Chuyên đề 1: Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác

CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
I. Các công thức lượng giác
1. Các hằng đẳng thức:
* sin2   cos2   1
với mọi 
với mọi  

* tan .cot   1
* 1  tan2  
* 1  cot 2  

1
cos2 
1

sin 2 

k
2

với mọi   k2
với mọi   k

2. Hệ thức các cung đặc biệt
a.Hai cung đối nhau:  và 
cos()  cos 
tan()   tan 

b. Hai cung phụ nhau:  và

sin()   sin 
cot()   cot 



2


 )  sin 
2

tan(  )  cot 
2


sin(  )  cos 
2

cot(  )  tan 
2

cos(

c. Hai cung bù nhau:  và   
sin(  )  sin 
tan(  )   tan 

cos(  )   cos 
cot(  )   cot 

d) Hai cung hơn kém nhau  :  và   

sin(  )   sin 
tan(  )  tan 

3. Các công thức lượng giác
a. Công thức cộng
cos(a  b)  cosa.cos b

tan(a  b) 

sina.sin b

cos(  )   cos 
cot(  )  cot 

sin(a  b)  sina.cos b  cosa.sin b

tana  tan b
1 tana.tan b

b) Công thức nhân
sin 2a  2sinacosa

cos 2a  cos2 a  sin2 a  1  2sin2 a  2cos2 a  1
sin 3a  3sina  4sin3 a

cos3a  4cos3 a  3cosa

c. Công thức hạ bậc
1  cos 2a
2
1  cos 2a
tan 2 a 
1  cos 2a

sin 2 a 

cos2 a 

d. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
cosa.cos b  [cos(a  b)  cos(a  b)]
2

1

1  cos 2a
2


1
sina.sin b  [cos(a  b)  cos(a  b)]
2
1
sina.cos b  [sin(a  b)  sin(a  b)] .
2

e. Cơng thức biến đổi tổng thành tích

ab
ab
.cos
2
2
ab
ab
sina  sin b  2 sin
.cos
2
2
sin(a  b)
tan a  tan b 
cosa cos b

ab
ab
.sin
2
2
ab
ab
s ina - sin b  2 cos
.sin
2
2
sin(a  b)
.
tan a  tan b 
cosa cos b

cosa  cos b  2 cos

cosa  cos b  2 sin

II. Tính tuần hồn của hàm số
Định nghĩa: Hàm số y  f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hồn nếu có số T  0 sao
cho với mọi x  D ta có
x  T  D và f(x  T)  f(x) .
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần
hồn với chu kì T .
III. Các hàm số lượng giác
1. Hàm số y  sin x
 Tập xác định: D  R
 Tập giác trị: [  1;1] , tức là 1  sin x  1 x  R
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 



 k2;  k2) , nghịch biến trên mỗi khoảng
2
2


3
(  k2;
 k2) .
2
2
 Hàm số y  sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

 Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 .
 Đồ thị hàm số y  sin x .
y
-

-5
2
-3

-

-2
-3

3

2
O

1 



2

2

2

3

2
5

x

2

2

2. Hàm số y  cos x
 Tập xác định: D  R
 Tập giác trị: [  1;1] , tức là 1  cos x  1 x  R
 Hàm số y  cos x nghịch biến trên mỗi khoảng (k2;   k2) , đồng biến trên mỗi khoảng
(  k2; k2) .
 Hàm số y  cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
 Hàm số y  cos x là hàm số tuần hồn với chu kì T  2 .
 Đồ thị hàm số y  cos x .

2

Đồ thị hàm số y  cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sin x theo véc tơ v  (  ; 0) .
2


y

2

1

-

-5
-

-2



2

-3

-3

3

O

3

2

2



5

2

2

x

2

3. Hàm số y  tan x
 Tập xác định : D 


\   k, k 
2





 Tập giá trị:
 Là hàm số lẻ
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì T  
 


 Hàm đồng biến trên mỗi khoảng    k;  k 
2
 2


 Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x 
 Đồ thị


 k, k 
2

làm một đường tiệm cận.

y

-

-2
-5

-3

2

2

-



2

2

5

3


2

2
x

2

O

4. Hàm số y  cot x
 Tập xác định : D  \k, k  
 Tập giá trị:
 Là hàm số lẻ
 Là hàm số tuần hồn với chu kì T  
 Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng  k;   k 
 Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x  k, k 
 Đồ thị

làm một đường tiệm cận.

y

-

-2

-5

-3

2

2

-



2

2

5

3


2

O

3

2

2

x


B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm số
Phương pháp .
 Hàm số y  f(x) có nghĩa  f(x)  0 và f(x) tồn tại
1
có nghĩa  f(x)  0 và f(x) tồn tại.
f(x)
 sin u(x)  0  u(x)  k, k 

 Hàm số y 

 cos u(x)  0  u(x) 


 k, k 
2

.

 1  sin x, cos x  1 .

Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:

6

2. y  cot 2 (

1. y  tan(x  )

2
 3x)
3

Lời giải.

