LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM
Dạng 1. Xác định véc tơ pháp tuyến



 Véctơ pháp tuyến n của mặt phẳng ( P) là véctơ có giá vng góc với ( P ). Nếu n là một véctơ

pháp tuyến của ( P) thì k .n cũng là một véctơ pháp tuyến của ( P ).
 
 Nếu mặt phẳng ( P) có cặp véctơ chỉ phương là u1 , u2 thì ( P)



 

có véctơ pháp tuyến là n  [u1 , u2 ].


 Mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  0 có một véctơ pháp tuyến là n  (a; b; c).

Dạng 2. Xác định phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng ( P)

qua M ( x0 ; y0 ; z0 )

thì phương trình ( P) : a ( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0 (*)
VTPT n  (a; b; c)

Ngược lại, một mặt phẳng bất kỳ đều có phương trình dạng ax  by  cz  d  0 , mặt phẳng này có

VTPT n  (a; b; c) với a2  b2  c2  0 .


Các mặt phẳng cơ bản


VTPT
mp(Oyz ) : x  0 
 n(Oyz )  (1;0; 0)

VTPT
mp(Oxz ) : y  0 
 n(Oxz )  (0;1;0)

VTPT
mp(Oxy ) : z  0 
 n( Oxy )  (0;0;1)

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vng góc với với đường thẳng AB cho trước.





Mặt phẳng (P) qua M , có VTPT n( P )  AB nên phương trình được viết theo (*).
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (Q) cho trước.





Mặt phẳng (P) qua M, có VTPT là n( P )  n( Q ) nên phương trình được viết theo (*).
3. Viết phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại
A(a;0;0), B (0; b;0), C (0; 0; c) với a.b.c  0 .

Phương trình mặt phẳng được viết theo đoạn chắn
( P) :

x y z
  1.
a b c


Dạng 3. Điểm thuộc mặt phẳng
Một mặt phẳng bất kỳ đều có phương trình dạng  P  : ax  by  cz  d  0 , và điểm M  xM ; yM ; zM  .
Nếu axM  by M  cz M  d  0  M   P 
Nếu axM  by M  cz M  d  0  M   P 
Dạng 4. Khoảng cách từ điểm đến mặt
 Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  0 được xác định bởi

công thức: d ( M ; ( P)) 

axM  byM  czM  d
a 2  b2  c2



TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng 1. Xác định phương trình mặt phẳng (không chứa yếu tố đường thẳng)
 Qua A( x ; y ; z )
 ( P) : a( x  x )  b( y  y )  c ( z  z )  0 .

 VTPT : n( P )  ( a; b; c)

Dạng 1. Mặt ( P ) : 

Dạng 2. Viết phương trình ( P) qua A( x ; y ; z ) và ( P)  (Q) : ax  by  cz  d  0.
 Qua A( x , y , z )


 VTPT : n( P )  n(Q )  ( a; b; c )

Phương pháp. ( P ) : 

Q
P

Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực ( P) của đoạn thẳng AB.

 x A  xB y A  y B z A  z B
 Qua I  2 ; 2 ; 2

Phương pháp. ( P) : 

 VTPT : n  
AB
(
P

)



: là trung điểm AB.


A
I

P

B

Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua M và vng góc với đường thẳng d  AB.
 Qua M ( x ; y ; z )

 

VTPT
:
n

u

(P)
d  AB

d

Phương pháp. ( P) : 

P

M

 

Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M và có cặp véctơ chỉ phương a , b .
 Qua M ( x ; y ; z )

 

VTPT
:
n

[
a
,b]

( P)

Phương pháp. ( P) : 

P

Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
 Qua A, (hay B hay C )
 

Phương pháp. ( P) : 

 AB, AC 

VTP
T
:
n

(
ABC
)




P

B
A

C


Dạng 7. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A, B và ( P)  (Q ).

Q

 Qua A, (hay B )
 


 AB , n(Q ) 

VTPT
:
n

(
P
)




Phương pháp. ( P) : 

P

A

B

Dạng 8. Viết phương trình mp ( P) qua M và vng góc với hai mặt ( ), (  ).
 Qua M ( x ; y ; z )

 
 VTPT : n( P )   n( ) , n(  ) 

Phương pháp. ( P) : 

P

Dạng 9. Viết ( P) đi qua M và giao tuyến d của hai mặt phẳng:

M

(Q) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 và (T ) : a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0.

Phương pháp: Khi đó mọi mặt phẳng chứa d đều có dạng:
( P) : m(a1 x  b1 y  c1 z  d1 )  n(a2 x  b2 y  c2 z  d 2 )  0, m 2  n 2  0.

Vì M  ( P )  mối liên hệ giữa m và n. Từ đó chọn m  n sẽ tìm được ( P ).
Dạng 10. Viết phương trình mặt phẳng đoạn chắn
Phương pháp: Nếu mặt phẳng ( P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm A(a;0;0),
x y z
B (0; b;0), C (0; 0; c) với (abc  0) thì ( P) :    1 gọi là mặt phẳng đoạn chắn.
a b c

Dạng 2. Một số bài toán liên đến khoảng cách - góc
Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt, khoảng cách giữa hai mặt
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
 Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  0 được xác định

bởi công thức: d ( M ; ( P)) 

axM  byM  czM  d
a 2  b2  c2



Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc
đường thẳng đến mặt phẳng
 Cho hai mặt phẳng song song ( P) : ax  by  cz  d  0 và (Q ) : ax  by  cz  d   0 có cùng véctơ

pháp tuyến, khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là d  (Q), ( P)  

d  d
a 2  b2  c2



Viết phương trình ( P)  (Q) : ax  by  cz  d  0 và cách M ( x ; y ; z ) khoảng k .
Phương pháp:
 Vì ( P)  (Q) : ax  by  cz  d  0  ( P) : ax  by  cz  d   0.
 Sử dụng công thức khoảng cách d M ,( P ) 

ax  by  cz  d 
a 2  b2  c2

 k  d .

Viết phương trình mặt phẳng ( P)  (Q) : ax  by  cz  d  0 và ( P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng
k cho trước.


Phương pháp:
 Vì ( P)  (Q) : ax  by  cz  d  0  ( P) : ax  by  cz  d   0.
 Chọn một điểm M ( x ; y ; z )  (Q) và sử dụng công thức:
d(Q );( P )  d M ,( P ) 

ax  by  cz  d 
a 2  b2  c 2

 k  d .

Viết phương trình mặt phẳng ( P) vng góc với hai mặt phẳng ( ), (  ), đồng thời ( P) cách điểm
M ( x ; y ; z ) một khoảng bằng k cho trước.

Phương pháp:




 
 Tìm n( ) , n(  ) . Từ đó suy ra n( P )   n( ) , n(  )   (a; b; c).
 Khi đó phương trình ( P) có dạng ( P) : ax  by  cz  d  0, (cần tìm d ).
 Ta có: d M ;( P )  k 

ax  by  cz  d
a 2  b2  c2

 k  d.

Dạng 2.2 Góc của 2 mặt phẳng
1. Góc giữa hai véctơ








Cho hai véctơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) và b  (b1 ; b2 ; b3 ). Khi đó góc giữa hai véctơ a và b là góc nhợn
hoặc tù.

a1b1  a2b2  a3b3
 
a.b
cos(a ; b )    
với 0    180.
a .b
a12  a22  a32 . b12  b22  b32

2. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng ( P) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 và (Q) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0.
 
nP .nQ
cos  ( P), (Q )   cos     
nP . nQ

A1 A2  B1B2  C1C2
A12  B12  C12 . A22  B22  C22

với 0    90.


Dạng 3. Vị trí tương đối
Dạng 3.1 Vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu
Vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)

M1
R

Cho mặt cầu S ( I ; R) và mặt phẳng ( P ).

I
M2

Gọi H là hình chiếu vng góc của I lên ( P)

H

P

và có d  IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ). Khi đó:
 Nếu d  R : Mặt cầu và mặt phẳng khơng có điểm chung.

I

 Nếu d  R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.

R

Lúc đó ( P) là mặt phẳng tiếp diện của ( S ) và H là tiếp điểm.

P

H

 Nếu d  R : mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu theo thiết diện

là đường trịn có tâm H và bán kính r  R 2  IH 2 .

Viết phương trình mặt ( P)  (Q) : ax  by  cz  d  0 và tiếp xúc với mặt cầu ( S ).
Phương pháp:
 Vì ( P)  (Q) : ax  by  cz  d  0  ( P) : ax  by  cz  d   0.
 Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu.
 Vì ( P) tiếp xúc ( S ) nên có d I ;( P )  R  d .

Dạng 3.2 Vị trí tương đối hai mặt
Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
Cho hai mặt phẳng ( P) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 và (Q) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0.
 ( P) cắt (Q) 
 ( P )  (Q ) 

A1 B1 C1 D1




A2 B2 C2 D2

A1 B1 C1 D1




A2 B2 C2 D2

 ( P )  (Q ) 

A1 B1 C1 D1




A2 B2 C2 D2

 ( P )  (Q)  A1 A2  B1 B2  C1C2  0.