Tích phân mặt, tích phân đường

Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT
3.1. Tích phân đường loại một
3.1.1. Định nghĩa tích phân đường loại một
Bài tốn vật lý dẫn đến khái niệm tích phân đường loại một
Giả sử trong mặt phẳng tọa độ Oxy có một sợi dây AB rất mảnh (chỉ có độ dài,t cịn tiết diện
khơng đáng kể) có khối lượng riêng tại điểm (x,y)AB được biểu diễn bằng hàm số f(x,y) đơn trị, liên
tục và khơng âm. u cầu tìm khối lượng m của sợi dây AB.
Để tính m, ta thực hiện như sau: Chia AB thành n cung nhỏ tùy ý không dẫm lên nhau bởi các
điểm A  A0, A1, A2, …, An-1, An  B và ký hiệu độ dài của cung nhỏ Ai-1Ai là si (1  i  n). Trên
cung Ai-1Ai lấy điểm (xi,yi) tùy ý, nếu cung Ai-1Ai đủ nhỏ thì ta có thể coi giá trị f(xi,yi) khơng đổi trên
cung Ai-1Ai; khi đó, khối lượng của cung nhỏ Ai-1Ai là mi  f(xi,yi).si.
Như vậy, nếu mọi cung Ai-1Ai (1  i  n) đủ nhỏ thì có thể coi khối lượng của sợi dây AB là
n

m = m1 + m2 + … + mn  f(x1,y1).s1 + f(x2,y2).s2 + … + f(xn,yn).sn =  f ( x i , y i ).s i .
i =1

n

Tổng  f ( x i , y i ).s i sẽ có độ chính xác cao, tức là giá trị của biểu thức này càng gần khối lượng
i =1

thực m của sợi dây AB nếu n càng lớn và tất cả các si (1  i  n) càng bé. Do đó, khối lượng m của
n

sợi dây AB bằng giới hạn của tổng  f ( x i , y i ).s i khi n →  cùng với độ dài của mỗi cung nhỏ si (1
i =1

n

 i  n) bé dần về 0, tức là m = lim  f ( x i , y i ).s i trong đó  = max si .

 →0
n → i =1

1in

Định nghĩa tích phân đường loại một
Cho đường cong phẳng L là cung AB trong mặt phẳng tọa độ Oxy và hàm số f(x,y) xác định,
đơn trị và liên tục với (x,y)AB. Chia cung AB thành n cung nhỏ tùy ý không dẫm lên nhau bởi các
điểm A  A0, A1, A2, …, An-1, An  B và ký hiệu độ dài của cung nhỏ Ai-1Ai là si (1  i  n). Trên
n

cung Ai-1Ai lấy điểm (xi,yi) tùy ý và lập tổng I n =  f ( x i , y i ).s i .
i =1

Nếu khi n →  sao cho  = max si → 0 mà In → I là một giá trị hữu hạn, không phụ thuộc vào
1in

cách chia cung AB và cách lấy điểm (xi,yi) trên cung Ai-1Ai thì giá trị hữu hạn I được gọi tích phân
đường loại một của hàm số f(x,y) trên cung AB (hay trên đường cong phẳng L) và ký hiệu là
n

I =  f ( x, y)ds =  f ( x, y)ds = lim I n = lim  f ( x i , yi ).si
AB

n →

L

→0

i =1

Khi đó hàm số dưới dấu tích phân f(x,y) được gọi là khả tích trên cung AB (hay trên đường cong
L), còn ds được gọi là vi phân cung.
Nếu hàm số f(x,y) đơn trị và liên tục với (x,y)L thì nó khả tích trên đường cong L.
Hồn tồn tương tự, ta cũng định nghĩa tích phân đường loại một trên đường cong L trong
không gian 3 chiều, tức là I =  f ( x , y, z )ds .
L

3.1.2. Tính chất của tích phân đường loại một
Đối với tích phân đường loại một trên đường cong phẳng
(1) Tích phân đường loại một khơng phụ thuộc vào chiều tính tích phân từ A đến B hay ngược
lại, tức là  f ( x , y)ds =  f ( x , y)ds .
AB

BA

Các tính chất khác của tích phân đường loại một giống như các tính chất của tích phân xác định.
138


(2)

 f ( x, y) + f
1

2

( x , y)ds =  f 1 ( x , y)ds +  f 2 ( x , y)ds

L

L

L

(3)  f ( x , y)ds =   f ( x , y)ds (hằng số R)
L

L

 L = L1  L 2 

(4)  f ( x , y)ds =  f ( x , y)ds +  f ( x , y)ds  

L

L
=

2
L
L1
L2
 1

Hồn tồn tương tự đối với tích phân đường loại một trên đường cong trong không gian 3 chiều.
3.1.3. Cách tính tích phân đường loại một
Đối với tích phân đường loại một trên đường cong phẳng
x = x ( t )

(1) Nếu cung phẳng AB được cho dưới dạng tham số 
(  t  )
 y = y( t )


thì  f ( x, y)ds =  f (x ( t ), y( t ) ) x ' ( t ) + y' ( t ) dt .
2

AB

2



(21) Nếu cung AB được cho bởi phương trình y = y(x) (a  x  b), khi đó lấy x làm tham số, tức
b
x = x
2
là 
(a  x  b) thì  f ( x, y)ds =  f (x, y( x ) ) 1 + y' ( x ) dx .
 y = y( x )
AB
a
(22) Nếu cung AB được cho bởi phương trình x = x(y) (c  y  d), khi đó lấy y làm tham số, tức
d
 x = x ( y)
2
là 
(c  y  d) thì  f ( x, y)ds =  f (x ( y), y ) 1 + x ' ( y) dy .
y = y

AB
c
Hoàn toàn tương tự đối với tích phân đường loại một trên đường cong trong không gian 3 chiều.
x = x ( t )

(1) Nếu cung AB trong không gian 3 chiều được cho dưới dạng tham số  y = y( t ) (  t  )
z = z ( t )



thì  f ( x, y, z)ds =  f (x ( t ), y( t ), z( t ) ) x ' ( t ) + y' ( t ) + z' ( t ) dt .
2

AB

2

2



 y = y( x )
(21) Nếu cung AB được cho bởi các phương trình 
(a  x  b), khi đó lấy x làm tham
z = z ( x )
x = x
b

2
2

số, tức là  y = y( x ) (a  x  b) thì  f ( x, y, z)ds =  f (x, y( x ), z( x ) ) 1 + y' ( x ) + z' ( x ) dx .
AB
a
z = z ( x )

 x = x ( y)
(22) Nếu cung AB được cho bởi các phương trình 
(c  y  d), khi đó lấy y làm tham
z = z ( y )
 x = x ( y)
d

2
2
số, tức là  y = y (c  y  d) thì  f ( x, y, z)ds =  f (x ( y), y, z( y) ) 1 + x ' ( y) + z' ( y) dy .
AB
c
z = z ( y )


x = x (z)
(23) Nếu cung AB được cho bởi các phương trình 
(e  z  f), khi đó lấy z làm tham số,
 y = y( z )
x = x (z)
f

2
2
tức là  y = y(z) (e  z  f) thì  f ( x, y, z)ds =  f (x (z), y(z), z ) 1 + x ' (z) + y' (z) dz .

AB
e
z = z


139


Lưu ý.
(1) Vì tích phân đường loại một khơng phụ thuộc vào chiều tính tích phân nên đối với giá trị của
hai cận của tích phân, giá trị nhỏ là cận dưới còn giá trị lớn hơn là cận trên.
(2) Nếu L là đường cong kín thì có thể dùng ký hiệu  f ( x , y)ds =  f ( x , y)ds (L là đường cong
L

L

phẳng) và tương tự  f ( x , y, z)ds =  f ( x , y, z)ds (L là đường cong trong khơng gian 3 chiều).
L

Ví dụ 3.1. Tính I =

L

 xds trên OA là cung của đường parabol y = x

2

từ điểm O(0,0) đến điểm

OA

A(2,4).
Bài giải
Cung OA nằm trên đường parabol y = y(x) = x2 (0  x  2) nên đồ thị của nó trong hệ tọa độ
Descartes vng góc Oxy là

2

2

2

1
Ta có y’(x) = 2x  I =  xds =  x 1 + y' ( x ) dx =  x 1 + 4x dx =  1 + 4x 2 d( x 2 ) =
20
OA
0
0
2

2

1

2

2
+1
1
1

1
1
17 17 − 1
2
2
2
1
+
4
x
d
(
4
x
)
=
(
1
+
4
x
)
d(1 + 4x 2 ) =
(1 + 4 x 2 ) 2
=
.


80
80

8 (1 2) + 1
12
0
2

1

2

Ví dụ 3.2. Tính tích phân I =  ( x 2 − 2 y)ds trên L là các cạnh của ABC có tọa độ các đỉnh
L

trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy là A(1,1), B(3,1) và C(1,5).
Bài giải
Đồ thị của ABC trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy là

Ta có L = AB + BC + CA  I =  ( x 2 − 2 y)ds =
L

 (x

2

− 2 y)ds +  ( x 2 − 2 y)ds +  ( x 2 − 2 y)ds

AB

BC

CA

- Tính  ( x − 2 y)ds : Lấy x làm tham số, cạnh AB có phương trình y = 1 (1 ≤ x ≤ 3)
2

AB

2
2
2

f ( x , y) = f x , y( x ) = x − 2 y = x − 2.1 = x − 2
Ta có 
2
2

 y' ( x ) = 0  ds = 1 + y' ( x ) dx = 1 + 0 dx = dx

140


3

 x3

14
  ( x − 2 y)ds =  ( x − 2)dx =  − 2x  =
 3
1 3
AB
1

3

2

2

- Tính  ( x 2 − 2 y)ds : Lấy x làm tham số, phương trình đường thẳng nối điểm B(3,1) với điểm
BC

x − xB
y − yB
x − 3 y −1
C(1,5) là
=

=
 y = −2x + 7 (1 ≤ x ≤ 3)
x C − x B yC − yB
1− 3 5 −1
2
2

f ( x , y) = f [ x , y( x )] = x − 2(−2 x + 7) = x + 4 x − 14
Ta có 
2
2

 y' ( x ) = −2  ds = 1 + y' ( x ) dx = 1 + (−2) dx = 5dx

3

 x3

x2
10 5
  ( x − 2 y)ds =  ( x + 4x − 14) 5dx = 5  + 4
− 14x  = −
2
3
 3
1
BC
1
3

2

2

- Tính  ( x 2 − 2 y)ds : Lấy y làm tham số, cạnh CA có phương trình x = 1 (1 ≤ y ≤ 5)
CA
2
2

f ( x , y) = f [ x ( y), y] = x − 2 y = 1 − 2 y = 1 − 2 y
Ta có 
2
2

x ' ( y) = 0  ds = 1 + x ' ( y) dy = 1 + 0 dy = dy

(

5



2
2
 (x − 2y)ds =  (1 − 2y)dy = y − y
CA

)

5
1

= −20

1

Như vậy I =  ( x 2 − 2 y)ds =
L

14 10 5
− 46 − 10 5
.
−
− 20 =
3

3
3

Ví dụ 3.3. Tính tích phân I =

 (2x + y − 2z)ds

trên AB là đoạn thẳng nối điểm A(1,–1,2) với

AB

điểm B(–1,2, –1) trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz.
Bài giải
Phương trình đường thẳng nối điểm A(1,–1,2) với điểm B(–1,2,–1) là
x − xA
y − yA
z − zA
x − 1 y − (−1)
z−2
=
=

=
=
x B − x A yB − yA zB − zA
− 1 − 1 2 − (−1) − 1 − 2
3
1
3
1

Nếu lấy x làm tham số thì x = x, y = − x +  y( x ), z = x +  z( x ) (–1 ≤ x ≤ 1)
2
2
2
2

3
1
1
5
1
3
f (x, y( x ), z( x ) ) = 2x + y( x ) − 2z( x ) = 2x − 2 x + 2 − 2 2 x + 2  = − 2 x − 2




22
2
2
2
2





(
)
(

)
ds
=
1
+
y
'
(
x
)
+
z
'
(
x
)
dx
=
1
+
−
3
2
+
3
2
dx
=
dx


2

1

1

1  22
22
22  x 2
22
 5
 5
.
 I =  (2x + y − 2z)ds =   − x − 
dx = −
(
5
x
+
1
)
dx
=
−
+ x  = −

2
2 2
2 −1
4  2

2
 −1
AB
−1
3.1.4. Ý nghĩa vật lý và ý nghĩa hình học của tích phân đường loại một
1

Nếu hàm số dưới dấu tích phân f(x,y) > 0 (đường cong phẳng L) hoặc f(x,y,z) > 0 (đường cong
không gian L) xác định và liên tục với mọi điểm trên đường cong, là khối lượng riêng của đường cong
tại điểm (x,y) của đường cong phẳng hoặc tại điểm (x,y,z) của đường cong khơng gian, thì khối lượng
m của đường cong L là m =  f ( x , y)ds hoặc m =  f ( x , y, z)ds (ý nghĩa vật lý). Đặc biệt, nếu f(x,y) = 1
L

L

thì  ds (L là đường cong phẳng) hoặc nếu f(x,y,z) = 1 thì  ds (L là đường cong khơng gian) là độ dài
L

L

của đường cong L (ý nghĩa hình học).
141


Ví dụ 3.4. Tính chu vi của đường trịn L bán kính R.
Bài giải
Khơng mất tính tổng qt, có thể coi đường trịn L bán kính R có tâm tại gốc tọa độ O(0,0) của
hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy, khi đó phương trình của đường trịn L trong hệ tọa độ Descartes
vng góc Oxy là x2 + y2 = R2 và đồ thị của nó là

x ( t ) = R cos t
Phương trình tham số của đường tròn x2 + y2 = R2 là 
(0 ≤ t ≤ 2), theo ý nghĩa
 y( t ) = R sin t
hình học của tích phân đường loại một thì chu vi của đường trịn L bán kính R là C =  ds .
L

Đường tròn L là đường cong phẳng khép kín nên bất kỳ điểm nào trên L cũng có thể được chọn
là điểm bắt đầu đồng thời là điểm kết thúc khi tính tích phân C =  ds . Để đơn giản, ta chọn điểm (x,y)
L

= (R,0) là điểm bắt đầu đồng thời là điểm kết thúc, tương ứng với tham số  = 0 và  = 2.
x ' ( t ) = −R sin t

Ta có 
 y' ( t ) = R cos t
 C =  ds =
L

x ' (t )2 + y' ( t )2

= (−R sin t ) 2 + (R cos t ) 2 = R

2

2

2

0

0

0

2
2
2
 x' (t ) + y' (t ) dt =  Rdt = R  dt = Rt 0 = 2R .

3.2. Tích phân đường loại hai
3.2.1. Định nghĩa tích phân đường loại hai
Bài tốn vật lý dẫn đến khái niệm tích phân đường loại hai
→

→

Cho một chất điểm M(x,y) di chuyển theo cung phẳng AB dưới tác dụng của lực F = F( x , y)
biến thiên liên tục dọc theo cung AB từ A đến B. u cầu tính cơng W khi di chuyển chất điểm bằng
→

lực F ( x , y ) từ điểm đầu A đến điểm cuối B của cung AB.
→

Giả sử véc tơ F ( x , y ) có các thành phần P(x,y), Q(x,y) trên các trục tọa độ Ox, Oy. Để tính cơng
W, ta thực hiện như sau: Chia cung AB thành n cung nhỏ tùy ý không dẫm lên nhau bởi các điểm A 
A0, A1, A2, …, An-1, An  B. Trên cung Ai-1Ai lấy điểm (xi,yi) tùy ý và ký hiệu xi, yi là các thành
phần trên các trục tọa độ Ox, Oy của véc tơ A i −1 A i . Khi đó, nếu cung Ai-1Ai đủ nhỏ thì có thể coi
→

→

cung này là thẳng và là véc tơ A i −1 A i , còn lực F ( x , y) có thể coi là khơng đổi và bằng F( x i , y i ) tại
mọi điểm của cung Ai-1Ai.
→

Do đó, nếu ký hiệu Wi là cơng của lực F( x i , y i ) tác dụng tại điểm (xi,yi) làm di chuyển chất
→

điểm M trên cung Ai-1Ai thì Wi  F( x i , y i ).A i −1 A i = P( x i , y i ).x i + Q( x i , y i ).y i .
Như vậy, nếu mọi cung Ai-1Ai (1  i  n) đều đủ nhỏ thì có thể coi cơng W khi di chuyển chất
→

điểm bằng lực F ( x , y ) từ điểm đầu A đến điểm cuối B của cung AB là

142


n

n

i =1

i =1

W = W1 + W2 + ... + Wn =  w i   P( x i , y i ).x i + Q( x i , y i ).y i  .

Tổng

n

 P( x , y ).x
i =1

i

i

i

+ Q( x i , y i ).y i  sẽ có độ chính xác cao, tức là giá trị của biểu thức này

càng gần với giá trị chính xác của công W, nếu n càng lớn và tất cả các xi (1  i  n) và yi (1  i 
n) càng bé. Do đó, giá trị của công W là giới hạn của tổng

n

 P( x , y ).x
i =1

i

i

i

+ Q( x i , y i ).y i  khi n → 

cùng với max x i → 0 và max y i → 0 .

1i n

1in

Định nghĩa tích phân đường loại hai
Cho các hàm số P(x,y), Q(x,y) xác định và liên tục trên cung phẳng AB (hay đường cong phẳng
L).
Chia cung AB thành n cung nhỏ tùy ý và không dẫm lên nhau bởi các điểm A  A0, A1, A2, …,
An-1, An  B. Trên mỗi cung Ai-1Ai lấy điểm (xi,yi) tùy ý, gọi hình chiếu của véc tơ A i −1 A i lên các trục
n

tọa độ Ox, Oy tương ứng là xi, yi. Lập tổng I n =  P( x i , y i ).x i + Q( x i , y i ).y i  , nếu khi n → 
i =1

sao cho max x i → 0 và max y i → 0 mà tổng In → I là một giá trị hữu hạn, không phụ thuộc vào
1in

1i n

cách chia cung AB và cách lấy điểm (xi,yi) trên cung Ai-1Ai thì giá trị hữu hạn I được gọi tích phân
đường loại hai của các hàm số P(x,y), Q(x,y) trên cung AB (hay trên đường cong L) và ký hiệu là
I=

 P(x, y)dx + Q(x, y)dy =  P(x, y)dx + Q( x, y)dy
AB

L

Khi đó các hàm số P(x,y), Q(x,y) được gọi là khả tích trên cung AB (hay trên đường cong L).
Nếu các hàm số P(x,y), Q(x,y) đơn trị và liên tục với (x,y)L thì chúng khả tích trên đường

cong L.
Hồn tồn tương tự, ta cũng định nghĩa tích phân đường loại hai trên đường cong L trong không
gian 3 chiều, tức là nếu các hàm số P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) đơn trị và liên tục với (x,y,z)L thì
chúng khả tích trên đường cong L, tức là I =  P( x , y, z)dx + Q( x , y, z)dy + R ( x , y, z)dz .
L

3.2.2. Tính chất của tích phân đường loại hai
Ngay sau đây, ta nêu các tích chất của tích phân đường loại hai đối với cung phẳng AB hay
đường cong phẳng L, còn đối với tích phân đường loại hai đối với cung AB hay đường cong L trong
không gian 3 chiều cũng có các tính chất hồn tồn tương tự.
(1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào chiều lấy tích phân từ điểm A đến điểm B hay từ
điểm B đến điểm A vì hình chiếu của véc tơ A i −1 A i lên các trục tọa độ đổi dấu khi véc tơ này đổi
chiều, tức là  P( x , y)dx + Q( x , y)dy = −  P( x , y)dx + Q( x , y)dy
AB

BA

Quy ước. Nếu đường lấy tích phân đường loại hai là đường cong kín L (điểm đầu A trùng với
điểm cuối B), thì ta quy ước chiều dương trên đường L là chiều sao cho khi một người đi trên đường L
theo chiều ấy sẽ thấy miền giới hạn bởi đường L ln ln ở bên tay trái. Ký hiệu tích phân đường loại
hai dọc theo đường cong kín L theo chiều dương là  P( x, y)dx + Q( x, y)dy và theo chiều âm là
L+

 P(x, y)dx + Q(x, y)dy .

L−

Các tính chất khác của tích phân đường loại hai giống như các tính chất của tích phân xác định.
(2)  P1 ( x , y)dx + Q1 ( x , y)dy  + P2 ( x , y)dx + Q 2 ( x , y)dy  =
L

143


 P (x, y)dx + Q ( x, y)dy +  P ( x, y)dx + Q
1

1

2

L

2

( x , y)dy

L

(3)  P( x , y)dx + Q( x , y)dy  =   P( x , y)dx + Q( x , y)dy (hằng số R)
L

L

 L = L1  L 2 

(4)  P( x, y)dx + Q( x, y)dy =  P( x, y)dx + Q( x, y)dy +  P( x, y)dx + Q( x, y)dy  

L


L
=

2
L
L1
L2
 1

3.2.3. Cách tính tích phân đường loại hai
x = x ( t )
(1) Nếu cung phẳng AB hoặc đường cong phẳng L được cho dưới dạng tham số 
(  t
 y = y( t )

dx = x ' ( t )dt
 )  
thì  P( x, y)dx + Q( x, y)dy =  P(x ( t ), y( t ) )x ' ( t ) + Q(x ( t ), y( t ) )y' ( t )dt .
dy = y' ( t )dt
L


(21) Nếu cung phẳng AB hoặc đường cong phẳng L được cho bởi phương trình y = y(x) (a  x 
b

b) thì dy = y’(x)dx   P( x, y)dx + Q( x, y)dy =  P(x, y( x ) ) + Q(x, y( x ) )y' ( x )dx .
L

a

(22) Nếu cung phẳng AB hoặc đường cong phẳng L được cho bởi phương trình x = x(y) (c  y 
b

d) thì dx = x’(y)dy   P( x, y)dx + Q( x, y)dy =  P(x ( y), y )x ' ( y) + Q(x ( y), y )dy .
L

a

x = x ( t )

(3) Nếu đường cong không gian L được cho dưới dạng tham số  y = y( t ) (  t  )
z = z ( t )

dx = x ' ( t )dt

 dy = y' ( t )dt thì  P( x , y, z)dx + Q( x , y, z)dy + R ( x , y, z)dz =
L
dz = z' ( t )dt



 P(x(t ), y(t ), z(t ))x' (t ) + Q(x(t ), y(t ), z(t ))y' (t ) + R (x(t ), y(t ), z(t ))z' (t )dt .


x 2 y2

Ví dụ 3.5. Tính I =  xdy − ydx trên đường ellipse L =  2 + 2 = 1 .
b
a


L+
Bài giải
dx = x ' ( t )dt = (−a sin t )dt
x ( t ) = a cos t
Phương trình tham số của đường L là 
(0  t  2)  
.
dy = y' ( t )dt = (b cos t )dt
 y( t ) = b sin t
L là đường cong phẳng khép kín nên bất kỳ điểm nào trên L cũng có thể được chọn là điểm bắt
đầu đồng thời là điểm kết thúc khi tính tích phân I =  xdy − ydx . Để đơn giản, ta chọn điểm (x,y) =
L+

(a,0) là điểm bắt đầu đồng thời là điểm kết thúc, tương ứng với tham số  = 0 và  = 2.
2

2

0

0

 I =  xdy − ydx =  (a cos t )(b cos t )dt − (b sin t )(−a sin t )dt =  (ab cos2 t + ab sin 2 t )dt =
L+

2

2

ab  dt = abt 0 = 2ab .

0

Ví dụ 3.6. Tính I =  xydx + ( y − x )dy trên L là đường cong từ điểm O(0,0) đến điểm A(1,1) có
L

phương trình là (a) y = x3, (b) x = y2.
Bài giải
144


(a) Đồ thị của cung OA thuộc đường cong bậc ba y = x3 từ điểm O(0,0) đến điểm A(1,1) trong
hệ tọa độ Descartes Oxy là

Ta có y = x 3 (0 ≤ x ≤ 1)  dy = y' ( x )dx = 3x 2 dx

 I =  xydx + ( y − x )dy =
L

1

 xydx + ( y − x)dy =  xx
OA

3

dx + ( x 3 − x )3x 2 dx =

0
1

 x6 x5
x4 
1 1 3
1
5
4
3

 = + − = − .
(
3
x
+
x
−
3
x
)
dx
=
3
+
−
3
0
 6
5
4 0 2 5 4
20


2
(b) Đồ thị của cung OA thuộc đường parabol x = y từ điểm O(0,0) đến điểm A(1,1) trong hệ tọa
độ Descartes Oxy là
1

Ta có x = y 2 (0 ≤ y ≤ 1)  dx = x ' ( y)dy = 2 ydy

 I =  xydx + ( y − x )dy =
L

1

2
2
 xydx + ( y − x)dy =  y y2ydy + ( y − y )dy =
OA

0
1

 y5 y3 y 2 
2 1 1 17
4
2
 2 −
.
(
2
y
−

y
+
y
)
dy
=
+  = − + =
0
3
2  0 5 3 2 30
 5
1

Ví dụ 3.7. Tính I =  ( y 2 − z 2 )dx + 2 xyzdy − x 2 dz trên đường L là đường cong khơng gian có
L

phương trình tham số là {x = t, y = t2, z = t3 với 0  t  1} theo chiều tăng của tham số t.
Bài giải
dx = x ' ( t )dt = 1dt = dt

Ta có dy = y' ( t )dt = 2tdt
 I =  ( y 2 − z 2 )dx + 2xyzdy − x 2 dz =
L
dz = z' ( t )dt = 3t 2 dt

1

 t8 t7
t5 
3


 = − .
(
t
)
−
(
t
)
dt
+
2
tt
t
2
tdt
−
t
3
t
dt
=
(
4
t
−
t
−
2
t

)
dt
=
4
−
−
2
0
0
 8 7
5 0
70

3.2.4. Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại hai
1



2 2

3 2



1

2 3

2

2

7

6

4

→

→

→

Tích phân đường loại hai là công do lực thay đổi F( x , y) = P( x , y). i + Q( x , y). j (trong mặt
→

→

→

→

phẳng) hoặc F( x , y, z) = P( x , y, z). i + Q( x , y, z). j + R ( x , y, z). k (trong không gian 3 chiều) sản ra khi
lực này di chuyển chất điểm M từ điểm A đến điểm B trên đường cong AB (trong mặt phẳng hoặc
trong không gian 3 chiều).
3.3. Công thức Green
3.3.1. Công thức Green
145

Một số khái niệm
(1) Miền liên thông. Miền phẳng DR2 được gọi là miền liên thơng nếu ta có thể nối 2 điểm bất
kỳ thuộc D bằng một đường liên tục nằm hoàn toàn trong D.
(2) Miền đơn liên và miền đa liên. Miền liên thông được gọi là miền đơn liên nếu mọi đường
cong kín nằm hồn tồn trong D đều bao bọc một miền nằm hoàn toàn trong D. Miền liên thông không
đơn liên được gọi là miền đa liên.

(3) Chiều dương của biên của miền liên thông D (đơn liên/đa liên) là chiều sao cho khi một
người đi trên biên của miền D theo chiều ấy sẽ thấy các điểm trong của miền D luôn luôn ở bên tay
trái.

Nếu các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên miền
phẳng D là một miền liên thông, bị chặn và có biên L gồm một hay nhiều đường cong kín rời nhau
 Q( x, y) P( x, y) 
dxdy được gọi là cơng
từng đơi một. Khi đó ta có  P( x, y)dx + Q( x, y)dy =  
−
x
y 
D 
L+
thức Green.
Công thức Green là công thức liên hệ giữa tích phân hai lớp và tích phân đường loại hai.
Ví dụ 3.8. Tính  ( x arctan x + y 2 )dx + ( x + 2xy + y 2 e − y )dy trên đường tròn L có phương trình là
L+

2

2

x + y = 2y.
Bài giải
Việc tính trực tiếp tích phân

 (x arctan x + y

2

)dx + ( x + 2xy + y 2 e − y )dy trên đường trịn L là

L+

khơng đơn giản, tuy nhiên nếu sử dụng cơng thức Green thì việc tính tích phân này qua tích phân hai
lớp trên hình trịn D = {x2 + y2 ≤ 2y  x2 + (y – 1)2 ≤ 12} là miền có biên là đường trịn L thì việc tính
tích phân này sẽ dễ dàng hơn rất nhiều.

146


 P( x, y)
 y = 2 y
P( x, y) = x arctan x + y
Q( x, y) P( x, y)
Đặt 


−
= 1, mặt khác, theo
2 −y

x
y
Q( x, y) = x + 2xy + y e
 Q( x, y) = 1 + 2 y
 x
 Q( x, y) P( x, y) 
dxdy =  dxdy .
cơng thức Green ta có  P( x, y)dx + Q( x, y)dy =  
−
x
y 
D 
D
L+
2

  ( x arctan x + y 2 )dx + ( x + 2xy + y 2 e − y )dy =  dxdy .
L+

D

Theo ý nghĩa hình học của tích phân hai lớp trên miền phẳng D thì

 dxdy

chính là diện tích

D

hình trịn D. Hình trịn D có bán kính bằng 1 nên diện tích của nó là .12 = 

  ( x arctan x + y 2 )dx + ( x + 2xy + y 2 e − y )dy =  dxdy =  .
L+

D

Hệ quả của công thức Green
 Q( x, y) P( x, y) 
 P( x, y) Q( x, y) 
dxdy =  

−
−

x

y

y

x
−



D
D
L
(2) Nếu đường cong kín L là biên của miền phẳng D thì diện tích S của miền D được tính bởi
1
cơng thức S =  xdy − ydx .

2 +

(1)

 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = − 

L

Chứng minh
 P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − P( x, y)dx + Q( x, y)dy

L+
L−

(1) Ta có 
 P( x, y)dx + Q( x, y)dy =  Q( x, y) − P( x, y) dxdy
D  x
y 
L+
 Q( x, y) P( x, y) 
 P( x, y) Q( x, y) 
dxdy =  

  P( x, y)dx + Q( x, y)dy = − 
−
−

x

y


y

x
−


D 
D 
L
 P( x, y)
 y = −1 Q( x, y) P( x, y)
P
(
x
,
y
)
=
−
y

(2) Ta lấy 


−
= 2 và thay vào công thức
x
y
Q( x, y) = x

 Q( x, y) = 1
 x
Green ta được
 Q( x , y) P( x , y) 
1
+ xdy − ydx = D  x − y dxdy = D 2dxdy = 2D dxdy = 2S  S = 2 + xdy − ydx .
L

L

Ví dụ 3.9. Tính I =  ( x − y )dx + ( x + y )dy trên đường trịn L có phương trình là x2 + y2 = 1.
3

3

3

3

L+

Bài giải
Đồ thị của đường tròn L trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy là

147


Gọi D là miền giới hạn bởi đường tròn L  D = {( x, y)  R 2 x 2 + y 2  1} .
Cũng như ở Ví dụ 3.8, ta sẽ sử dụng công thức Green để tính tích phân
I =  ( x 3 − y 3 )dx + ( x 3 + y 3 )dy .

L+

 P( x, y)
= −3y 2

P( x, y) = x − y
Q( x, y) P( x, y)
 y
Đặt


−
= 3x 2 + 3y 2 = 3( x 2 + y 2 )

3
3

x

y
Q( x, y) = x + y
 Q( x, y) = 3x 2
 x
thay vào công thức Green ta được
3

3

I =  ( x 3 − y 3 )dx + ( x 3 + y 3 )dy =  3( x 2 + y 2 )dxdy = 3 ( x 2 + y 2 )dxdy .
L+

D

D

x = r cos 
Đổi tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) bằng phép đổi biến 
thì J = r, x2 + y2
 y = r sin 
0  r  1
= r2 và D' = 
0    2
 r 4 1  3
=
 I = 3 ( x + y )dxdy = 3 r J drd = 3 r rdrd = 3  d r dr = 3  0 
.


4
2
D
D'
D'
0
0
 0
2
2
2
2

Ví dụ 3.10. Tính I =  ( x + y )dx + ( x − y )dy trên đường L theo chiều âm, là các cạnh của
2

2

2

2

1

2

3

( )
2

L−

OAB có tọa độ các đỉnh trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy là O(0,0), A(0,1) và B(1,0).
Bài giải
Đồ thị của OAB trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy là

 P( x, y)
 y = 2 y
P( x, y) = x + y
Q( x, y) P( x, y)
Đặt 



−
= 2x − 2 y = 2( x − y) , thay vào
2
2
x
y
Q( x, y) = x − y
 Q( x, y) = 2x
 x
 Q( x, y) P( x, y) 
dxdy =
công thức Green ta được I =  ( x 2 + y 2 )dx + ( x 2 − y 2 )dy = −  
−
x
y 
D 
L−
2

2

−  2( x − y)dxdy = 2  ( y − x )dxdy trên miền D là OAB có cạnh OA nằm trên đường thẳng x = 0,
D

D

cạnh AB nằm trên đường thẳng x + y = 1 và cạnh BO nằm trên đường thẳng y = 0.
1
1−x

0  x  1
 I = 2 ( y − x )dxdy = 2 dx  ( y − x )dy =
Chiếu miền D lên trục Ox thì D = 
0  y  1 − x
D
0
0
1
 ( y − x ) 2 1− x 
1
 dx =  (3x 2 − 4 x + 1)dx = ( x 3 − 2 x 2 + x ) = 0 .
2  dx  ( y − x )d ( y − x ) = 2  
0
2
0
0
0 
0
0 


3.3.2. Điều kiện để tích phân đường loại hai khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân
1

1− x

1

148

Qua các ví dụ trên, ta thấy tích phân đường loại hai không những phụ thuộc vào điểm đầu và
điểm cuối của của đường cong mà còn phụ thuộc vào chính dạng của đường cong. Tuy nhiên, ta sẽ
thấy rằng, có những trường hợp, tích phân đường loại hai (đối với đường cong phẳng) chỉ phụ thuộc
vào điểm đầu và điểm cuối của đường cong mà không phụ thuộc vào dạng của đường cong như ở ví
dụ ngay sau đây.
Ví dụ 3.11. Tính I =  ( x + y 2 )dx + 2xydy trên cung OA đi từ điểm O(0,0) đến điểm A(2,2) theo
OA

hai cách: (a) đoạn thẳng OA; (b) đoạn thẳng OB với B(2,0), rồi theo đoạn thẳng BA.
Bài giải
(a) Đoạn thẳng OA nối điểm O(0,0) với điểm A(2,2) có phương trình y = x (0  x  2)  dy =
y = x
dx, do đó sau khi thay 
(0  x  2) vào biểu thức dưới dấu tích phân của tích phân I ta được
dy = dx
2


x2 
 = 10.
I =  ( x + x 2 )dx + 2xxdx =  (3x 2 + x )dx =  x 3 +
2  0

0
0
2

2

(b) Ta có I =

 (x + y

2

)dx + 2xydy =  ( x + y 2 )dx + 2xydy +

OA

OB

 (x + y

2

)dx + 2xydy

BA

Đoạn thẳng OB nối điểm O(0,0) với điểm B(2,0) có phương trình y = 0 (0  x  2)  dy = 0, do
y = 0
đó sau khi thay 
(0  x  2) vào biểu thức dưới dấu tích phân của tích phân
dy = 0
2

2

x2

ta
được
(
x
+
y
)
dx
+
2
xydy
(
x
+
y
)
dx
+
2
xydy
=
(
x
+
0
)
dx
+
2
x

.
0
.
0
=
xdx
=


0
0
2
OB
OB
2

2

2

= 2.

2

0

Đoạn thẳng BA nối điểm B(2,0) với điểm A(2,2) có phương trình x = 2 (0  y  2)  dx = 0, do
x = 2
đó sau khi thay 
(0  y  2) vào biểu thức dưới dấu tích phân của tích phân

dx = 0

 ( x + y )dx + 2xydy ta được
2

BA

2

2

BA

I=

 (x + y

2

2

2
 (x + y )dx + 2xydy =  (2 + y ).0 + 2.2ydy = 4 ydy = 2y
2

0

)dx + 2xydy =

OA

 (x + y

2

0

= 8.

0

)dx + 2xydy +  ( x + y 2 )dx + 2xydy = 2 + 8 = 10 .

OB

Như vậy, mặc dù tích phân I =

2

BA

 ( x + y)

2

dx + 2xydy được tính từ điểm O đến điểm A trên 2

OA

đường khác nhau nhưng có giá trị tính được bằng nhau.

Kết quả trên dẫn đến việc xuất hiện câu hỏi: Với điều kiện nào thì tích phân đường loại hai
khơng phụ thuộc vào dạng của đường cong phẳng tính tích phân mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và
điểm cuối của đường cong? Như ta sẽ thấy trong định lý sau đây, các nhà tốn học đã tìm thấy điều
Q( x, y) P( x, y)
kiện đó là
đối với tích phân  P( x , y)dx + Q( x , y)dy .
=
x
y
L
Định lý. Giả sử các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của
chúng trong một miền đơn liên D nào đó, khi đó 4 mệnh đề sau là tương đương với nhau:
(1)

Q( x, y) P( x, y)
với (x,y)D;
=
x
y

(2)  P( x , y)dx + Q( x , y)dy = 0 với mọi đường cong kín L nằm trong miền D;
L

(3)

 P( x, y)dx + Q( x, y)dy

chỉ phụ thuộc vào điểm đầu A và điểm cuối B của cung AB là một

AB

cung nằm trong miền D, mà không phụ thuộc vào dạng của cung AB;
149


(4) Biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp 1 của một hàm số u(x,y) nào đấy xác
định trên miền D.
Hệ quả 1. Nếu biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số u(x,y) trong
một miền DR2 thì
 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = u (x B , y b ) − u ( x A , y A ) dọc theo mọi đường nối điểm A đến điểm B
AB

nằm trong miền D (tương tự như công thức Newton – Leibnitz).
Hệ quả 2. Nếu D = R2 thì biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số
u(x,y) được xác định bởi công thức
y

x

u ( x , y) =  P( t , y 0 )dt +  Q( x , t )dt với (x0,y0) tùy ý thuộc miền D;
x0

y0

x

y

x0

y0

hoặc u ( x , y) =  P( t , y)dt +  Q( x 0 , t )dt với (x0,y0) tùy ý thuộc miền D.
Giá trị của x0 và y0 được chọn để việc tính toán các biểu thức toán học cho đơn giản.
Quay lại xét Ví dụ 3.11. Tính I =  ( x + y 2 )dx + 2xydy trên cung OA đi từ điểm O(0,0) đến
OA

 P( x, y)
= 2y

P ( x , y ) = x + y
Q( x, y) P( x, y)
 y
điểm A(2,2). Đặt 
nên theo Mệnh đề 4 của


=
x
y
Q( x, y) = 2xy
 Q( x, y) = 2 y

 x
định lý trên thì biểu thức dưới dấu tích phân P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ( x + y 2 )dx + 2xydy là vi phân
toàn phần cấp 1 của một hàm số u(x,y) nào đấy.
2

x

y

x0

y0

x

y

0

0

Theo Hệ quả 2 thì u ( x , y) =  P( t , y 0 )dt +  Q( x , t )dt =  P( t ,0)dt +  Q( x , t )dt =
x

y

y

x

2
 (t + 0 )dt +  2xtdt =  tdt + 2x  tdt =
0

0

0

0

2 x

t
2

+ 2x

0

2 y

t
2

0

=

x2
+ xy 2
2
( x , y )=( 2, 2 )

Theo Hệ quả 1 thì I =

 (x + y

2

)dx + 2 xydy = u ( x , y) O ( 0, 0 )

A ( 2, 2)

OA

 x2

= 
+ xy 2 
=
 2
 ( x , y )=( 0, 0 )

u (2,2) − u (0,0) = 10 − 0 = 10 .
xy
2

P( x, y) = ye + my + x
Ví dụ 3.12. Cho các hàm số 
với m là một tham số.
xy
2

Q( x, y) = xe − 2m xy
(a) Tìm giá trị của m để biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp 1 của một hàm
số u(x,y) nào đấy;

(b) Với giá trị của m tìm được ở (a), xác định hàm số u(x,y) mà du = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Bài giải
(a) Theo định lý trên, để biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp 1 của một hàm
Q( x, y) P( x, y)
số u(x,y) nào đấy thì các hàm số P(x,y), Q(x,y) phải thỏa mãn điều kiện
với
=
x
y
Q( x, y) P( x, y)
(x,y)D, cụ thể là
=
 e xy + xye xy − 2m 2 y = e xy + xye xy + 2my  my + m 2 y = 0
x
y
m = 0
 m(1 + m) y = 0  
với (x,y)D
m = −1

150


xy
2
xy

P( x, y) = ye + 0.y + x = ye + x
(b) Với m = 0 thì 
xy

2
xy

Q( x, y) = xe − 2.0 .xy = xe
x

y

x

x0

y0

0

y

Khi đó u ( x , y) =  P( t , y 0 )dt +  Q( x , t )dt =  P( t ,0)dt +  Q( x , t )dt =

 (0.e
x

t .0

)

y

y

x

+ t dt +  xe xt dt =  tdt +  e xt d( xt ) =

0

0

Thử lại du ( x, y) =

0

0

0

2 x

t
2

+ e xt

y
0

=

0

x2
+ e xy − 1 .
2

u ( x, y)
u ( x, y)
dx +
dy = (x + ye xy )dx + xe xy dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy .
x
y

xy
2
xy
2

P( x, y) = ye + (−1).y + x = ye + x − y
Với m = –1 thì 
xy
2
xy

Q( x, y) = xe − 2.( −1) .xy = xe − 2xy
y

x

y

x

Khi đó u ( x , y) =  P( t , y 0 )dt +  Q( x , t )dt =  P( t ,0)dt +  Q( x , t )dt =
x0

 (0.e
x

t .0

)

y0

y

(

)

0

y

y

+ t − 0 dt +  xe − 2xt dt =  tdt +  xe dt − 2x  tdt =
2

0

xt

0

2 x

0

x

y

xt

0

0

0

y
x2
x2
+ e xt − xy 2 =
− xy 2 + e xy − 1
0
0
2
2

0
0
u ( x, y)
u ( x, y)
Thử lại du ( x, y) =
dx +
dy = (x − y 2 + ye xy )dx + (− 2xy + xe xy )dy =
x
y
P( x , y)dx + Q( x , y)dy

t
2

+  e xt d( xt ) − x t 2

y

=

Nhận xét. Nếu tích phân đường loại hai khơng phụ thuộc dạng của đường lấy tích phân thì ta có
thể chọn đường lấy tích phân sao cho việc tính tốn trở nên đơn giản.
x−y
x+y
dx + 2
dy trên cung AB với A(1,1), B(2,2).
Ví dụ 3.13. Tính I =  2
2
x +y
x + y2

AB
Bài giải
 P( x , y) − x 2 − 2xy + y 2
x−y

P
(
x
,
y
)
=
 y = ( x 2 + y 2 ) 2

x 2 + y2
Q( x , y) P( x , y)



=
Ta có 
nên tích phân
2
2
x
−
y

x


y

Q
(
x
,
y
)
−
x
−
2
xy
+
y
Q( x , y) =

=

 x
x 2 + y2
(x 2 + y2 )2
x−y
x+y
dx + 2
dy cần tính khơng phụ thuộc vào dạng vào dạng của đường nối điểm A với
2
2
+y
x + y2

AB
điểm B.
I=

x

Để việc tính tốn được sđơn giản, ta chọn đường lấy tích phân là đoạn thẳng AB có phương
trình x = y (1  y  2)  dx = dy. Do đó, nếu thay x = y và dx = dy vào biểu thức dưới dấu tích phân
2
y−y
y+y
0
2y
dy
2
thì ta được I =  2
dx
+
dy
=
.
dy
+
dy
=
= ln y 1 = ln 2 .
2
2
2
2

2


y +y
y +y
2y
2y
y
AB
AB
1
Ví dụ 3.14. Tính I =

 xy

2

dx + x 2 ydy trên cung AB với A(0,1), B(3,4).

AB

Bài giải

151


 P( x, y)
 y = 2xy
P( x, y) = xy
Q( x, y) P( x, y)

Đặt 


=
 I =  xy 2 dx + x 2 ydy không
2
x
y
Q( x, y) = x y  Q( x, y)
AB
= 2xy
 x
phụ thuộc vào dạng của đường nối điểm A với điểm B, do đó để tính tốn được đơn giản, ta chọn
đường lấy tích phân là các cạnh AC và CB của ACB với C(3,1).
2

I=

 xy

2

 xy

dx + x 2 ydy =

AB

2

dx + x 2 ydy +  xy 2 dx + x 2 ydy

AC

CB

- Phương trình đoạn thẳng AC là y = 1 (0  x  3)  dy = 0 (0  x  3)
3

3

x2
  xy dx + x ydy =  x.1 dx + x .1.0 =  xdx =
2
AC
0
0
2

2

2

3

=

2

0

9
2

- Phương trình đoạn thẳng CB là x = 3 (1  y  4)  dx = 0 (1  y  4)
4

4

4

y2
  xy dx + x ydy =  3y .0 + 3 ydy =  9 ydy = 9 ydy = 9
2
CB
1
1
1
2

2

2

4

= 72 −

2

1

9
2

9
9
+ 72 − = 72 .
2
2
AB
Q( x, y) P( x, y)
Cách khác. Vì
nên biểu thức dưới dấu tích phân
=
x
y
xy 2 dx + x 2 ydy  P( x, y)dx + Q( x, y)dy là vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số
I=

 xy

2

dx + x 2 ydy =

y

x

y

x

y

x

u ( x , y) =  P( t , y 0 )dt +  Q( x , t )dt =  P( t ,0)dt +  Q( x , t )dt =  t.0 dt +  x 2 tdt =
2

x0

y0

y

0 + x 2  tdt = x 2
0

I=

 xy

2

2 y

t
2

=

0

0

AB

0

0

x 2 y2
.
2
B( 3, 4 )

dx + x ydy = u ( x, y) A ( 0,1)
2

0

x 2 y2
=
2

( x , y ) =( 3, 4 )

= u (3,4) − u (0,1) = 72 − 0 = 72 .

( x , y ) =( 0,1)

3.4. Tích phân mặt loại một
3.4.1. Định nghĩa tích phân mặt loại một
Cho mặt cong SR3 và hàm số f(x,y,z) xác định với (x,y,z)S. Chia S thành n mặt cong nhỏ
khơng dẫm lên nhau có diện tích tương ứng bằng S1, S2, …, Sn. Trên mỗi mặt cong Si (1  i  n)
lấy điểm (xi,yi,zi) tùy ý.
n

Lập tổng I n =  f ( x i , y i , z i ).S i , nếu khi n →  sao cho max Si → 0 mà In → I là một giá trị
1i  n

i =1

hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia mặt cong S thành n mặt cong nhỏ và cách chọn điểm (xi,yi.zi)
trên mỗi mặt cong nhỏ thứ i (1  i  n), thì I được gọi là tích phân mặt loại một của hàm số f(x,y,z)

152


trên mặt cong S và ký hiệu là I =  f ( x, y, z)dS , trong đó f(x,y,z) và dS được gọi tương ứng là hàm
S

dưới dấu tích phân và vi phân diện tích mặt cong.
Nếu S là mặt cong trơn (phương trình của mặt cong S là hàm số z = z(x,y) đơn trị, liên tục cùng
với các đạo hàm riêng của nó) và nếu hàm số f(x,y,z) liên tục với (x,y,z)S thì tích phân mặt loại
một tồn tại.
3.4.2. Tính chất của tích phân mặt loại một
Tích phân mặt loại một có các tính chất giống như các tính chất của tích phân xác định.
3.4.3. Cách tính tích phân mặt loại một

Trong khơng gian R3 cho mặt cong S. Giả sử hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng tọa độ
Oxy là một miền đóng và bị chặn D. Giả sử phương trình của mặt cong S là hàm số z = z(x,y) đơn trị,
liên tục với (x,y)D và có các đạo hàm riêng z 'x ( x, y), z 'y ( x, y) liên tục với (x,y)D.
Nếu mỗi đường thẳng song song với trục tọa độ Oz cắt mặt cong S không quá một điểm và hàm
số f(x,y,z) liên tục với (x,y,z)S thì

 f (x, y, z)dS =  f (x, y, z(x, y))
S

1 + (z 'x ( x , y) ) + (z 'y ( x , y) ) dxdy .
2

2

D

Như vậy, tích phân mặt loại một được đưa về việc tính tích phân 2 lớp đã biết cách tính.
Ví dụ 3.15. Tính I =  zdS trên mặt S
S

(a) S là nửa mặt cầu z = R 2 − x 2 − y 2 .
(b) S là paraboloit tròn xoay x2 + y2 = 2z (0  z  1).
Bài giải
1
−
 '
2
2
2
2

z
(
x
,
y
)
=
−
x
(
R
−
x
−
y
)
 x
2
2
2
(a) Ta có z = R − x − y  
1
z ' ( x , y ) = − y ( R 2 − x 2 − y 2 ) − 2
 y

(

) (
2

 1 + z 'x ( x, y) + z 'y ( x, y)

)

2

=

R
R 2 − x 2 − y2

Hàm số dưới dấu tích phân f (x, y, z) = z = R 2 − x 2 − y 2
Hình chiếu của mặt S lên mặt phẳng Oxy là hình trịn D = {x2 + y2 ≤ R2}.
R
 I =  zdS =  R 2 − x 2 − y 2
dxdy = R  dxdy
2
2
2
R
−
x
−
y
S
D
D


− R  x  R

Chiếu hình trịn D lên trục Ox thì D = 
2
2
2
2

− R − x  y  R − x
R

R 2 −x 2

R

R

R 2 −x 2
 I = R  dx  dy = R   y − R 2 − x 2 dx = 2R  R 2 − x 2 dx

−R
− R
−R
− R 2 −x 2


t =  khi x = −R
 R 2 − x 2 = R 2 − (R cos t ) 2 = R sin t
Đổi biến x = R cos t  
và 

 t = 0 khi x = R

dx = (R cos t )' dt = −R sin tdt
0





3
2
3 1 − cos 2 t
3

 I = 2R  (R sin t )(−R sin t )dt = 2R  sin tdt = 2R 
dt = R   dt −  cos 2tdt  =
2

0
0
0
0


153


  1

1



R 3  t 0 −  cos 2td(2t )  = R 3   − sin 2t 0  = R 3 ( − 0) = R 3 .
20
2




Nhận xét. Theo ý nghĩa hình học của tích phân 2 lớp thì tích phân  dxdy là diện tích của hình
D

trịn D = {x + y ≤ R } nên I = R  dxdy = RR = R .
2

2

2

2

3

D

(b) x 2 + y 2 = 2z  z =

x + y2
x 2 + y2
là phương trình của mặt cong S.
 z = z ( z, y ) =
2

2
2

'

2
2
x 2 + y2
z x ( x, y) = x
 '
 1 + z 'x ( x, y) + z 'y ( x, y) = 1 + x 2 + y 2
2

z y ( x, y) = y
x 2 + y2
Hàm số dưới dấu tích phân f ( x, y, z) = z =
2
Giao của mặt phẳng z = 1 với paraboloit tròn xoay x2 + y2 = 2z là hình trịn D = {x2 + y2  2}
nên hình chiếu của mặt cong S lên mặt phẳng Oxy là hình trịn D = {x2 + y2  2}.
x 2 + y2
1
 I =  zdS = 
1 + x 2 + y 2 dxdy =  ( x 2 + y 2 ) 1 + x 2 + y 2 dxdy
2
2D
S
D

(

Ta có z(z, y) =

) (

)

x = r cos 
 J = r và miền
Đổi tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) bằng phép đổi biến 
 y = r sin 
0  r  2
x = r cos 
D' = 
vì đối với tọa độ r, ta thay 
vào phương trình của hình trịn x2 + y2  2 
y
=
r
sin

0



2




r2  2  0  r  2 , còn đối với tọa độ  thì 0    2.

Biểu thức dưới dấu tích phân (x 2 + y 2 ) 1 + x 2 + y 2  r 2 1 + r 2 .

 2   2
 I =  r 2 1 + r 2 J drd =  r 2 1 + r 2 rdrd =  r 3 1 + r 2 drd =   d   r 3 1 + r 2 dr  =


D'
D'
D'
 0  0


( )
2

0

1
2
 2 2

 r 1 + r 2 d(r 2 )  = 2 (1 + r 2 − 1)(1 + r 2 ) 2 d(1 + r 2 ) =
0


0

2

3

1
+1
+1 

2 2
2 2
 (1 + r )


(1 + r ) 
8(6 3 + 1)
2
2
2
2  (1 + r ) − (1 + r ) d(1 + r ) = 2
−
.
 =
(1 2) + 1 
15
0 

 (3 2) + 1

0
2

3
2

1
2

Ví dụ 3.16. Tính I =  z 2 dS trên mặt S là một phần tám mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2, x  0, y  0, z
S

 0 (a > 0).
Bài giải
Phương trình của mặt cong S là z = z(x, y) = a 2 − x 2 − y 2 và hình chiếu của S lên mặt phẳng
Oxy (z = 0) là một phần tư hình trịn D = {x2 + y2  a2}.

154


x
 '
z x ( x , y ) = − 2
a − x 2 − y2
2

2
2
2
z ( x , y) = a − x − y  
 1 + z 'x ( x, y) + z 'y ( x, y)
y
z ' ( x , y ) = −
y

a 2 − x 2 − y2



(

2


 
x
y
 + −
1+ −
2
2
2
2

a − x − y  
a − x 2 − y2

Hàm số dưới dấu tích phân

(a

2

− x 2 − y2

2

2

2

=

2

 I =  z 2 dS =  f (x , y, z( x , y) ) 1 + (z 'x ( x , y) ) + (z 'y ( x , y) ) =

 (a

)


a
 =
2

a − x 2 − y2


f ( x , y , z ) = f ( x , y, z ( x , y ) ) = z 2 ( x , y ) =
S

) (

)

2

= a 2 − x 2 − y2

2

D

− x 2 − y2 )

D

a
a −x −y
2

2

2

dxdy = a  a 2 − x 2 − y 2 dxdy
D

x = r cos 
 J = r và miền
Đổi tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) bằng phép đổi biến 
 y = r sin 
x = r cos 
0  r  a
D' = 
vì đối với tọa độ r, ta thay 

vào phương trình của hình trịn x2 + y2  a2
y
=
0

r
sin




2


2
2
 r  a  0  r  a , cịn đối với tọa độ  thì 0    /2.

Biểu thức dưới dấu tích phân

a 2 − x 2 − y2  a 2 − r 2

 I = a  a 2 − r 2 J drd = a  a 2 − r 2 rdrd = a  r a 2 − r 2 drd =
D'

D'

( ) − 12  (a





2
a   d   r a 2 − r 2 dr  = a  0



 0  0
2

D'

a

a



0

2

a
1
+1
2


a (a − r )
− r 2 ) d(a 2 − r 2 )  = −

4 (1 2) + 1

1
2

2

2

=

a 4
6

0

3.4.4. Ý nghĩa vật lý và ý nghĩa hình học của tích phân mặt loại một
Nếu mặt cong S có khối lượng riêng tại điểm (x,y,z)S bằng f(x,y,z) > 0 thì khối lượng m của
mặt cong S là m =  f ( x, y, z)dS (ý nghĩa vật lý). Đặc biệt, khi f(x,y,z) = 1 thì S =  dS là diện tích
S

S

của mặt cong S (ý nghĩa hình học).
3.5. Tích phân mặt loại hai
3.5.1. Khái niệm mặt định hướng
Trong không gian R3 cho mặt cong trơn S.
Mặt S được gọi là mặt hai phía nếu khi đi theo một đường cong đóng bất kỳ nằm trong mặt S
khơng có điểm chung với biên của S thì hướng của pháp tuyến của mặt S không thay đổi.

155


Nếu trên mặt S có một đường cong đóng mà đi theo đường cong này hướng của pháp tuyến đổi
ngược lại thì mặt S được gọi là mặt một phía.
Mặt hai phía được gọi là mặt định hướng được, cịn mặt một phía được gọi là mặt khơng định
hướng được. Ở đây ta chỉ xét các mặt định hướng được.
Một ví dụ điển hình về mặt một phía là dải Mobius: Lấy một băng giấy hình chữ nhật ABCD và
xoắn băng giấy này nửa vòng theo chiều dài rồi gắn điểm C với điểm A, điểm D với điểm B.

Khi điểm M di chuyển một vòng trên dải Mobius, xuất phát từ điểm MO thì lúc gặp lại điểm MO
→

véc tơ pháp tuyến n đổi hướng ngược lại.
→

→

Giả sử S là mặt định hướng được và gọi n = n ( x , y, z ) là véc tơ pháp tuyến của mặt S tại điểm
M(x,y,z)S (véc tơ pháp tuyến là véc tơ vng góc với mặt phẳng tiếp xúc của mặt S tại điểm M), khi
→

đó hướng của mặt S được xác định là hướng của n . Như vậy, nếu S là mặt kín và định hướng được thì
sẽ xác định được phía trong, phía ngồi; cịn nếu S là mặt khơng kín thì sẽ xác định được phía trên,
phía dưới.
3.5.2. Định nghĩa tích phân mặt loại hai
→

Trong không gian R3 cho một mặt cong S định hướng được, giả sử véc tơ f ( x , y, z ) xác định
trên mặt S, có ba thành phần P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy, khi

→

→

→

→

đó f ( x , y, z) = P( x , y, z) i + Q( x , y, z) j + R ( x , y, z) k .
Chia S thành n mặt cong nhỏ tùy ý không dẫm lên nhau có diện tích tương ứng là S1, S2, …,
Sn. Trên mỗi mặt cong nhỏ thứ i có diện tích Si (1  i  n) lấy điểm (xi,yi,zi) tùy ý.
→

→

→

→

Ký hiệu n = n ( x i , y i , z i ) là véc tơ pháp tuyến đơn vị tại điểm (xi,yi,zi) và S = S. n .
n →

→

Lập tổng I n =  f ( x i , y i , z i ). S i , nếu khi n →  sao cho max Si → 0 mà In → I là một giá
1i  n

i =1

trị hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia S thành n mặt cong nhỏ và cách chọn điểm (xi,yi.zi) trên

mặt cong nhỏ thứ i (1  i  n), thì I được gọi là tích phân mặt loại hai của hàm số
→

→

→

→

f ( x , y, z) = P( x , y, z) i + Q( x , y, z) j + R ( x , y, z) k trên mặt cong S và ký hiệu là
→

→

I =  f ( x, y, z). S =  P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R ( x, y, z)dxdy
S

S

Nếu S là mặt định hướng được và liên tục tức là có véc tơ pháp tuyến tương ứng biến thiên liên
tục (véc tơ pháp tuyến tại một điểm M của mặt S là véc tơ vng góc với mặt phẳng tiếp xúc của mặt
S tại điểm M) và nếu các hàm số P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục với (x,y,z)S thì tích phân mặt
loại hai tồn tại.
3.5.3. Tính chất của tích phân mặt loại hai
Nếu đổi hướng mặt cong S thì tích phân mặt loại hai trên mặt cong S đổi dấu.
156


Tích phân mặt loại hai có các tính chất giống như các tính chất của tích phân hai lớp.
3.5.4. Cách tính tích phân mặt loại hai

Tích phân mặt loại hai được tính bằng cách đưa về tích phân hai lớp.
Trước tiên ta xét tích phân

 R (x, y, z)dxdy . Giả sử mặt cong S có phương trình là z = z(x,y)
S

với hàm số z(x,y) có các đạo hàm riêng z 'x ( x, y), z 'y ( x, y) liên tục trên hình phẳng D là hình chiếu của
mặt cong S lên mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng z = 0), khi đó:
→

+

 R (x, y, z(x, y))dxdy =  R (x, y, z(x, y))dxdy nếu véc tơ pháp tuyến n lập với trục tọa độ Oz
S

D

một góc nhọn;
→

+

 R (x, y, z(x, y))dxdy = − R (x, y, z(x, y))dxdy nếu véc tơ pháp tuyến n lập với trục tọa độ
S

D

Oz một góc tù.
Các tích phân  P( x, y, z)dydz ,

 Q(x, y, z)dzdx được tính tương tự.
S

S

Ví dụ 3.17. Tính I =  xdydz + ydzdx + zdxdy trên S là phía ngồi mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2
S

Vì phương trình của mặt cầu và biểu thức dưới dấu tích phân khơng đổi khi hốn vị vịng quanh
x, y, z nên ta có  xdydz =  ydzdx =  zdxdy  I = 3 zdxdy .
S

Ta có

S

S

S

 zdxdy =  z (x, y)dxdy +  z
1

S

S1

2

( x, y)dxdy với S1 và S2 là nửa mặt cầu trên và nửa mặt

S2

cầu dưới của mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2, có phương trình tương ứng là z1 (x, y) = R 2 − x 2 − y 2 (z >
0) và z 2 (x, y) = − R 2 − x 2 − y 2 (z < 0).

 

 I = 3  z1 ( x, y)dxdy +  z 2 ( x, y)dxdy  = 3  R 2 − x 2 − y 2 dxdy +  − R 2 − x 2 − y 2 dxdy  =
S
 S

S2
S2
 1
  1



3  R 2 − x 2 − y 2 dxdy −  R 2 − x 2 − y 2 dxdy 
S

S2
 1

Hình chiếu vng góc của S1 và S2 xuống mặt phẳng tọa độ Oxy là hình trịn D có phương trình
x2 + y2  R2.

Vì véc tơ pháp tuyến của nửa mặt cầu trên (S1) lập với trục tọa độ Oz một góc nhọn và véc tơ
pháp tuyến của nửa mặt cầu dưới (S1) lập với trục tọa độ Oz một góc tù nên


S1

R 2 − x 2 − y 2 dxdy =  R 2 − x 2 − y 2 dxdy và
D


S2

R 2 − x 2 − y 2 dxdy = −  R 2 − x 2 − y 2 dxdy
D




 I = 3  R 2 − x 2 − y 2 −  −  R 2 − x 2 − y 2  = 6 R 2 − x 2 − y 2 dxdy .
 D
D
 D

157


Để tính tích phân



R 2 − x 2 − y 2 dxdy ta đổi tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) bằng

D

x = r cos 
x = r cos 
0  r  R
 J = r và miền D' = 
phép đổi biến 
vì đối với tọa độ r, ta thay 
 y = r sin 
 y = r sin 
0    2
2
2
2
2
2
vào phương trình của hình trịn x + y  R  r  R  0  r  R , cịn đối với tọa độ  thì 0   
2.

Biểu thức dưới dấu tích phân

R 2 − x 2 − y2  R 2 − r 2

 I = 6 R 2 − r 2 J drd = 6 R 2 − r 2 rdrd = 6 r R 2 − r 2 drd =
D'

D'

( ) − 12  (R




2
6  d   r R 2 − r 2 dr  = 6  0
 0  0

2

R

D'

R



0

2

R
1
+1
2


(R − r )
− r 2 ) d(R 2 − r 2 )  = −6
(1 2) + 1


1
2

2

2

= 4R 3 .

0

3.6. Mối quan hệ của các tích phân bội, đường và mặt
3.6.1. Công thức Green
Ở mục 3.3. ta đã biết cơng thức Green là cơng thức liên hệ giữa tích phân hai lớp và tích phân
đường loại hai. Nếu các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục
trên miền phẳng D là một miền liên thơng, bị chặn và có biên L gồm một hay nhiều đường cong kín
 Q( x, y) P( x, y) 
rời nhau từng đơi một thì  P( x, y)dx + Q( x, y)dy =  
dxdy .
−

x

y
+


D
L

Hệ quả. Diện tích S của miền phẳng D có biên là đường cong kín L được tính bởi công thức
1
S =  xdy − ydx .
2 L+
3.6.2. Công thức Stokes
Công thức Stokes là công thức liên hệ giữa tích phân đường loại hai trên đường cong kín L trong
khơng gian với tích phân mặt loại hai trên mặt S định hướng được, giới hạn bởi đường biên L.
Giả sử mặt định hướng được S trơn từng mảnh, biên L của nó là một đường cong kín trơn từng
khúc, đồng thời các hàm số P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục
trên mặt S thì  P( x, y, z)dx + Q( x, y, z)dy + R ( x, y, z)dz =
L+

 R ( x, y, z) Q( x, y, z) 
 Q( x, y, z) P( x, y, z) 
 P( x, y, z) R ( x, y, z) 
dydz + 
dxdy
−
−
−
dzdx + 
y
z
z
x
x
y






S
2
Công thức Stoker là kết quả mở rộng công thức Green trong không gian R sang không gian R3.
Từ công thức Stoker suy ra điều kiện cần và đủ để tích phân đường trong khơng gian khơng phụ thuộc
R ( x, y, z) Q( x, y, z) P( x, y, z) R ( x, y, z)
vào đường lấy tích phân là
và
=
,
=
y
z
z
x
Q( x, y, z) P( x, y, z)
. Điều kiện này cũng là điều kiện cần và đủ để P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy +
=
x
y
R(x,y,z)dz là vi phân toàn phần cấp 1 của một hàm số u(x,y,z) nào đấy.

 

3.6.3. Công thức Ostrogradsky
Công thức Ostrogradsky là công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại hai lấy trên mặt ngồi của
mặt cong kín S với tích phân ba lớp trên miền V có biên là mặt cong kín S.

158

Giả sử V là miền giới nội và đóng trong khơng gian R3 có biên là mặt cong kín S, trơn từng
mảnh; các hàm số P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong
miền V thì
 P( x, y, z) Q( x, y, z) R ( x, y, z) 

dxdydz
+
+
S P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R (x, y, z)dxdy = 
x
y
z

V 
Hệ quả. Thể tích V của vật thể giới hạn bởi mặt cong kín S được tính bằng cơng thức:

V=

1
xdydz + ydzdx + zdxdy
3 
S

 P( x , y, z)
=1


x

 P ( x , y, z ) = x


 Q( x , y, z)
= 1 và thay vào công thức Ostrogradsky
Chứng minh. Ta lấy Q( x , y, z) = y  
y
 R ( x , y, z ) = z


 R ( x , y, z)
=1

z

1
(1 + 1 + 1)dxdydz = 3 dxdydz = 3V  V =  xdydz + ydzdx + zdxdy
S xdydz + ydzdx + zdxdy = 
3 S
V
V
Bài tập
3.1. Tính tích phân đường loại một I =  xyds
L
2

(a) L là cung của đường ellipse

x
y2

+
= 1 nằm trong góc vng thứ nhất (x  0, y  0) của hệ
a 2 b2

tọa độ Descartes vng góc Oxy.
(b) L là các cạnh của hình chữ nhật OABC có tọa độ các đỉnh trong hệ tọa độ Descartes vng
góc Oxy là O(0,0), A(4,0), B(4,2) và C(0,2).
(c) L là các cạnh của hình vng |x| + |y| = a (a > 0).
3.2. Tính tích phân đường loại một I =  ( x 2 + y 2 )ds
L

(a) L là đoạn thẳng nối điểm O(0,0) với điểm A(2,4) trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy.
(b) L là các cạnh của OAB có tọa độ các đỉnh trong hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy là
O(0,0), A(1,1) và B(–1,1).
(c) L là đường có phương trình x2 + y2 = ax trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy.
3.3. Tính các tích phân đường loại một sau đây
(a) I = 
L

x = t

2 y ds , cung L được xác định bởi phương trình tham số  y = t 2 2 với 0 ≤ t ≤ 1.
z = t 3 3


x = a cos t

(b) I =  ( x + y + z )ds , cung L là đường xoắn ốc có phương trình tham số  y = a sin t
L
z = bt


2

2

2

a  0
với 
và 0 ≤ t ≤ 2.
b  0

(c) I =  5( x 2 − y 2 ) + 24xy + (z − 1) 2 + 4ds , L là giao tuyến của mặt trụ x2 + y2 = 4 với mặt
L

phẳng 2x - 3y + z = 1.
159


(d) I =  x 2 ds , L là giao tuyến của mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 (a > 0) với mặt phẳng x + y + z = 0.
L

3.4. Tính khối lượng của sợi dây có phương trình
x
x
− 
a  a
(a) là đường cong phẳng y =  e + e a  với 0  x  a (a > 0), biết rằng khối lượng riêng của
2


đường cong tại điểm (x,y) là f (x, y) = 1 y .
x = a cos t

(b) là đường xoắn ốc  y = a sin t với 0  t  2, a = b = 1, biết rằng khối lượng riêng của sợi dây
z = bt

tại điểm (x,y,z) là f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 .
3.5. Tính các tích phân đường loại hai
(a) I =  ( x − y) 2 dx + ( x + y) 2 dy trên L là các đoạn thẳng từ A đến B và từ B đến C với A(0,0),
L

B(2,2) và C(4,0).
(b) I =  ydx − ( y + x 2 )dy trên cung phẳng L là cung của đường parabol y = 2x – x2 nằm phía
L

trên trục Ox theo chiều kim đồng hồ.
(c) I =  ( x 2 + y 2 )dx + ( x 2 − y 2 )dy trên L là đường y = 1 – 1 – x (0  x  2) theo chiều tăng của
L

x.
x ( t ) = a (1 − sin t )
(d) I =  (2a − y)dx + xdy trên L là đường 
với 0  t  2 và a > 0.
 y( t ) = a (1 − cos t )
L
x 2 y2
(e) I =  ( x + y)dx + ( x − y)dy trên L là đường ellipse 2 + 2 = 1 .
a
b
L+

( x 2 − y 2 )dy − 2xydx
trên cung AB là nửa đường trịn x2 + y2 = 2y về phía x  0 nối từ
2
2
AB
x +y
điểm A(0,0) đến điểm B(0,2).

(f) I =

3.6. Tính tích phân đường loại hai I =

 ( xy − 1)dx + x

2

ydy trên đường nối từ điểm A(1,0) đến điểm

AB

B(0,2) theo chiều dương trong 3 trường hợp (a) 2x + y = 2; (b) 4x + y2 = 4; (c) x 2 + y 2 4 = 1 .
3.7. Tính trực tiếp các tích phân đường loại hai sau đây, sau đó kiểm tra kết quả bằng công thức Green
(a) I =  (2xy − x 2 )dx + ( x + y 2 )dy trên L là đường cong kín tạo bởi hai cung parabol y = x2, x =
L+

2

y.
(b) I =  (2x 3 − y 3 )dx + ( x 3 + y 3 )dy trên L là đường tròn x2 + y2 = 1.
L+

 (x

(c) I =

2

+ y 2 )dx + ( x 2 − y 2 )dy trên cạnh AB (từ điểm A đến điểm B), cạnh BC (từ điểm B

ABCD

đến điểm C) và cạnh CA (từ điểm C đến điểm A) của ABC với A(0,0), B(1,0) và C(0,1).
3.8. Tính các tích phân đường loại hai
y
x


(a) I =  xy + y dy − xy x + dx trên L là ba cạnh của ABC với A(-1,0), B(1,-2) và
2
2


L+
C(1,2).
(b) I =  ( xy + x + y)dx + ( xy + x − y)dy trên L là đường tròn x2 + y2 = ax (a > 0).
L+

160

 2(x

(c) I =

2

+ y 2 )dx + (4 y + 3) xdy trên cạnh OA (từ điểm O đến điểm A) và cạnh AB (từ

OAB

điểm A đến điểm B) của OAB với O(0,0), A(1,1) và B(0,2).
 x y  3x 2 − y 2
3y 2 − x 2 
dx +
dy 
3.9. Cho tích phân đường loại hai I =   + 
y x 
x
y

L
(a) Tích phân này có phụ thuộc vào đường lấy tích phân khơng?
2


x = t + cos t 
(b) Tính tích phân này trên cung AB được cho dưới dạng tham số 
0  t  
2
2


 y = 1 + sin t 

theo chiều tăng của tham số ứng (t = 0 ứng với điểm đầu A và t = ứng với điểm cuối B).
2
(mx − y)dx + (nx + y)dy
3.10. Tìm các tham số m, n để tích phân đường loại hai I = 
không phụ
x 2 + y2
AB
thuộc vào dạng của đường lấy tích phân.
3.11. Tìm các tham số m, n để tích phân đường loại hai
I =  ( x + a )(y + b) 2 + (n − m)by + may dx + ( x + a ) 2 ( y + b) + 2(n − 1)ax dy = 0 với mọi đường









L

cong kín L và với mọi giá trị của a và b.
( x − y)dx + ( x + y)dy
3.12. Tìm tham số m để biểu thức
là vi phân toàn phần cấp 1 của một hàm số
(x 2 + y 2 ) m
u(x,y) nào đó.

3.13. Chứng minh rằng biểu thức 6xeydx + (3x2 + y + 1)eydy là vi phân toàn phần cấp 1 của một hàm
số u(x,y) nào đó.Tìm hàm số u(x,y).
3.14. Xác định hàm số u(x,y) thỏa mãn du(x,y) = 2xy3dx + (3x2y2 + cosy)dy.
3.15. Tính I =  ( x 2 + y 2 )z 2 dS trên mặt S là phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2, x  0, y  0, z  0 (a > 0).
S

Đáp án bài tập
x 2 y2
+
= 1 nằm trong góc vng thứ nhất (x  0, y 
a 2 b2
x ( t ) = a cos t
0) của hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là 
( 0  t   2 ).
 y( t ) = b sin t

3.1. (a) Phương trình tham số của đường ellipse

x ' ( t ) = −a sin t

I=
 y' ( t ) = b cos t

2

 x ( t ) y( t )

[ x ' ( t )]2 + [ y' ( t )]2 dt =

0

2

 (a cos t )(b sin t )

2

(−a sin t ) + (b cos t ) dt =
2

2

0

 ab cos t sin t

a 2 sin 2 t + b 2 cos2 t dt =

0

2

2

0

0

ab  sin t a 2 sin 2 t + b 2 (1 − sin 2 t )d(sin t ) = ab  sin t b 2 + (a 2 − b 2 ) sin 2 t d(sin t )
u = 0 khi

Đổi biến u = sint  
khi
 1
1

I=



t=0
t= 2

ab
b 2 + (a 2 − b 2 ) u
2 
2(a − b ) 0
2

 I = ab  u b 2 + (a 2 − b 2 )u 2 du =

 db

1
2 2

1

0

2



+ (a 2 − b 2 ) u 2 =

161




ab
b + (a − b ) u
2
2
(1 2) + 1
2( a − b )
2

2

2

1
1
2 2 +1



ab (a 2 + ab + b 2 )
.

3(a + b)

=

0

(b) L là các cạnh của hình chữ nhật OABC có tọa độ các đỉnh trong hệ tọa độ Descartes vng
góc Oxy là O(0,0), A(4,0), B(4,2) và C(0,2).

Ta có  xyds =
L

 xyds +  xyds +  xyds +  xyds = I
AB

BC

CD

1

+ I 2 + I3 + I 4

DA

- Phương trình cạnh AB là y = 0 (0 ≤ x ≤ 4)
4

 I1 =

4

2
 xyds =  xy(x) 1 + y' (x) dx =  0. 1 + 0 dx = 0
2

AB

0

0

- Phương trình cạnh BC là x = 4 (0 ≤ y ≤ 2)
2

2

2

y2
 I 2 =  xyds =  x ( y) y 1 + x ' ( y) dy =  4 y 1 + 0 dy = 4 ydy = 4
2
BC
0
0
0
- Phương trình cạnh CD là y = 2 (0 ≤ x ≤ 4)
2

4

4

4

x2
 I 3 =  xyds =  xy ( x ) 1 + y' ( x ) dx =  2x 1 + 0 dy = 2 xdx = 2
2
CD
0
0
0
- Phương trình cạnh DA là x = 0 (0 ≤ y ≤ 2)
2

2

 I4 =

=8
0

4

= 16

2

0

2

2
 xyds =  x( y) y 1 + x' ( y) dy =  0. 1 + 0 dy = 0
2

DA

- Vậy

2

2

 xyds = I

0
1

0

+ I 2 + I 3 + I 4 = 0 + 8 + 16 + 0 = 24 .

L

(c) Ta có
x  0
 x + y =a x+y=a
+
y


0

x  0
 x + y = a  −x + y = a
+
y  0
x  0
 x + y =a  x−y=a
+
y  0
x  0
 x + y = a  −x − y = a
+
y  0
Các đường thẳng trên đôi một giao nhau tại các điểm A(a,0), B(0,a), C(-a,0), D(0,-a) tạo thành
hình vng ABCD có đồ thị là

162