CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 8 doc

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CHƯƠNG 2: CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU
BÀI 8
CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Đã đến lúc ta có thể áp dụng những kiến thức được trình bày trong
bảy bài đầu để giải những bài toán cụ thể trong một số mô hình đơn
giản.
Ta bắt đầu từ trường hợp mà trong đó việc khảo sát chuyển động có
thể quy về bài toán một chiều.
1. Trường thế tách biến và bài toán chuyển động một chiều
Xét một hạt chuyển động trong trường thế với hàm thế năng có dạng:
Phương trình Schrodinger trong trường hợp này sẽ là:
( )
(8.1)
ψ
ψ
321
ˆˆˆ
HHH
t
i ++=
∂
∂


( ) ( ) ( ) ( )
zUyUxUrU
321
++=


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

trong đó
( )
( )
( )
zU
m
p
H
yU
m
p
H
xU
m
p
H
z
y
x
3

2
3
2
2
2
1
2
1
2
2
2
+=
+=
+=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Trước hết ta tìm nghiệm của (8.1) dưới dạng:
( ) ( ) ( ) ( )
(8.2)
Et
i
ezyxtr


−
==

321
,
ϕϕϕψψ
( )
(8.1)
ψ
ψ
321
ˆˆˆ
HHH
t
i ++=
∂
∂


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Với hàm
ψ
như vậy, ta có:
Vi chỉ tác dụng lên trong biểu thức của trong biểu thức
của
ψ
nên
x
p
ˆ
( )

x
1
ϕ
( ) ( ) ( )
(8.3)
Et
i
ezyxEE
t
i


−
==
∂
∂
321
ϕϕϕψ
ψ
( )
Et
i
Et
i
xx
eUepp

−−
+=
3211321

22
ˆˆ
ϕϕϕϕϕϕψ
(8.4)
ψ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
1
11
3211
2
ˆ
2
ˆ
H
eU
m
p
Et
i
x
=















+
−


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Thế (8.3) và (8.4) cùng hai hệ thức tương tự cho
ϕ
1
và
ϕ
2
vào (8.1),
ta được
3 3
1 1 2 2
1 2 3
ˆ
ˆ ˆ
(8.5)
H
H H

E
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
= + +
Rõ ràng mỗi số hạng ở vế phải của (8.5) cùng lắm chỉ phụ thuộc một
biến số tương ứng nên thực ra chúng phải là hằng số, tức là ta có:
i
i
ii
E
H
=
ϕ
ϕ
ˆ
hay
ˆ
(8.6)
i i i i
E H
ϕ ϕ
=
Đương nhiên E
1
+ E
2
+ E
3
=E.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Như vậy, việc tìm nghiệm dạng (8.2) của phương trinh Schrodinger
trong trường hợp này quy về việc giải các phương trình (8.6).
Vì mỗi phương trình (8.6) chỉ chứa một biến số toạ độ nên có thể
gọi là phương trình chuyển động một chiều
Tuy nhiên, phương trình chuyển động không mô tả chuyển động của
một hạt trên một đường thẳng.
Do sự vô nghĩa của quỹ đạo nên không thể có chuyển động trên
một đường thẳng hoặc cong.
Chỉ trong những trường thế rất đặc biệt mới có chuyển động gần với
chuyển động trên một đường.
Còn ở đây, cụm từ “chuyển động một chiều” chỉ có nghĩa ước lệ:
( ) ( ) ( ) ( )
(8.2)
Et
i
ezyxtr


−
==
321
,
ϕϕϕψψ
ˆ
(8.6)
i i i i

E H
ϕ ϕ
=

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

nó chỉ nói lên rằng khi giải phương trình
111
1
ϕϕ
EH =
ˆ
chẳng hạn, thì ta chưa quan tâm tới sự phụ thuộc của hàm trạng thái
vào các biến số toạ độ khác
Bây giờ ta quy ước rằng, khi chọn một toạ độ để xét, ta tạm thời bỏ qua
chỉ số bên cạnh hàm sóng và các toán tử. Như vậy, thay cho
ϕ
1
(x)
chẳng hạn, ta sẽ chỉ viết
ϕ
(x) và phương trình (8.6) sẽ trở thành:
ˆ
(8.7)H E
ϕ ϕ
=
v
à

x
p
ˆ
sẽ được ký hiệu đơn gian là
p
ˆ
, v.v

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

2. Tường thế
Xét chuyển động một chiều của một hạt với động năng ban đầu là
E ≥ 0 được “thả” vào một vùng mà hàm thế năng phụ thuộc vào
toạ độ như sau:



>
≤
=
0
00
0
xU
x
xU
víi,
víi,
)(

Hình 1: Biểu diễn Tường thế
U
U
0
x
0
Trường thế năng như vậy
được gọi là tường thế. Đồ thị
hàm U(x) cho bởi hình 1.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Trong vùng x ≤ 0, phương trình (8.7) sẽ có dạng cụ thể như sau:
ϕ
ϕ
E
dx
d
m
=−
2
22
2

hay
(8.8)
ϕ
ϕ
22

2
2

mE
dx
d
−=
Đây là phương trình vi phân quen thuộc.
Nghiệm tổng quát của nó có dạng:
ikxikx
L
BeAe
−
+=
ϕ
trong đó
mEk 2
1

=
.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Dây là sự “chồng chất” hai trạng thái có xung lượng đối nhau
k±
ứng với hai chuyển động ngược chiều nhau.
Như vậy, nếu đo xung lượng của hạt thi sẽ thu được một trong hai giá
trị kha dĩ nói trên với xác suất tương ứng tỷ lệ với

2
A
và
2
B
Tuy nhiên, cần hết sức cảnh giác để tránh hiểu nhầm là có hai hạt hay
hai luồng hạt chuyển động ngược chiều nhau!
ở đây, ta chỉ có đúng một hạt, và hạt đó là không phân chia
được.
Việc tổ hợp nhiều trạng thái không bao giờ được nhầm lẫn với
việc
gộp nhiều hạt lại với nhau.
Trong vùng bên phải (x > 0), phương trình (8.7) trở thành:

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

ϕϕ
ϕ
EU
dx
d
m
=+−
0
22
2

hay
( )

(8.9)
ϕ
ϕ
2
0
2
2

EUm
dx
d −
−=

Nghiệm tổng quát của phương trình này là:
qxiqx
R
eDeC
1−
+=
ϕ
trong đó
( )

0
2 UEm
q
−
=
Để “khớp” các nghiệm ở hai vùng lại với nhau, ta dùng yêu cầu về tính
liên tục của hàm trạng thái cùng với đạo hàm của nó

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Ta sẽ làm việc này cho trường hợp đáng quan tâm hơn;
đó là trường hợp E < U
0
.
Trong CƠ HỌC CỔ ĐIỂN thì với E < U
0
,
hạt chỉ có thể có mặt ở vùng bên trái.
Tuy nhiên, trong CƠ HỌC LƯỢNG TỬ,
nghiệm cho vùng x > 0 vẫn khác 0,
U
U
0
x
0
KỂ CẢ KHI BAN ĐẦU
HẠT ĐƯỢC THẢ VÀO
VÙNG BÊN TRÁI.
TỨC LÀ XÁC SUẤT CÓ MẶT BÊN PHẢI
BỨC TƯỜNG LÀ KHÁC 0,

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Với E < U
0

, ta có q là số thuần ảo: q=i
α
, với
( )

EUm −
=
0
2
α
Do đó:
xx
R
eDeC
αα
ϕ
+=
−
Vi
+∞→
x
e
α
.
khi
+∞→x
nên nếu D ≠ 0 thi
+∞→
R
ϕ

khi
+∞→x
Điều này vô nghĩa về phương diện vật lý, vì xác suất tìm thấy hạt không
thể tăng mãi khi đi ra xa vô cực.
Vậy phải có D = 0. Suy ra:
x
R
eC
α
ϕ
−
= .
Diều kiện để hàm trạng thái liên tục tại 0 có dạng:
)()( 00
RL
ϕϕ
=
tức là:
A + B = C (8.10)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Tiếp theo, vì:
( )
ikxikx
L
eBeAik
−
−= '

ϕ
và
x
R
eC
α
αϕ
−
−= .'
nên điều kiện để đạo hàm của hàm trạng thái cũng liên tục tại 0 là:
ik(A + B) =-αC
k
Ci
BA
α
=−

hay:
Kết hợp (8.10) và (8.11) với điều kiện chuẩn hóa, ta có






+
−
+=
−ikxikx
L

e
ik
ik
e
α
α
π
ϕ
2
1






+
=
− x
R
e
ik
k
α
α
π
ϕ
2
2

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Chú ý. Xin nhắc lại: việc tim được hàm trạng thái,
ví dụ, trong biểu diễn toạ độ, cho phép ta tiên đoán được mật độ xác suất
có mặt tại mỗi điểm trong không gian (bằng )
2
ϕ
Muốn biết xác suất để đại lượng L nhận giá trị
λ
, ta cần khai triển
ϕ
theo các hàm riêng của L. Xác suất (hay mật độ xác suất) cần tim sẽ là
2
)(
λ
c
, với
)(
λ
c
là hệ số của hàm riêng
)(x
λ
ϕ
hệ số
)(
λ
c
cũng chính là giá trị của hàm trạng thái trong biểu diễn - L .

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam