Chuyên đề: Căn bậc hai

CHUYỂN ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI – RÚT GỌN BIỂU THỨC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm
x là căn bậc hai của số không âm a
⇔
x
2
= a. Kí hiệu:
x a=
.
2.Điều kiện xác định của biểu thức
A
Biểu thức
A
xác định
⇔

0A ≥
.
3.Hằng đẳng thức căn bậc hai
2
0
0
A khi A
A A
A khi A

≥
= =

− <


4.Các phép biến đổi căn thức
+)
( )
. . 0; 0A B A B A B= ≥ ≥
+)
( )
0; 0
A A
A B
B
B
= ≥ >
+)
( )
2
0A B A B B= ≥
+)
( )
1
. . 0; 0
A
A B A B B
B
B
= ≥ ≠
+)
( )
( )
2

2
.
0;
m A B
m
B A B
A B
A B
= ≥ ≠
−
±
m
+)
( )
( )
.
0; 0;
n A B
n
A B A B
A B
A B
= ≥ ≥ ≠
−
±
m
+)
( )
2
2 2 .A B m m n n m n m n± = ± + = ± = ±

với
.
m n A
m n B

+ =

=

5. Hằng đẳng thức:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
3 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 3 2 2 3 3 2 2
2 2
3 3 3 3
A AB B A B A AB B A B
A B A B A B
A A B AB B A B A A B AB B A B
A B A B A AB B A B A B A AB B
+ + = + − + = −

− = − +
+ + + = + − + − = −
− = − + + + = + − +
1
6. Xột du tam thc:
( )
2
0ax bx c a
+ +

Bc 1(Nhỏp): Cho
2
0ax bx c+ + =
, ri gii tỡm nghim
1 2
,x x
(Gi s
1 2
x x<
)
Bc 2(nhỏp): Lp bng xột du:
x
1
x

2
x

2
ax bx c+ +

Cựng du a 0 trỏi du a 0 Cựng du a
Bc 3: Kt lun
Lu ý: Nu

<0 thỡ
2
ax bx c+ +
cựng du vi a
B. BI TP:
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
2 2
2 2
2
2
1) 3x 1 2) x 3 3) 5 2x 4) x 2
1
5) 6) x 3x 7 7) 2x 1 8) 2x 5x 3
7x 14
3 x 1 x 3 1 3x
9) 10) 11) 12)
7 x
7x 2 x 3 5 x
x 5x 6
1
13)
2x x
+
+ +

+
+

+
+

14) 6x 1 x 3 + +
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( với x

0 )
a)
2 3 6 8+ + +
b) x
2
- 5 c) x - 4 d)
1x x
Bi 3: Rỳt gn:
1) 2 3.3 6 2) 3. 27 3) 9 3.3 27

( ) ( )
4) 7 7 2 28

5) 5 3 : 15

6)15 6 :5 3

( )
1
7) 5. 6 2
2

8) 36 8 :12 2

9) 2 48 :2 3

Bài 4: Đa các biểu thức sau về dạng bình phơng.
1)
3 2 2+
2)
3 8
3)
9 4 5+
4)
23 8 7
5)14 8 3+

6) 46 6 5

7) 29 12 5+

8)27 12 2

9)49 20 6

10)98 16 3

11) 2 3

12) 23 3 5+

B i 5: Đa một thừa số vào trong dấu căn.
>


2 2
3 5 2
a) ; b) x (với x 0);
5 3 x
2 x 7
c) x ; d) (x 5) ; e) x
5
25 x x
Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau:
1/ Tớnh:
2
a/
8 3 32 72 +
b/
2 5 125 80
c/
4 24 2 54 3 6 150 +
d/
2 18 3 80 5 147 5 245 3 98 +
e/
3 112 7 216 4 54 2 252 3 96 +
f/
2 3 75 2 12 147 +
g/
20 2 45 3 80 125+ +

h/
3 12 20 2 27 125 +
k/
27 2 3 2 48 3 75 +
l/
3 2 4 18 32 50 +
m/
6 12 20 2 27 125 +
n/
3 2 8 50 4 32 +
o/
18 3 80 2 50 2 45 +
p/
( )
3 2 50 2 18 98 +
2/
a)
( )
2
4 17
b)
6 14
2 3 28
+
+
c)
2
5
5
x

x

+
(với x

5)
d)
1
1
x x
x


( với
0, 1x x
)
3/
3
a) ( 28 2 14 7) 7 7 8; d) 6 2 5 6 2 5;
b) ( 8 3 2 10)( 2 3 0,4); e) 11 6 2 11 6 2
c) (15 50 5 200 3 450): 10; f) 5 2 7 5 2
+ ì + + +
+ +
+ +
3
3;
3
3 3
7
g) 20 14 2 20 14 2; h) 26 15 3 26 15 3

