(SKKN mới NHẤT) phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lí do chọn đề tài
Mục tiêu đối với giáo dục phổ thơng đó là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất,
năng lực cơng dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho
học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng lí tưởng, truyền thống,
đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến
thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt
đời.
Trong q trình dạy học tốn ở bậc phổ thơng, việc bồi dưỡng kiến thức và
phát triển tư duy cho học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên. Thực tế
cho thấy nhiều giáo viên khi dạy học vẫn còn nặng về khâu truyền thụ kiến thức, các
kiến thức đưa ra hầu như là sẵn có, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, chưa chú trọng nhiều
về việc dạy học sinh cách học, do đó chưa phát triển được năng lực tư duy và sáng
tạo cho học sinh. Thông thường thì các em học sinh mới chỉ giải quyết trực tiếp các
bài tập toán mà chưa khai thác được tiềm năng của bài tốn đó. Học sinh chỉ có khả
năng giải quyết vấn đề một cách rời rạc mà ít có khả năng xâu chuỗi chúng lại với
nhau thành một hệ thống kiến thức lớn. Chính vì vậy việc bồi dưỡng, phát triển tư
duy tương tự hóa, khái quát hóa,… là rất cần thiết đối với học sinh phổ thơng. Việc
làm này giúp các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận,
phát hiện vấn đề nhanh và giải quyết vấn đề có tính lơgic và hệ thống cao.
Mặt khác, Toán học là một bộ môn đòi hỏi phải tư duy logic, phải biết vận
dụng và kết hợp linh hoạt nhiều kiến thức lại với nhau. Do đó, việc hình thành
phương pháp giải từng dạng toán cho các em học sinh là rất cần cần thiết, đặc biệt
là để vừa đảm bảo tính chính xác và cả sự nhanh lẹ. Trong chương trình Toán học
THPT, hình học khơng gian là một trong những chủ đề trọng tâm, xuyên suốt. Đặc
biệt các bài toán về cực trị, liên quan đến chủ đề này luôn gây không ít khó khăn cho
người học; các bài tốn loại này xuất hiện nhiều trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi
tỉnh lớp 11, 12 và kỳ thi tốt nghiệp THPT ở mức độ vận dụng của đề thi. Để học tốt
chủ đề này người học ngoài việc nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản thì cần có
thêm nhiều kỹ năng giải, có tư duy độc lập và tư duy sáng tạo. Vì vậy, trong quá
trình dạy học, nếu người dạy biết cách khai thác các bài toán về giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất của các biểu thức, các đại lượng Hình học từ những kiến thức cơ bản,
bài tập đơn giản thì không những giúp các em học tập có hiệu quả mà cịn tạo hứng
thú học tập cho các em học sinh, và còn góp phần quan trọng trong việc rèn luyện
và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho người học.
Từ những ý tưởng và lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu
(SKKN) là: ‘‘Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thơng qua việc khai thác
một số bài tốn cực trị trong hình học khơng gian”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu về mặt lý luận dạy học.

TIEU LUAN MOI download :

1


- Nghiên cứu và khai thác một số tính chất hình học phẳng và hình học khơng
gian vào giải quyết bài tốn cực trị hình khơng gian.
- Bước đầu giúp học sinh biết cách tìm tịi, phát hiện các tính chất của hình
học, các kiến thức tổng hợp về đại số, giải tích để giải quyết bài tốn liên quan đến
đề tài nghiên cứu. Bên cạnh đó nâng cao tinh thần và năng lực tự học, tự nghiên cứu,
phát triển các năng lực tư duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi, định hướng, giải
quyết các bài toán của bản thân học sinh.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Học sinh khá giỏi THPT, đặc biệt là học sinh khối 11, 12 đam mê và có định
hướng tham gia các kì thi HSG hay kì thi tốt nghiệp THPT với mục tiêu cao.
- Giáo viên THPT
- Bám sát nội dung chương trình Toán THPT.
- Mở rộng phù hợp với nội dung thi HSG.
1.4. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu
- Phương pháp điều tra, phân tích

- Phương pháp thực nghiệm: Sử dụng các bài toán hỗ trợ học sinh luyện tập
trong quá trình tự học, thực nghiệm cho các lớp giảng dạy và đồng nghiệp sử
dụng để rút ra các kết luận, bổ sung vào đề tài.
- Xây dựng từng lớp các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong

hình học không gian theo từng nội dung mà đề tài đưa ra.
- Định hướng khai thác, mở rộng hoặc sáng tạo ra bài toán mới phát huy được

năng lực tư duy của học sinh .
1.5. Tổng quan về đề tài và tính mới của đề tài
Nội dung chính của đề tài là khai thác một số bài tốn hình học khơng gian
phát triển năng lực tư duy cho học sinh.
Đề tài chỉ đề cập tới một số bài tốn điển hình về cực trị có thể vận dụng trong
hình học khơng gian, chưa bao qt hết tất cả các dạng tốn. Tuy nhiên thơng qua
các bài toán này phần nào giúp các em nắm được phương pháp chung để vận dụng
vào giải quyết các bài toán cũng như phát hiện và phát triển thêm bài tốn mới, nhiều
cách giải quyết bài tốn góp phần nâng cao năng lực tư duy của bản thân người học.
Đề tài khai thác được một số bài toán liên hệ thực tế để học sinh có cái nhìn
sinh động hơn và sâu sắc hơn về tốn học nói chung và hình học khơng gian nói
riêng. Đề tài tập trung vận dụng kết quả bài tốn đại số hay tính chất hình học để
giải quyết bài tốn hình học đồng thời vận dụng nó để giải quyết những bài tốn mới
và có thể mở rộng, nâng cao mức độ của bài tốn. Vì thế nó giúp học sinh cũng cố
được kiến thức đã học vừa phù hợp để ôn thi tốt nghiệp THPT vừa làm tài liệu tự
học hỗ trợ cho học sinh khá giỏi.

TIEU LUAN MOI download :

2

Phần II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở khoa học
a) Cơ sở lí luận:
- Năng lực tư duy
Có thể hiểu năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện,
trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận, giải quyết vấn đề, xử lí tình
huống trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực
tiễn.
Theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018 mơn Tốn , một trong những
biểu hiện quan trọng của năng lực tư duy và lập luận toán học là “thực hiện được
tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và
khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc
quan sát” (Bộ GD-ĐT, 2018).
- Phát triển năng lực tư duy
Có thể nói, phát triển năng lực tư duy HS chính là hình thành và rèn luyện cho
HS 4 yếu tố cơ bản của tư duy gắn liền với việc hình thành và phát triển cho học
sinh các thao tác của tư duy (phân tích, so sánh, suy luận, tổng hợp, khát quát, đánh
giá, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa); các phẩm chất của tư duy (tính linh hoạt, tính sáng
tạo, tính bền bỉ, tính năng động, tính đa dạng, đa chiều trong tư duy); các kỹ năng
của tư duy (kỹ năng tư duy phê phán, kỹ năng tư duy đối thoại, kỹ năng tư duy sáng
tạo, kỹ năng tư duy giải quyết vấn đề).
- Khai thác một số tính chất hình học phẳng và hình học khơng gian, kiến thức
về cực trị hàm số, các bất đẳng thức đại số cơ bản thường dùng, sử dụng cho các bài
tốn tìm cực trị hình học khơng gian, từ đó HS có thể tự tìm phương pháp giải quyết
bài toán phù hợp, và cao hơn là có thể phát biểu các bài tốn mới.
b) Cơ sở thực tiễn
- Sau khi giải quyết một bài toán ngồi việc kiểm tra, mở rộng bài tốn thì
chúng ta ln suy nghĩ xem phương pháp, kết quả của nó có thể vận dụng như thế
nào vào việc giải các bài tốn khác.
- Giải tốn có tác dụng bổ sung, hoàn thiện, nâng cao và liên kết các phần kiến

thức lý thuyết liên quan một cách trực tiếp rõ ràng nhất. Đồng thời giúp cho học sinh
phát triển tính tự giác tích cực, tạo tiền đề nâng cao các năng lực tư duy, khả năng
tự học, củng cố cách trình bày lời giải, khả năng khám phá, hình thành phương pháp
làm việc khoa học, hiệu quả.
- Thông qua hệ thống bài tập nâng cao giúp giáo viên có thêm một kênh thông
tin đánh giá năng lực tư duy trong học tập của học sinh. Từ đó phát hiện và hỗ trợ
các em phát huy được khả năng bản thân hiệu quả và toàn diện nhất.
2.2. Thực trạng của vấn đề
3

TIEU LUAN MOI download :


- Trong thực tế quá trình dạy học tại trường, tơi thấy việc học tập bộ mơn hình
học khơng gian cịn khá nhiều khó khăn đối với học sinh,
- Việc dạy học chủ đề cực trị hình học khơng gian của đa số giáo viên cịn gặp
khá nhiều khó khăn trong việc lựa chọn cách thức tổ chức dạy học và xây dựng
nguồn bài tập phong phú, đa dạng để kích thích được tư duy người học.
- Nhóm nội dung kiến thức về cực trị trong hình học không gian là một trong
những nội dung cần thiết cho học sinh khá giỏi. Sách giáo khoa, sách bài tập cũng
đã đề cập đến dạng tốn này. Và đặc biệt có khá nhiều bài toán xuất hiện trong các
kì thi HSG, các bài tốn mức độ vận dụng trong kì thi tốt nghiệp THPT những năm
gần đây. Do đó, nội dung đề tài mang tính thời sự cao và đáp ứng được nhu cầu
giảng dạy cũng như học tập của một bộ phận không nhỏ giáo viên và học sinh.
- Thực tế nội dung liên quan đến đề tài vẫn còn hạn chế nhiều về nguồn tài
liệu một cách hệ thống nên bài viết phần nào hỗ trợ giáo viên và học sinh có thêm
nguồn tài liệu bổ ích phục vụ cho cơng tác giảng dạy và học tập bộ mơn hình học
khơng gian.
- Trong q trình giải tốn, tiềm năng sáng tạo của học sinh được bộc lộ và
phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới những góc độ khác

nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi lý giải một vấn đề, biết đề xuất những giải pháp
khác nhau khi xử lý tình huống. Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy rằng để gây hứng
thú học tập, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo, khám phá kiến thức, học sinh, giáo viên
cần phải trang bị cho mình các kiến thức, kỹ năng, các phương pháp học tập phù
hợp. Bản thân nhận thấy trong quá trình tham gia giảng dạy lớp 12 và bồi dưỡng
HSG tỉnh, chúng ta thường bắt gặp các bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao,
trong đó có các bài tốn cực trị trong hình học khơng gian thường hay gặp ở các chủ
đề về thể tích, góc, khoảng cách, biểu thức về độ dài, Oxyz, ... Do vậy bản thân rất
trăn trở suy nghĩ tìm cách rèn luyện cho học sinh cách tư duy khi đứng trước các bài
toán này. Tơi hy vọng rằng, qua đề tài này có thể phần nào thực hiện được điều đó.
2.3. Triển khai nội dung của đề tài
Đối với bài toán cực trị trong hình học khơng gian có nhiều phương pháp giải
nhưng trong giai đoạn hiện nay để phù hợp với yêu cầu thực tế giải quyết các bài
toán này, đòi hỏi các đối tượng học cần nghiên cứu sâu sát, để có kĩ năng chuyển
hóa, sự nhìn nhận vấn đề một cách tốt nhất, vận dụng linh hoạt để hướng đến các
hướng giải quyết theo một lớp phương pháp cụ thể, từ đó người học có thể giảm bớt
nhiều khó khăn khi trong quá trình định hướng cũng như giải quyết bài tốn đó.
Việc đề xuất các hướng giải quyết cho bài tốn cực trị hình khơng gian theo
các lớp phương pháp đã phân loại cụ thể góp phần phát triển năng lực tư duy của
người học. Qua đó học sinh sẽ vạch ra được các hướng giải quyết cho mỗi bài tốn
và dần dần hình thành kĩ năng để có được sự lựa chọn phù hợp từng phương pháp
dựa vào đặc thù của mỗi bài toán. Cụ thể trong đề tài này tôi phân chia khai thác các

4

TIEU LUAN MOI download :


bài tốn cực trị theo một số nhóm phương pháp giải quyết đồng thời cho học sinh tự
rèn luyện và tổng hợp một số kết quả của học sinh trong từng dạng bài đã giáo.

2.3.1. Khai thác các tính chất hình học giải quyết bài tốn tìm cực trị hình
học
1. Các tính chất
a) Nhóm tính chất hình học liên quan đến độ dài
Tính chất 1. Trong khơng gian, cho 2 điểm phân biệt A, B . Với điểm M tùy ý, ta
ln có:
 MA  MB  AB . Dấu “=” xảy ra khi M , A, B thẳng hàng và M thuộc đoạn
AB .
 MA  MB  AB . Dấu “=” xảy ra khi M , A, B thẳng hàng và M nằm ngồi
đoạn AB ( M có thể trùng với A hoặc B ).
Tính chất 2. Cho mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R và điểm A khơng thuộc mặt
cầu  S  . Gọi M là một điểm di động trên mặt cầu  S  , khi đó ta ln có tính chất
sau: R  IA  AM  IA  R . (Tính chất 2 được mở rộng lên từ tính chất tương tự
trong hình học phẳng về điểm và đường trịn).
b) Nhóm tính chất hình học liên quan đến khoảng cách
Tính chất 3. Cho mặt phẳng  P  và điểm M  P  . Với điểm N tùy ý thuộc  P 
ta ln có: MN  MH , với H là hình chiếu vng góc của M trên  P  . Dấu “=”
xảy ra khi N  H .
Tính chất 4. Cho đường thẳng d và điểm M d . Với điểm N tùy ý trên d , ta ln
có MN  MH , với H là hình chiếu vng góc của M trên d . Dấu “=” xảy ra khi
N H .
Tính chất 5. Cho hai điểm phân biệt A và B . Một mặt phẳng  P  thay đổi luôn đi
qua B . Khi đó d  A;  P    AB . Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ khi  P   AB .
Tính chất 6.
1. Cho điểm A và đường thẳng d  A  d  . Một mặt phẳng  P  thay đổi ln
chứa đường thẳng d . Khi đó d  A;  P    d  A; d  . Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ
khi  P  vng góc với mặt phẳng chứa A và d .
2. Cho điểm A không thuộc mặt phẳng  P  và đường thẳng d thay đổi nằm
trong mặt phẳng  P  . Khi đó d  A;  P    d  A; d  . Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ
khi d đi qua hình chiếu vng góc của A lên  P  .

c) Nhóm tính chất hình học liên quan đến góc
Tính chất 7. Cho hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nhưng khơng vng góc. Một
mặt phẳng (P) thay đổi ln chứa d2. Khi đó (d1;(P)) < (d1; d2). Dấu “= ” xảy ra khi
và chỉ khi (P) vng góc với mặt phẳng chứa d1 và d2.
Chứng minh:
5

TIEU LUAN MOI download :


Gọi I  d1  d2 . Lấy M  d1 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của M lên
 P
d1

M

d2

I

H

K

Mặt khác sin  d1; d2   sin MIK 

MK
MH
;sin  d1;  P    sin MIH 
MI

MI

 sin  d1;  P    sin  d1; d2    d1;  P     d1; d2  .
Khi đó MH  MK . Dấu “=” xảy ra khi H  K .

 Mặt phẳng  P  vng góc với mặt phẳng chứa d1 , d 2
Tính chất 8. Trong khơng gian cho hai mặt phẳng  P  và  Q  cắt nhau và đường







thẳng d   Q  . Khi đó, d ,  P    P  ,  Q  , dấu “=” xảy ra khi d vng góc với
giao tuyến của  P  và  Q  .
Chứng minh:
Gọi I  d   P  . Lấy M  d , M  I . Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên
 P  và K là hình chiếu của H lên giao tuyến của  P  và  Q  . Khi đó HK  HI
(Q)
d

M
I
K

(P)

Ta có tan   P  ;  Q    tan MKH 

H

MH
MH
, tan  D;  P    tan MIH 
IH
KH

Do đó: tan  d ;  P    tan   P  ;  Q     d ;  P      P  ;  Q   .
Dấu bằng xảy ra khi K  I hay d  a với a   P    Q  .
d) Nhóm tính chất liên quan đến véc tơ.
2



AB 2  AB , A, B .



u  v  u  v  u  v , u1  u2  ...  un  u1  u2  ...  un
6

TIEU LUAN MOI download :


 Cho n điểm phân biệt A1, A2 ,..., An và bộ số k1, k2 ,..., kn thỏa mãn
n

k1  k2  ...  kn  0 . Khi đó tồn tại duy nhất điểm I sao cho

 k .IA  0 .
i 1

i

i

 Trong không gian, bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng khi và chỉ khi với điểm
M tùy ý ta ln có MA  a.MB  b.MC  c.MD và a  b  c 1.
Trong nội dung này, tác giả chọn lọc và đưa ra một số bài tốn cực trị hình
khơng gian có sử dụng đến các tính chất hình học đã được hệ thống ở trên. Đồng
thời đưa ra những phân tích, quy trình huy động kiến thức và một số bình luận phù
hợp để việc tìm ra lời giải cho bài tốn khi chưa có hoặc khơng có thuật giải tổng
qt. Qua đó góp phần truyền thụ cho học sinh cách thức suy nghĩ, định hướng tìm
tịi lời giải cho mỗi bài tốn và từ đó hình thành một số năng lực tư duy cũng như
nâng cao kĩ năng, hiệu quả giải các bài tốn trong q trình các em tự học.
Mỗi bài tốn được đưa ra sau khi phân tích sẽ được trình bày theo hướng tìm
ra thuật giải chung gồm:
Bước 1: Phân tích bài tốn: Tìm ra những yếu tố để phát hiện và liên hệ đến một
tính chất hình học cụ thể đã biết.
Bước 2: Sử dụng tính chất đó giải quyết bài tốn.
Bước 3: Khai thác các bài toán cùng dạng và hướng dẫn cho học sinh tự học
2. Ví dụ áp dụng
Trong phần này tác giả hướng dẫn học sinh tự rèn luyện bằng các bài tốn
phân loại theo u cầu bài tốn sử dụng tính chất hình. Ta xét bài tốn cực trị liên
quan đến thể tích khối đa diện, bài tốn cực trị về độ dài gắn liền với thực tế, bài
tốn về góc, khoảng cách sử dụng vecto tọa độ và các tính chất hình học liên quan.
Bài tốn 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a , G là trọng tâm tam giác BCD . Gọi I
là trung điểm cạnh SG . Mặt phẳng  P  thay đổi luôn đi qua I , cắt các cạnh

AB, AC, AD lần lượt tại M , N , P . Khi khoảng cách từ A đến  P  là lớn nhất, tính
thể tích khối đa diện MNPABC .
A

M

P
I

B
D

N
G
C

Bước 1: Phân tích bài tốn
7

TIEU LUAN MOI download :


Bài toán đã chỉ rõ mặt phẳng đi qua điểm I cố định. Nên sử dụng Tính chất
5 ta suy ra d  A;  P    AI suy ra khoảng cách lớn nhất bằng AI .
Bước 2: Giải quyết bài tốn
Áp dụng tính chất 5, ta được d  A;  P    AI .

Dấu “=” xảy ra khi

VAMNP 1

7
7 2a 3
.
AI   P    P  //  BCD  
  VMNP. ABC  VABCD 
VABCD 8
8
96
Bước 3: Khai thác các bài tốn kết hợp tính chất liên quan đến khoảng cách và
hướng dẫn cho học sinh tự học.
Sử dụng các tính chất 5, 6 về khoảng cách độ dài và thay đổi một số yếu tố
của bài toán liên quan đến giả thiết hay yêu cầu đưa ra, ta có thêm bài tốn mới theo
các mức độ khác nhau.
Bài toán 1.1. Trong mặt phẳng  P  cho
tam giác ABC đều cạnh bằng 8cm và
một điểm S di động ngoài mặt phẳng
 P  sao cho tam giác MAB ln có

S

M

2

diện tích bằng 16 3cm , với M là trung
điểm của SC . Gọi  S  là mặt cầu đi qua
bốn đỉnh M , A , B , C . Khi thể tích
khối chóp S . ABC lớn nhất, tính bán
kính nhỏ nhất của  S  .

A

C
I

H
B

Bài tốn 1.2. Cho hình chóp S . ABCD
có ABCD là hình vuông cạnh 2a . Cạnh
SA vuông với mặt phẳng  ABCD  và

S

SA  a 2 . Gọi E là điểm trên đoạn

BD sao cho DE  3EB . Gọi M là điểm
thuộc đoạn AB sao cho AM  x . Tìm x
để khoảng cách từ D đến  SME  là lớn

A

D

nhất.
M
E
B

C

8

TIEU LUAN MOI download :


Bài tốn 1.3. Cho hình chóp đều
S . ABCD có AB  a, SA  2a . Mặt
phẳng  P  thay đổi đi qua A và cắt các
cạnh SB, SD lần lượt tại M , N sao cho
1
1
3

 . Tìm giá trị lớn nhất của
SM SN a
khoảng cách từ C đến  P  .

S
E
M

N

I
D
A
O

B

C

Sản phẩm học sinh tự học
1.1. Cách 1:

Cách 2:

9

TIEU LUAN MOI download :


1.2.

1.3.

10

TIEU LUAN MOI download :


Bài tốn 2. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC 1 và ASB  ASC  CSB  30
. Mặt phẳng    thay đổi luôn đi qua A và cắt các cạnh SB, SC tại M , N . Tìm giá
trị nhỏ nhất của chu vi tam giác AMN .
Bước 1: Phân tích bài toán
 Bài toán yêu cầu ta đi tìm min  AM  MN  NA .
 Biểu thức trên là tổng độ dài các đoạn thẳng có quy luật nối tiếp nhau nên ta
nghĩ đến việc sử dụng Tính chất 1
 Vì 3 đoạn thẳng AM , MN , NA thuộc 3 mặt bên của hình chóp nên chưa thể

áp dụng tính chất 1 ngay được. Hơn nữa việc gắn biến hoặc xây dựng mối liên
hệ giữa 3 đoạn thẳng này cũng khá rắc rối và chưa có cơ sở để thực hiện.
11

TIEU LUAN MOI download :


 Từ đó gợi mở cho học sinh nãy sinh ý tưởng trải hình chóp ra phẳng như hình
vẽ dưới đây
S

D=A

S
N

N
Trải phẳng

C

M
A

M

C

B
A

B

Bước 2: Hướng giải bài tốn
Trải hình chóp S . ABC ra phẳng ta được hình vẽ như ở trên ( D chính là điểm A
ban đầu). Khi đó chu vi tam giác AMN là
P  AM  MN  NA  AH  HK  KD  AD . Dấu “=” xảy ra  M  H , N  K .

Vì tam giác SAD vng cân tại S , nên AD  SA 2  2 .
Vậy, chu vi tam giác AMN nhỏ nhất bằng

2.

Bước 3: Khai thác các bài toán thực tế liên quan đến độ dài đường gấp khúc và
hướng dẫn cho học sinh tự học
Từ bài tốn này, có thể khai thác các bài tốn thực tế áp dụng tính chất đường
gấp khúc có thay đổi hình thức của giả thiết hay kết luận cho học sinh tự rèn luyện
thêm.
Bài toán 2.1. Người ta cần trang trí một
kim tự tháp hình chóp tứ giác đều
S . ABCD cạnh bên bằng 200m , góc
ASB 150 bằng đường gấp khúc dây
đèn led vòng quanh kim tự tháp
AEFGHIJKLS (như hình vẽ). Trong đó
điểm L cố định và LS  40m . Tính độ
dài đoạn dây tối thiểu dùng để trang trí
kim tự tháp.

S
L

I

H

K

J
G
F

E

C
B

A

D

12

TIEU LUAN MOI download :


Bài tốn 2.2. Cho hình lập phương
ABCD. ABCD cạnh a . Một con kiến
xuất phát từ đỉnh A đi trên các mặt của
hình lập phương. Tính qng đường
ngắn nhất con kiến đi từ A đến B mà
phải đi qua tất cả các mặt ABCD,

ABCD của hình lập
CDDC,
phương.

Bài tốn 2.3. Cho hình chóp hình tứ
giác đều SABCD cạnh bên SA  600
(mét), ASB  15O . Chọn trên các cạnh
bên SA, SB, SC, SD lần lượt các điểm
Q, M , N , P sao cho độ dài đường gấp
khúc AMNPQ ngắn nhất. Tính tỉ số
AM  MN
k
.
NP  PQ
Sản phẩm học sinh tự học
2.1.

13

TIEU LUAN MOI download :


2.2.

2.3.

14

TIEU LUAN MOI download :

Bài tốn 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA  a ,
AB  SB  SC  SD  a 3. Gọi M là điểm thay đổi trên đường thẳng CD . Gọi 
là góc giữa SM và mặt phẳng  ABC  , tính tan  khi  lớn nhất.

Bước 1: Phân tích bài tốn
 Bài tốn u cầu xác định số đo góc nhỏ nhất giữa đường thẳng và mặt phẳng,
ta liên tưởng đến việc sử dụng nhóm tính chất liên quan đến góc, cụ thể là
Tính chất 7
 Từ giả thiết đề cho thiết lập được một số mối quan hệ giữa các yếu tố của bài
toán để giải quyết nó.
+ Gọi O là tâm của hình bình thoi ABCD .
Xét hai tam giác ABD và SBD ta có: AB  SB , AD  SD , BD chung.
Suy ra ABD  SBD  AO  CO  SO (hai đường trung tuyến tương ứng).
Tam giác SAC có đường trung tuyến SO và AO  CO  SO . Do đó SAC vng
tại S .
Từ đó ta tính được AC  SA2  SC 2  2a , OD  CD 2  OC 2  a 2 .
+ Gọi H là hình chiếu của S trên AC , từ giả thiết ta có:

BD   SAC   SH   ABC  .
+ Trong SAC ta có SH . AC  SA.SC  SH 
 d  S ,  ABC   

SA.SC a.a 3 a 3


AC
2a
2

a 3
2

Ta có HC 2  SC 2  SH 2  3a 2 

3a 2 9a 2
3a

 HC 
4
4
2

Do SH   ABC     SMH .

15

TIEU LUAN MOI download :


Bước 2: Giải quyết bài toán

SH
lớn nhất  HM
HM
ngắn nhất  M là hình chiếu của H trên đường thẳng CD . Ta có CHM đồng
HM HC
HC.DO a 6

 HM 


dạng CDO 
. Khi đó
OD DC
DC
2
a 3/2
2
tan  

.
2
a 6/2
Sử dụng Tính chất 7 ta có  lớn nhất khi tan  

Bước 3: Khai thác các bài toán sử dụng tính chất hình học trong tọa độ khơng gian
và hướng dẫn cho học sinh tự học
Các ví dụ trên đã góp phần định hướng tư duy cho học sinh, tôi thấy nhiều em
tự tin hơn và không còn bị động mỗi khi gặp dạng tốn này nữa. Thơng qua quy trình
thực hiện tương tự, tơi có giao một nhiệm vụ cho học sinh 12 khi các em tiếp cận
đến phần vecto và tọa độ trong không gian. Yêu cầu đặt ra là “Các em hãy xây dựng
một nhóm bài tốn cực trị có sử dụng một số tính chất hình học về độ dài, góc,
khoảng cách hay vecto”. Kết quả thu được từ tập thể học sinh lớp 12A6 THPT
Chuyên Phan Bội Châu như sau:
Bài toán 4. Cho mặt cầu  S  : x2   y  2   z  4  9 , và điểm A1;  2;0  . Gọi
M là điểm thuộc  S  . Tìm giá trị lớn nhất của AM .
2

2

Bước 1: Phân tích bài tốn
 Bài tốn cho mặt cầu, một điểm cố đinh không thuộc với một điểm bất kì
thuộc mặt cầu đó.
 Ta liên hệ đến Tính chất 2 để xác định vị trí tương đối của điểm cố định với
mặt cầu và xác định yêu cầu bài toán.
Bước 2: Giải quyết bài toán
Dễ thấy I  0;2; 4  , R  3 là tâm và bán kính mặt cầu  S  .
Ta có IA  33  3  R nên điểm A nằm ngồi mặt cầu.
Từ đó kết luận AM  IA  R  33  3 là giá trị lớn nhất cần tìm.
Bước 3: Phát triển bài tốn
Bằng việc thay đổi vị trí tương đối của điểm cố định ở giả thiết Bài tốn 4
cộng thêm kết hợp các tính chất về tâm tỉ cự ta có sáng tạo lớp bài tốn tương tự sau:
Bài tốn 4.1. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 8;5; 11 ,
2
2
2
, B  5;3; 4  , C 1;2; 6  và mặt cầu  S  :  x  2   y  4   z  1  9 . Tìm
M  S  sao cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn phân tích: Bài tốn này đòi hỏi ta phải biến đổi nhằm quy quy đại lượng
thay đổi về một bằng cách xác định tâm tỉ cự của hệ điểm đã cho. Lúc này ta chọn
điểm I để IA  IB  IC  0  I  2;0;1 . Suy ra điểm I cố định và ta có:
16

TIEU LUAN MOI download :


Với I :
MA  MB  MC  MI  IA  MI  IB  MI  IC   MI  IA  IB  IC .



 

 







Khi đó, bài tốn trở thành tìm M  S  sao cho IM nhỏ nhất.

Bài tốn 4.2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  7;0; 11 ,
2
2
2
, B  5;3; 4  , C 1;2; 6  và mặt cầu  S  :  x  2   y  4   z  1  9 . Gọi M là
một điểm thuộc mặt cầu  S  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  MA2  MB2  3MC 2 .
Hướng dẫn phân tích:
Cách áp dụng giống bài toán 4.1, ta hhọn điểm I thỏa mãn IA  IB  3IC  0
 I  3;3;  3 . Khi đó: P  MI 2  IA2  IB2  3IC 2 , P nhỏ nhất khi MI lớn
nhất.
Bài tốn 4.3. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 4;  2;4  ,

B  2;6;4  , C  5;  1;6  . Gọi điểm M bất kì thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho

AMB  900 . Tính độ dài lớn nhất của đoạn thẳng CM .
Hướng dẫn phân tích:

 Dữ kiện bài tốn AMB  900 cho ta biết về tập hợp điểm M là mặt cầu đường
kính AB
 Kết hợp với giả thiết M thuộc mặt phẳng  Oxy  ta kết luận được M chạy
trên một đường tròn  C  cố định.
 Từ đó ta cố gắng đưa bài tốn về bài toán xét trong mặt phẳng  Oxy 
z

C

y

O
x

M

H

C'

Gọi I là trung điểm của AB  I 1;2;4  . Vì AMB  900 nên M thuộc mặt cầu  S 
AB
5.
tâm I , bán kính R 
2
Mặt khác M  Oxy   M thuộc đường tròn  C  tâm H 1;2;0  , bán kính r  3
(bạn đọc tự giải).

17

TIEU LUAN MOI download :


Gọi C  là hình chiếu của C trên mặt phẳng  Oxy   C  5; 1;0  và CC  6 .
Ta có: CM 2  CC2  CM 2  36  CM 2 , do đó: CM lớn nhất  CM lớn nhất.
Lại có: CM max  r  CH  8 . Vậy, CM max 10 .
Bài tốn 5. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B  1;2;0 
, C  3; 1;2  và điểm M thuộc mặt phẳng    :2 x  y  2 z  7  0 . Tính giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P  MA  4MB  6MC .
Bước 1: Phân tích bài tốn
 Về mặt ý tưởng giải quyết bài toán này cũng có ba yếu tố thay đổi do điểm
M bất kì nên ta dùng kiến thức tâm tỉ cự để tìm điểm I thỏa mãn
IA  4IB  6IC  0  I  21;15; 11 .
 Biến đổi kết luận bài toán về một đại lượng thay đồi là P  MI  MI , khi đó
P nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất. Đến đây ta liên tưởng đến Tính chất 3 để giải
quyết bài tốn.
Bước 2: Vận dụng tính chất giải quyết bài tốn
Ta có, với điểm I nêu trên, P  MI  MI .
Do I và mặt phẳng    cố định, ta gọi H là hình chiếu của I trên    . Khi
đó IM  IH  Pmin  IH  d  I ,      24 .
Bước 3: Phát triển bài toán.
Từ Bài toán 5, thay biểu thức vecto của kết luận thành biểu thức độ dài hay
chuyển mặt phẳng cố định về đường thẳng cố định ta có được các bài tốn sau:
Bài tốn 5.1. Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  1  0 và ba
điểm A1;2;0  , B 1;  2;4  , C  3;  10;12  . Điểm M  a ; b ; c  thuộc  P  sao cho

MA2  MB 2  2MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp số: M  1;1;1 .
Bài tốn 5.2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;4  ,
x5 y 2 z


 . Xét điểm M thay đổi trên d ,
B  3;3; 1 và đường thẳng d :
2
1 1
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2MA2  3MB 2 .
Đáp số: Pmin 160 .
Bài toán 5.3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
 P  : x  2 y  2 z  3  0 và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  5  0 . Giả sử

M  P  và N  S  sao cho MN cùng phương với véc tơ u 1;0;1 và khoảng cách
giữa M và N lớn nhất. Tính độ dài đoạn thảng MN .
Đáp số: MN max  3 2 .
18

TIEU LUAN MOI download :


Bài tốn 5.4. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng thay đổi lần
lượt
có
phương
trình
là
 P  : ax  2by  z  2a  b  3  0 ,
 Q  : mx  ny  4 z  3m  4n  4  0 không đi qua M  2;1;0 . Đường thẳng d đi qua

M không cắt  P  và  Q  . Trong trường hợp tổng khoảng cách từ d tới  P  và

 Q  đạt giá trị lớn nhất. Tìm một vectơ chỉ phương của d .

Đáp số: u   3;5;0  .

Bài toán 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;1 ,
x 1 y  5 z

 . Viết phương trình đường thẳng d
B 1;2; 3 và đường thẳng  :
2
2
1
đi qua A vng góc với đường thẳng  đồng thời cách điểm B một khoảng bé
nhất.
Bước 1: Phân tích bài tốn
 Giả thiết bài tốn cho đường thẳng d đi qua A vng góc với đường thẳng
 dẫn đến ý tưởng sử dụng Tính chất 6 là cho đường thẳng d nằm trong mặt
phẳng  P  đi qua A và vng góc với  .
 Từ đó ta có kết quả mơ tả bằng hình ảnh sau:


B

A

d
K

H

P)

Bước 2: Giải quyết bài toán
 Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua A và vng góc với  :

 P : 2x  2 y  z  9  0 .

5

 Xác định hình chiếu H của B trên  P  : H  0;1;   , ta có:
2

d  B, d   d  B,  P    BH .
 Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng đi qua A, H . Phương trình
x  2 y  2 z 1


đường thẳng AH :
.
4
6
7

19

TIEU LUAN MOI download :


Bước 3: Phát triển bài tốn
Ta có thể phát triển một số bài tốn cực trị hình giải tích dạng này ở mức độ
vận dụng.
Bài tốn 6.1. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu

 S  :  x  1   y  2   z  3

 16 và các điểm A1;0;2  , B  1;2;2  . Gọi  P 
là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của  P  với mặt cầu  S  có
diện tích nhỏ nhất khi viết phương trình  P  .
2

2

2

Đáp số: x  y  z  3  0 .

5

Bài toán 6.2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;  ,
2

5

B  4;2;  . Tìm M thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho ABM  450 và tam giác MAB
2

có diện tích nhỏ nhất.
Đáp số: M  0;1;0  .
Bài toán 6.3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
x  2 y 1 z
x4 y 5 z 3
d:


 và đường thẳng  :


. Hai mặt phẳng  P  ,
3
2
3
2
3
4
 Q  vng góc với nhau, ln chứa d và cắt  tại hai điểm M , N . Tìm độ dài ngắn
nhất của MN .
Đáp số: MN min 

182
.
638

Kết quả nêu trên là những tình huống cơ bản giúp học sinh dễ nhận ra được
các tính chất hình học đã được giới thiệu ở trên.Từ ý tưởng xây dựng các bài toán
bài toán cực trị cơ bản trong hình học tọa độ các em có thể giải quyết được các bài
toán nâng cao hơn nữa.
Khá nhiều bài tốn cực trị trong hình học khơng gian, thường chứa đựng trong
nó bản chất là bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay một
biểu thức đại số nào đó. Từ đó, tác giả muốn khai thác các bài toán dạng này để góp
phần tạo hứng thú học tập, bớt tâm lí e ngại cho học sinh đồng thời giúp các con
hình thành tư duy thuật giải cho những lớp bài toán cực trị hình học. Qua việc chuyển
giao giữa yếu tố hình học và yếu tố đại số của một bài toán phần nào phát triển năng
lực tư duy toàn diện hơn cho người học.

