sáng kiến khoảng cách

Trường THPT Lê Q Đơn

Sáng Kiến

CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi:
- Hội đồng Sáng kiến Trường ….
- Hội đồng Sáng kiến huyện ….
- Hội đồng Sáng kiến tỉnh …..
1. Tên sáng kiến: Cách xác định và tính khoảng cách trong khơng gian
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và Đào tạo
3. Họ và tên: …………
4. Ngày/ tháng /năm sinh: …………
5. Nơi công tác: Trường ……….
6. Chức danh: Giáo viên
7. Trình độ chuyên môn: Đại học
8. Ngày sáng kiến được áp dụng dùng thử: Năm học 2014-2015, năm học 20152016, năm học 2016-2017

1


Trường THPT Lê Quý Đôn
I.

Sáng Kiến

NỘI DUNG SÁNG KIẾN:

1. THỰC TRẠNG:

Trong vài năm trở lại đây việc đổi mới phương pháp dạy học theo phương
pháp mới ngày càng được áp dụng rộng rãi và sự thành công của tiết dạy là học
sinh có hiểu bài hay khơng? Có biết vận dụng kiến thức hay không? Muốn vậy phải
phát triển tốt khả năng tư duy, tự học tự nghiên cứu và sáng tạo, tính khoa học –
hiện đại, cơ bản, tính thực tiễn và giáo dục kỹ thuật tổng hợp, tính hệ thống sư
phạm trong giáo án của mỗi giáo viên.
Nhiều giáo viên chưa quan tâm đúng mức tới bài giảng do gánh nặng cuộc
sống mà chưa tìm hiểu kỹ hơn trong việc nêu vấn đề trong tiết học để học sinh
nghiên cứu. Chưa đặt ra cho mình nhiệm vụ và trách nhiệm nghiên cứu để tìm cho
mình những phương pháp lơi cuốn hơn hấp dẫn hơn cho mơn tốn.Giáo viên nên là
người hướng dẫn học sinh chủ động trong quá trình lĩnh hội tri thức và phá triển tư
duy sáng tạo.
2. VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:
Vấn đề tôi đang đề cập trong đây là việc “Cách xác định và tính khoảng
cách trong khơng gian” nhằm mục đích giúp học sinh biết cách tính khoảng cách
từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. Qua mỗi ví dụ sẽ
khắc sâu cho học sinh cách làm bài tập và chiếm lĩnh tri thức làm hành trang cho
sau này. Giúp các em tự tin làm bài đề kiểm tra 45 phút, đề học kì và đề thi THPT
quốc.
Trong phạm vi đề tài tôi chỉ nêu một số ít các ví dụ mà tơi đã làm để góp
thêm một phần nhỏ bé vào việc dạy mơn tốn nói riêng, dạy và học nói chung.
3. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a. Tam giác:
 Tam giác ABC thường
2


Trường THPT Lê Quý Đôn



SABC 

Sáng Kiến

1
1
abc
BC. AH  AB. AC.sinA 
 p.r 
2
2
4R

p(p  a)(p  b)(p  c)
A




S ABM  S ACM 

1
S ABC
2

G

2

AG  AM
3
(G là trọng tâm tam giác ABC)

 Độ dài đường trung tuyến:

AM 2 

C

B
M

H

2( AB 2  AC 2 )  BC 2
4

2
2
2
 Định lý cô-sin: BC  AB  AC  2 AB. AC.cos A



BC
AC
AB



 2R
Định lý sin: sin A sin B sin C
(với R là bán kính đường trịn ngoại tiếp

tam giác ABC)
 Tam giác ABC vuông tại A
2
2
2
 Định lý pytago: BC  AB  AC

 Tỷ số lượng giác trong tam giác vng:
µ 
sinB

Đố
i
AC

Huyề
n BC

µ 
tan B

Đố
i AC

Kề AB

;

;

µ 
cosB

µ 
cot B

Kề
AB

Huyề
n BC

;

Kề AB

Đố
i AC



1
1
S ABC  . AB. AC  AH .BC
2
2

Diện tích tam giác vng:



BA2  BH .BC

A

 AH.BC=AB.AC


HB AB 2

HC AC 2

C

B
H

3


Trường THPT Lê Quý Đôn




AM 

Sáng Kiến

1
BC
2

1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

2
 CA  CH .CB



HA2  HB.HC
A

 Tam giác ABC cân tại A
 AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến
µ
 Tính đường cao: AH  BH .tan B

 Tính diện tích :

S ABC

B

1
 .BC. AH
2

C

H

 Tam giác ABC đều
 Đường cao của tam giác đều cũng là đường trung tuyến:
3
AH  AM  cạnh. 2



A

3
S

2
Diện tích : ABC cạnh . 4

G

B



3
2
AH 
AG= 3
cạnh. 3

C
M

 Tam giác ABC vuông cân tại A
C



BC  AB 2  AC 2



BC
AB=AC= 2
A

B

4

Trường THPT Lê Quý Đôn



Sáng Kiến

1
S ABC  . AB. AC
2

b. Tứ giác
A

 Hình bình hành
 Diện tích: S ABCD  BC. AH  AB. AD.sin A

D

B
C

H

 Hình thoi

A

B

D

C

 Diện tích:

S ABCD

1
 AC.BD  AB. AD.sin A
2

0
0
·
·
 Khi ABC  60 hoặc BAC  120 thì các tam giác ABC, ACD là tam giác đều.

 Hình chữ nhật

A

D

 Diện tích: S ABCD  AB. AD ( Diện tích bằng dài nhân rộng)
2
2
 Đường chéo hình chữa nhật AC=BD= dài  rông

C

B

 OA = OB = OC = OD  O là trung điểm AC và BD
 Hình vng

A

B

2
 Diện tích hình vng : S ABCD  AB

 Đường chéo hình vuông AC  BD  AB. 2

 OA = OB = OC = OD

O

D

C

 Hình thang
5


Trường THPT Lê Q Đơn

Sáng Kiến
D

A

C

B
H

 Diện tích:

S ABCD 

( AD  BC ). AH
2
(AH: là đường cao của hình thang ABCD)
A

c. Các loại hình thường gặp

 Khối tứ diện đều:
B

 Tất cả các cạnh đều bằng nhau.

D
O
M

 Tất cả các mặt đều là các tam giác đều.

C

 Chân đường cao trùng với tâm của đa giác ABC
 là trọng tâm của tam giác đáy và AO



(BCD)

 Khối chóp tứ giác đều S.ABCD

S

 Chân đường cao:Trùng với tâm đa giác đáy.
 Đáy: ABCD là hình vng.
 Đường cao: SO

A

 Cạnh bên: SA=SB=SC=SD

B

O

D

C

 Mặt bên: các mặt bên là những tam giác
cân tại S và bằng nhau.
 Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
 Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
 Khối chóp tam giác đều S.ABC

S

Đáy: Tam giác ABC đều
Đường cao: SO
Cạnh bên: SA=SB=SC
A
C
O

B

6


Trường THPT Lê Quý Đôn

Sáng Kiến

Cạnh đáy: AB=BC=CA
Mặt bên: Các mặt bên là các tam giác cân
tại S và bằng nhau
 Khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vng với đáy (ABC)
S

 Đáy: Tam giác ABC
 Đường cao: SA
 Cạnh bên: SA, SB, SC

C
A

 Mặt bên: (SAB), (SBC), (SCA).
 SAB và SAC là các tam giác vuông tại A.

