0
3
0
f x dx f x dx f x dx 10 f x dx 4
0
3
f x dx 10 4 6
0
2
2
0
0
Câu 17: Cho tích phân I f x dx 2 . Tính tích phân J 3 f x 2 dx .
A. J 6 .
B. J 2 .
C. J 8 .
Lời giải
D. J 4 .
2
2
2
0
0
0
Áp dụng tính chất tích phân, ta có J 3 f x 2 dx 3 f x dx 2dx 3.2 4 2
Câu 18: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức z 1 2i là điểm nào dưới đây?
A. Q 1; 2
B. P 1; 2
C. N 1; 2
D. M 1; 2
/>
Lời giải
Điểm biểu diễn của số phức z 1 2i là điểm P 1; 2
Câu 19: Cho hai số phức z1 2 i và z2 1 3i . Phần ảo của số phức z1 z2 bằng
A. 3
B. 3
D. 4i
C. 4
Lời giải
Ta có z1 z2 3 4i nên phần ảo là 4
Câu 20: Tìm số phức liên hợp của số phức z i (3i 1)
A. z 3 i
B. z 3 i
C. z 3 i
Lời giải
Ta có z i (3i 1) 3 i nên số phức liên hợp của z là z 3 i
D. z 3 i
Câu 21: Một hình nón có diện tích xung quanh và diện tích tồn phần lần lượt là 6 , 10 (đvdt). Thể
tích hình nón đó bằng
4 5
4
(đvtt).
B. 16 (đvtt).
C. (đvtt).
D. (đvtt).
3
3
S xq rl
rl 6
r 2
Ta có
suy ra chiều cao của khối nón là
2
2
l
3
rl
r
10
S
rl
r
TP
A.
1 2
4 5
(đvtt)
h l 2 r 2 5 suy ra V r h
3
3
Câu 22: Thể tích của khối lập phương là 27 cm 3 . Diện tích tồn phần của hình lập phương tương ứng là
A. 54cm 2 .
B. 36cm 2 .
C. 9 cm 2 .
D. 16cm 2 .
Gọi cạnh của hình lập phương là a (cm) .
Ta có V a3 a3 27 a 3 STP 6a2 54cm2
Câu 23: Cơng thức tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là
1
C. S xq rh .
3
Ta có diện tích xung quanh của trụ là Sxq 2 rh
A. Sxq 2 rh .
1
D. S xq r 2 h .
3
B. S xq rh .
Câu 24: Một hình nón có bán kính đáy r 4 cm và diện tích xung quanh bằng 20 cm 2 . Độ dài đường
sinh của hình nón đó bằng
5
15
A. 5 cm .
B. cm .
C. cm .
D. 2 cm .
2
4
Ta có S xq rl 20 và r 4 suy ra l 5 cm.
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD , biết A 1; 4; 2 , B 2;1; 3 ,
C 3;0; 2 và D 2; 5; 1 . Trọng tâm G của tứ diện ABCD có tọa độ là
A. G 2; 2; 1 .
Ta
có
tọa
B. G 0; 1; 1 .
độ
trọng
tâm
C. G 6; 3; 3 .
D. G 2; 1; 1 .
G
diện
của
tứ
x A xB xC xD
xG
4
xG 2
y
y
A
B yC yD
yG 2 G 2; 2; 1
yG
4
z 1
G
z A z B zC z D
zG
4
/>
ABCD
là
Câu 26: Trong không gian Oxyz , mặt cầu S : x 2 y 3 z 5 36 có tọa độ tâm I là
2
A. I 2; 3;5 .
B. I 2;3; 5 .
2
2
3 5
C. I 1; ; .
2 2
3 5
D. I 1; ; .
2 2
Ta có tọa độ tâm của mặt cầu S là I 2; 3;5
Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : x 2 y z 10 0 . Điểm nào sau đây không thuộc
mặt phẳng ?
A. N 4; 1;1 .
B. M 2; 3; 2 .
C. P 0;5; 20 .
D. Q 2;3;18 .
Điểm không thuộc mặt phẳng là N 4; 1;1 .
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 và B 3; 2; 3 . Tọa độ trung
điểm I của đoạn thẳng AB là
B. I 4;0; 2 .
A. I 2;0; 1 .
C. I 1;2; 2 .
D. I 2; 4; 4 .
x A xB
xI 2
xI 2
y A yB
yI 0 I 2;0; 1
Trung điểm của đoạn AB là yI
2
z I 1
z A zB
zI 2
Câu 29: Chọn ngẫu nhiên ba số bất kì trong 20 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được ba số
có tích là số lẻ bằng
A.
2
.
19
B.
17
.
19
C.
5
.
19
D.
7
.
19
Số phần tử của khơng gian mẫu là C 203
C103
2
Số kết quả có lợi cho biến cố cần tính xác suất là C suy ra P 3
C20 19
3
10
Câu 30: Cho hàm số y x3 3mx 2 12 x 3m 7 . Số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
đồng biến trên
A. 5 .
là
B. 4 .
C. 3 .
Yêu cầu bài y ' 3x 6mx 12 0, x
2
2 m 2 , m m 2; 1;0;1; 2 .
Câu 31: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên
A. y
x3
x2 x 2 .
3
B. y
?
3x 1
.
x 1
x3
C. y x 2 3 x 2 .
3
Giải
Đáp án A
D. y x 4 x 2 1 .
x3
2
y x 2 x 2 y ' x 2 2 x 1 x 1 0, x
3
x3
Vậy hàm số y x 2 x 2 đồng biến trên
3
D. 6 .
x 2mx 4 0, x
2
.
/>
' m2 4 0
Câu 32: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 2 x 2 3
trên đoạn 3; 0 . Tính giá trị biểu thức P m M .
A. 64 .
Giải
Đáp án A
B. 64 .
D. 68 .
C. 68 .
x 1
, x 1 3;0
f ' x 4 x3 4 x f ' x 0
x 0
Ta có: f 3 66, f 1 2, f 0 3
Khi đó m 2, M 66 P m M 64
Câu 33: Tập xác định của hàm số y log 1 x 2 7 x 3 là
2
A. 8; 7 0;1 .
B. 8; 7 0;1 .
C. 8; 7 0;1 .
D. 8; 7 0;1 .
Giải
Đáp án A
Điều kiện xác định:
x 7
x 7
x2 7 x 0
8 x 7
x 0
log x 2 7 x 3 0 x 0
1
0 x 1
2
2
x 7 x 8 0 8 x 1
Câu 34: Cho số phức z 2 i . Phần ảo của số phức w z 3z là
A. 2 .
B. 2i .
C. 8 .
Giải
Đáp án A
D. 2 .
w z 3z 2 i 6 3i 8 2i
Câu 35: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Tam giác SAB vuông cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
ABC bằng
A. 30 0 .
Giải
Đáp án A
B. 60 0 .
C. 450 .
D. 50 0 .
S
a
A
B
H
a
a
C
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó SH ABC Góc giữa SC và (ABC) là góc SCH
/>
Ta có: SH
SH
1
1
a
a 3
SCH 300
AB , CH
. Khi đó tan SCH
2
2
2
CH
3
Câu 36: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và đáy bằng 60 0 .
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng
a 3
.
2
Giải
Đáp án A
A.
B.
a 3
.
3
C. a 3 .
D. 2a 3 .
S
K
A
B
60
0
M
H
D
a
C
Gọi M là trung điểm của BC, H là tâm hình vng ABCD, hạ HK
SH
ABCD và góc giữa SBC và ABCD là góc SMH
Ta có: d H , ( SBC )
HK
Mặt khác, ta có: d A, ( SBC )
60
SM . Khi đó:
0
a 3
.
4
HM .sin 600
a 3
.
2
2d H , ( SBC )
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 , B 3;0;1 . Mặt cầu đường kính AB có
phương trình là
A. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 0 .
B. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 0 .
C. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 12 0 .
D. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 6 0 .
Giải
Chọn A
Gọi I là tâm mặt cầu đã cho. Khi đó I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Suy ra I 1;1; 2 .
Bán kính mặt cầu đã cho là R IA
1 1 2 1 3 2
2
2
2
6.
Phương trình mặt cầu đã cho là: x 1 y 1 z 2 6 hay
2
2
2
x2 y 2 z 2 2x 2 y 4z 0
Câu 38: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 2;3; 1 và vng góc với mặt phẳng
P : x 2 y 5z 1 0 có phương trình là
A.
x 3 y 1 z 4
x 1 y 2 z 5
. B.
.
1
2
5
2
3
1
/>
x 2 y 3 z 1
x 2 y 3 z 1
. D.
.