+ + +
C. LUYEN TAP:
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
2 2
1) 5x 1 2) x 9 3) 5 4x 4) x 3
1 3 x
2
5) 6) x 3x 7 7) 2x x+1 8)
6x 12 7x 2

2
3
+

+
+
+

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
1/
a/
20 45 3 18 72 + +
b/
1 1
48 2 75 54 5 1
2 3
+
c/
( 28 2 3 7) 7 84 + +

d/
(7 48 3 27 2 12): 3+
e/
2
(2 3 3 2) 2 6 3 24 + +
f/
3 2 3 2 2
(2 3)
3 2 1
+ +
+ +
+
g/
2 2
( 3 2) ( 2 3)+ +
h/
7 2 10 7 2 10 +

k)
5 3 29 12 5
3
2/
) (4 15)( 10 6) 4 15 b) (3 5) 3 5 (3 5) 3 5
c) 3 5 3 5 2 d) 4 7 4 7 7
e) 6,5 12 6,5 12 2 6
a + + + +
+ + +
+ + +
Bài 3: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
a)

5 3x =
b)
3 2 5x
c)
3
2
3
x
x
+
=

Bài 4: Cho biểu thức: A =
1 1
1
1
x x x
x
x
+


+
a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tính giá trị biểu thức A khi x =
9
4
.
Bài 5: Cho biểu thức: B =
1 2 2 5
4

2 2
x x x
x
x x
+ +
+

+
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B. b) Tìm x để B = 2.
Bài 6: So sánh (Chú ý:
0A B A B
)
a) 4 và
2 3
b) -
5
và -2 c)
1
6
2
và 6
1
2
Bài 7: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a)
3 5
; 2
6
;
29

; 4
2
b) 6
2
;
38
; 3
7
; 2
14
Bài 8: Rút gọn các biểu thức
a)
1
:
a b b a
ab a b
+

b)
1 1
1 1
a a a a
a a

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+

c)
1 1 1
:
1 2 1
a
a a a a a

+
+
ữ
+

Bài 9: Xét biểu thức A =
1 1 2
:
2
a a a a a
a
a a a a

+ +

ữ
ữ

+

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên a để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Bài 10: Xét biểu thức B =
2 2 2 2 2 2

1 :
a a b
a b a b a a b

+
ữ
ữ



với a > b >0
a) Rút gọn B b) Tìm giá trị của B khi a = 3b
4
Bài 11: Cho biểu thức
x 3
P
x 1 2

=

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 -
3
).
Bài 12: Xét biểu thức
2
a a 2a a
A 1.
a a 1 a
+ +

= +
+
a) Rút gọn A.
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với
A
.
c) Tìm a để A = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 13: Cho biểu thức
1 1 x
C
1 x
2 x 2 2 x 2
= +

+
a) Rút gọn biểu thức C.
b) Tính giá trị của C với
4
x
9
=
.
Bài 14: Cho biểu thức
2 2 2 2 2 2
a a b
M 1 :
a b a b a a b

= +

ữ
ữ


a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị M nếu
a 3
.
b 2
=
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Bài 15: Xét biểu thức
2
x 2 x 2 (1 x)
P .
x 1 2
x 2 x 1

+
= ì
ữ
ữ

+ +

a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 16: Xét biểu thức
2 x 9 x 3 2 x 1

Q .
x 5 x 6 x 2 3 x
+ +
=
+
a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
Bài 17: Xét biểu thức
( )
2
3 3
x y xy
x y
x y
H :
x y
x y x y
+



ữ
=
ữ

+

a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H 0.
Bài 18: Xét biểu thức

a 1 2 a
A 1 : .
a 1
a 1 a a a a 1

= +
ữ ữ
ữ ữ
+
+

a) Rút gọn A.
5
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.
Bài 19: Xét biểu thức
3x 9x 3 x 1 x 2
M .
x x 2 x 2 1 x
+ +
= +
+ +
a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng là số nguyên.
6