B

 Khối chóp S.ABCD có mặt bên (SAB) vng với đáy(Đáy có thể là tam
giác, tứ giác, hình vng, hình chữ nhật,…)
S

A

D

H
B
C

 Vẽ SH  AB tại H.
 Vì ( SAB)  ( ABCD)  SH  ( ABCD) nên SH là đường cao của khối chóp.
Chú ý: Tùy vào đặc điểm của tam giác SAB để xác định đúng vị trí của điểm H
trên đường thẳng AB
 Hình lăng trụ

 Tất cả các cạnh bên bằng nhau.
 Các mặt bên là các hình bình hành.
7


Trường THPT Lê Quý Đôn

Sáng Kiến

 Hai đáy là hai đa bằng nhau.
 Hình hộp
 Là lăng trụ có đáy là hình bình hành.
 Các mặt bên là các hình bình hành.
 Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
 Hình lăng trụ đứng
 Là lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy.
 Độ dài cạnh bên là đường cao.
 Các mặt bên là các hình chữ nhật.
 Hình lăng trụ đều
 Là hình lăng trụ đứng, có đáy là đa giác đều.
 Độ dài cạnh bên là đường cao.
 Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.
 Hình hộp đứng
 Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
 Hình hộp chữ nhật
 Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
 Hình lập phương
 Là hình hộp chữ nhật có hai đáy và bốn mặt bên đều là hình vng.
d. Quan hệ song song
 Đường thẳng song song với đường thẳng

Nếu

a/ /(P)

 d/ /a
a  (Q)
(P)  (Q)  d


 Đường thẳng song song với mặt phẳng
8


Trường THPT Lê Quý Đôn

Sáng Kiến

d  (P)

d/ /a  d/ /(P)
a  (P)
Nếu 
 Mặt phẳng song song với mặt phẳng

Nếu

a,b  (P)

 (P)/ /(Q)

a  b  I
a/ /(Q),b/ /(Q)


e. Quan hệ vng góc
 Đường thẳng vng góc với đường thẳng

a  (P)
 a b

b  (P)
Nếu 
 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Nếu

d  a , d  b

 a , b  ( P )  d  ( P)
a  b  


 Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng
a  (P)
 (Q)  (P)

a  (Q)

Nếu

f. Cách xác định góc
 Góc giữa đường thẳng d với mặt phẳng (P)

9


Trường THPT Lê Q Đơn

Sáng Kiến

d

A


A'

P

Bước 1: Tìm I  d  ( P )
Bước 2: Lấy điểm A  d ( A  I )
Bước 3: Tìm AA '  ( P) (tức A ' là hình chiếu của A lên (P))
 IA ' là hình chiếu của d lên (P)
 (d , ( P ))  ( AI , IA ')  ·AIA '  

 Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q)
Bước 1: Tìm ( P)  (Q)  
Bước 2: Tìm trong mặt phẳng (P) đường thẳng a và a  
Tìm trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b và b  
 (( P ), (Q))  (a, b)

4. PHÂN DẠNG CÁCH XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG
KHƠNG GIAN
Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm A đến đường thẳng 
Phương pháp:

A

 Dựng AH  ( H  )
 d ( A;  )  AH

H

10


Trường THPT Lê Quý Đôn

Sáng Kiến

 Nhận xét: Khoảng từ A đến đường thẳng  là nhỏ nhất so với khoảng cách
từ A đến mọi điểm của đường thẳng  .
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và đường cao
SO 

a 3
3 . Gọi I là trung điểm BC. Tính khoảng cách từ O đến SA
S

Giải

 Phân tích:

 Hướng dẫn học sinh vẽ hình.

H

a

 Xác định khoảng cách từ O đến SA.
 Tính AI.

3
3

a

A

 Tính AO.

