chuyên đề căn bậc hai PARABOL 2

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG I. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN) NGHỊCH BIẾN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Xét hàm số y = ax , a ≠ 0
- Nếu a > 0 hàm số đồng biến khi x > 0 ) Nghịch biến khi x < 0
- Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 ) Nghịch biến khi x > 0
II. VÍ DỤ
2
Ví dụ 1. Hàm số y = 3x có a = 3 > 0 nên :
2

Hàm số số y = 3x đồng biến khi khi x > 0 , Nghịch biến khi x < 0
2
Ví dụ 2. Hàm số y = −5x có a = −5 nên;
2

2
Hàm số số y = −5x đồng biến khi khi x < 0 ) Nghịch biến khi x > 0
y = ( m − 2) x 2
Ví dụ 3. Tìm giá trị của tham số m để hàm số
đồng biến khi x > 0
2
y = ( m − 2) x 2
Lời giải: Hàm số
là hàm số có dạng y = ax với a = m − 1
y = ( m − 2) x 2
Hàm số
đồng biến khi x > 0  m − 2 > 0  m > 2
y = ( m − 2) x 2

Vậy m > 2 thì hàm số
đồng biến khi x > 0
y = ( 3 − m) x2
Ví dụ 4. Tìm giá trị của tham số m để hàm số
nghịch biến khi x > 0
y = ( 3 − m) x2
Lời giải: Hàm số
là hàm số có dạng y = ax2 với a = 3 − m
y = ( 3 − m) x2
Hàm số
nghịch biến khi khi x > 0  3 − m < 0  m > 3
y = ( 3 − m) x2
m
>
3
Vậy
thì hàm số
nghịch biến khi x > 0
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến khi x > 0 ? Vì sao?

(

)

( )
y = ( 4− 2 5) x
f)

y = 2 − 5 x2

2
a) y = 12x

b)

2
d) y = −8x

2
2
e) y = (m + 1)x

c)

y = 3 − 5 x2

2

Bài 2. Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến khi x > 0 ? Vì sao?
2
a) y = −5x
2
d) y = x

(
)
b)
y = ( 3 − 2 3) x
e)

y = 6 − 10 x 2
2

( 5−3 3) x
c)
( 7 − 2 5) x
f)

2

2

Bài 3. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến khi x < 0 ? Vì sao?

(

)

y = 12 − 4 5 x 2

2
a) y = 2x

b)

2
d) y = − x

2

2
e) y = (2m − 5)x

(
)
y = ( 3+ 2 5) x
f)
c)

y = 3 − 11 x 2

Bài 4. Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến khi x < 0 ? Vì sao?
2
a) y = 2 3x

b)

(

)

y = 5 − 26 x 2
1

c)

(

)

2

y = 7 − 4 3 x2


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI
2
d) y = −6x

2
2
e) y = −(−2m − 1)x

2
a) y = (m − 3)x
y = (6 − m)x 2

2
b) y = (2m − 1)x
2
2
e) y = (m − 1)x

(

d)
Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m để các hàm số sau đồng biến khi x < 0

d)

)

y = 2 5 − 3 2 x2

c)

(

)

y = m − 3 x2

2
2
d) y = (3 − m )x

Bài 6. Tìm các giá trị của tham số m để các hàm số sau nghịch biến khi x < 0
2
a) y = (2m + 3)x

(

2
b) y = (1 − m)x

)

y = 2 − m x2

c)

(

)

y = m − 5 x2

d)
e) y = (m − 5)x
d) y = (9 − m )x
Bài 7. Tìm các giá trị của tham số m để các hàm số sau đồng biến khi x > 0
2
a) y = −3mx

(

2

2

2

2
b) y = (m − 5)x

)

y = 2 5 − m x2

c)

(

2

)

y = m + 6 x2

d)
e) y = (3m − 2)x
d) y = (m + 1)x
Bài 8. Tìm các giá trị của tham số m để các hàm số sau nghịch biến khi x > 0
2
a) y = (m − 1)x

(

2

2

2

( m − 2) x
c)
y = ( 2 3 − m) x
d)
y=

2
b) y = 2mx

)

y = 2 5 − m x2

2

2
2
e) y = (m + 6)x

d)
Bài 9. Hãy chọn đáp án đúng
Câu 1. Hàm số y = - 100x2 đồng biến khi :
A. x > 0
B. x < 0

2

2

C. x R

D. x ≠ 0

y = − x nghịch biến khi:
Câu 2. Hàm số
A. x ∈ R

B. x > 0
C. x = 0
Câu 3. Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên R:

D. x < 0

2

y = 1 − 2x

y = x 2 −1

y = x2

A.
B.
C.
D. B, C đúng.
Câu 4. Trong các hàm số sau đây) hàm số nào đồng biến khi x âm và nghịch biến khi x dương ?
1
y = − x2
2
C.

A. y = 2x
B. y = −3x
D. y = 3.x
Câu 5. Trong các hàm số sau đây) hàm số nào đồng biến khi x dương và nghịch biến khi x âm ?
2

A.

y=

(

)

2 − 3 .x 2

B. y = − 3.x

2

1
y = − x2
2
C.

D.

y=

1
2

2

x2

2
2
Câu 6. Cho hàm số y = (k − k )x . Điều kiện để hàm số đồng biến khi x < 0 nghịch biến khi x > 0
là:
A. k > 1
B. k <0
C . 0 < k <1
D. k < 0 or

Câu 7. Cho hàm số

y=

(

)

k >1

3m + 5 − 2 x 2

5
1
− ≤m<−
3
A. 3

B.

. Điều kiện để hàm số đồng biến khi x > 0 là:

m≤−

5
3

C.

2

m>−

1
3

D.

m≥−

1
3


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI
f (x ) = (a − 2)x 2 , g(x ) = (a − 1)x 2 . Điều kiện để hàm số f (x ) đồng
Câu 8. Cho hai hàm số sau:
biến và hàm số g(x) nghịch biến khi x âm là:

A. 1 ≤ a ≤ 2

B. a > 2

C. 1 < a < 2


1
y =  m − ÷x 2
2  đồng biến x < 0 nếu:

Câu 9 . Hàm số
1
m<
2
A.
B. m = 1
y = −x

C.

m>

1
2

D. a < 1

D.

m=

1
2

2

Câu 10. Hàm số
đồng biến khi:
A. x > 0
B. x < 0
C. x ∈ R
Câu 11. Hàm số nào dưới đây đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 ?
A. y = −3x + 1 .

B. y = x − 3 .

2
C. y = x .

D. x > 1
2
D. y = −3x .

DẠNG II.
TÌM CƠNG THỨC CỦA HÀM SỐ BIẾT (P) ĐI QUA ĐIỂM A( X0 ; Y0 )
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
+ Đồ thị hàm số y = f (x) đi qua điểm A(x 0 ; y 0 ) ) ⇔ y 0 = f (x 0 )
+ Thay x 0 và y 0 ) vào công thức của hàm số tìm được a.
+ Thay a vào cơng thức ban đầu tìm được cơng thức của hàm số
II. VÍ DỤ
2

Ví dụ 1. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(4; −1)
2
2
Lời giải: Đồ thị hàm số y = ax đi qua điểm A(2; 2) ⇔ 4 = a.(−1) ⇔ a = 4
2
Vậy hàm số đã cho có cơng thức là y = 4x

2
2
Ví dụ 2. Tìm cơng thức của hàm số y = (m − 2) x biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2) .
2
2
2
2
2
Lời giải: Đồ thị hàm số y = (m − 2)x đi qua điểm A(1; 2) ⇔ 2 = (m − 2).1 ⇔ m − 2 = 2

2
Vậy hàm số đã cho có công thức là y = 2.x
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG
2
Bài 1. Viết phương trình parabol dạng y = ax và đi qua điểm M(2; 4) .
2
Bài 2. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( −1; 2) .
2
Bài 3. Tìm công thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm (−2; −1)
2
Bài 4. Tìm công thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm ( 1 ; 1 )
2
Bài 5. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; −1)

2
Bài 6. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; −1)
2
Bài 7. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; −1)
2
Bài 8. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm (−3; −6)
2
Bài 9. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 4)

3


CHUN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI
2
Bài 10. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm (2; −4)
2
Bài 11. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm (3; −1)
2
Bài 12. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm (−2; 6)
2
Bài 13. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; 3)
2
Bài 14. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm (2; −8)
2
Bài 15. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm (−3; −9)
2
Bài 16. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm (−2; 3)
2
Bài 17. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm

1
(− ; −1)
2

1

; 2÷

Bài 18. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm  2 
 1 
2
 − ; 1÷
Bài 19. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm  3 
1 1
 ; ÷
2
Bài 20. Tìm cơng thức của hàm số y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm  4 2 
2

DẠNG 3. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - TÌM TOẠ ĐỘ GIAO ĐIỂM
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tính chất:
2
+ Đồ thị hàm số y = ax (a ≠

0) là một parabol có đỉnh là O, nhận trục Oy làm trục đối

xứng.
+ Nếu a > 0 thỡ đồ thị nằm phớa trờn trục hoành và nhận O là điểm thấp nhất của đồ thị.
+ Nếu a < 0thỡ đồ thị nằm phớa dưới trục hoành và nhận O là điểm cao nhất của đồ thị.

2. Cách vẽ :
+ Lập bảng một số cặp giá trị tương ứng giữa x và y ( Thường là 5 hoặc 7 cặp giá trị) trong đó
x lấy giá trị 0 và các giá trị là số nguyên đối nhau gần số 0) chẳng hạn
−2
−1
x
0
1
2
y = ax 2

4a

a

0

a

4a

+ Biểu diễn các cặp giá trị tương ứng giữa x và y trên mặt phẳng tọa độ) vẽ đường cong đi qua
các điểm đó ta được đồ thị của hàm số đã cho
II. VÍ DỤ
2
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x

Lời giải
- Bảng một số cặp giá trị tương ứng giữa x và y :
x

y = 2x

2

-2

-1

0

1

2

8

2

0

2

8

4


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

- Đồ thị của hàm số đã cho là parabol đi qua các điểm

( −2;8) ;( −1;2) ;( 0;0) ;( 1;2) ( 2;8) .

( P ) : y = x và đường thẳng ( d) : y = 3x − 2
2

Ví dụ 2. Tìm toạ độ giao điểm của parabol

Lời giải

d
và ( ) là nghiệm của hệ phương trình
2
2
Từ (1) và (2) ta có: x = 3x − 2 ⇔ x − 3x + 2 = 0 (3)
Phương trình (3) có: a + b + c = 1− 3+ 2 = 0
c
x1 = 1, x2 = = 2
a
Phương trình (3) có 2 nghiệm:
Toạ độ giao điểm của

( P)

x1 = 1
y = x12 = 12 = 1
ta có 1
x =2
y = x22 = 22 = 4

+ Với 2
ta có: 2
P
d
1; 1) , ( 2; 4)
Vậy, toạ độ giao điểm của ( ) và ( ) là: (
x2
y= −
4 và đường thẳng (d): y = x − 3 .
Ví dụ 3. Cho parabol (P):
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính
+ Với

Lời giải
a) Xét

1 2
x
4 . Ta có bảng giá trị:
x
−4 −2
0
1
y = − x2
−4 −1
0
4

( P) : y = −

5

2

4

−1

−4

y = x2
(1)

y = 3x − 2 (2)


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI
( P ) đi qua các điểm ( −4; −4 ) ; ( −2; −1) ; ( 0; 0 ) ; ( 2; −1) ; ( 4; −4 )
Suy ra
Xét y = x − 3 . Ta có bảng giá trị:Lập bảng giá trị của hàm số y = x − 3
x
0
3
y = x −3
−3
0

b) Hoành độ giao điểm của

−

( P)

và

( d)

là nghiệm của phương trình hồnh độ:

x − 2 = 0
x = 2
 y = −1
x2
= x − 3 ⇔ x2 + 4x − 12 = 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x + 6 ) = 0 ⇔ 
⇔
⇒
4
x + 6 = 0
 x = −6  y = − 9

Vậy

( P)

và

( d)

cắt tại hai điểm

( 2;−1) và( −6;−9)

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
2
Bài 1. Vẽ đồ thị hàm số y = x

2
Bài 2. Vẽ đồ thị hàm số y = − x

1
y = − x2
2
Bài 3. Vẽ đồ thị hàm số
Bài 4. Vẽ đồ thị hàm số

y=

1 2
x
2

1
y = − x2
4
Bài 5. Vẽ đồ thị hàm số
Bài 6. Vẽ đồ thị hàm số

y=

1 2
x
4

2
Bài 7. Vẽ đồ thị hàm số y = 2x

2
Bài 8. Vẽ đồ thị hàm số y = −2x

2
y = − x2
3
Bài 9. Vẽ đồ thị hàm số
6


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI
2
Bài 10. Vẽ đồ thị hàm số y = 3x

TÌM TOẠ ĐỘ GIAO ĐIỂM
Tìm toạ độ giao điểm của

( P)

và

( d) trong các trường hợp sau:

P : y = x , ( d) : y = 5x − 6
1) ( )
2

P : y = x , ( d) : y = 5x − 4
2) ( )
2

P : y = 3x , ( d) : y = 2x + 5
3) ( )
2

( P) : y = 5x , ( d) : y = 8x − 3
2

4)

P : y = −3x , ( d) : y = −2x − 1
5) ( )
2

6)

( P) : y = − 13x , ( d) : y = x − 1

7)

( P ) : y = −x

2

2

P :y = x
8) ( )

2

( d) : y = 7x − 12

,

( P ) : y = −x

2

9)

( d) : y = 4x + 4

,

( d) : y = 8x +15

,

10)

