CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 5 pot

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
BÀI 5
TÍNH NGẪU NHIÊN CỦA KẾT QUẢ
CỦA CÁC PHÉP ĐO VÀ CÁC HỆ QUẢ.
ĐIỀU KIỆN ĐO ĐƯỢC ĐỒNG THỜI
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Từ đầu tới giờ, ta đã nói về hàm trường hay hàm trạng thái. Tuy nhiên,
có những câu hỏi về nó mà ta phải trả lời.
Từ đầu tới giờ, ta đã nói về hàm trường hay hàm trạng thái. Tuy nhiên,
có những câu hỏi về nó mà ta phải trả lời.
Thứ nhất, về phương diện Vật lý thì hàm trạng thái là cái gì ?
Trong bài này, ta sẽ nêu ra những suy luận để trả lời hai câu hỏi đó.
1. Tính ngẫu nhiên của các kết quả quan sát.
Thứ hai, trong các bài toán cụ thể thì hàm sóng được xác định theo
các kết quả quan sát ra sao ?
ë phần trước, ta đã nói về tính bất định của các đại lượng vật lý của
các đối tượng vi mô. Từ tính bất định suy ra rằng, các kết quả đo một
đại lượng nói chung là có tính ngẫu nhiên.
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Dể chứng tỏ điều đó, ta hãy thử xem xét, chẳng hạn phép đo
xung lượng của một hạt với hàm trạng thái
ψ
. Nói chung, cần coi rằng
ψ

không phai là hàm riêng của toán tử
ˆ
p

và vi vậy, trong trạng thái
ψ
thi xung lượng không có giá trị cụ thể nào.
Một thí nghiệm được coi là phép đo xung lượng, nếu trong kết
qua
ta có một giá trị xung lượng cụ thể của hạt. §ương nhiên là
ngay
sau khi đo như vậy hạt sẽ chuyển sang một trạng thái khác,
với hàm trạng thái có dạng.
(5.1)
0






=
rp
i
p
eCr
o





.)(
ψ
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
n
c
trong đó
0
p

là một vector cụ thể. (Xin nhấn mạnh một lần nua: không thể có
phép đo phi tương tác, tức là không thể có phép đo không làm thay đổi
trạng thái của hạt). ở đây,
0
p

là vector cụ thể vi là kết qua đo. Tuy nhiên, các giá trị khác của xung
lượng cũng có thể xuất hiện thay cho
0
p

bởi vi nếu ngoài
0
p

ứng với trị riêng
0
p


Diều này trái với gia thiết rằng
ψ
là hàm trạng thái tuỳ ý.
p
ˆ

không còn giá trị nào kha dĩ thi ta buộc phai thừa nhận rằng ngay trước
khi đo thi hạt ở trạng thái mà hàm
ψ
tương ứng là hàm riêng của toán tử
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Như vậy, trong Cơ học lượng tử và nói chung trong Vật lý lượng
tử,
ta buộc phải thừa nhận rằng:
SỰ XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SÓNG KHÔNG ĐỒNG NGHĨA VỚI
TÍNH XÁC ĐỊNH ĐƠN TRỊ CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG QUAN SÁT.
λψψ
=L
ˆ
TOÁN TỬ MÔ TẢ
ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ
TRỊ RIÊNG LÀ PHỔ
CÁC GIÁ TRỊ CỦA
ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ
HÀM SÓNG MÔ TẢ
TRẠNG THÁI
CÓ THỂ LÀ TẬP HỢP CÁC HÀM
RIÊNG TƯƠNG ỨNG VỚI TOÁN
TỬ MÔ TẢ TRẠNG THÁI

{ }
, ,
21
λλλ
=
n
{ }
, ,
21
ψψψ
=
n

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Như vậy, cách mô tả hạt hoặc hệ vật lý nói chung bằng hàm trường
Theo quan điểm của A. Einstein thì cách mô tả như vậy là không đầy
đủ và cần phải được thay thế bằng cách mô tả khác.
ở đây, ta sẽ không thảo luận về vấn đề này. Chỉ xin lưu ý rằng cho đến
nay chưa có cách mô tả nào cho những kết quả lý thuyết phù hợp với
thực nghiệm hơn vật lý lượng tử.
KHÔNG CHO PHÉP TA TIÊN ĐOÁN TRƯỚC các giá trị đo được
của các đại lượng (là các trị riêng của toán tử).
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Yêu cầu đối với việc xây dựng hàm trạng thái.
Xuất phát từ những suy luận như trên, bây giờ ta sẽ nêu ra quan điểm
sau đây;
DỐI VỚI TRƯỜNG PHOTON HAY TRƯỜNG ĐIỆN - TỪ
THI HÀM TRƯỜNG CHÍNH LÀ CẶP VECTOR

E

và
H

quan điểm này vừa nêu ra yêu cầu đối với việc xây dựng hàm trạng
thái cho những bài toán cụ thể, vừa gán cho hàm trạng thái một ý
nghĩa vật lý xác định.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Từ Diện động lực học cổ điển, ta biết rằng đại lượng
)(
22
8
1
HEw
+=
π
chính là mật độ nang lượng của trường điện từ.
Nếu chuyển sang quan điểm lượng tử thi w CHÍNH LÀ MẬT ĐỘ
XÁC SUẤT TIM THẤY PHOTON (ở điểm đang xét).
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Một cách tương tự, ta yêu cầu hàm trạng thái
ψ
của hạt
2
)(r


ψ
là mật độ xác suất tim thấy hạt ở vị trí
r

và
Xin lưu ý rằng với yêu cầu như trên, hàm trạng thái vẫn không được
xác định một cách duy nhất: các hàm
)(r

ψ
)(re
i

ψ
α
với
α
là số thực có thể coi như cùng xác định một trạng thái của hạt
1
2
=
α
i
e
(trước hết cho trường hợp vô hướng, tức là
ψ
nhận giá trị là các số
phức) phai được xây dựng sao cho
vì
HONG DUC UNIVERSITY

307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Chính vi vậy, nói chung thi giá trị của hàm trạng thái không phai là
đại lượng đo được. Tuy nhiên, ta luôn có thể xác định
2
)(r

ψ
từ thực nghiệm, bằng cách tiến hành nhiều lần việc “bắt” hạt ở
trạng thái
)(r

ψ
Nếu tiến hành bắt hạt N lần, và trong một vùng đủ nhỏ quanh vị trí
0
r

ta bắt được hạt n lần thi có thể đặt:
VN
n
r
∆
=
.
)(
2

ψ
với
∆
V là thể tích của vùng nhỏ đó.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
3. Xác suất của các giá trị của đại lượng vật lý
Gia sử đại lượng L có phổ
{ }
, ,
21
λλ
và với mỗi n thi
)(r

ψ
là hàm riêng tương ứng với trị riêng
λ
n
. Xét trạng thái xác định bởi hàm:
(5.2)
n n
n
c
ψ ψ
=
∑
từ (5.2) ta có:
* * *
(5.3)
m m
m
c
ψ ψ

=
∑
và do đó:
* * *
,
(5.4)
m n m n
n m
dv c c dv
ψ ψ ψ ψ
=
∑
∫ ∫
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Từ điều kiện chuẩn hoá, ta có
*
(5.5)
m n mn
dv
ψ ψ δ
=
∫
nên vế phai của (5.4) sẽ là
∑
n
n
c
2
Mặt khác,

do
∫
dv
ψψ
*
là tổng xác suất tim thấy hạt trong toàn bộ không gian nên
*
1 (5.6)dv
ψ ψ
=
∫
Như vậy, ta có:
2
1 (5.7)
n
n
c
=
∑
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Đẳng thức này cùng với việc hiểu (c
1
, c
2
, ) như hàm sóng trong
không gian L dẫn đến một kết luận:
2
n
c

chính là xác suất để L nhận giá trị
λ
n
(nếu tiến hành đo đại lượng L).
Trong trường hợp phổ liên tục, ta có kết luận tương tự:
2
)(
λ
c
là mật độ xác suất để L nhận giá trị λ
.
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
4. Giá trị trung bình của một đại lượng
Xét trạng thái với hàm sóng
)(
λ
c
trong biểu diễn L. Do
2
)(
λ
c
là mật độ xác suất của giá trị
λ
nên L có giá trị trung binh trong trạng thái này là:
2
( ) (5.8)L c d
λ λ λ
=

∫
với tích phân lấy theo toàn bộ phổ. Công thức (5.8) cũng có thể viết
thành
λλλλ
dccL
∫
=
)()(
*
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
hay:
*
1
ˆ
( ) ( ) (5.9)L c L c d
λ λ λ λ
=
∫
trong đó
1
L
ˆ
là toán tử của đại lượng L trong biểu diễn – L.
Bây giờ ta dùng công thức (4.29) cho
11
LM
ˆˆ
=
và

22
LM
ˆˆ
=
là toán tử của L trong một biểu diễn khác, ví dụ biểu diễn – N,

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
là hàm trạng thái tương ứng trong biểu diễn – N. Khi đó:
νννλλλλ
ddLddcLc )(
ˆ
)()(
ˆ
)(
**
21
∫∫
=
do đó:
*
2
ˆ
( ) ( ) (5.10)L d L d d
ν ν ν
=
∫
(4.29)
∫ ∫
=

22222
*
211111
*
1
)(
ˆ
)()(
ˆ
)(
λλλλλλ
dcMcdcMc
)()(
λλ
cc
=
1
và
)()(
νν
dc
=
2
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Đặc biệt, nếu chuyển về biểu diễn toạ độ, ta có:
với
L
ˆ
là toán tử của L trong biểu diễn toạ độ.

(5.11) dvrLrL )(
ˆ
)(
*

ψψ
∫
=
*
2
ˆ
( ) ( ) (5.10)L d L d d
ν ν ν
=
∫
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
5. Điều kiện để hai đại lượng là đo được đồng thời
λµ
ψ
vừa là hàm riêng của
L
ˆ
vừa là hàm riêng của
M
ˆ
Gia sử L và M là hai đại lượng đo được đồng thời.
Diều này có nghĩa là tồn tại một trạng thái

HONG DUC UNIVERSITY

307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
tức là:
ˆ
(5.12)L
λµ λµ
ψ λψ
=
ˆ
(5.13)M
λµ λµ
ψ µψ
=
Bây giờ ta gia sử
ψ
là hàm sóng tuỳ ý.
Ta khai triển hàm này theo các hàm
λµ
ψ
:
(5.14)c
λµ λµ
λµ
ψ ψ
=
∑
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Tác dụng
M
ˆ

lên (5.14),
L
ˆ
lên đẳng thức này ta nhận được:
sau đó lại tác dụng
∑∑
==
λµ
λµλµ
λµ
λµλµ
µλψµψψ
ccLML
ˆˆˆ
Kết qua rõ ràng không thay đổi, nếu ta thay đổi thứ tự tác dụng của
M
ˆ
và
L
ˆ
. Từ đó suy ra:
ψψ
LMML
ˆˆˆˆ
=
tức là
M
ˆ
và
L

ˆ
giao hoán với nhau (hay
[ ]
ML
ˆ
,
ˆ
= 0). Dễ thấy rằng đẳng thức
LMML
ˆˆˆˆ
=
CŨNG LÀ ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ L VÀ M ĐO ĐƯỢC ĐỒNG THỜI.
Vậy: điều cần và đủ để hai đại lượng L và M có thể đo được đồng thời là
HAI TOÁN TỬ TƯƠNG ỨNG GIAO HOÁN VỚI NHAU.
(5.14)c
λµ λµ
λµ
ψ ψ
=
∑
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Vì lẽ đó, XUNG LƯỢNG và VỊ TRÍ của hạt không bao giờ
cùng xác định.
Cũng vì lẽ đó, ta không bao giờ biết được giá trị của mọi
đại lượng đặc trưng cho hạt.
Điều này cũng có nghĩa là:
NẾU THỪA NHẬN TÍNH ĐÚNG ĐẮN CỦA CƠ HỌC
LƯỢNG TỬ thì cũng phải thừa nhận luôn rằng KHÔNG
CÓ CÁCH NÀO ĐỂ MÔ TẢ THỰC TẠI MỘT CÁCH

ĐẦY ĐỦ THEO KIỂU LOẠI TRỪ ĐƯỢC CÁC KẾT
QUẢ NGẪU NHIÊN.