1
2
5
1
2
5
Giải
Chọn A
Chọn VTCP của đường thẳng đã cho là VTPT của mặt phẳng (P)
C.
u n P 1; 2;5
Đường thẳng đã cho đi qua điểm A 2;3; 1 nên có phương trình
Câu 39: Cho hàm số y f x liên tục trên
Đặt g x f
x 3 y 1 z 4
1
2
5
và có đồ thị như hình vẽ dưới đây
x 2 4 x 6 2 x 2 4 x x 2 4 x 6 12 x 2 4 x 6 1 . Tổng giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g x trên đoạn 1; 4 bằng
A. 12 2 4 .
B. 12 12 6 .
C. 12 2 4 .
Lời giải
D. 12 12 6 .
Chọn D
Từ đồ thị suy ra f x x 4 2 x 2 3 f x 4 x3 4 x
Đặt t x 2 4 x 6 , x 1; 4 t 2; 6 .
Ta có: g x f
x2 4x 6 2 x2 4 x 6 x2 4x 6 1
Suy ra hàm số đã cho trở thành
h t f t 2t 3 1 h ' t f t 6t 2
t 0 2; 6
1
2
3
2
h t 0 f t 6t 0 4t 6t 4t 0 t 2; 6
2
t 2 2; 6
Ta có:
2 f 2 2. 2
3
h
1 2 4 2 ;
h 2 f 2 2. 2 1 10
3
6 f 6 2. 6
3
h
1 22 12 6
/>
Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số h t trên đoạn 2; 6 lần lượt là
22 12 6 và 10 .
Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của g x trên 1; 4 là tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của h t
trên 2; 6 và bằng 12 12 6 .
Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên x
sao
2log3 x y 1 log 2 x 2 x 2 y 1 ?
2
A. 4.
cho
tồn
tại
số
thực
y
thỏa
mãn
2
B. 2.
Chọn B
C. 3.
Lời giải
D. 1.
Đặt X x 1 . Khi đó, ta có 2log3 X y log 2 X 2 2 y 2 log3 X y log 4 X 2 2 y 2
Đặt
X y 3t
log3 X y log 4 X 2 y t 2
2
t
X 2 y 4
2
2
y2 X y
32t 2 t
1
4 2
4 X
.9 3.4t 2.9t t .
1
1
3 3
2
9 3
1
2
2
2
2
t
t
2
0 X y 3
Suy ra
2
2
0 X 2 y 2
2
2
2
Ta có: X 2 y 2 0 X 2 2 X 2 X 1;0;1 do X nguyên.
+ Với X 0 , ta có
t
log 4 2
y 3t
4
t
t
9
2.9
4
2
t
log
2
y
3
.
2
4
t
9
2 y 4
9
y 3t 1
2
t
2.
3
1
4t 1 . *
+ Với X 1 , ta có 2
t
2 y 4 1
Ta thấy t 0 là nghiệm của * Phương trình đã cho có nghiệm y 0 .
y 3t 1
+ Với X 1 , ta có 2
.
t
2 y 4 1
Vì y 3t 1 y 1
Mặt khác, ta có:
X 2 2 y2 2 0 2 y2 2 2 y2 2 y2 1 y 1
Do vậy y 1 là không thỏa mãn nên X 1 không thỏa mãn
Vậy X 0;1 hay x 1;0 thì tồn tại số thực y thỏa mãn
2log3 x y 1 log 2 x 2 2 x 2 y 2 1 .
/>
x
e m
Câu 41: Cho hàm số f x 2 3
3
x
x
1
1
tục trên
và
b
f x dx a.e c
khi
x0
khi
x0
với a , b , c
(với m là tham số). Biết hàm số f x liên
*
b
tối giản ( e 2, 718281828 ). Biểu thức
c
;
1
a b c m bằng
A. 13 .
C. 11 .
Lời giải
B. 35 .
Hàm số y f x có tập xác định là
D. 36 .
.
Ta có với x 0 khi đó f x e x m hoặc x 0 khi đó f x x 2 x3 1
3
nên hàm số
y f x đã liên tục trên các khoảng ;0 và 0; với mọi giá trị của tham số m .
Xét tại x 0 , ta được:
3
2
3
lim f x lim e x m 1 m ; lim f x lim x x 1 0 và f 0 1 m .
x 0
x 0
x 0
x 0
khi và chỉ khi liên tục tại x 0 lim f x lim f x f 0
Hàm số f x liên tục trên
x 0
x 0
1 m 0 m 1 .
1
Khi đó
f x dx
1
0
0
1
I x 2 x3 1 dx
3
1
1
f x dx f x dx I J trong đó:
0
0
1
x3 1 d x3 1
3 1
3
1
x 1
3
4 0
12
1
.
12
1
J e x 1 dx e x x e 2 .
1
0
0
1
Từ đó ta được
1
23
f x dx e 2 12 1.e 12 .
1
Từ đó ta tìm được a 1; b 23; c 12; m 1 nên a b c m 1 23 12 1 35 .
Câu 42: Có bao nhiêu số phức
A. 3 .
z
thỏa mãn z 2 2 z 7 z 2 z
2
0?
C. 6 .
B. 5 .
D. 4.
Lời giải
Ta có z 2 z 7 z 2 z
2
2
z2 2z 7 0
0
2
z 2 z 0
1
2
.
Ta thấy 1 có hai nghiệm z 1 6i .
Xét phương trình 2 . Giả sử số phức z a bi a, b
z a bi
Theo đề bài,
a bi 2 a bi
2
2
2
a 2a 2b 0
0 a 2a 2b b 4ab i 0
b 4ab 0
2
2
/>
3
.
4
b 0
Xét phương trình 4
.
a 1
4
a 0
Khi b 0 thế vào 3 ta được a 2a 0
.
a 1
2
2
3
3
1
thế vào 3 ta được 2b 2 0 b
.
8
4
4
Vậy có 6 số phức thỏa mãn.
Câu 43: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC 2a và M là trung
điểm của đoạn BC . Biết SA vng góc với mặt phẳng ABC và khoảng cách giữa hai đường
Khi a
thẳng SB , AM bằng
a3 2
A.
.
3
a 6
. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
3
a3 2
B.
.
6
a3
C.
.
3
Lời giải
D.
2a 3 5
.
9
Gọi D là điểm đối xứng của điểm C qua điểm A suy ra AM //BD và AM // SBC . Do đó
d AM , SB d AM , SBD d A, SBD .
Gọi K , H lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm A , H lên BD và SK , từ đó chứng minh
được AH d A, SBD
a 6
.
3
1
Từ giả thiết và cách dựng ta được AB CD DBC vuông tại B AK //BC và ta được
2
AK a .
Từ hệ thức lượng cho tam giác vuông SAK có đường cao AH ta được
1
1
1
3
1
2 2 SA a 2 .
2
2
2
SA
SH
AK
2a
a
2
Diện tích tam giác ABC là S ABC
2
1
1 BC 1 2a
AB 2
a2 .
2
2 2 2 2
1
a3 2
1
Vậy VS . ABC .S ABC .SA .a 2 .a 2
.
3
3
3
Câu 44: Một bức tường lớn kích thước 8m 8m trước đại sảnh của một toà biệt thự được sơn loại sơn
đặc biệt. Người ta vẽ hai nửa đường trịn đường kính AD , AB cắt nhau tại H ; đường tròn tâm
D , bán kính AD , cắt nửa đường trịn đường kính AB tại K . Biết tam giác “cong” AHK được
sơn màu xanh và các phần còn lại được sơn màu trắng (như hình vẽ) và một mét vng sơn
trắng, sơn xanh lần lượt có giá là 1 triệu đồng và 1, 5 triệu đồng. Tính số tiền phải trả (làm trịn
đến hàng ngàn).
/>
A. 60, 567, 000 (đồng). B. 70, 405, 000 (đồng).
C. 67,128, 000 (đồng). D. 86,124, 000 (đồng).
Lời giải
Chọn hệ toạ độ Oxy như hình vẽ sau
Dễ thấy cung AB có phương trình y f x 8 16 x 4 ; cung AH có phương trình
2
y g x 4 16 x 2 và cung AC có phương trình y h x 64 x 2 . Dễ tìm được toạ
24
độ các điểm H 4; 4 và K 6, 4; .
5
Diện tích tam giác AHK là
4
S S AHE S HEK
0
64 x 2 4 16 x 2 dx
6,4
4
64 x 2 8 16 x 4 dx
2
6, 255085231 .
Số tiền cần trả là S.1,5 82 S .1 67,12754262 .
Vậy số tiền cần trả là 67,128, 000 (đồng).
Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có AB 2 AC với điểm M 2;0; 4 . Biết điểm B
x y z
, điểm C thuộc mặt phẳng P : 2 x y z 2 0 và AM là
1 1 1
phân giác trong của tam giác ABC kẻ từ A ( M BC ). Phương trình trình đường thẳng BC là
thuộc đường thẳng d :
x 2
A. y 2 t .
z 2 t
x 2
B. y t
.
z 4 t
x 2 t
C. y t
.
z 4 t
Lời giải
/>
x 2 2t
D. y 2 t .
z 2 3t
Từ giả thiết ta có: B d B t ; t ; t . Vì AM là phân giác trong của góc BAC và
AB 2 AC
MB AB
2 MB 2MC 1 .
MC AC
Ta được MB t 2; t ; t 4 và MC xC 2; yC ; zC 4 thế vào 1 và rút gọn ta được :
xC 3 0,5t
yC 0,5t hay C 3 0,5t; 0,5t;6 0,5t .
z 6 0,5t
C
Do C là điểm thuộc P nên 2 3 0,5t 0,5t 6 0,5t 2 0 t 2 0 t 2 .
Suy ra B 2; 2; 2 .
Đường thẳng BC đi qua điểm B 2; 2; 2 và nhận vectơ BM 4; 2;6 hay vectơ
x 2 2t
u 2;1;3 là một vectơ chỉ phương nên có phương trình là y 2 t .
z 2 3t
Câu 46: Cho hàm đa thức y f x , biết hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên:
Biết rằng f 0 0 . Hỏi hàm số g ( x) f ( x6 ) x3 có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
Lời giải
D. 1.
x2 0
h( x) f ( x 6 ) x3 h '( x) 6 x5 f ( x 6 ) 3x 2 3x 2 2 x3 f '( x 6 ) 1 3
6
2 x f '( x ) 1 0
Đặt: u ( x) 2 x3 f '( x 6 ) 1 u '( x) 6 x 2 f '( x 6 ) 12 x8 f ''( x 6 ) 0 , x
f '( x 6 ) 0
(Từ đồ thị ta có x 0
do đó
6
f ''( x ) 0
6
6 x 2 f '( x 6 ) 0
, x )
8
6
12 x f ''( x ) 0
/>
Nên u ( x) 2 x3 f '( x 6 ) 1 đồng biến và liên tục trên
(do f ( x ) là hàm đa thức u ( x ) là hàm
lim u ( x)
đa thức) và x
suy ra phương trình u ( x) 2 x3 f '( x 6 ) 1 0 có nghiệm duy nhất.
u ( x)
xlim
1
Giả sử 2 x3 f '( x 6 ) 1 0 x 3 f '( x 6 ) có nghiệm là x0 (do f '( x06 ) 0 ) x03 0 x0 0 .
2
Ta có bảng biến thiên sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số g ( x) h( x) có 1 điểm cực đại.
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương x sao cho ứng với mỗi x có đúng 9 số nguyên y thỏa mãn
2
y 1
x2 3y x 0 ?
A. 64 .
B. 67 .
C. 128 .
Lời giải
D. 53 .
2 y 1 x 2 0
log 2 x 2 1 y log3 x (1).
TH1: y
3 x 0
Điều kiện cần log2 x2 1 log3 x 2log2 x 1 log3 x x 1,65
Vì x x 1 .
Thử lại x 1 loại.
2 y 1 x 2 0
log3 x y log 2 x 2 1 2
TH2: y
3 x 0
Để có đúng 9 số nguyên y ta phải có y 1 log3 x y y 1 ... y 8 log2 x2 1 y 9
3 y 1 x 3 y
y 9
y 10 .
2 2 x 2 2
y 210
3 y 1
y 6, 06...
2
Hệ trên vô nghiệm
y 4,14.... .
y 9
y
2
3 2
y 5
Từ đó, y nguyên ta được hệ có nghiệm khi
.
y 6
Do đó ta chỉ có hai trường hợp sau thỏa mãn bài tốn
+ y 5;6;...;13 nghĩa là 4 log3 x 5;6;...;13 log2 x2 1 14 , ta được x 129;...181 có
53 số nguyên.
/>
+ y 6;7;...;14 nghĩa là 5 log3 x 6;7;...;14 log2 x2 1 15 , ta được x 243;...256 có
14 số nguyên.
Vậy có 53 14 67 số nguyên.
Câu 48: Cho
hàm
y f x
số
có
đạo
hàm
xác
x f x x x 1 f x ; f 1 e 1 . Biết rằng
định
trên
1
a
0; và thỏa mãn
f x dx b ; trong đó
a, b là những số
0
a
tối giản. Khi đó giá trị của 2a b tương ứng bằng:
b
A. 4 .
B. 5 .
C. 8 .
D. 7 .
Lời giải
Ta có: x f x x x 1 f x xf x xf x f x x 2
nguyên dương và phân số
Với x 0 ta có: f 0 0 (1)
Với x 0
2
Chia cả hai vế cho x :
xf x f x
x2
f x
x
f x f x
1
1
x
x
f x x f x
f x x
x
Nhân hai vế với e x : e x
e
e
.e e x
x
x
x
f x x
.e e x C
Lấy nguyên hàm hai vế:
x
f 1 1 1
.e e C C 1
Do f 1 e 1 nên:
1
f x x
.e e x 1 f x x 1 e x (2)
Vậy
x
Từ (1) và (2) ta có f x x 1 e x thỏa mãn yêu cầu đề bài
1
1
1
1
1
x2
x2
3
x
xe dx
xe x e x .
Khi đó: x 1 e dx
0
2 0 0
2 0
2
0
x
Kết luận 2a b 2.3 2 8 .
Câu 49: Giả sử z1 ; z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn
z 6 8 i.z là số thực. Biết rằng
z1 z2 6 . Giá trị nhỏ nhất của z1 3z2 bằng
A. 5 73 .
B. 5 21 .
C. 20 2 73 .
Lời giải
/>
D. 20 4 21 .
Đặt z x yi với x; y
. Gọi A; B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 ; z2 .
Ta có: z1 z2 6 AB 6 .
Và z 6 8 i.z x yi 6 8 xi y x 6 yi 8 y xi
x 68 y xy 8 y y x 6 x i 8x 6 y 48 x2 y 2 6 x 8 y i .
Theo giả thiết z 6 8 i.z là số thực nên x 2 y 2 6 x 8 y 0
Do đó A; B C : x 2 y 2 6 x 8 y 0 là đường tròn tâm I 3; 4 , bán kính R 5 .
Xét điểm M thỏa mãn MA 3MB 0 MO OA 3MO 3OB 0 OA 3OB 4OM .
HI 2 R 2 HB 2 16 ,
Gọi
là
trung
điểm
khi
đó:
AB ,
H
2
73
3
.
IM HI HM 4
2
2
2
2
2
Suy ra: Điểm M thuộc đường tròn C1 tâm I 3; 4 , bán kính R1
73
.
2
Ta có: z1 3 z2 OA 3OB 4OM 4OM
z1 3z2
min
73
4OM min 4 OI R1 4 5
20 2 73 .
2
Vậy z1 3 z2 min 20 2 73 .
Câu 50: Trong không gian Oxyz ,biết rằng khơng có đường thẳng nào cắt đồng thời cả 4 đường thẳng
x 6 t
x 3 y 3 z
x 1 y 1 z
x y 2 z 1
; d3 :
; d 4 : y a 3t . Giá trị của
d1 :
; d2 :
1
1
1
1
2
1
1
1
1
z b t
2b a bằng
A. 2
B. 3
C. 2.
D. 3.
Lời giải
Đường thẳng d1 có vec-tơ chỉ phương u1 1;1;1 và đi qua điểm A 3; 3;0 .
Đường thẳng d 3 có vec-tơ chỉ phương u3 1; 1; 1 và đi qua điểm B 0; 2; 1 .
BA 3; 1;1 .
Vì u1 , u3 cùng phương và u1 không cùng phương BA nên d1 / / d3 .
Gọi là mặt phẳng chứa d1 , d3 .
/>
Khi đó nhận n BA, u1 2 1; 2; 1 làm vec-tơ pháp tuyến và đi qua B 0; 2; 1
nên nó có phương trình là:
1 x 0 2 y 2 z 1 0 x 2 y z 3 0 .
Dễ thấy : x 2 y z 3 0 cắt d 2 :
x 1 y 1 z
tại điểm M 0; 1;1 .
1
2
1
d 4 có vec-tơ chỉ phương u4 1;3;1 . Do n .u4 0 nên , d 4 cắt nhau. Gọi toạ độ giao điểm
tương ứng của chúng là N 6 t; a 3t; b t .
MN 6 t ; a 1 3t ; b 1 t .
Vì khơng có đường thẳng nào cắt đồng thời cả 4 đường thẳng đã cho nên suy ra MN cùng
phương với u1 1;1;1 .
a 1 3t 6 t 4t 7 a
6 t a 1 3t b 1 t
2b a 3 .
1
1
1
b 1 t 6 t
4t 10 2b
/>