2.3.2. Sử dụng công cụ khảo sát hàm số vào bài tốn tìm cực trị hình học
Sử dụng kiến thức về tính đơn điệu cực trị của hàm số luôn là một vấn đề khá
hấp dẫn, tôi muốn thơng qua khai thác các ví dụ cụ thể, rèn luyện được cho học sinh
biết chuyển từ bài toán cực trị trong hình học về bài tốn cực trị của hàm số và đồng
20

TIEU LUAN MOI download :


thời rèn luyện cho học sinh kĩ năng sử dụng hàm số trong giải quyết các bài tốn đó,
từ đó có thêm ý tưởng, lựa chọn cách giải quyết các bài toán ở mức độ nâng cao.
Quy trình tư duy của việc khai thác bài toán cực trị hình học khơng gian bằng
hàm số.
Bước 1: Tham số hóa và chuyển yêu cầu bài toán qua hàm số bằng cách xây dựng
biểu thức của đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ở bước này, ta cần xác định xem cần tham số hóa đại lượng nào. Điều kiện
của ẩn là gì. Ẩn số đó biến thiên trong khoảng nào.
Bằng các tính tốn cần thiết, ta thiết lập biểu thức của đại lượng cần tìm giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất theo ẩn số vừa đưa vào.
Bước 2: Huy động các kiến thức về tính cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số để giải quyết bài tốn.
Trong mục này ta sử dụng cơng cụ là khảo sát hàm số nên thông thường ta
đưa yêu cầu bài toán về các biểu thức 1 biến, hoặc dạng quy về được 1 biến.
Bước 3: Khai thác các bài toán và hướng dẫn cho học sinh tự học
Bài toán 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là
V . Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho
SN  2 NB ; mặt phẳng    di động qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC, SD
lần lượt tại hai điểm phân biệt P, Q . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp
S .MNPQ .
Bước 1. Tham số hóa và chuyển u cầu bài tốn về hàm số

Gọi a 

SP
SC

 0  a  1.

21

TIEU LUAN MOI download :


Vì mặt phẳng    di động đi qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt
SA SC SB SD



tại hai điểm phân biệt P, Q nên ta có đẳng thức
SM SP SN SQ
1 3 SD
SQ
2a
 2  


.
a 2 SQ
SD 2  a
Ta có

VS .MNPQ
VS . ABCD

1  SM SN SP SM SP SQ  1  4a
2  2a
1
 
.
.

. .




.



2  SA SB SC SA SC SD  2  3 a  2  3 a  2

Bước 2. Huy động kiến thức về tìm GTLN của hàm số để giải quyết bài toán.
Xét hàm f  a  
Do vậy Vmax 

2a
1
1


trên đoạn  0;1 , ta được max f  a   f 1  .
0;1
3 a2
3

V
xảy ra khi P  C .
3

Bước 3. Khai thác các bài toán và hướng dẫn cho học sinh tự học
Bài tốn có 2 điểm di động là P, Q và 2 điểm cố định M , N . Nên ta khai thác
các yếu tố này khi gặp những bài toán cực trị liên quan đến tỉ số độ dài hay thể tích
khối đa diện.
Bài tốn 7.1. Cho hình chóp S. ABCD
S
có đáy ABCD là hình bình hành và có
thể tích là V . Điểm P là trung điểm
P
của SC . Mặt phẳng    qua AP cắt
M
hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và
I
N . Gọi V1 là thể tích của khối chóp
N
B
S. AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ
C
số V1 ?
V

O
A

Bài toán 7.2. Cho hình chóp
S . ABCD có đáy ABCD là hình bình
hành tâm O . Gọi I là điểm thuộc
1
đoạn SO sao cho SI  SO . Mặt
3
phẳng    thay đổi đi qua B và I .

S
P

M
I

N

B

   cắt các cạnh

SA, SC, SD lần lượt
tại M , N , P . Gọi m, n lần lượt là
V
m
GTLN, GTNN của S . BMPN . Tính
n
VS . ABCD

D

C
O

A

D
22

TIEU LUAN MOI download :


Bài tốn 7.3. Cho hình chóp
S . ABCD có đáy ABCD là hình bình
hành. Gọi K là trung điểm của SC .
Mặt phẳng  P  qua AK và cắt các
cạnh SB, SD lần lượt tại M và N .
Đặt V1  VS . AMKN ,V  VS . ABCD . Tìm
V
V
S  max 1  min 1 .
V
V

S

K

M
B

N

C

D

A

Sản phẩm tự học của học sinh
7.1.

23

TIEU LUAN MOI download :


7.2.

7.3.

24

TIEU LUAN MOI download :


Bài tốn 8. Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C . Khoảng
cách từ A đến mặt phẳng  SBC  bằng a 3 , SAB  SCB  900 . Xác định độ dài

cạnh AB để khối chóp S . ABC có thể tích nhỏ nhất.
Bước 1. Tham số hóa chuyển bài toán về hàm số
S
H

C
A

B

 BC  AC
 BC   ASC  mà SA  AB nên SA   ABC  .
Ta có 
BC

SC

x2
Kẻ AH  SC  AH  a 3 . Đặt AC  x, SC  y  CH  .
y

1
1
Ta có: VS . ABC  AH .S BCS đạt GTNN khi và chỉ khi SBCS  xy đạt GTNN.
3
2
x4
Trong tam giác AHC có AC  CH  AH  x  2  3a 2  y 
y
2

x3

 xy 

x  3a
2

2

2

2

2

x2
x 2  3a 2

 f  x

Bước 2. Huy động các kiến thức hàm số để giải quyết bài toán.
Xét hàm f  x  

x3
x 2  3a 2



9a 2

3 2a
x
x  a 3  f ' x   0  x 
.
2
2



X

3 2a
2

a 3

f ' x 
f  x

2

-

0


+

9a 3
2

25

TIEU LUAN MOI download :