6


6


2

1. Điều kiện: cos(x  )  0  x    k  x 

2
 k
3

 2

\   k, k   .
3

2
2

2

2. Điều kiện: sin(  3x)  0   3x  k  x   k
3
3
9
3
 2


TXĐ: D  \   k , k   .
3
9


TXĐ: D 

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. y 

tan 2x

 cot(3x  )
sin x  1
6

2. y 

Lời giải.



sin x  1
x    k2



2
1. Điều kiện: 


sin(3x  )  0
x     k
6

18 3

 
 n

Vậy TXĐ: D  \   k2,   ; k,n  
18 3
 2



2



2. Ta có: sin 4x  cos 3x  sin 4x  sin   3x 



x 
 7x  
 2 cos    sin 
 
2 4
 2 4

4

tan 5x
sin 4x  cos 3x







x  10  k 5
cos
5x

0



x 



Điều kiện: cos     0  x   k2
2
2 4


 k2
  7x  

 0
sin 
x   14  7

  2 4 

Vậy TXĐ: D 

  k 
 2m
\ 
,  n2,  
.
10
5
2
14
7 


CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số sau:
1  sin 2x
cos 3x  1

3. y  tan(2x  )
4

1. y 

2. y 

1  cos 3x
1  sin 4x

4. y 

1  cot 2 x
1  sin 3x

Bài 2 Tìm tập xác định của hàm số sau:
1
sin 2x  cos 3x
cot x
3. y 
2 sin x  1

1. y 

tan 2x

2. y 

3 sin 2x  cos 2x


4. y  tan(x  ).cot(x  )
4
3

Bài 3 Tìm tập xác định của hàm số sau:
2. y  tan 3x.cot 5x

1. y  tan(2x  )
3

4. y  tan 3x  cot(x  )
2  sin x
3
3. y 
2
tan
4x
tan x
6. y 
cos 4x  sin 3x
sin 3x
5. y 
sin 8x  sin 5x

Vấn đề 2. Tính chất của hàm số và đồ thị hàm số

Phương pháp .
Cho hàm số y  f(x) tuần hồn với chu kì T
* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một
đoạn có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ k.v (với v  (T; 0), k  ) ta được toàn bộ
đồ thị của hàm số.
* Số nghiệm của phương trình f(x)  k , (với k là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị
y  f(x) và y  k .
* Nghiệm của bất phương trình f(x)  0 là miền x mà đồ thị hàm số y  f(x) nằm trên trục Ox .
Chú ý:
 Hàm số f(x)  a sin ux  bcos vx  c ( với u,v 

) là hàm số tuần hồn với chu kì T 

2
(u,v)

(u,v) là ước chung lớn nhất).

) là hàm tuần hồn với chu kì T 

 Hàm số f(x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u,v 

5


.
(u,v)

(

Các ví dụ
Ví dụ 1.
Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số : f(x)  cos

3x
x
.cos
2
2

Lời giải.
Ta có f(x) 

1
 cos x  cos 2x   hàm số tuần hồn với chu kì cơ sở T0  2 .
2

Ví dụ 2. Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau.
1. f(x)  cos x  cos 3.x
2. f(x)  sin x2





Lời giải.
1. Giả sử hàm số đã cho tuần hồn  có số thực dương T thỏa
f(x  T)  f(x)  cos(x  T)  cos 3(x  T)  cos x  cos 3x
cos T  1



cos 3T  1

Cho x  0  cos T  cos 3T  2  


m
T  2n

 3
vơ lí, do m,n 
n

 3T  2m



m
là số hữu tỉ.
n

Vậy hàm số đã cho khơng tuần hồn.
2. Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn
 T  0 : f(x  T)  f(x)  sin(x  T)2  sin x2 x 

Cho x  0  sinT2  0  T2  k  T  k
 f(x  k )  f(x) x  .
Cho x  2k ta có: f( 2k )  sin
f(x  k )  sin



k2  k



2



k2



2



 sin(k2)  0 .



 sin 3k  2k 2   sin(2k 2)

 f(x  k )  0 .

Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hồn.
Ví dụ 3. Cho a, b,c,d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số f(x)  a sincx  bcosdx là hàm
số tuần hoàn khi và chỉ khi

c
là số hữu tỉ.
d

Lời giải.
* Giả sử f(x) là hàm số tuần hoàn  T  0 : f(x  T)  f(x) x
a sin cT  bcosdT  b

cosdT  1

a sin cT  bcosdT  b sin cT  0

Cho x  0,x  T  

dT  2n
c m

 
 .
cT

m

d
2n

c
c k
2k 2l


* Giả sử   k,l  :  . Đặt T 
d
d l
c
d

Ta có: f(x  T)  f(x) x 

 f(x) là hàm số tuần hồn với chu kì T 

6

2k 2l
.

c
d


Ví dụ 4. Cho hàm số y  f(x) và y  g(x) là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là T1 ,T2 .
Chứng minh rằng nếu

T1
là số hữu tỉ thì các hàm số f(x)  g(x); f(x).g(x) là những hàm số tuần
T2

hồn.
Lời giải.
Vì

T1
là số hữu tỉ nên tồn tại hai số nguyên m,n; n  0 sao cho
T2

T1 m
  nT1  mT2  T
T2 n

Khi đó f(x  T)  f(x  nT1 )  f(x) và g(x  T)  g(x  mT2 )  g(x)
f(x  T) f(x)
. Từ đó ta có

g(x  T) g(x)

Suy ra f(x  T)  g(x  T)  f(x)  g(x) và f(x  T).g(x  T)  f(x).g(x) ,
điều phải chứng minh.
Nhận xét:

) là hàm số tuần hồn với chu kì T 

1. Hàm số f(x)  a sin ux  bcos vx  c ( với u,v 

2
(u,v)

(u,v) là ước chung lớn nhất).

) là hàm tuần hồn với chu kì T 

2. Hàm số f(x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u,v 


.
(u,v)

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 .
1. f(x)  sin x , T0  2

2. f(x)  tan 2x,

T0 


.
2

Bài 2 Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau.
1. y  sin 2x  sin x
2. y  tan x.tan 3x
3. y  sin 3x  2cos 2x
Bài 3 Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau
1. y  sin 2x  sin x
2. y  tan x.tan 3x
3. y  sin 3x  2cos 2x
4. y  sin x
Vấn đề 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Các ví dụ
Ví dụ 1 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  2sin x

Lời giải.
Hàm số y  2sin x
 TXĐ: D 
 Hàm số y  2sin x là hàm số lẻ
 Hàm số y  2sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T  2 .



 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  k2;  k2  . Nghịch biến trên mỗi khoảng
2




  k2;   k2  .
2


7

(




 Đồ thị hàm số đi quan các điểm (k; 0),   k2; 2  .
2

y
-5

3

-

2
-3

2

x

2

O 

5

2

2

2

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  tan 2x
Lời giải.
Hàm số y  tan 2x
 TXĐ: D 




\   k ,k 
2
4





 Hàm số y  tan 2x là hàm số lẻ
 Hàm số y  tan 2x là hàm tuần hoàn với chu kì T 


.
2




 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  k;  k  .
4




 Các đường tiệm cận: x   k .
4
2
k
 Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( ; 0) .

2
y

-7

-5

-3

-



3

5

7

4

4

4

4

4

4

4

4
x

O

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  1  2cos2 x
Lời giải.
Hàm số y  1  2cos2 x
Ta có: y  2  cos 2x
 TXĐ: D 
 Hàm số y  2  cos 2x là hàm số chẵn
 Hàm số y  2  cos 2x là hàm tuần hoàn với chu kì T   .





 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k;   k  , nghịch biến trên mỗi khoảng  k;  k  .
2


2


8

 Đồ thị hàm số đi quan các điểm (

k
;1),    k; 3  .
2

y
3

1
x
-2

-3

-

-

O 

2

2

2

3



2

2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y  sin 2x
Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y  2 cos x
Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  4sin xcos x  1
2. y  4  3sin2 2x
Lời giải.
1 Ta có y  2sin 2x  1 .
Do 1  sin 2x  1  2  2sin 2x  2  1  2sin 2x  1  3
 1  y  3 .

2


4

* y  1  sin 2x  1  2x    k2  x    k .

4

* y  3  sin 2x  1  x   k .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 .
2. Ta có: 0  sin2 x  1  1  4  3sin2 x  4


2

* y  1  sin2 x  1  cos x  0  x   k .
* y  4  sin2 x  0  x  k .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 .
Ví dụ 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  6cos2 x  cos2 2x
2. y  (4sin x  3cos x)2  4(4sin x  3cos x)  1
Lời giải.
1. Ta có: y  6cos2 x  (2cos2 x  1)2  4cos4 x  2cos2 x  1
Đặt t  cos2 x  t  0;1 . Khi đó y  4t 2  2t  1  f(t)
t

0

1
7

f(t)

1

9



2

Vậy min y  1 đạt được khi cos x  0  x   k

max y  1 đạt được khi cos2 x  1  x  k

2. Đặt t  4sin x  3cosx  5  t  5 x 
Khi đó: y  t 2  4t  1  (t  2)2  3
2
Vì t  
 5; 5  7  t  2  3  0  (t  2)  49
Do đó 3  y  46
Vậy min y  3; max y  46 .

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau chỉ nhận giá trị dương :
y  (3sin x  4cos x)2  6sin x  8cos x  2m  1

Lời giải.
Đặt t  3sin x  4cosx  5  t  5
Ta có: y  t 2  2t  2m  1  (t  1)2  2m  2
Do 5  t  5  0  (t  1)2  36  y  2m  2  min y  2m  2
Hàm số chỉ nhận giá trị dương  y  0 x   min y  0
 2m  2  0  m  1 .
Vậy m  1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y  2sin2 x  4sin xcos x  (3  2m)cos2 x  2 xác định với mọi x
Lời giải.
Hàm số xác định với mọi x
 2sin2 x  4sin xcos x  (3  2m)cos2 x  2  0 x 

(1)

 cos x  0  (1) đúng
 cos x  0 khi đó ta có: (1)  2 tan2 x  4 tan x  (3  2m)  2(1  tan2 x)  0

 4 tan2 x  4 tan x  1  2m x 
 (2 tan x  1)2  2  2m x 

 2  2m  0  m  1

Ví dụ 5. Cho các góc nhọn x, y thỏa mãn sin2 x  sin2 y  sin(x  y) () . Chứng minh rằng:
xy


2

Lời giải.




Ta có hàm số y  sin x, y  cos x đồng biến trên khoảng  0; 
 2












Và x, y,  x,  y   0;  .
2
2
2





sin x  sin   y   cos y
x


y
2
 



2

 Giả sử x  y   

2



 y   x sin y  sin
  x   cos x



2
2


Suy ra: sin2 x  sin2 y  sin x.sin x  sin y.sin y
 sin xcos y  sin ycos x  sin(x  y)

Mâu thuẫn với ()
10







sin x  sin   y   cos y

x


y
 

2

2

 Giả sử x  y   


2



 y   x sin y  sin
  x   cos x


2
2


Suy ra: sin2 x  sin2 y  sin x.sin x  sin y.sin y
 sin xcos y  sin ycos x  sin(x  y)

Mâu thuẫn với ()

 () đúng.
2

Vậy ()  x  y  .
2

 Nếu x  y 

Ví dụ 6. Tìm gtln và gtnn của các hàm sau :
1. y  3sin x  4cos x  5

2. y 

sin x  2 cos x  1
sin x  cos x  2

Lời giải.
1. Xét phương trình : y  3sin x  4cos x  5
 3sin x  4cos x  5  y  0  phương trình có nghiệm
 32  42  (5  y)2  y2  10y  0  0  y  10

Vậy min y  0 ; max y  10 .
2. Do sin x  cosx  2  0 x 

 hàm số xác định với x 
sin x  2 cos x  1
Xét phương trình : y 
sin x  cos x  2
 (1  y)sin x  (2  y)cos x  1  2y  0

Phương trình có nghiệm  (1  y)2  (2  y)2  (1  2y)2
 y2  y  2  0  2  y  1

Vậy min y  2; max y  1 .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  2sin x  3
2. y  1  2cos2 x  1








3. y  1  3sin  2x  
4

4. y  3  2cos2 3x
6. y 

4

5. y  1  2  sin 2x
1  2 sin 2 x
Bài 2 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
2. y  3sin x  4cos x  1
1. y  2sin2 x  cos2 2x
4. y  2sin2 x  3sin 2x  4cos2 x
3. y  3sin x  4cos x  1
5. y  sin2 x  3sin 2x  3cos2 x
6. y  2sin 3x  1
8. y  1  2 4  cos 3x
10. y 

3
2

1  2  sin x

7. y  3  4cos2 2x

9. y  4sin6x  3cos6x
11. y 

3sin 2x  cos 2x
sin 2x  4 cos2 x  1

11


Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau: a sin x  bcos x  a2  b2 sin(x  )
Trong đó   0; 2 và a, b khơng đồng thời bằng 0.
Bài 4 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.

3

2. y  3  2sin2 2x  4

1. y  2 cos(3x  )  3

4. y  tan2 x  4 tan x  1

2

3. y  sin x  2  sin x
5. y  tan2 x  cot 2 x  3(tan x  cot x)  1

Bài 5 Tìm m để hàm số y  5sin 4x  6cos 4x  2m  1 xác định với mọi x .
Bài 6 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  2  3sin 3x
2. y  1  4sin2 2x

3. y  1  3  2sin x
4. y  3  2 2  sin2 4x
5. y  4sin 3x  3cos 3x  1
6. y  3 cos x  sin x  4
sin 2x  2 cos 2x  3
7. y 
2 sin 2 3x  4 sin 3x cos 3x  1
2 sin 2x  cos 2x  4
8. y 
sin 6x  4 cos 6x  10
9. y  3cos x  sin x  2
11. y  3(3sin x  4cos x)2  4(3sin x  4cos x)  1
sin 2 2x  3sin 4x
10. y 
2
2 cos 2x  sin 4x  2
Bài 7 Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x 

1. (3sin x  4cos x)2  6sin x  8cos x  2m  1
3sin 2x  cos 2x

 m 1
sin 2x  4 cos 2 x  1
4 sin 2x  cos 2x  17
3.
2.
3cos 2x  sin 2x  m  1
 
Bài 8 Cho x, y   0;  thỏa cos 2x  cos 2y  2sin(x  y)  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
 2

2.

P

sin 4 x cos4 y
.

y
x

Bài 9 Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

k sin x  1
lớn hơn 1 .
cos x  2

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Dạng tốn 1: Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình: sin x  m (1)
* Nếu: m  1  Phương trình vơ nghiệm
  

* Nếu: m  1     ;  sin   m
2 2




 x    k2
( k
 (1)  sin x  sin   
 x      k2
 

).



   
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2
2 thì ta viết   arcsin m .
sin   m


12


*Các trường hợp đặc biệt:

2

1. sin x  1  x   k2

2
3. sin x  0  x  k

2 sin x  1  x    k2

2. Phương trình: cos x  m (2)
* Nếu: m  1  phương trình vơ nghiệm
* Nếu: m  1   [0; ] : cos   m
 x    k2

( k  Z ).
 (2)  cosx  cos   
 x    k2
0    

Chú ý : * Nếu  thỏa mãn 

cos   m

thì ta viết   arccosm .

* Các trường hợp đặc biệt:
1. cos x  1  x  k2
2. cosx  1  x    k2

2

3. cos x  0  x   k
3. Phương trình : tan x  m (3)
  

Với m      ;  : tan   m
2 2




 (3)  tanx  tan   x    k .
 



 
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2
2 thì ta viết   arctan m .
tan   m


* Các trường hợp đặc biệt:

4

1. tan x  1  x   k

4

2. tan x  1  x    k
3. tan x  0  x  k
4. Phương trình: cot x  m (4)
 
2 2
 (4)  cot x  cot   x    k .

Với m    ( ; ) : cot   m

 

   
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2
2 thì ta viết   arccot m .
cot   m


* Các trường hợp đặc biệt:

4

1. cot x  1  x   k

4

2. co t x  1  x    k
13



2

3. cot x  0  x   k
Ghi chú:
 u  v  k2

* sin u  sin v  

 u    v  k2

(k  )

* cosu  cosv  u  v  k2

(k  )

u  v  k
(k,n  )

u,v   n

2
u  v  k
* cot u  cot v  
(k,n  )
u,v  n

* tan u  tan v  

Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: a sin x  bcos x  c (1) ; với a, b,c  và a2  b2  0 .
Cách giải: Chia hai vế cho a2  b2 và đặt
a
b
cos  
;sin  
.
2
2

2
2
a b
a b
c
c
 (1)  sin x.cos   cosx.sin  
 sin(x  ) 
(2).
a 2  b2
a 2  b2
Chú ý:
 (1) có nghiệm  (2) có nghiệm  a2  b2  c2 .
1

3

cos x   2 sin(x  )
 sin x  3 cos x  2  sin x 
2
2
3


 3

1

sin x  cos x   2 sin(x  )
 3 sin x  cos x  2 

2
6
 2

 1

1

 sin x  cos x  2 
sin x 
cos x   2 sin(x  ) .
4
2
 2


Dạng 3. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác
2

sin u(x) 
sin u(x) 




cos u(x) 
cos u(x) 
 b
c0
Là phương trình có dạng : a 

 tan u(x)
 tan u(x)




cot u(x) 
cot u(x) 
sin u(x) 


cos u(x) 

Cách giải: Đặt t 
ta có phương trình : at 2  bt  c  0
 tan u(x) 


cot u(x) 

Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x
sin u(x) 
 , ta co điều kiện: t  1;1
cos u(x) 

Khi đặt t  

Dạng 4. Phương trình đẳng cấp
Là phương trình có dạng f(sin x,cos x)  0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng
lẻ.

14


Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x  0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là
tan x .
Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: a(sin x  cos x)  bsin xcos x  c  0 (3)
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ
 t2  1
 sin x cos x


 
t  sin x  cos x  2 sin  x     2
4  


t    2; 2 


Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t.
Ngồi ra chúng ta cịn gặp phương trình phản đối xứng có dạng
a(sin x  cos x)  bsin xcos x  c  0 (3’)
t    2; 2 


 
 
Để giải phương trình này ta cũng đặt t  sin x  cos x  2 sin  x    

1  t2
4 

sin x cos x 


2

Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản
Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1. sin x  cos 2x  0
3. 2sin(2x  350 )  3

2. cos2 x  sin 2x  0
4. sin(2x  1)  cos(3x  1)  0

Lời giải.

2

1. Phương trình  cos 2x  sin x  cos(  x)


2


x  6  k 3

 2x  2  x  k2
, k


 x     k2
 2x     x  k2

2

2

.

2. Phương trình cos2 x  2sin xcos x  0
cos x  0
cos x  0
 cos x(cos x  2 sin x)  0  

 tan x  1
2
sin
x

cos
x


2



 x  2  k

,k  .
 x  arctan 1  k

2


950
x

 k.1800
0
0
0


2x

35

60

k360
3
2
3. Phương trình  sin(2x  350 ) 
.

 sin 600  


2
 2x  350  1800  600  k3600
1550
0
 k.180
x 

2

15



2



4. Phương trình  cos(3x  1)  sin(2x  1)  cos   2x  1 






 x  2  2  k2
 3x  1  2  2x  1  k2
.



 x     k 2
 3x  1     2x  1  k2

10
5
2


Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
2. sin3 x sin 3x  cos3 x cos 3x  

1. cos x  2sin 2x  0

3. sin2 2x  cos2 2x  cos 3x
4. sin 2x.cos3x  sin 5x.cos6x
5. sin x  sin 2x  sin 3x  cosx  cos2x  cos3x
6. sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x
7. cos2 3xcos 2x  cos2 x  0
Lời giải.
1. Phương trình  cos x  4sin xcos x  0  cos x(1  4sin x)  0


cos x  0
 x  2  k


sin x  1
 x  arcsin 1  k2,x    arcsin 1  k2 

4


4
4
3sin
x

sin
3x
cos
3x

3cos x
2. Ta có sin3 x 
; cos3 x 
4
4

Nên phương trình đã cho tương đương với

sin 3x  3sin x  sin 3x   cos 3x  cos 3x  3cos x   
 3  sin 3x sin x  cos 3x cos x   1  
 3cos 4x  

5
2

5
2

3

1


 cos 4x   x    k , k 
2
2
12
2

.

3. Phương trình  sin2 2x  cos2 2x  cos 3x
 cos 4x   cos 3x  cos    3x 



2
 4x    3x  k2
x k


7
7

 4x    3x  k2
 x    k2
1
1
4. Phương trình  sin 5x  sin x  sin11x  sin x
2

2



 sin 5x  sin11x  x  k hoặc x 
k
6
16
8
5. Phương trình  (sin x  sin 3x)  sin 2x  (cos x  cos 3x)  cos 2x
 2sin 2xcosx  sin 2x  2cos2xcosx  cos2x

2

1
 x   3  k2
cos
x


.
 (2cos x  1)(sin 2x  cos 2x)  0  

2




x k
sin 2x  cos 2x


8
2

16

5
2


6. Áp dụng cơng thức hạ bậc, ta có:
1  cos 6x 1  cos 8x 1  cos10x 1  cos12x



2
2
2
2
 cos6x  cos8x  cos10x  cos12x


 x  2  k
cos x  0
.
 2 cos7x cos x  2 cos11x cos x  

x  k  ; x  k 
cos11x  cos7x


2
9
7. Phương trình  (1  cos6x)cos 2x  1  cos 2x  0
 cos6x.cos 2x  1  0  cos8x  cos 4x  2  0

 2cos2 4x  cos 4x  3  0  cos 4x  1  x  k .
2

Phương trình 

Nhận xét:
* Ở cos6x.cos 2x  1  0 ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay cos6x  4cos3 2x  3cos 2x và
chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác cos 2x .
* Ta cũng có thể sử dụng các cơng thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương
trình chỉ chứa cosx và đặt t  cos2 x
Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và
công thức biến đổi tích thành tổng .
Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:
1. 3sin x  4cos x  0
2. sin 2x  3 cos 2x  1
3. 2sin 3x  5 cos 3x  5
4. 3cos x  3 sin x  1
5. sin7x  cos 2x  3(sin 2x  cos7x)
6. sin 3x  3 cos 3x  2sin 2x
7. sin x  cos xsin 2x  3 cos 3x  2(cos 4x  sin3 x)
Lời giải.
1. Phương trình  3sin x  4 cos x  tan x  

3

4
 4
 x  arctan     k .
3
 3


3

1
2

2. Phương trình  2 sin(2x  )  1  sin(2x  )   sin


 2x  3 

 2x   

3




 k2
x    k

6
12


, k
5


 k2
x   k

6
4

3. Ta có 22 

 5

2

.

 9  52  phương trình vơ nghiệm.

4. Phương trình  3 cos x  sin x 
x


6


1
 arccos
 k2 , k 

6
2 3


1
 cos(x  ) 
6
3
2 3

1

.

5. Phương trình  sin7x  3 cos7x  3 sin 2x  cos 2x






7x   x   k2
x k




6
3
36

3 , k
 cos(7x  )  cos(x  )  





6
3
7x   x   k2
x 
k


6
3
16
4

17

.




3x   2x  k2


3

6. Phương trình  sin(3x  )  sin 2x  

3
 3x     2x  k2

3


 x  3  k2
, k .

 x  4  k 2

15
5
3
1
3
1
7. Phương trình  sin x  sin 3x  3 cos 3x  2 cos 4x  sin x  sin 3x
2
2
2
2


 x   6  k2

.
 sin 3x  3 cos 3x  2cos 4x  cos(3x  )  cos 4x  

3
 x    k 2

42
7

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:




2. tan   sin x  1  1
4


1. cos( sin x)  cos(3 sin x)
Lời giải.
 3 sin x   sin x  k2

sin x  k

1. Phương trình  

sin x  n
 3 sin x   sin x  n2


2
và 1  sin x  1 nên ta có các giá trị của k : 1,0,1

 Xét phương trình sin x  k . Do k 

Từ đó ta có các nghiệm: x  m,x   m, m 
2
n
 Xét phương trình sin x  . Ta có các giá trị của n là: n  2,n  1,n  0
2


Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x   l,x  l,x    l, l 
2
6

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

x  m,x 



 m,x    m m 
2
6



sin x  1   k

4
4
 sin x  1  1  4k  sin x  4k  sin x  0  x  m , m 

.

2. Phương trình 

.

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
1. 3  1 sin x  3  1 cos x  2 2 sin 2x









2. 3sin2 x  5cos2 x  2cos 2x  4sin 2x
3. 5sin x  2  3 1  sin x  tan2 x

x



x

4. sin2    tan2 x  cos2  0
2
2 4

Lời giải.
1. Phương trình  3 sin x  cos x  3 cos x  sin x  2 2 sin 2x


7
 sin(x  )  cos(x  )  2 sin 2x  sin(x  )  sin 2x
6
6
12

18



7

7
 x  12  k2
 2x  x  12  k2
.


 x  5  k 2 
 2x    x  7   k2


36
3
12

2. Phương trình đã cho tương đương với
3sin2 x  5cos2 x  2(cos2 x  sin2 x)  8sin xcos x

 5sin2 x  8sin xcos x  3cos2 x  0
 5tan2 x  8 tan x  3  0  tan x  1 hoặc tan x 

3
5


3
 k hoặc x  arctan  k
4
5

3. Điều kiện : cos x  0  x   k
2
x

Phương trình  5sin x  2  3(1  sin x)
 5sin x  2  3(1  sin x)

sin 2 x
cos2 x

sin2 x
1  sin 2 x

sin 2 x

 (5sin x  2)(1  sin x)  3sin 2 x
1  sin x


x   k2

1

6
.
 2sin2 x  3sin x  2  0  sin x   sin  
5
2
6
 x    k2

6

4. Điều kiện : cos x  0  x   k .
2
 5sin x  2  3



  sin2 x



 cos2 x

Phương trình  1  cos(x  )
2
 (1  sin x)



sin2 x
1  sin2 x

 (1  cos x)  0

 (1  cos x)  0

sin 2 x
 (1  cos x)  0
1  sin x

 (1  cos2 x)  (1  cos x)(1  sin x)  0

 x  k2
cos x  1
.
 (1  cos x)(cos x  sin x)  0  


 tan x  1  x   k

4

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:

1. sin3 x  cos3 x  sin x  cos x
3. sin2 x  3tan x  cos x  4sin x  cos x 

2. 2cos3 x  sin 3x

Lời giải.
1. Phương trình  sin3 x  cos3 x  (sin x  cos x)(sin2 x  cos2 x)
 2cos3 x  sin xcos2 x  cos x.sin2 x  0

19






 cos x sin2 x  sin xcos x  2cos2 x  0

 cos x  0  x 


 k (Do sin2 x  sin xcos x  2cos2 x  0 x 
2

)

2. Phương trình  2cos3 x  3sin x  4sin3 x
 4sin3 x  2cos3 x  3sin x(sin2 x  cos2 x)  0

 sin3 x  3sin xcos2 x  2cos3 x  0

 tan3 x  3tan x  2  0 (do cos x  0 không là nghiệm của hệ)
 (tan x  1)(tan2 x  tan x  2)  0



 tan x  1
x   k



4

 tan x  2
 x  arctan( 2)  k
3. Điều kiện: cos x  0

Phương trình  tan2 x  3tan x(1  tan2 x)  4 tan x  1
 3tan3 x  tan2 x  tan x  1  0
 (tan x  1)(3tan2 x  2 tan x  1)  0

 tan x  1  x  


 k .
4

Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
1. sin2 x  5sin xcos x  6cos2 x  0
2. sin2 x  3sinx.cosx  1

3. 3sin2 x  5cos2 x  2cos 2x  4sin 2x
4. sin3 x  cos3 x  sin x  cos x
Lời giải.
1. Nhận thấy cos x  0 khơng là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho
cos2 x ta được:


t  tan x  tan x  1
x    k
.
tan 2 x  5 tan x  6  0  

4

 tan x  6
 x  arctan 6  k

2. Phương trình  sin2 x  3sin x.cos x  (sin2 x  cos2 x)
 2sin2 x  3cos xsin x  cos2 x  0

Do cos x  0 khơng là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được:


x   k

4
.
2 tan 2 x  3 tan x  1  0  

 tan x  1

1

x  arctan  k

2

2
t  tan x  tan x

1

3. Phương trình đã cho tương đương với
3sin2 x  5cos2 x  2(cos2 x  sin2 x)  8sin xcos x

 5sin2 x  8sin xcos x  3cos2 x  0


1
x   k

4
 5 tan 2 x  8 tan x  3  0  
.

 tan x  3
3

x  arctan  k

5


5
t  tan x  tan x

4. Phương trình  sin3 x  cos3 x  (sin x  cos x)(sin2 x  cos2 x)
 2cos3 x  sin xcos2 x  cos x.sin2 x  0

20






 cos x sin2 x  sin xcos x  2cos2 x  0

 cos x  0  x 


 k
2



1



2

7

(Do sin 2 x  sin x cos x  2 cos2 x   sin x  cos x   cos2 x  0 ).
2
4


Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
1. cos3x  cos2x  cosx  1  0
3.

1

sin x

1
sin(x 

3
)
2

 4 sin(

7
 x)
4

2. 3cos 4x  8cos6 x  2cos2 x  3  0
4. 2sin x(1  cos 2x)  sin 2x  1  2cos x

Lời giải.
1. Ta thấy trong phương trình chứa ba cung x,2x,3x nên ta tìm cách đưa về cùng một cung x .
Phương trình  4cos3 x  3cos x  (2cos2 x  1)  cos x  1  0
 2cos3 x  cos2 x  2cos x  1  0 .
Đặt t  cos x, t  1 .
1
2

Ta có: 2t 3  t 2  2t  1  0  (t 2  1)(2t  1)  0  t  1,t   .
* t  1  cosx  1  sin x  0  x  k
1
2

1
2

* t    cos x    cos

2
2
x
 k2 .
3
3

Chú ý: Ta có thể giải bài tốn trên theo cách sau
phương trình  cos 3x  cos x  (1  cos 2x)  0
 2sin 2xsin x  2sin 2 x  0  sin 2 x(2cos x  1)  0

 x  k
sin x  0

.


 x   2  k2
cos x   1


3
2

2. Vì trong phương trình chứa các cung x,4x hơn nữa cịn chứa hàm số cơsin lũy thừa chẵn nên ta
nghĩ tới cách chuyển về cung 2x .
Phương trình  3(2cos2 2x  1)  (1  cos 2x)3  1  cos 2x  3



cos 2x  0
x k
 cos 2x(cos2 2x  3cos 2x  2)  0  

4
2.

cos 2x  1
 x  k
3 7 
3. Trong phương trình có ba cung x; x  ;  x nên ta tìm cách chuyển ba cung này về cùng một

2 4

cung x
Ta có: sin(x 

3




)  sin (x  )  2  sin(x  )  cos x
2
2
2



7

 

1
 x)  sin 2  (x  )    sin(x  )  
sin x  cos x 
4
4 
4
2

1

1

 2 2(sin x  cos x)
Phương trình 
sin x cos x
sin(

 (sin x  cos x)( 2 sin 2x  1)  0 .

21




sin x  cos x  0
x    k

4
.
 

1
sin 2x  

5

x    k; x  
 k

2


8
8

4. Ta chuyển cung 2x về cung x.
Phương trình  4sin xcos2 x  2sin xcos x  1  2cos x
 2sin xcos x(2cos x  1)  2cos x  1



 x  4  k
.
 (2 cos x  1)(sin 2x  1)  0  
 x   2  k2

3

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
1. 4 cos 3xcos3 x  sin 3xsin 3 x  3 sin 6x  1  3 cos 4 x  sin 4 x


2. 4  sin

4



x  cos4 x  sin 4x











3  1  tan 2x tan x  3

3.
4.
Lời giải.
1. Ta có: 4 cos 3xcos3 x  sin 3xsin3 x  3 cos 2x  cos6x và cos4 x  sin4 x  cos 2x nên





Phương trình  3cos 2x  cos6x  3 sin6x  1  3cos 2x
 3 sin6x  1  cos6x  2 3 sin 3xcos 3x  2sin 2 3x

 2sin 3x





3 cos 3x  sin 3x  0 .



3
9



x k
cos 2x  0

4
2.
2. Điều kiện 

cos
x

0


x   k

2


3

Suy ra nghiệm cần tìm là x  k ; x   k .





Ta có : 4 sin4 x  cos4 x  4  2 sin2 2x  3  cos 4x
sin 2x sin x cos 2xcos x  sin 2xsin x
.

cos 2x cos x
cos 2xcos x
cos  2x  x 
1
.


cos 2x cos x cos 2x
sin 4x
Phương trình đã cho  3  cos 4x  3 sin 4x 
3
cos 2x

 cos 4x  3 sin 4x  2sin 2x  sin(4x  )  sin 2x .
6
1  tan 2x tan x  1 

Từ đó ta tìm được nghiệm thỏa mãn phương trình là:
x


5 k

.
 k; x 

12
36 3

22


Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương :
y  sin2 x  14sinx.cosx  5cos2 x  3.3 33
Lời giải.
 Nếu cos x  0  y  1  3.3 33  0
 Với cos x  0 ta có: y 

(1  3 3 33) tan 2 x  14 tan x  3 3 33  5
cos2 x

Vì   7 2  (1  3.3 33)(3.3 33  5)  0
Suy ra (1  33 33)tan2 x  14 tan x  3 3 33  5  0 x  .
Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 11.
1. Cho tan ,tan  là hai nghiệm của phương trình x2  6x  2  0 . Tính giá trị của biểu thức sau
P  sin2 (  )  5sin(2  2)  2.cos2 (  )

2. Cho tan ,tan  là hai nghiệm của phương trình x2  bx  c  0 ( c  1 ). Tính giá trị của biểu thức
P  a.sin2 (  )  bsin(2  2)  c.cos2 (  ) theo a, b,c

Lời giải.
1. Theo định lí Viét ta có: tan   tan   6, tan .tan   2

Suy ra tan(  ) 

tan   tan 
2.
1  tan .tan 

Ta có: P(1  tan2 (  )) 
P

P
2

cos (  )

2

tan (  )  10 tan(  )  2
2

1  tan (  )

 tan2 (  )  10 tan(  )  2

4  20  2
18

1 4
5



2. Theo định lí Viét ta có: tan   tan   b,tan .tan   c
Suy ra tan(  ) 

tan   tan 
b

.
1  tan .tan  1  c

Ta có: P(1  tan2 (  )) 

P
2

cos (  )

2

 a tan (  )  2btan(  )  c

P

a tan 2 (  )  2b tan(  )  c



1  tan 2 (  )

ab2  2b2 (1  c)  c(1  c)2

(1  c)2  b2

a.


b2
(1  c)2
1



2b2
c
1 c

b2
(1  c)2

.

23


CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Giải các phương trình sau:






1



3
2
4. sin(2x  1)  cos(2  x)

1. sin  2x    
3
2

2. cos 3x  150 




1 1
3. sin(4x  ) 
2 3

6. 2 cot

5. 2cos x  2  0
Bài 2 Giải các phương trình sau:

3

1

2
1
3. tan(2x  1) 
4
5. sin 3x  sin 5x


7. sin(4x  )  sin(2x  )  0
4
3

9. sin2 2x  cos2 (x  )
4
11. sin 2x  3sin 4x  0

1. sin(4x  ) 

2x
 3
3
3
2

2. cos(150  3x)  

3x 
 ) 3
2 3

6. sin(4x  )  cos x

8

8. cos7x  sin(2x  )  0
5

4. cot(

10. sin2 x  cos2 4x  2
12. 6sin 4x  5sin8x  0

Bài 3 Giải các phương trình sau:

3
3. sin 2x  2cos 2x  0

1. tan(3x  )   3

3

4. tan 2x  tan x

Bài 4 Giải các phương trình sau:
1. 3 tan 2x  3  0
3. sin(2x  1)  cos(3x  1)  0

2. cos2 x  sin 2x  0

4



3

4. sin(4x  )  sin(2x  )  0


5

5. cos7x  sin(2x  )  0


4
8. sin 2x  3sin 4x  0

6. sin2 2x  cos2 (x  )

7. sin2 x  cos2 4x  1
9. 6sin 4x  5sin8x  0
Bài 5 Giải các phương trình sau:

2. cot 2x.sin 3x  0
4. cot 5x.cot 8x  1
6. 1  x  1  x cos x  0

cos 2x
0
1  sin 2x
3. tan 3x  tan 4x

1.

5.

1

2. cot(4x  200 ) 



2

4  x sin 2x  0




4

7. tan2 x  cot 2 x  1  cos2 (3x  )

Bài 5 Giải các phương trình sau:
1. cos(

2
2
sin x  )  1
3
3

Bài 6 Giải các phương trình sau:
1. 3 sin 2x  cos 2x  1  0

3. sin 3x  3 cos 3x  2cos 5x
5.





2. cot   cos x  1  1
4

2. 3sin 4x  4cos 4x  1
4. sin x(sin x  2cos x)  2





6. 4 sin4 x  cos4 x  3 sin 4x  2

3(sin 2x  cos7x)  sin7x  cos 2x

8.

1  cos x  cos 2x  cos 3x
2

2 cos x  cos x  1

24

2
 (3  3 sin x)
3






7. sin x  2 sin   x   1
4

10. 2 2  sin x  cos x  cos x  3  cos 2x



cos x  2 sin x.cos x
9.
 3
2 cos2 x  sin x  1

Bài 7 Giải các phương trình sau:
1. 3cos 4x  sin2 2x  cos 2x  2  0
3. 3 tan x  cot x  3  1  0
5. 1  sin x 1  cos x   2
6. sin 2x  4  sin x  cos x   4
8. cos3 x  sin3 x  1
Bài 8 Giải các phương trình sau:
1. 2sin2 x  5sin x  3  0
3.

2 tan x
1  tan 2 x

2.

1
sin 2 x

 3cot x  1  0

4. cos 2x  3cos x  4 cos2

7. 2  sin x  cos x   tan x  cot x
2. 2cos2 2x  2





3  1 cos 2x  3  0

4. cos 2x  5sin x  3  0

5

7. 5 1  cos x   2  sin4 x  cos4 x

0
1  tan 2 x


5 

7 
8. sin  2x    3cos  x    1  2 sin x
2
2 




9. 7 cos x  4cos3 x  4sin 2x
10.
Bài 9 Giải các phương trình sau:
1. 2cos2 x  6sin xcos x  6sin2 x  1
3. cos2 x  sin xcos x  2sin2 x  1  0
5. 2 2  sin x  cos x  cos x  3  2cos2 x

cos 4x  cos2 3x

2. cos2 x  3 sin 2x  1  sin2 x
4. cos2 x  3 sin xcos x  1  0
6. tan x  cot x  2  sin 2x  cos 2x 

7. 2cos3 x  sin 3x
8. 4sin3 x  3cos3 x  3sin x  sin2 xcos x  0
Bài 10 Giải các phương trình sau:
1. 3 sin 2x  cos 2x  2
2. 4 sin x  3cos x 
cos x  2 sin x.cos x

2 cos2 x  sin x  1

 3

Bài 11 Giải các phương trình sau:
1. 2sin 2x   sin x  cos x   1  0


4

6. 9  13cos x 

3
5. 2 tan x  3 
cos x
2

3.

x
2



3. sin 2x  2 sin  x    1
4


5. cos x  sin x  2sin 2x  1



6
6
4 sin x  3cos x  1



4. 4 sin4 x  cos4 x  3 sin 4x  2
2. sin 2x  12  sin x  cos x   12  0
4. 1  tan x  2 2 sin x
6. cos3 x  sin3 x  cos 2x

7. cos3 x  sin3 x  2sin 2x  sin x  cos x
8. cosx 

1
1
10
 sinx 

cos x
sin x 3

Bài 12 Giải các phương trình sau:
1. 2cos2 x  6sin xcos x  6sin2 x  1
3. 2 2  sin x  cos x  cos x  3  2cos2 x

2. cos2 x  3 sin 2x  1  sin2 x
4. tan x  cot x  2  sin 2x  cos 2x 

5. 2cos3 x  sin 3x
6. 4sin3 x  3cos3 x  3sin x  sin2 xcos x  0
25