CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 6 pptx

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
BÀI 6
DẠNG MA TRẬN CỦA TOÁN TỬ
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trong Đại số tuyến tính, mỗi toán tử (hay ánh xạ tuyến tính)
đều được biểu diễn bởi một ma trận, nếu trong các không
gian vector đã cho sẵn các cơ sở.
Trong Đại số tuyến tính, mỗi toán tử (hay ánh xạ tuyến tính)
đều được biểu diễn bởi một ma trận, nếu trong các không
gian vector đã cho sẵn các cơ sở.
1. Các phần tử ma trận của một toán tử
Trước hết, ta xét một toán tử
M
ˆ
tác dụng trong không gian các hàm
ψ
với biến vector
r

Trường hợp tổng quát được xét tương tự mà không có khó khan
gi.
Gia sử mỗi hàm
ψ
đều có thể viết được dưới dạng:
(6.1)

n n
c
ψ ψ
=
∑

Cách biểu diễn tương tự cũng có thể thực hiện với toán tử
trên các không gian hàm; chỉ có điều ở đây ma trận sẽ có cấp
vô hạn.
Cách biểu diễn tương tự cũng có thể thực hiện với toán tử
trên các không gian hàm; chỉ có điều ở đây ma trận sẽ có cấp
vô hạn.
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Dễ thấy toán tử vector thoả mãn yêu cầu trên, chính là
toán tử
trong đó
1 2
, ,
ψ ψ
là các hàm cho trước thoa mãn điều kiện trực giao
ψ
. Khi đó, số phức
được gọi là phần tử ma trận giua hai trạng thái
m
ψ
và
n
ψ
và ký hiệu là:

nMm
nMm
và chuẩn hoá, còn c
1
, c
2
, xác định theo
Như vậy:
dvrMr
nm
)(
ˆ
)(
*

ψψ
∫
dvrMr
nm
)(
ˆ
)(
*

ψψ
∫
(6.2) dvrMrnMm
nm
)(
ˆ

)(
*

ψψ
∫
=
(6.2) dvrMrnMm
nm
)(
ˆ
)(
*

ψψ
∫
=
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bây giờ ta sẽ thể hiện tác động của toán tử bởi các phần tử ma trận.
Giả sử
ˆ
(6.3)
n n n n
n n
M c d
ψ ψ
 
=
 ÷
 

∑ ∑
hay
ˆ
(6.4)
n n n n
n n
c M d
ψ ψ
=
∑ ∑
Nhân 2 vế của (6.4) với
*
m
ψ
lấy tích phân theo toàn bộ không gian và chú ý đến điều kiện chuẩn hoá
ta có:
∑∑
∫
=
n
mnn
n
nmn
ddvMc
δψψ
ˆ
*
hay:
(6.5)
n n

n
m M n c d=
∑
ĐÂY CHÍNH LÀ CÔNG
THỨC THỂ HIỆN TÁC
ĐỘNG CỦA
QUA CÁC PHẦN TỬ
MA TRẬN.
M
ˆ
mnnm
dvrr
δψψ
=
∫
)()(
*

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bây giờ ta xét trường hợp khi mọi hàm
ψ
đều khai triển được dưới dạng:
trong đó tích phân lấy theo một tập hợp liên tục của không gian biến
λ
và các hàm
),( r

λψ
cũng thoa mãn điều kiện chuẩn hoá:

)(),(),(
*
µλδµψλψ
−=
∫
dvrr

(6.6)
λλψλψ
drcr ),()()(

∫
=
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
và
:
(6.9)
µµψµψ
drdrM ),()()(
ˆ

∫
=
(6.10) )()(
µλλλµ
ddcM =
∫
thì
Tác động của

M
ˆ
thể hiện dưới dạng ma trận như sau: nếu
(6.8)
λλψλψ
drcr ),()()(

∫
=
Khi đó, phần tử ma trận của toán tử
M
ˆ
giua hai trạng thái
λ
ψ
và
µ
ψ
là:
(6.7) dvrMrM ),(
ˆ
),(
*

µψλψµλ
∫
=
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Tính hermitic ở dạng ma trận

M
ˆ
∑
=
n
nn
c
ψψ
Gia sử là toán tử hermitic và với mỗi
ψ
đều có
trong đó
,
21
ψψ
( )
.
ˆ
*
*
*
dvMnMm
nm
ψψ
∫
=
Như vậy, từ tính hermitic của
M
ˆ
suy ra:

(6.11) mMnnMm =
*
( )
.
ˆˆ
*
*
∫ ∫
=== mMndvMdvM
mnmn
ψψψψ
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ngược lại, nếu (6.11) đúng với mọi m, n thi
M
ˆ
là toán tử
hermitic.
λλψλψ
drcr ),()()(

∫
=
thi điều kiện hermitic tương đương với đẳng thức
)(6.11'
µλλµ
MM =
*

Dối với trường

hợp
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1.Dạng ma trận của một số toán tử đặc biệt
( )
ψψ
=E
, ta có:
(6.12)
∫
==≡
mnnm
dvnEmnm
δψψ
*
cho khai triển (6.1), và:
)(6.12'
∫
−==≡ )(
*
λµδψψλµλµ
λµ
dvE
cho khai triển (6.6).
Trước hết, với toán tử đơn vị E
(6.1)
n n
c
ψ ψ
=

∑
(6.6)
λλψλψ
drcr ),()()(

∫
=
Bây giờ gia sử
, ,
21
ψψ
là các hàm riêng của toán tử
L
ˆ
. Xét dạng ma trận của chính
L
ˆ
. Ta có:
(6.13)
mmnnnnmnm
dvdvLnLm
λδλψλψψψ
====
∫∫
**
ˆ
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Tương tự, nếu
L

ˆ
có phổ liên tục với các hàm riêng
λ
ψ
S∈
λ
,
thi
(6.14)
µλµλδλµ
=−= )(L
Như vậy, có thể nói (theo thuật ngu Dại số) là khi chọn cơ sở khai
triển
là các hàm riêng của chính L thi ma trận của toán tử
L
ˆ
có dạng đường chéo, với các phần tử đường chéo là các trị riêng của
L
ˆ
Ví dụ, cho toán tử
x
ˆ
khi cơ sở khai triển là các hàm
)(
0
rr

−
δ
(6.15) xxxx ='

ˆ
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
4. Biến đổi các phần tử ma trận khi chuyển cơ sở khai triển
Bây giờ ta gia sử trong không gian các hàm
ψ
có hai cơ sở (hai hệ đầy đủ) trực chuẩn:
(6.16) , , ,,
)1()1(
2
)1(
1 n
ψψψ
và
(6.17) , , ,,
)2()2(
2
)2(
1 n
ψψψ
Ký hiệu
)(1
nMm
và
)(2
qMp
lần lượt là phần tử ma trận tổng quát của
M
ˆ
theo hệ (6.16) và hệ (6.17).

Ta cần tim cách biểu diễn
)(2
qMp
qua các phần tử
)(1
nMm
Vì mọi hàm đều có thể khai triển qua hệ (6.16) nên mỗi hàm của
hệ (6.17) cũng thế, tức là ta có:
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
(6.17)
∑
=
k
lklk
a
)1()2(
ψψ
Từ đó:
∫
∑∑
∫
=













= dvaMadvM
n
nqn
m
mpmqp
)1()*1(*)1()*2(
ˆˆ
ψψψψ
∫
∑∑
=












= dvMaa
n

nqn
m
mpm
)1()*1(*
ˆ
ψψ
∑
∫
=
nm
nmqnpm
dvMaa
,
)1()*1(*
ˆ
ψψ
Suy ra:
(6.19)
∑
=
nm
qnpm
nMmaaqMp
,
)1(
*
)2(
(6.19)
∑
=

nm
qnpm
nMmaaqMp
,
)1(
*
)2(
Dây chính là công thức cần tim.
LÀ CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CÁC PHẦN TỬ MA TRẬN KHI CHUYỂN CƠ SỞ KHAI TRIỂN
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
5. Biểu diễn giá trị trung bình qua các phần tử ma trận
Ta viết lại công thức tính giá trị trung binh của một đại lượng:
∫
= dvMM
ψψ
ˆ
*
Với ∑
=
n
nn
c
ψψ
ta có:
∫
∑
= dvMccM
nm
nm

nm
ψψ
ˆ
*
,
*
hay:
(6.20) nMmccM
nm
nm
∑
=
,
*
Dặc biệt, nếu
, ,
21
ψψ
là các hàm riêng của
L
ˆ
(và lập thành một hệ đầy đủ) thi:
mn
nm
nm
mccL
δ
∑
=
,

*
tức là:
∑
=
n
n
cnL
2
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Tim công thức cho trường hợp
L
ˆ
có phổ liên tục.
TIỂU LUẬN

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Chú thích lịch sử.
Khi Cơ học lượng tử bắt đầu hình thành, chính các phần tử ma
trận của toán tử chứ không phải bản thân các toán tử, được dùng
để mô tả các đại lượng vật lý.
Với các phần tử ma trận, năm 1925 Werner Heisenberg – một
trong những nhà phát minh và nhà tư tưởng lỗi lạc của thế kỷ XX
- đã xây dựng nên “Cơ học ma trận”, phương án ban đầu của Cơ
học lượng tử. Thành công này đã đem lại cho Werner Heisenberg
giải thưởng Nobel năm 1932.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam