CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 9 docx

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
BÀI 9
RÀO THẾ VÀ HỐ THẾ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ta xét tiếp hai ví dụ điển hình của chuyển động một chiều:
chuyển động trong rào thế và hố thế.
1.Rào thế
Rào thế là trường thế có dạng:



<<
><
=
axU
axx
xU
0
00
0
nÕu
hoÆc nÕu,
)(

U
U
0
x
0
Hình 2: Biểu diễn Rào thế
a
giá trị của U(x) tại x = 0 và
x = a có thể cho tuỳ ý). Đồ
thị hàm U(x) cho bởi hình 2.
ở hai vùng x < 0 và x > a,
phương trình (8.7) trở
thành:
ϕ
ϕ
E
dx
d
m
=−
2
22
2


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
h
ay
2

2 2
2
(9.1)
d mE
dx
ϕ
ϕ
= −
h
Nghiệm tổng quát của (9.1) có
dạng:
ikxikx
BeAe
−
+=
ϕ
trong đó
mEk 2
1

=
Tuy nhiên, do yêu cầu tự nhiên về tính liên tục khi “khớp” nghiệm ở
hai bên với nghiệm khoảng giữa nên nói chung các hệ số A và B
trong (9.2) phải được chọn khác nhau cho khoảng x < 0 và khoảng x > a.
Do đó, nghiệm cho khoảng bên trái sẽ là:
ikxikx
L
eBeA
−
+=

11
ϕ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
và cho khoảng bên phải là:
ikxikx
R
eBeA
−
+=
22
ϕ
ở khoảng giữa, phương trình (9.7) trở thành:
ϕϕ
ϕ
EU
dx
d
m
=+−
0
22
2

hay
( )
ϕ
ϕ
2

0
2
2

EUm
dx
d
−
−=
Nghiệm tổng quát của phương trinh này
là:
ilxilx
M
eBeA
−
+=
33
ϕ
trong đó
( )

0
2 UEm
l
−
=
.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Do yêu cầu về tính liên tục như đã nói trên, phai có
)()( 00
ML
ϕϕ
=
nên:
A
1
+ B
1
= A
3
+ B
3
(9.4)
Tương tự, từ đẳng thức
)()( aa
RM
ϕϕ
=
ta có:
3 3 2 2
(9.5)
ila ila ika ika
A e B e A e B e
− −
+ = +
Tiếp theo, vì,
( )
ilxilx

M
eBeAil
−
+=
33
'
ϕ
( )
ikxikx
R
eBeAik
−
+=
22
'
ϕ
nên từ các đẳng thức

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
)(')(' 00
ML
ϕϕ
=
và
)(')(' aa
RM
ϕϕ
=
suy ra:

k(A
1
- B
1
) = l(A
3
- B
3
) (9.6)
và
( ) ( )
3 3 2 2
(9.7)
ila ila ika ika
l A e B e k A e B e
− −
+ = +
Do sáu số A
1
, B
1
, A
2
, B
2
, A
3
, B
3
, chỉ phải thoả mãn bốn đẳng thức nên ta

có thể chọn tuỳ ý hai số mà không làm mất tính tổng quát.
Bốn số còn lại khi đó sẽ được xác định duy nhất theo hai số đã chọn.
Vì giá trị cụ thể của các hệ số không quan trọng về mặt nguyên tắc nên
ta sẽ không thực hiện việc tính toán ở đây.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bây giờ ta xét trường hợp E < U
0
.
Trong CƠ HỌC CỔ ĐIỂN, một hạt được “thả” vào một phía của rào
thế như vậy sẽ vĩnh viễn chuyển động ở phía đó; không có khả năng
nào để hạt xâm nhập vùng giữa hoặc xuyên qua rào thế sang phía bên
kia.
Nhưng ở đây, vẫn có khả năng để hạt xuyên qua rào thế, hoặc “có
mặt” ở ngay “giữa rào”, vì dễ thấy
ϕ
L
,
ϕ
M
.
ϕ
R
đều có thể khác 0.
Trong trường hợp này (E < U
0
), ta có l=iq là thuần ao, và nếu chọn
A
1

= 1, B
2
= 0 thi ta có
ikx
R
eA
2
=
ϕ
đồng thời, với K =
2
2
A
thi

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( )
(9.8)
aqshqkqk
qk
K
22222
22
4
4
++
=
trong đó
( )

αα
α
−
−=
eesh
2
1
Chú ý rằng K cũng chính là tỉ số giua binh phương hệ số của
ikx
e
trong
R
ϕ
và binh phương hệ số của
ikx
e
trong
L
ϕ
Người ta gọi nó là hệ số xuyên ngầm
Hệ số này bằng 1 khi và chỉ khi shaq = 0
Do công thức
i
i
sh
α
α
sin
=
nên sin(iaq) = 0, tức là aq = -in

π
.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Từ đây suy
ra:
( )
a
in
qEUm
π
−==−
0
2
1

do
đó:
( )
a
in
EUm

π
−=−
0
2
nê
n:

( )
2
222
0
2ma
in
EU

π
−=−
tức là:
(9.9)
2
222
0
2ma
n
UEE
n

π
+==

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Như vậy, nếu E thoả mãn (9.9) thì hệ số xuyên ngầm bằng 1,
tức là “dòng chuyển động” lọt qua rào thế từ vùng bên trái sang
vùng bên phải đúng bằng “dòng chuyển động hướng sang phải”
vốn có ở bên trái, nếu ta coi rằng ban đầu hạt được thả vào vùng
bên trái.

Trong trường hợp này, người ta còn nói rằng rào thế là trong suốt.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1.Hố thế
Bây giờ ta xét hạt chuyển động trong trường thế năng



<<
><
=
ax
axxU
xU
00
0
0
nÕu,
hoÆc nÕu,
)(
U
U
0
x
0
Hình 3. Biểu diễn hố thế
a
Ta cũng chú ý đến trường hợp động năng ban đầu của hạt bằng E < U0
Trong trường hợp này, lời giải

cổ điển cho ta một chuyển động
hữu hạn trong lòng hố thế.
Để cho tiện, ta áp dụng điều
kiện liên tục cho
ϕ
và
ϕ
’/
ϕ


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Dễ thấy nghiệm cho khoang x < 0 có
dạng:
xx
L
eAAe
αα
ϕ
−
+=
1
với
0
2
1
mU

=

α
Khi
−∞→
x
thi
+∞→
−
x
e
α
Vi vậy, nếu A
1
≠ 0 thi mật độ xác suất tim thấy hạt sẽ lớn vô hạn
ở -∞.
x
L
Ae
α
ϕ
=
Tương tự, lời giai cho x > a có dạng:
Điều này vô nghĩa về mặt vật lý.
Do đó phải có A
1
= 0, tức là
x
R
Ce
α
ϕ

−
=

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
với x ∈ (0, a), phương trình (9.7) trở thành giống như (9.3):
( )
(9.10)
ϕ
ϕ
2
0
2
2

EUm
dx
d
−
−=
Do
( )
0
2
2
0
>
−

EUm

nên nghiệm của (9.10) có dạng:
)sin(
δϕ
+=
kxB
M
trong đó
( )
EUmk
−=
0
2
1

Từ yêu cầu về tính liên tục của
ϕ
’/
ϕ
suy ra:



−=+
=
αδ
αδ
)(cot
cot
kagk
gk

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Hệ này tương đương
với







−=+
=
0
0
2
2
mU
k
ka
mU
k


)sin(
sin
δ
δ
Từ đó suy ra:

2
2
0
kan
mU
k −
=
π

arcsin

Đẳng thức này không thể thoả mãn với mọi E cho trước.
Có thể thấy rằng chỉ có một số giá trị rời rạc kn của k mới thoả mãn
(9.11), do đó phổ năng lượng là rời rạc: E = E
1
, E
2
,
Điều này có nghĩa là nếu động năng ban đầu của hạt không thuộc
phổ năng lượng trên thì không thể có trạng thái dừng

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Có thể thấy rằng phương trình (9.11) không thể được giải một cách
chính xác.
Tuy nhiên, nếu cho U
0
→ ∞ thì ta có thể tìm nghiệm tiệm cận của nó
Thật vậy, khi đó vế trái của (9.11) tiến tới 0, và do đó ta có
a

n
kk
n
π
==
từ đó suy ra phổ nang lượng gồm các giá trị
2
222
2ma
n
E
n

π
=

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam