bài tập hình chóp tứ giác có mặt bên vuông góc với đáy

Bài 03: Hình chóp tứ giác có mặt bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI 03: HÌNH CHÓP TỨ GIÁC CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY.
1. Bài 1: Hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng
⊥

(ABCD). ∆SAB có SA = a,

ASB = 2α và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc α.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải:
Trong ∆SCD hạ SH
⊥
CD
Vì ∆SCD cân tại S
⇒ H là trung điểm của CD.
SH
⊥
CD
(SCD)
⊥
(ABCD
⇒ SH
⊥
(ABCD)
Gọi K là trung điểm AB
Ta có HK
⊥
AB

AB
⊥
SH (vì SH
⊥
(ABD))
⇒AB
⊥
(SKH) ⇒ AB
⊥
SK ⇒ ∆SAB cân tại S
Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH = α
∆SAB có SK = acosα , AB = 2AK = 2asinα
∆SHK vuông tại H có SH =SK.cosα = acos
2
α
KH = SKsinα = asinαcosα. SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα
= 2a2sin
2
αcosα ⇒
3 2
.
1 2
. sin
2 3
S ABCD ABCD
V SH S a
α
= =

2. Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với (SAD) và (SAB) cùng vuông góc

với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể
tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD)
bằng
0
30
.
Giải:
+ Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M,
Bài 03: Hình chóp tứ giác có mặt bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 2
trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N.
+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có

2
3
SG
SO
=
suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.
Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của
SC, SD.
+ Dễ có:
. . .
1 1
2 2
S ABD S BCD S ABCD
V V V V
= = =
.

Theo công thức tỷ số thể tích ta có:

.
.
.
1 1 1
. . 1.1.
2 2 4
S ABN
S ABN
S ABD
V
SA SB SN
V V
V SA SB SD
= = = ⇒ =


.
.
.
1 1 1 1
. . 1. .
2 2 4 8
S BMN
S ABN
S BCD
V
SB SM SN
V V

V SB SC SD
= = = ⇒ =

Từ đó suy ra:
. . .
3
.
8
S ABMN S ABN S BMN
V V V V
= + =

+ Ta có:
1
. ( )
3
V SA dt ABCD
=
; mà theo giả thiết
( )
SA ABCD
⊥
nên góc hợp bởi AN với
mp(ABCD) chính là góc

NAD
, lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại N, suy
ra



0
30 .
NAD NDA= =
Suy ra:
0
3
tan 30
SA
AD a
= =
.
Suy ra:
3
1 1 3
. ( ) . . 3
3 3 3
V SA dt ABCD a a a a
= = =
.
Suy ra: thể tích cần tìm là:
3
. .
3 5
8 8
5 3
.
24
= − = − = =
MNABCD S ABCD S ABMN
a

V V V V V V


====================Hết==================
Giáo viên: Trịnh Hào Quang
Nguồn: Hocmai.vn
M

N

O

C

A

D

B

S

G