O

C

a

a

Lời giải:

B

 Vì  ABC đều cạnh a mà AI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
3 a 3
 AI  cạnh. 2 = 2

 Hình chóp S.ABC tam giác đều đường cao SO  O là trọng tâm  ABC
 AO 

2
2a 3 a 3
AI 

3
3 2
3

 Dựng OH  SA  d (O, SA)  OH
 Vì SO  ( ABC )  SO  AO  SAO vuông tại O


1
1
1
1
1
6





 2
2
2
2
OH
OA SO
a 6
a 3 2
a 3 2 a
(
) (
)
 OH 
3
3
6

 d (O, SA)  OH 

a 6
6

11


Trường THPT Lê Quý Đôn

Sáng Kiến

 Nhận xét:
 Đối với bài tốn này học sinh gặp khó khăn khi tính độ dài AI, AO.
 Không xác định được khoảng cách từ O đến SA.
Dạng 2: Khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng (P)

A

 Định nghĩa:
 Cho A  ( P) nếu AH  ( P)( H  ( P ))
H

 d ( A, ( P ))  AH

P

 Nhận xét: Khoảng từ A đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất so với khoảng cách từ
A đến mọi điểm của mặt phẳng (P).
 Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)
Q

A

H

P

Bước 1: Xác định mặt phẳng (Q) chứa A và vng góc với (P)
Bước 2: Kẻ AH  ( H   )
 AH  ( P ) tại H
 d ( A, ( P ))  AH

Bước 3: Tính tốn
12


Trường THPT Lê Q Đơn

Sáng Kiến

0
·
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ), SA  3a , AB  a, BC  2a, ABC  60 .
Giải
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
 Phân tích:

Giải

 Hướng dẫn học sinh vẽ hình.
 Xác định khoảng cách từ A đến (SBC).
S

 Tính d(A,(SBC))
Lời giải:
3a

H

C
A

2a

a

K
60
B

 Gọi K là hình chiếu của A lên BC  AK  BC

Ta có

 BC  AK  ( SAK )

 BC  SA  ( SAK )  BC  ( SAK )
 AK  SA  A


mà BC  ( SBC )  ( SAK )  ( SBC ) theo giao tuyến SK (1)
 Gọi H là hình chiếu của A lên SK  AH  SK (2)
Từ (1) và (2)  AH  (SBC )  d ( A, ( SBC ))  AH
 Vì SA  ( ABC ) mà AK  ( ABC )  SA  AK  SAK vuông tại A


1
1
1
 2
2

AH
SA
AK 2

13


Trường THPT Lê Quý Đôn



Sáng Kiến

1
1
1
3 a2 3
SABC  . AB. AC.sin ·ABC  .a.2a.sin 600  .a.2a.

2
2
2
2
2
1
a2 3
a2 3 a2 3 a 3
SABC  . AK .BC 
 AK 



2
2
BC
2a
2
Mà



1
1
1
 2
2
AH
SA
AK 2



 d ( A, ( SBC ))  AH 

1
1
13
3a 13

 2  AH 
2

(3a)
13
a 3 2 9a
(
)
2

3a 13
13

 Nhận xét:
 Đối với bài toán này học sinh gặp khó khăn khi xác định khoảng cách
từ A đến (SBC).

 Khơng tính được độ dài AK.
 Phương pháp xác định khoảng cách từ chân đường cao tới một mặt
phẳng bất kì chứa đỉnh của hình chóp.
Giả sử xác định khoảng cách từ chân đường cao H tới mặt phẳng (SMN)
S

E
M
H
K
P
N

Bước 1: Từ chân đường cao H kẻ đường HK vng góc tới cạnh MN nằm
trong mặt đáy của hình chóp(ln ln kẻ tới cạnh mằm trong mặt đáy của
mặt phẳng (SMN))

Bước 2: Nối S với K lại, từ H kẻ HE  SK
Bước 3: Chứng minh MN  ( SAK ) , HE  ( SMN )
14


Trường THPT Lê Quý Đôn

Sáng Kiến

 d ( H , ( SMN ))  HE

Bước 4: Tính HE

Xét



SHE vng tại H



1
1
1


 HE 
2
2
HE

HS
HK 2

Trước khi xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta
phải xét xem điểm đó có phải chân đường cao chưa nếu chưa ta
phải rời điểm đó về chân đường cao

 Kĩ thuật rời một điểm về chân đường cao
 Rời điểm song song:
- Giả sử đề bài yêu cầu tính d ( M , ( P))  ? mà d ( A, ( P )) lại dễ tính thì khi
đó ta nối M với A lại.
- Nếu MA//(P)  d ( M , ( P))  d ( A, ( P))
M

A

P

 Rời điểm cắt nhau:
 Giả sử đề bài yêu cầu tính d ( M , ( P))  ? mà d ( A, ( P)) lại dễ tính thì khi
đó ta nối M với A lại.

15


Trường THPT Lê Quý Đôn

Sáng Kiến
M

A

K
P



MA  ( P )  K



d ( M , ( P )) KM
KM

 d ( M , ( P )) 
.d ( A, ( P ))
d ( A, ( P ))
KA
KA

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng với đáy,
SA  a 2 .

a/ Tính d(A, (SCD))
b/ Tính d(B, (SCD))
Giải
 Phân tích:

 Hướng dẫn học sinh vẽ hình.
 Xác định chân đường cao của hình chóp chính là A

 Tính (A,(SCD)) chính là tính khoảng cách từ chân đường cao đến (SCD)
nên bài này ta không cân rời điểm về chân đường cao.

 Xác định khoảng cách từ A đến (SCD)).
 Tính d(A,(SCD)).
 Tính (B,(SCD)) vì B không phải chân đường cao nên ta cần rời điểm B về
chân đường cao.

 Xác định khoảng cách từ B đến (SCD)).
16


Trường THPT Lê Q Đơn

Sáng Kiến
S

 Tính d(B,(SCD)).
Lời giải:

a 2

H

D

A

a
B

a

C

a/ Tính d(A,(SCD))

 SA  ( ABCD)  A là chân đường cao, từ A kẻ đường vng góc với cạnh
nằm trong mặt đáy của (SCD) là AD  CD

 Gọi H là hình chiếu của A lên SD  AH  SD
CD  AD  ( SAD )

CD  SA  ( SAD)  CD  (SAD )

Ta có  AD  SA  A
mà AH  ( SAD)  CD  AH

Mặt khác

 AH  SD  ( SCD)

 AH  CD  ( SCD )  AH  (SCD )  d ( A, (SCD ))  AH
 SD  CD  D


 Vì SA  ( ABCD )  SA  AD  SAD vuông tại A
1
1
1
1

1
3
2a 2
a 6
2




 2  2  AH 
 AH 
2
2
2
2
AH
AS
AD
a
2a
3
3
(a 2)

 d ( A, ( SCD ))  AH 

a 6
3

b/ Tính d(B,(SCD))

17


Trường THPT Lê Q Đơn

 Ta có

Sáng Kiến

BA / / CD  ( SCD)  BA / /( SCD)  d ( B, ( SCD ))  d ( A,( SCD)) 

a 6
3

 Nhận xét:
 Đối với bài toán này học sinh gặp khó khăn khi xác định khoảng cách
từ A đến (SCD).

 Khơng tính được độ dài AH.
 Học sinh thường lúng túng khơng lý luận được vì B không phải chân
đường cao nên khi nối B với A thì
BA / / CD  ( SCD)  BA / /( SCD)  d ( B, ( SCD ))  d ( A, ( SCD))

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy, SC=SA=2a. Tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Giải
 Phân tích:

 Hướng dẫn học sinh vẽ hình.

 Xác định chân đường cao của hình chóp.
 Tính (A,(SBC)) mà A không phải chân đường cao nên ta phải rời điểm A
về chân đường cao.

