bài tập các hình chóp tam giác khác

Bài 04: Các hình chóp tam giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI 04: CÁC HÌNH CHÓP TAM GIÁC KHÁC.
Bài 1: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a,
BAC
α
=

, các cạnh bên nghiêng trên đáy
một góc α. Tính thể tích hình chóp S.ABC.
Giải:
- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)
- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy ⇒ H là tâm
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
- Ta có:
1
. .sin
2
ABC
S AB AC
α
=


mà BC
2
= 2AB
2
- 2AB
2

cosα = 2AB
2
(1 - cosα) = a
2

⇒ AB =
2
cos1
α
−
a

⇒
2 2
2
sin
1 1
2 2 2 1 cos 4 2
sin cos
a a
ABC
S AB
α α
α
α
−
= = =


HA = R =

αα
sin2sin2
aBC
=

Tan giác vuông có
tan tan
sin 2 cos
SH a a
SH
AH
α α
α α
= ⇒ = =


3
cot
2
1 1 2
. . cot .
.
3 3 4 2 2 cos 24 cos
a
a a
V S SH
S ABC ABC
α
α
α α

= = =
∆


Bài 2:
T
ứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1.
a. Tính thể tích tứ diện theo x.
b. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất.
Giải:

a.
Cách 1:
Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì
DA = DC = DB = 1
⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp
Bài 04: Các hình chóp tam giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 4
∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung điểm AB
S∆ABC =
xxxABCC
x
.4.4'.
2
4
1
42
1
2
1

2
−=−=

HC = R∆ABC =
2
4
2
2
22
4
1
1.4
cossin4
sin2
x
xx
C
x
xx
CC
−
−
=
=
=

⇒Tam giác vuông HCD có:
HD
2
= CD

2
- DC
2

=
2
2
2
4
3
4
1
1
x
x
x −
−
−
=−

⇒ HD =
2
2
4
3
x
x
−
−

⇒VABCD =
2
2
2 2
3
1 1 1
3 3 4 12
4
. . 4 . . 3
x
x
ABC
x
S HD x x x
−
∆
−
= − = −

Cách 2:
Gọi M là trung điểm của CD ⇒ CD
⊥
(ABM)
Vì ∆ACD và ∆BCD đều ⇒ AM = BM =
2
3

VABCD = 2VCBMA = 2.
3
1

CM.S∆ABC =
ABM
S
∆
.
2
1
3
2

S∆ABM =
2
1
MC’.AB =

2
4
2
2
2
2
3
2
1
3)()(. xx
xx
−=+

VABCD =
xxx

x
.33
2
12
1
2
43
1
−=−

b.
VABCD =
2 2
2
3
1 1 1
12 12 2 8
3 . .
x x
x x
− +
− ≤ =

Dấu “=” xảy ra  x
2
= 3-x
3
 x =
2
3

và thể tích lớn nhất là
8
1
.
Bài 03:
Cho t
ứ
di
ệ
n SABC l
ấ
y M, N thu
ộ
c c
ạ
nh SA, SB sao cho
2
1
=
MA
SM
,
2=
NB
SN
. M
ặ
t ph
ẳ
ng

qua MN // SC chia t
ứ
di
ệ
n thành hai ph
ầ
n. Tính t
ỉ
s
ố
th
ể
tích hai ph
ầ
n này.

Giải:
D
ễ
th
ấ
y thi
ế
t di
ệ
n là hình thang MNEF (v
ớ
i MF // NE)
Bài 04: Các hình chóp tam giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 4

Đặt V = VSABC, V
1
= VMNEFCS, V
2
= VMNEFAB
V
1
= VSCEF + VSFME + VSMNE

9
2
3
2
3
1
===
CB
CE
CA
CF
V
V
SCEF


3
1
. ===
SA
SM

SA
SE
SE
SM
V
V
SFEA
SFME


9
4
====
CB
CE
CA
FA
S
S
S
S
S
S
V
V
ABC
CEA
CEA
FEA
ABC

FEASFEA

⇒
V
V
V
SFME
27
4
9
4
3
1
. ==


9
2
. ==
SB
SN
SA
SM
V
V
SABE
SMNE


3

1
====
CB
CE
CE
EB
S
S
S
S
S
S
V
V
ABC
CEA
CEA
ABE
ABC
ABE
SABE

⇒V
SABE
=
2
27
V ⇒ V
1
=

2
9
V +
4
27
V +
2
27
V =
4
9
V
1 4
5
2
V
V
⇒ =

Bài 04: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều bằng α.
AB = a. Tính thể tích hình chóp SABC.
Giải:
- Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C
- Gọi E là trung điểm AB
( )
AB SE
AB SCE
AB CE
⊥


⇒ ⇒ ⊥

⊥


⇒VSABC = VASEC + VBSEC =
3
1
S∆SEC.(AE+BE) =
3
1
S∆SEC.AB
∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g))
Gọi F là trung điểm SC ⇒
EF
SC
⊥

∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB)
FS = FC ⇒

FBC =
3
α

Tam giác vuông EBC có CE =
2
tan
α
α

Bài 04: Các hình chóp tam giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 4

Tam giác vuông FBC có BC =
22
EBCE +
2
( )
cos cos
2cos
a
a
EB
α α
α
= = =

Sin
2
α
=
BC
FC
⇒ FC = BC sin
2
α
=
2cos2

sin.
α
α
a

Tam giác vuông EFC có
EF
2
= EC
2
- FC
2
=
( )
2 2
sin
2 2
2 2 2
2 1
4 2 4 2 2
4cos cos
tan sin sin
a
a a
α
α
α α
α α
− = −

S∆SEC =
2
1
EF.SC = EF.FC =
2cos22
22
cos2
sin sinsin
α
α
α
α
α
aa
−

=
2
22
2
cos2
sinsin.sin.
2
2
αα
α
α
−
a

Vậy VSABC =
2
22
2
cos12
3
sinsin.sin.
2
αα
α
α
−
a


====================Hết==================

Giáo viên: Trịnh Hào Quang
Nguồn: Hocmai.vn