( P) : y = 4x

,

( d) : y = −4x − 1

11)

( P) : y = 4x

,

( d) : y = −9x − 5

P : y = 2x
12) ( )

2

,

( d) : y = −7x − 5

2

13)

( P) : y = 3x

,

( d) : y = 8x − 1

14)

( P ) : y = −x

2

2

2

P :y = x
15) ( )

2

,

( d) : y = −9x + 20
( d) : y = 10x − 21

,

( P ) : y = −x

,

( d) : y = −6x + 8

P : y = −x
17) ( )

,

( d) : y = x − 2

2

16)

2

18)

( P) : y = x

19)

( P) : y = 13x

2

( d) : y = 6x + 7

,
2

,

( d) : y = 9x + 2
7


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

( P) : y = 7x

2

20)

P : y = −6x
21) ( )

2

( P) : y = x

2

22)
23)
24)
25)
26)
27)

( d) : y = −3x + 1

,

,

,

( d) : y = 4x + 1

(P): y = 9x2 ,

( d) : y = 13x + 2

(P) : y = x2 ,

( d) : y = 12x − 35

(P): y = x2 ,

( d) : y = 14 x + 2

(P): y = 5x2 ,

( d) : y = x + 21

(P): y = −x2 ,

( d) : y = 13x − 2

x2
(P): y =

,
4
28)
29)
30)
31)

( d) : y = −x − 1

(P): y = −x2 ,
(P): y = −2x2 ,
(P): y = −x2 ,

( d) : y = 14 x + 2
( d) : y = 16 x + 1

( d) : y = 13x + 1
( d) : y = 14 x + 2

VẼ ĐỒ THỊ + TÌM TOẠ ĐỘ GIAO ĐIỂM

P : y = −x
Bài 1: Cho Parabol ( )

d : y = 2x − 3
và đường thẳng ( )
.
a) Vẽ Parabol và đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
2

b) Tìm tọa độ giao điểm của

P :y = x
Bài 2: Cho Parabol ( )

( P)

và

( d)

2

và đường thẳng

Tìm tọa độ giao điểm của

( P)

Tìm tọa độ giao điểm của

( P)

và

( d)

và

( d)

bằng phép tính.

( d) : y = 2x + 8.

bằng phép tính.

2
P
d : y = 2x + 1
Bài 3: Cho hàm số y = 3x có đồ thị ( ) và đường thẳng ( )
.

bằng phép tính.
8


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

( P) : y =

Bài 4: Cho Parabol
a) Vẽ

( P)

và

( d)

− x2
2 và đường thẳng ( d) : y = −x − 4 .

trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

( P) và ( d)
P
có đồ thị ( ) .

b) Tìm tọa độ giao điểm của
2
Bài 5: Cho hàm số y = 2x
a) Vẽ đồ thị hàm số.

b) Tìm tọa độ giao điểm

( P)

và

( d)

bằng phép tính.

có phương trình y = 5x − 3 bằng phép tính.

( P ) : y = x và đường thẳng ( d) : y = x + 2.
P
d
a) Vẽ ( ) và ( ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

P
d
b) Tìm tọa độ giao điểm của ( ) và ( ) bằng phép tính.
2

Bài 6: Cho Parabol

Bài 7: Cho hàm số
a) Vẽ

y=

( P) ,( d)

x2
2 có đồ thị ( P ) và đường thẳng ( d) : y = − x + 4 .

trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b) Tìm tọa độ giao điểm của
Bài 8: Cho hàm số
a,)Vẽ

y=

( P) ,( d)

( P)

a) Vẽ đồ thị

( d)

bằng phép tính.

x2
−x
d
:
y
=
+3
(
)
2 có đồ thị là ( P ) và đường thẳng
2
.

trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của
Bài 9: Cho hàm số

và

y=

( P)

và

( d)

bằng phép tính.

1 2
x
2 có đồ thị ( P ) .

( P) .

b) Tìm tọa độ giao điểm của

y=

( P)

và

( d) : y = −21x + 1

bằng phép tính.

1 2
x
2 .

Bài 10: Cho hàm số
a) Vẽ đồ thị hàm số.

b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng
Bài 11: Trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
2
a) vẽ đồ thị hàm số y = 2x và đồ thị hàm số y = 3− x .
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai hàm số trên bằng phép tính.

9

y = x−

1
2 bằng phép tính.


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

( P ) : y = x và đường thẳng ( d) : y = −x + 2 .
P
d
a) Vẽ ( ) và ( ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
P
d
b) Bằng phép tính. Tìm tọa độ giao điểm của ( ) và ( ) .
P :y = x
d : y = 2x + 3
Bài 13: Cho Parabol ( )
và đường thẳng ( )
.
P
d

a) Vẽ ( ) và ( ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
P
d
b) Tìm tọa độ giao điểm nếu có của ( ) và ( ) bằng phép tính.
P : y = −8x
d : y = −2x − 6
Bài 14: Trên mặt phẳng Oxy, Cho Parabol ( )
và đường thẳng ( )
.
T −2; −2)
d
a) Điểm (
có thuộc đường thẳng ( ) không?
d
P
b) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng ( ) và ( ) .
P : y = 2x
d : y = 3x + 2
Bài 15: Cho Parabol ( )
và đường thẳng ( )
.
P
a) Vẽ đồ thị ( ) trên hệ tọa độ Oxy.
P
d
b) Tìm tọa độ giao điểm của ( ) và ( ) bằng phép tính.
P : y = −2x
d :y = x− 3
Bài 16: Cho Parabol ( )
và đường thẳng ( )

.
d
P
a) Vẽ ( ) và ( ) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
d
P
b) Tìm tọa độ giao điểm của ( ) và ( ) bằng phép toán.
2

Bài 12: Cho Parabol

2

2

2

2

x2
( P) : y = 4 ( d) : y = −21 x + 2
Bài 17. Cho
và
.
a) Vẽ

( P)

và

( d)

trên cùng hệ trục tọa độ Oxy .

b) Tìm tọa độ giao điểm của

( P)

và

( d) .

x2
P
2 và đường thẳng ( D) : y = 3x − 4 .
Bài 18 a) Vẽ đồ thị ( ) :
P
D
b) Tìm tọa độ giao điểm của ( ) và đường thẳng ( ) bằng phép tính.
y=

Bài 19. Cho

( P) : y =

a) Vẽ

( P)

x2

−1
d) : y = x + 2
(
4 và
2
.

và

( d)

trên cùng hệ trục tọa độ Oxy .

b) Tìm tọa độ giao điểm của

( P)

và
10

( d) .


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

x2
P
2 và đường thẳng ( D) : y = 3x − 4 .
Bài 20. a) Vẽ đồ thị ( ) :
P

D
b) Tìm tọa độ giao điểm của ( ) và đường thẳng ( ) bằng phép tính.
x2
( P) : y = − 4 ( D) : y = 12 x + 2
Bài 21. Cho
và
.
y=

a) Vẽ

( P)

và

( D)

trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
P
D
b) Tìm tọa độ giao điểm của ( ) và ( ) bằng phép toán.

(P) : y = −

Bài 22. a) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy đồ thị
b) Tìm giao điểm của (d)& (P) bằng phép tính

x2
2 và (d) : y = x − 4

2
Bài 23. Cho hàm số (P) : y = x và đường thẳng (d) : y = 3x − 2
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy .
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

1 2
x
2 có đồ thị (P) và hàm số y = x + 4 có đồ thị là (d)
Bài 24. Cho hàm số
a/ Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy .
b/ Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tốn.
y=

x2
x
y=
y= +2
P
d
(
)
4 có đồ thị
2
Bài 25. Cho hai hàm số
và
có đồ thị là ( ) .
P
d
a) Vẽ ( ) và ( ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy .
b) Tìm tọa độ giao điểm của

( P)

và

( d)

bằng phép toán.

x2
P y= − 4
d
Bài 26. Cho ( ) :
và ( ) : y = −2x + 4 .
P
d
a) Vẽ đồ thị ( ) và ( ) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy .
P
d
b) Tìm tọa độ giao điểm của ( ) và ( ) .
1
3
y = x2
y = 2x −
2 và đường thẳng (d):
2
Bài 27. Cho parabol (P):
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán.
Bài 28. Cho parabol (P):

y=

1 2
x
4 và đường thẳng (d): y = −x + 3

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán.
2
Bài 29. Cho parabol (P): y = x và đường thẳng (d): y = −2x + 3 .
11


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

( P) : y = − 12 x

2

Bài 30. Cho parabol

và đường thẳng

( d) : y = 12 x − 1

.

a)Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
b)Tìm tọa độ giao điểm của
Bài 31.

a) Vẽ đồ thị

( P) : y = − x

2

( P)

và

bằng phép tính.

( D) : y = 2 x− 3 trên cùng một hệ trục tọa độ.

và

b) Tìm tọa độ các giao điểm của

1

( d)

( P) và ( D) ở câu trên bằng phép tính.

P y=2x

d : y = x+4
Bài 32. Cho parabol ( ) :
và ( )
P
d
a) Vẽ đồ thị ( ) và ( ) trên cùng một hệ trục tọa độ.
2

b) Tìm tọa độ các giao điểm của

( P ) và ( d ) ở câu trên bằng phép tính.

( P) : y = 12 x

2

Bài 33. Cho Cho Parabol
P
a) Vẽ ( ) .

1

( D) : y = 2 x + 3
P
b) Tìm tọa độ giao điểm của ( ) và đường thẳng
P
Bài 34. Cho parabol ( )
a) Vẽ

( P)

và

1
1
y = − x2
y = x− 3
d
(
)
4
4
:
và đường thẳng
:
.

( d)

trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của

( P)

và

( d) .

x2

( P) : y = − 4
d :y = x− 3
Bài 35. Cho parabol
và đường thẳng ( )
.
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
2
Bài 36. Cho parabol (P): y = − x và đường thẳng (d) : y = 2 x − 3

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) bằng phép tính.
TOẠ ĐỘ ĐIỂM THUỘC (P)
Bài 8:
12


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

( P ) : y = 12 x

2

a, Vẽ đồ thị của Parabol

b, Tìm giá trị của m sao cho

C ( −2;m)

.

thuộc đồ thị

( P) .

P : y = −2x
Bài 9: Cho Parabol ( )
.
d : y = kx + 2
P
a, Tìm k để đường thẳng ( )
tiếp xúc với ( ) .
2

b, Chứng minh điểm

(

)

E m;m2 + 1

không thuộc

2
Bài 10: Cho hàm số y = ax .

a) Xác định a biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm

( P)

với mọi giá trị của m.

A ( 3;3)

.

B 2;m)
C n;1
b) Tìm giá trị của m, n để các điểm (
và ( ) thuộc đồ thị của hàm số trên
1
y = x2
4 có đồ thị ( P ) .
Bài 17: Cho hàm số
a) Vẽ đồ thị

( P)

trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Tìm hồnh độ của điểm M thuộc
Bài 18: a) Vẽ đồ thị

( P)

của hàm số

b) Tìm những điểm thuộc

( P)

y=

( P)

biết M có tung độ 25.

− x2
2 .

có hồnh độ bằng 2 lần tung độ.

1
y = − x2
2 có đồ thị ( P ) .
Bài 19: Cho hàm số
a) Vẽ đồ thị parabol

( P) .

b) Tìm các điểm thuộc đồ thị
Bài 20:

P : y = 2x
a) Vẽ Parabol ( )
.

( P)

sao cho tung độ gấp ba lần hồnh độ.

2

b) Viết phương trình đường thẳng (
có hồnh độ lần lượt là −1 và 2.
Bài 21. Cho hàm số:

y=

1 2
x
2

( P)

d)

cắt Parabol

( P)

1
y = − x +3
2
và hàm số

( d)

tại hai điểm phân biệt A và B

.

( P ) và ( d ) trên cùng một hệ trục tọa độ.
P
d
b) Tìm m để ( ) và ( ) : y = 3x + 1 − m cùng đi qua một điểm có hồnh độ là .
a) Vẽ

2

Bài 22. Cho hàm số

( P) : y = −

a) Vẽ đồ thị hàm số

2

x
4 và ( d ) : y = x + m − 1 .

( P) .
13


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI
( P)

b) Tìm m để

và có

1

điểm chung. Tìm điểm chung đó.

DẠNG 4. BÀI TỐN VỀ HOÀNH ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P) VÀ (d)
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CHUNG
P ) : y = ax 2 , a ≠ 0
(
( d ) : y = cx + d, c ≠ 0
+ Xét Parabol
và đường thẳng

( P ) và ( d ) là: ax 2 − cx − d = 0 (1)
P
d
các hoành độ giao điểm của ( ) và ( ) , x1 , x 2 là nghiệm của (1)

+ Phương trình hồnh độ giao điểm của
+ Gọi x1 , x 2

+ Ta có các dạng bài tập cơ bản như sau:
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 4.1
Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện
liên quan đến các nghiệm của phương trình có tính đối xứng
1) p(x1 + x 2 ) = q.x1.x 2

2) (x1 − m)(x − m) = b

4) x1 (a − x 2 ) + x 2 (a − x1 ) < c

2
2
5) x1 + x 2 = d .

m m
+
=n
x
x
1
2
3)
3
3
6) x1 + x 2 có GTNN…

1. Kiến thức trọng tâm
2
+ Phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, a ≠ 0 có 2 nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0
2
+ Phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, a ≠ 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0
2
+ Hệ thức Vi – ét: Phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, a ≠ 0 có 2 nghiệm x1 , x 2 thì



x1 + x 2 = −

b
a



x1 x 2 =

c
a

+ Một số kết quả biến đổi liên quan
2
2
2
 x1 + x 2 = (x1 + x 2 ) − 2x1x 2
2
2
 (x1 − x 2 ) = (x1 + x 2 ) − 4x1x 2



x13 + x 32 = (x1 + x 2 ) (x1 + x 2 ) 2 − 3x1x 2 

2. Phương pháp giải
2
2
Bước 1. Tính ∆ = b − 4ac hoặc ∆ ' = (b ') − ac

Bước 1. Xác định điều kiện có 2 nghiệm (hoặc 2 nghiệm phân biệt) của phương trình

Bước 3. Viết hệ thức Vi – ét
Bước 4. Thay

x1 + x 2 = −

x1 + x 2 = −

b
c
x1 x 2 =
a,
a theo tham số

b
c
x1 x 2 =
a,
a vào hệ thức theo yêu cầu của đề bài

Bước 5. Giải điều kiện theo yêu cầu của đề bài tìm giá trị của tham số
14


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

Bước 6. Đối chiếu điều kiện, kết luận về giá trị cần tìm của tham số
3. Một số luu ý: Trong quá trình làm bài có thể sẽ phải thực hiện:
 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện tổng và tích của 2 nghiệm
 Đặt thêm điều kiện khi 2 nghiệm xuất hiện dưới mẫu hoặc dưới dấu căn bậc 2
4. CÁC VÍ DỤ.

Ví dụ 1. Cho Parabol
Tìm m để

( P ) : y = x 2 và đường thẳng ( d ) : y = x − m với m là tham số

( d ) cắt ( P ) tại 2 điểm có hoành độ x1; x 2 thỏa mãn: (x1x 2 − 1) 2 = 9(x1 + x 2 )
Lời giải

Hoành độ giao điểm của

( P ) và ( d ) là nghiệm của phương trình

x 2 = x − m ⇔ x 2 − x + m = 0 (1)
2
Ta có: ∆ = b − 4ac = 1 − 4m .

1

( d ) cắt ( P ) tại 2 điểm  Phương trình (1) cho có hai nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 1 − 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 4
Vì x1; x 2 là 2 nghiệm của (1). Nên theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x 2 = 1 và x1.x 2 = m.

x x −1
Do đó ta có ( 1 2 )

2

= 9 ( x1 + x 2 ) ⇔ ( m − 1) = 9
2

 m − 1 = 3 hoặc m − 1 = −3

1
m≤
4)
+) m − 1 = 3 ⇔ m = 4 ( không thỏa mãn
1
m≤
4 )
+) m − 1 = −3 ⇔ m = −2 ( thỏa mãn
Vậy m = −2 là giá trị cần tìm.

( P ) : y = x 2 và đường thẳng ( d ) : y = (m + 5)x − 3m − 6 với m là tham số, m ≠ −5
2
2
d
P
Tìm m để ( ) cắt ( ) tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x 2 thỏa mãn: x1 + x 2 = 25
Ví dụ 2. Cho

Lời giải
Hồnh độ giao điểm của

( P ) và ( d ) là nghiệm của phương trình

x 2 − (m + 5)x + 3m + 6 = 0 (1)

∆ = −
 ( m + 5 )  − 4.1. ( 3m + 6 ) = ( m + 5 ) − 12m − 24 = ( m − 1)
2

Có

2

2

( d ) cắt ( P ) tại 2 điểm phân biệt  Phương trình (1) cho có hai nghiệm phân biệt
∆ > 0 ⇔ ( m − 1) > 0 ⇔ m ≠ 1
2



.

Vì x1; x 2 là 2 nghiệm của phương trình (1) . Nên theo hệ thức Viét, ta có
b
c
x1 + x 2 = − = m + 5 , x1x 2 = = 3m + 6
a
a
.

x12 + x 22 = 25 ⇔ ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 = 25
2

Ta có:

⇔ ( m + 5 ) − 2 ( 3m + 6 ) = 25
2

⇔ m 2 + 4m − 12 = 0

15

(1)


CHUN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI
2
Phương trình (1) có ∆ = 4 − 4.1.(−12) = 64 > 0, ∆ = 8
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
−4 + 8
−4 − 8
m1 =
= 2,
m2 =
= −6
2
2
Đối chiếu điều kiện ta thấy m = −6, m = 2 thỏa mãn điều kiện
Vậy m = −6, m = 2 là giá trị cần tìm.

( P ) : y = x 2 và đường thẳng ( d ) : y = 2(m + 1)x − m 2 − 2 với m là tham số, m ≠ −1
2
d
P
Tìm m để ( ) cắt ( ) tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ x1; x 2 thỏa mãn: x1 + 2(m + 1)x 2 = 12m + 2

Ví dụ 3. Cho

Lời giải

Hồnh độ giao điểm của

( P ) và ( d ) là nghiệm của phương trình

x 2 − 2(m + 1)x − m 2 − 2 = 0 (1)

∆ ' = [ −(m + 1) ] − 1.(m 2 + 2) = m 2 + 2m + 1 − m 2 − 2 = 2m − 1
2

Ta có:

1
2
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 2m − 1 > 0
 x1 + x 2 = 2(m + 1)

x x = m2 + 2
x
;
x
1
2
Vì
là nghiệm của phương trình (1) . Theo hệ thức Viét, ta có :  1 2
.
2
Theo đề bài ta có: x1 + 2(m + 1)x 2 = 12m + 2
⇔m>

′

⇔ x12 + ( x1 + x 2 ) x 2 = 12m + 2 ⇔ x12 + x1x 2 + x 22 = 12m + 2

⇔ ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 + x1x 2 = 12m + 2 ⇔ ( x1 + x 2 ) − x1x 2 = 12m + 2
2

2

⇔ 4(m + 1) 2 − ( m 2 + 2 ) = 12m + 2 ⇔ 4m 2 + 8m + 4 − m 2 − 2 = 12m + 2

 m = 0(ktm)
m=0

⇔
⇔
3m − 4 = 0
 m = 4 (tm)
2

3

⇔ 3m − 4m = 0 ⇔ m(3m − 4) = 0
4
m=
3 là thỏa mãn bài tốn.
Vậy

Ví dụ 4. Cho Parabol
Tìm m để ( ) cắt
giá trị nhỏ nhất.

d

( P ) : y = x 2 và đường thẳng ( d ) : y = 2(m − 3)x − 2(m −1) ,

m≠3

( P ) tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ x1; x 2 sao cho biểu thức A = x12 + x 22 đạt
Lời giải

Hoành độ giao điểm của ( ) và ( ) là nghiệm của phương trình
x 2 − 2 ( m − 3) x + 2 ( m − 1) = 0 (1)
P

d

∆′ = − ( m − 3 )  − 1. −
 2 ( m − 1) 
2

= ( m − 3) + 2m − 2 = m 2 − 4m + 7 = ( m − 2 ) + 3 > 0
2

2

với mọi m

Phương trình (1) đã cho ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m
2
2
2

= ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2
A
=
x
+
x
1
2
Có
.
x
;
x
Vì 1 2 là nghiệm của phương trình (1) .
16


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

x1 + x 2 = −

Theo hệ thức Viét, ta có :
Thay vào biểu thức A ta được

b
c
x1x 2 = = −2 m − 1
=
2
m

−
3
(
)
(
)
a
a
,

A = −2 ( m − 3)  − 2 −2 ( m − 1)  = 4m 2 − 20m + 32 = ( 2m − 5 ) + 7 ≥ 7
5
m=
⇒ Min A = 7 khi
2 .
5
m=
2 là giá trị cần tìm.
Vậy
2

P :y = x
Ví dụ 5. Cho parabol ( )

2

2

và đường thẳng

a) Chứng minh rằng đường thẳng
phân biệt.

( d ) : y = −(m− 1)x+ 4

( d ) và parabol ( P ) luôn cắt nhau tại hai điểm

( d ) cắt ( P ) tại 2 điểm phân biệt M(x1 ; y1 ) ; N(x 2 ; y2 ) sao cho:
b) Tìm m để
y1 + y 2 = 3(x1 + x 2 ) + 12
Lời giải

a. Xét phương trình hồnh độ giao điểm của
x 2 = − (m− 1)x+ 4

( P ) và ( d ) , ta có:

⇔ x 2 + (m− 1)x− 4 = 0 ( *)
Ta có: a = 1 ; b = m − 1 ; c = −4
∆ = b 2 − 4ac

∆ = ( m − 1) − 4.1.( −4 )
2

∆ = ( m − 1) + 16 > 0 ∀ m
Mà a = 1 ≠ 0
2

⇒ Phương trình ( *) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .
d

P
Do đó đường thẳng ( ) và parabol ( ) ln cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
*
b. Vì phương trình ( ) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m . Áp dụng hệ thức
Viet, ta có:

 x1 + x 2 = 1 − m


 x1 .x 2 = −4
P : y = x 2 ⇒ y1 = x12
M(x1 ; y1 )
x = x1
Điểm
. Thay
vào ( )
P ) : y = x 2 ⇒ y2 = x 2 2
N(x 2 ; y 2 )
x = x2
(
Điểm
. Thay
vào
y + y 2 = 3(x1 + x 2 ) + 12
Ta có: 1
17


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

x12 + x 2 2 = 3(x1 + x 2 ) + 12

⇔ ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 = 3(x1 + x 2 ) + 12
2

⇔ ( 1 − m ) − 2.( −4 ) = 3 ( 1 − m ) + 12
2

⇔ 1 − 2m + m 2 + 8 = 3 − 3m + 12
⇔ m2 + m − 6 = 0
⇔ ( m − 2 ) ( m + 3) = 0

m − 2 = 0
m = 2 (t / m)
⇔
⇔
m + 3 = 0
m = −3 (t / m)
Vậy m = 2 hoặc m = −3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
5. Bài tập vận dụng

( P ) : y = x và ( d ) : y = 2 ( m + 2 ) x + m + 8 .
d
P
a) Chứng minh rằng ( ) luôn cắt ( ) tại hai điểm phân biệt.
d
P
x ,x
b) Tìm các giá trị của m để ( ) cắt ( ) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ
2

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho

1

thỏa mãn :

x1 + x 2 = 3x1x 2 + 2

Xét pt hoành độ giao điểm của

x 2 = 2 ( m + 2) x + m + 8

( d)

Lời giải

và

( P)

là:

⇔ x2 − 2 ( m + 2) x − m − 8 = 0

.
a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > 0
2



5  23
⇔ ( m + 2 ) + m + 8 > 0 ⇔ m + 5m + 12 > 0 ⇔  m + ÷ +
>0
2
4

( ln đúng).
b) Áp dụng định lý Viet ta có:
 x1 + x 2 = 2 ( m + 2 )

( 1)
 x1x 2 = − m − 8
x + x 2 = 3x1x 2 + 2
( 2)
Ta có: 1
1
2
Thay ( ) vào ( ) ta có:
−26
2 ( m + 2 ) = 3 ( −m − 8 ) + 2 ⇔ 2m + 4 = −3m − 24 + 2 ⇔ m =
5
26
m=−
5 là giá trị cần tìm thỏa mãn u cầu bài tốn.
Vậy
2

2

2

d
P
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ( ) : y = mx + m + 1 và parabol ( ) : y = x

P
d
a) Với m = 3 tìm tọa độ giao điểm của ( ) và ( )
18

2


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

d
P
b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng ( ) cắt ( ) tại hai điểm phân biệt A , B
y + y 2 = 50
nằm về cùng một phía với trục tung thỏa mãn 1
.
Lời giải
a) Phương trình hồnh độ giao điểm của

( P)

và

( d)

2

là : x = mx + m + 1

⇔ x 2 − mx − m − 1 = 0
Với m = 3 ta có phương trình
x 2 − 3x − 3 − 1 = 0 ⇔ x 2 − 3x − 4 = 0
Ta có

( a = 1; b = −3;c = −4 ) , suy ra a − b + c = 1 + 3 − 4 = 0

Phương trình có hai nghiệm

x 1 = −1 x 2 = 4
;
.

Với x = −1 thì y = 1 .
Với x = 4 thì y = 16 .

P
d
A −1;1)
B 4;16 )
Vậy khi m = 3 giao điểm của ( ) và ( ) là (
và (
2
P
d
*
b) Xét Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) và ( ) là x − mx − m − 1 = 0 ( )
Có a − b + c = 1 + m − m − 1 = 0

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = −1 và x 2 = m + 1 .
d
P
A x ;y
B x ;y
+ Đường thẳng ( ) cắt ( ) tại hai điểm phân biệt ( 1 1 ) , ( 2 2 ) nằm về cùng một
y + y 2 = 50
phía với trục tung thỏa mãn 1
.
⇔ Phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thỏa mãn y1 + y 2 = 50
 x1 ≠ x 2

 x1 .x 2 > 0

⇔ mx1 + m + 1 + mx 2 + m + 1 = 50 ⇔

m + 1 ≠ −1

−m − 1 > 0
m.m + 2m + 2 = 50




 m ≠ −2

m ≠ −2
 m < −1

 m = 6

m < −1

m 2 + 2m − 48 = 0
⇔
⇔   m = −8 ⇔ m = −8 .

d
P
Vậy với m = −8 thì đường thẳng ( ) cắt ( ) tại hai điểm phân biệt A , B nằm về cùng một
y + y 2 = 50
phía với trục tung thỏa mãn 1
.
19


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

Bài 3. Cho Parabol

( P ) : y = x

2

và đường thẳng

( d ) : y = 2mx − m

2

+ m +1 .

( P ) cắt đường thẳng ( d ) tại hai điểm phân biệt A ( x ; y ) , B ( x ; y )
A x ;y )
b) Tìm giá trị của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt (
B( x ; y )
y + y + 2x = 22 − 2x
sao cho
.
a) Tìm m để parabol

1

1

2

2

1

2

2

1

2

 

2

1

1

Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của

( P)

và

( d)

:

2
2
x 2 = 2mx − m 2 + m + 1 ⇔ x − 2mx + m − m − 1 = 0 ( *)

(

)

∆′ = m 2 − m 2 − m − 1 = m + 1
Để parabol
thì

( *)

( P ) cắt đường thẳng ( d )

có hai nghiệm

x1 , x 2

tại hai điểm phân biệt

A ( x1; y1 ) B ( x 2 ; y 2 )
,

phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1 .


−b
 x1 + x 2 = a = 2m

 x .x = c = m 2 − m − 1
1 2
*
a
a) Áp dụng hệ thức Vi – ét cho phương trình ( ) , ta có: 
Theo đề parabol

( P ) cắt đường thẳng ( d ) tại hai điểm phân biệt A ( x ; y ) , B ( x ; y )
1

⇒ y1 = x12

y2 = x 2 2

;

.Mà

y1 + y 2 +   2x 2 = 22 − 2x1

1

2

2

.

.

⇔ x12 + x 2 2 +   2x 2 = 22 − 2x1 ⇔ ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 +   2 ( x1 + x 2 ) − 22 = 0
.
.
2

m = 2
⇔
⇔ 4m − 2 m − m − 1 +   2.2m − 22 = 0
2
. ⇔ m + 3m − 10 = 0 .  m = −5
2

(

2

)

So với điều kiện m > −1 , ta được m = 2 .
Vậy m = 2 .

P :y = x
Bài 4. Cho ( )

2

và

(d) : y = 2 ( m + 1) x − 2m − 1 = 0  ,m ≠ −1 m
( là tham số )

P
d
x ,x
Tìm m parabol ( ) cắt đường thẳng ( ) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ 1 2
là độ dài 2 cạnh góc vng của một tam giác vng có cạnh huyền là

5.

Lời giải
2
Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) x − 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0 (1)

∆′ =  − ( m + 1)  − 1.( 2m + 1) = m 2 + 2m + 1 − 2m − 1 = m 2
2

Ta có:

20


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI
2
Vì m ≥ 0 với mọi m nên ∆′ ≥ 0 với mọi m .
2
(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt  ∆ ' > 0 ⇔ m > 0 ⇔ m ≠ 0

1
x ,x
Khi m ≠ 0 thì phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt 1 2 thỏa mãn:

 x1 + x 2 = 2 ( m + 1)


 x1 .x 2 = 2m + 1

Vì

x1 , x 2

là hai cạnh góc vng của một tam giác vng có cạnh huyền bằng

x1 > 0 ; x 2 > 0

nên

và

x12 + x 22 = 5

.

Do đó:

m > −1
 x1 + x 2 > 0
−1
2 ( m + 1) > 0

⇔
⇔

−1 ⇔ m >
2
 x1 .x 2 > 0
2m + 1 > 0
m >
2


Lại có:

x12 + x 22 = 5 ⇔ ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 = 5 ⇔  2 ( m + 1)  − 2 ( 2m + 1) = 5

.

2

2

(

5

)

⇔ 4 m 2 + 2m + 1 − 4m − 2 = 5 ⇔ 4m 2 + 8m + 4 − 4m − 2 = 5


1
m = (n)

2
⇔ 4m 2 + 4m − 3 = 0 ⇔ 
 m = − 3 (l)

2 .
Vậy giá trị tham số cần tìm là

m=

1

2.

d : y = 6x + m 2 − 1
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( )
với m là tham số

P :y = x
và parabol ( )

2

.

P
a) Chứng minh (d ) luôn cắt ( ) tại hai điểm phân biệt với mọi m .
d
P
x ;x
x 2 − 6x 2 + x1x 2 = 48
b) Gọi 1 2 là hoành độ giao điểm của ( ) và ( ) . Tìm m để 1
.
Lời giải

P
a) Chứng minh d luôn cắt ( ) tại hai điểm phân biệt với mọi m .
d
P
Phương trình hồnh độ giao điểm của ( ) và ( ) là :
6x + m 2 − 1 = x 2 ⇔ x 2 − 6x − m 2 + 1 = 0 .
(1)

(

)

∆ ' = ( −3) − − m 2 + 1 = m2 + 10 > 0 ∀m
2

Có
.
Do đó phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
P
Nên d luôn cắt ( ) tại hai điểm phân biệt với mọi m .
d
P
x ;x
x 2 − 6x 2 + x1x 2 = 48
b) Gọi 1 2 là hoành độ giao điểm của ( ) và ( ) . Tìm m để 1
.
21


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

Vì

x1

là nghiệm của phương trình (1) nên
x12 − 6x1 − m 2 + 1 = 0 ⇔ x12 = 6x1 + m 2 − 1

. (2)

x − 6x 2 + x1x 2 = 48
Thay (2) vào
ta được
2
6x1 + m − 1 − 6x 2 + x1x 2 = 48 ⇔ 6 ( x1 − x 2 ) + x1x 2 + m 2 − 49 = 0
2
1

.

 x1 + x 2 = 6

x x = 1 − m2
Theo định lý Vi-et cho phương trình (1) ta có :  1 2
.
x > x2
Giả sử 1
ta có
x1 − x 2 =

(x

− x2 ) =
2

1

Thay (4) và (5) và (3) ta có :

(x

+ x 2 ) − 4x1x 2

(3)

(4)

2

1

(

) (

.

(5)

)

6 36 − 4 1 − m 2 + 1 − m 2 + m 2 − 49 = 0

⇔ 6 32 + 4m 2 = 48 ⇔ 32 + 4m 2 = 64 ⇔ m 2 = 8 ⇔ m = ±2 2 .

Vậy m = ±2 2 là giá trị cần tìm
Bài 6. Cho Parabol

( P) : y = x

2

và đường thẳng d ): y = (m + 4)x − 4m, m ≠ 0 , m là tham số

P
d
x ,x
Tìm m parabol ( ) cắt đường thẳng ( ) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ 1 2
x12 + (m + 4)x 2 = 16

Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm

x 2 − ( m + 4 ) x + 4m = 0

∆ = ( m + 4 ) − 4.4m = m 2 + 8m + 16 − 16m = ( m − 4 )
2

2

2
(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt ∆ > 0 ⇔ (m − 4) > 0 ⇔ m ≠ 4

Ta có

x12 − ( m + 4 ) x1 + 4m = 0 ⇒ x12 = ( m + 4 ) x1 − 4m

Ta được

( m + 4) x

1

− 4m + ( m + 4 ) x 2 = 16 ⇔ ( m + 4 ) ( x1 + x 2 ) − 4m = 16

Theo định lí Vi-et ta có:

x1 + x 2 = −

b
= m+4
a

m = 0
⇔
( m + 4) ( x1 + x 2 ) − 4m = 16 ⇔ ( m + 4 ) − 4m = 16 ⇔ m2 + 4m = 0 m = −4
Vậy m = 0 , m = −4 là giá trị cần tìm
2

Bài 7. Cho parabol (P):

y=

1 2
1
x
y = mx − m +

2 và đường thẳng (d):
2.

1 2
1
x = mx − m +
2
a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm: 2
22


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

⇔ x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0

∆ ' = m 2 − 2m + 1 = ( m − 1) ≥ 0 ∀m.
2

và

( d)

ln có điểm chung với mọi giá trị của m.

b) Để m để

( P)

cắt

Vậy

( P)

( d)

tại 2 điểm đối xứng nhau qua trục tung

Thì phương trình hồnh độ giao điểm có hai nghiệm ph ân biệt và tổng hai nghiệm
m ≠ 1

∆ ' > 0
⇔  −2m
⇔ m = 0 ( tm )
.

−
=
0

x + x2 = 0
 1
đó bằng 0 thì  1
Cách 2: Để m để

( P)

cắt

( d)

tại 2 điểm đối xứng nhau qua trục tung thì phương trình

x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng 0

1
 x1.x 2 < 0
m <
⇔
.⇔ 
2 ⇔m=0
 x1 + x 2 = 0
2m = 0

Bài 8. Cho parabol (

P)

2
: y = x và đường thẳng (d): y = mx − 2m + 4 .

P
d
a) Xác định tọa độ các giao điểm của parabol ( ) và và đường thẳng ( ) khi m = 1 .
d
P
b) Tìm m để đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ
x1 , x 2

sao cho

x12 + x 2 2

có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải

Với m = 1 thì (d): y = x + 2 .
Phương trình hồnh độ giao điểm của

x2
Vậy

( d)

và

( P)

là

x=2
y = 4
⇒
⇒
2
= x + 2 ⇒ x − x − 2 = 0  x = −1  y = 1

( d)

cắt

( P)

tại

A ( 2; 4 )

và

B ( −1;1)

.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của

( d)

và

( P)

là

2
x 2 = mx − 2m + 4 ⇔ x − mx + 2m − 4 = 0 (1)

Ta có:

∆ = m 2 − 4 ( 2m − 4 ) = m 2 − 8m + 16 = ( m − 4 )

( d)

( P)

cắt

2

tại 2 điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0

⇔ ( m − 4) > 0 ⇔ m ≠ 4
2

.
23


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

 x1 + x 2 = m

x .x = 2m − 4
Theo định lý Viets, ta có:  1 2

x12 + x 2 2 = ( x1 + x 2 ) − 2x1.x 2 = m 2 − 2 ( 2m − 4 ) = ( m − 2 ) + 4 ≥ 4
2

Ta có

Vậy GTNN của

Bài 9. Cho parabol

x12 + x 2 2

( P) : y = x

2

là 4 khi m = 2 .
2

 và đường thẳng ( d ) : y = 2mx + 1.

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng

( P)

với mọi m .

tại hai điểm phân biệt

A ( x1 ; y1 ) , B ( x 2 ; y 2 )

( d)

luôn cắt parabol

.

D = y1 + y 2 − x1x 2

b) Tìm giá trị của m để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá
trị nhỏ nhất đó.
Lời giải
a) Phương trình hồnh độ giao điểm của

( d)

và

( P)

2
là: x − 2mx − 1 = 0 .

( 1)

2
′
Ta có: ∆ = m + 1 > 0, ∀m .

Phương trình

( 1)

ln có hai nghiệm phân biệt ∀m ∈ R .

Do đó: đường thẳng

( d)

A ( x1 ; y1 ) , B ( x 2 ; y 2 )
b) Theo a) ta có PT

( 1)

ln cắt parabol

( P)

tại hai điểm phân biệt

.

ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .

 x1 + x 2 = 2m


x .x = −1
Theo định lí Vi-et ta có:  1 2
.
2
D = y1 + y 2 − x1x 2 = x12 +x 2 2 – x1x 2 = ( x1 + x 2 ) – 3x1.x 2 = 4m + 3
2

Ta có:

2
D = 4m 2 + 3 ≥ 3 (vì m ≥ 0, ∀m ∈ R ) ⇒ minD = 3 ⇔ m = 0 .

d : y = mx + 1
P : y = 2x 2
Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( )
và ( )
.
Chứng minh rằng

( d)

Hãy tính giá trị của

luôn cắt

( P)

T = x1x 2 + y1y 2

tại hai điểm phân biệt

A ( x1; y1 )

và

B ( x 2 ; y2 ) .

.
Lời giải

d : y = mx + 1

P : y = 2x
Hoành độ giao điểm của ( )
và ( )
2
2
trình: 2x = mx + 1 ⇔ 2x − mx − 1 = 0

24

2

là nghiệm của phương


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

Ta có

∆ = m 2 − 4.2.( −1) = m 2 + 8 > 0 vớ
i mọi m

( d)

Vậy, đường thẳng

( P)

ln cắt

.

tại hai điểm phân biệt

A ( x1; y1 )

và

B ( x 2 ; y2 ) .


m
 x1 + x 2 = 2

 x x = −1
1 2
2
Khi đó theo Vi-ét có 
Vậy nên

(

)(

)

T = x1x 2 + y1y 2 = x1x 2 + 2x12 . 2x 22 = 4 ( x1x 2 ) + x1x 2
2

.

2

 −1   −1  1
= 4. ÷ +  ÷ =
 2   2  2

Bài 11. Cho Parabol

( P ) :y = 12 x

2

và đường thẳng

d
a) Xác định tọa độ giao điểm của ( )

( d ) :y = mx + 2 .

P
và ( )

khi

m=

−3
2 .

d

P
x
b) Tìm các giá trị của m để ( ) cắt ( ) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ 1 và
x2

sao cho

x12 + x 22

có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải

−3
−3
y = x + 2 ( d)
2 vào công thức hàm số y = mx + 2 ta có
2
a) Thay
.
1 2 −3
x = x+2
d
P
2
Hồnh độ giao điểm của ( ) và ( ) là nghiệm của phương trình: 2
m=

 x =1
⇔


⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 ⇔ ( x −1) ( x + 4 ) = 0
x = − 4
1
y=
2.
Khi x =1 ta có
Khi x = − 4 ta có y = 8 .
 1
−3
1; ÷
d
P
−4;8 )
2
(
)
(
)
2 tọa độ giao điểm của
Vậy khi
và
là 
và (
.
d
P
b) Hoành độ giao điểm của ( ) và ( ) là nghiệm phương trình:
1 2
x = mx + 2 ⇔ x 2 − 2mx − 4 = 0 1
()

2
1
Phương trình ( ) là phương trình bậc hai có ac = − 4 < 0
⇒∀m phương trình ( 1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 và x 2 .
⇒∀m , ( d ) và ( P ) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 và x 2 .

m=

25