 Xác định khoảng cách từ A đến (SBC)).
S

 Tính d(A,(SBC)).
Lời giải:

K
a

A

60

B

a
M

H
a
E
C

18

Trường THPT Lê Quý Đôn

Sáng Kiến

 Gọi H là trung điểm AC mà SAC cân tại S  SH  AC
Mà ( SAC )  ( ABC ) theo giao tuyến AC  SH  ( ABC )
 H là chân đường cao

 Ta có AH ( SBC )  C
A

H

C
SBC

d ( A, ( SBC )) CA

 d ( H , ( SBC )) CH

 d ( A, ( SBC )) 

CA
a
.d ( H , ( SBC )) 
.d ( H , ( SBC ))  2d ( H , ( SBC ))
1
CH
a
2

 Gọi E là hình chiếu của H lên BC  HE  BC

 HE 

1
1 a 3 a 3
AM  .

2
2 2
4

(Vì AM là đường cao trong tam ABC đều cạnh a)


Gọi k là hình chiếu của H lên SE  HK  SE

Ta có

 BC  HE  ( SHE )

 BC  SH  ( SHE )  BC  ( SHE )  BC  HK
 HE  SH  H


19


Trường THPT Lê Quý Đôn

Mặt khác

Sáng Kiến

 HK  SE  ( SBC )

 HK  BC  ( SBC )  HK  (SBC )  d ( H , ( SBC ))  HK
 SE  BC  E


SH  ( ABC )  SH  HE  SHE vuông tại H





1
1
1


2
2
HK
HS
HE 2

SH  ( ABC )  SH  HC  SHC vuông tại H



a
a 15
SC 2  SH 2  HC 2  SH  SC 2  HC 2  4a 2  ( ) 2 
2
2



1
1
1
1
1
84
a 35





 HK 
2
2
2
2
HK
HS
HE

14
a 15 2
a 3 2 15a
(
) (
)
2
4

 d ( H , ( SBC ))  HK 

a 35
14

 Nhận xét:
 Đối với bài toán này học sinh gặp khó khăn khi xác định chân đường
cao của hình chóp.

 Học sinh gặp khó khăn khi xác định khoảng cách từ A đến (SBC).
 Khơng tính được độ dài HK.
Dạng 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 Đoạn vng góc chung:

Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau nếu
vng góc chung của a và b.

 MN  a


 MN  b

 M  a, N  b


MN là đoạn

a
M

20
N

b


Trường THPT Lê Quý Đôn

Sáng Kiến

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Bằng đoạn vng góc chung của hai đường thẳng đó.
 Phương pháp xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau
Giả sử cần xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau
Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a
(Nên chọn mặt phẳng chứa đường thẳng không nằm trong mặt đáy)
Bước 2: Lấy M  a  d (a, b)  d (a,( P ))  d ( M ,( P ))
a
M

b

P

 Thông thường ta nên chọn mặt phẳng chứa đường thẳng không
nằm trong mặt đáy và song song với đường thẳng chứa trong mặt
đáy.
 Nếu khơng tìm được mặt phẳng nào chứa đường này và song song
với đường kia thì ta chọn đường thẳng khơng nằm trong mặt đáy

21


Trường THPT Lê Q Đơn

Sáng Kiến

và trên đường thẳng đó lấy điểm thuộc mặt đáy qua đó kẻ đường
thẳng song song với đường thẳng cịn lại.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng
với đáy, SA  a 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD
Giải
 Phân tích:

 Hướng dẫn học sinh vẽ hình.
 Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng SB(Vì SB khơng nằm trong mặt
phẳng đáy) và song song với đường thẳng AD.

 Xác định khoảng cách từ SB đến AD.

S

 Tính d(SB,AD).
Lời giải:
H
a 2

B
A

a

D
a

C

 Vì AD / / BC  ( SBC )  AD / /( SBC ) mà SB  ( SBC )
 d ( SB, AD)  d ( AD, ( SBC ))  d ( A, ( SBC ))

 Gọi H là hình chiếu của A lên SB  AH  SB


SA  ( ABCD )  A là chân đường cao của hình chóp(Từ A kẻ đường vng góc

với cạnh BC nằm trong mặt đáy của (SBC) chính là AB)
22


Trường THPT Lê Q Đơn

Ta có

 BC  AB  ( SAB)

 BC  SA  ( SAB)  BC  ( SAB )
 AB  SA  A


mà AH  ( SAB )  BC  AH

 AH  SB  ( SBC )

 AH  BC  ( SBC )  AH  (SBC )  d ( A, (SBC ))  AH
 SB  BC  B


Mặt khác


Sáng Kiến

SA  ( ABCD)  SA  AB  SAB vuông tại A



1
1
1
1
1

3
2a 2 a 6






AH


AH 2 AS2 AB 2 (a 2) 2 a 2 2a 2
3
3

 d ( A, ( SBC ))  AH 

a 6
3

 Nhận xét:
 Đối với bài tốn này học sinh gặp khó khăn khi chọn mặt phẳng chứa
đường này và song song với đường kia.

 Học sinh gặp khó khăn khi lý luận khoảng cách giữa SB và AD là
khoảng cách từ A đến (SBC).

 Khơng tính được độ dài AH.
0
·

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC  60 , SA

vng góc với đáy, SC tạo với đáy góc 600. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SD, AB.
Giải
 Phân tích:

 Hướng dẫn học sinh vẽ hình.
 Xác định góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD).

23


Trường THPT Lê Quý Đôn

Sáng Kiến

 Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng SD và song song với đường thẳng
AB.

 Xác định khoảng cách từ SD đến AB.
 Tính d(SD,AB).
Lời giải:
S

H

D

A

K

60
B

60
a

C

 Ta có SC  ( ABCD)  C mà hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là A
·
 ( SC , ( ABCD))  ( SC , CA)  SCA
 60 0

 Vì AB//CD  ( SCD )  AB / /( SCD )  d ( AB, SD)  d ( AB, ( SCD))  d ( A, ( SCD))
 Gọi K là hình chiếu của A lên CD  AK  CD
 Gọi H là hình chiếu của A lên SK  AH  SK



CD  AK  ( SAK )

CD  SA  ( SAK )  CD  ( SAK )

Ta có  AK  SA  A
mà AH  ( SAK )  CD  AH

24

Trường THPT Lê Quý Đôn

Mặt khác

Sáng Kiến

 AH  SK  ( SCD )

 AH  CD  ( SCD )  AH  (SCD )  d ( A, (SCD ))  AH
 SK  CD  K


 Vì SA  ( ABCD )  SA  AK  SAK vng tại A
 Ta có

SACD

 Vì

Mà


S ABCD  2S ABC



1
1

1
 2
2
AH
SA
AK 2

1
3 a2 3
0
2
·
 2. .BA.BC.sin ABC  a.a.sin 60  a .

2
2
2

1
1 a2 3 a2 3
 S ABCD  .

2
2 2
4

S ACD 

2S
1

AK .CD  AK  ACD 
2
CD

2.

a2 3
4 a 3
a
2

1
 AC 2  BA2  BC 2  2 BA.BC.cos ·ABC  a 2  a 2  2a.a.  a 2
2
Xét ABC

 AC  a

 Vì SA  ( ABCD)  SA  AC  SAC vuông tại A
 tan 600 


SA
 SA  AC.tan 600  a. 3  a 3
AC

1
1
1
1

1
5
3a 2 a 15






AH


2
AH 2 SA2 AK 2 (a 3) 2
5
5
a 3 2 3a
(
)
2

 Nhận xét:
 Đối với bài toán này học sinh gặp khó khăn khi chọn mặt phẳng chứa
đường này và song song với đường kia.

 Học sinh lúng túng khi lý luận khoảng cách giữa SD và AB là khoảng
cách từ A đến (SCD).

 Khơng tính được độ dài AC, SA, AK, AH.
Ví dụ 3(Đề thi THPT Quốc Gia 2015): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC với mặt
0

phẳng (ABCD) bằng 45 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC

25