CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 12 pptx

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 12
TRƯỜNG XUYÊN TÂM

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Một trong những bài toán điển hình của cơ học, kể cả cổ điển
lẫn lượng tử, là bài toán chuyển động trong trường xuyên
tâm,vì hai trường lực quan trọng nhất đối với các bài toán thực
tế - điện trường và trường hấp dẫn - đều là trường như vậy
1.Hamiltonian của hạt trong trường xuyên tâm. Phương trình
trạng thái dừng.
Xét chuyển động của một hạt trong trường với hàm thế năng U(r)
chỉ phụ thuộc
rr

=
Hamiltonian của hạt trong trường hợp này là:
)(
2
ˆ
2
rUH +∆−=
µ


(với
µ
là khối lượng của hạt)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ta chuyển biểu thức của
H
ˆ
sang tọa độ cầu. Muốn vậy, ta phải dùng đẳng thức quan trọng sau đây:
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
sin (12.1)
sin sin
r
x y z r r r r
θ
θ θ θ θ ϕ
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
∆ ≡ + + = + +
 ÷   ÷ 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
 
Từ đó, ta có:
Như vậy, phương trình cho trạng thái dừng sẽ là:

(12.2) )(
2
ˆ
2
ˆ
2
2
2
2
2
rU
r
M
r
r
rr
H ++






∂
∂
∂
∂
−=
µµ


(12.3)
ψψψ
µ
ψ
µ
ErU
r
M
r
r
rr
=++






∂
∂
∂
∂
− )(
2
ˆ
2
2
2
2
2

2


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Tính giao hoán giữa hamiltonian với các hình chiếu của
moment và hệ quả.
Trước hết ta chứng tỏ
H
ˆ
giao hoán với
z
M
ˆ
Thật vậy, ta có
ϕ
∂
∂
−= iM
z
ˆ
đồng thời số hạng toán tử thứ nhất ở (12.2) chỉ tác dụng lên biến r
nên số hạng này giao hoán với
z
M
ˆ
Điều này cũng đúng với số hạng thứ ba, tức là U(r). Còn số hạng
thứ hai chứa
tuy tác dụng lên cả
θ

và
ϕ
, nhưng như ta đã biết, cũng giao hoán với
2
ˆ
M
z
M
ˆ
Bằng cách lý giải tương tự, ta cũng có thể chỉ ra rằng
H
ˆ
giao hoán với
x
M
ˆ
và
y
M
ˆ
.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Mặt khác, vì
H
ˆ
giao hoán với
x
M

ˆ
,
y
M
ˆ
và
z
M
ˆ
nên nó giao hoán với
2
ˆ
x
M
,
2
ˆ
y
M
và
2
ˆ
z
M

Do đó,
H
ˆ
giao hoán với
2

ˆ
M
Vì vậy, ta có thể tìm nghiệm của (12.3) sao cho nó cũng thoả mãn cả
các phương trình:
và
Nhưng điều đó có nghĩa là ta chỉ cần tìm các nghiệm của phương trình:
(12.4)
ψψ
)1(
ˆ
22
+= llM 
(12.5)
ψψ
mM
z
=
ˆ
(12.6)
ψψψ
µ
ψ
µ
ErU
r
ll
r
r
rr
=+

+
+






∂
∂
∂
∂
− )(
2
)1(
2
2
2
2
2
2


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
ở dạng:
( ) ( , ) (12.7)
lm
R r Y
ψ θ ϕ

=
với Y
lm
là các hàm cầu đã xét trong §11. (R(r) gọi là hàm bán kính)
3. Phương trình với hàm bán kính
Thế (12.7) vào (12.8). Do toán tử ở vế trái chỉ tác dụng lên r nên
thừa số Y
lm
sẽ bị rút gọn, ta còn lại phương trình đối với R(r):
[ ]
0)(
2)1(1
22
2
2
=−+
+
−






RrUER
r
ll
dr
dR
r

dr
d
r 
µ
hay
[ ]
(12.8) 0)(
2)1(2
222
2
=−+
+
−+ RrUER
r
ll
dr
dR
rdr
Rd

µ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
ở vế trái (12.8) cũng có thể viết thành:
đặt rR(r) =
ρ
(r); khi đó (12.8’) lại trở thành:
[ ]
0)(

2)1(1
232
2
=−+
+
−
ρ
µ
ρ
ρ
rUE
rr
ll
dr
d
r

hay
Có thể coi đây là phương trình chuyển động một chiều
( )
[ ]
)(12.8' 0)(
2)1(1
222
2
=−+
+
− RrUER
r
ll

rR
dr
d
r 
µ
[ ]
(12.9) 0)(
2)1(
222
2
=−+
+
−
ρ
µ
ρ
ρ
rUE
r
ll
dr
d


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ta sẽ giả thiết rằng U(r) tăng chậm hơn
2
1
r

khi r → 0
Như vậy, với r đủ nhỏ thì
[ ]
ρ
µ
)(
2
2
rUE −

là không đáng kể
Vì vậy, kghi r gần với 0 thì (12.9) có dạng tiệm cận là:
2
2 2
( 1)
(12.10)
d l l
dr r
ρ
ρ
+
=
Ta tìm nghiệm của (12.10) dưới dạng
ρ
= C.r
α
.
Khi đó
2
2

2
)1(.
−
−=
α
αα
ρ
rC
dr
d
Như vậy, (12.10) trở thành:
αα
αα
r
r
ll
r
2
2
)1(
)1(
+
=−
−

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
nên
( 1) ( 1) (12.11)l l
α α

− = +
Rõ ràng (12.11) thoã mãn khi và chỉ khi
α
= l + 1 hoặc
α
= - l.
Nhưng nếu
α
= - l thì
ρ
= C.r
-(l+1)
=
1+l
r
C
Do đó
r
C
r
C
R
l
>=
+1
Ta bỏ qua trường hợp này, vì các trường xuyên tâm có ý nghĩa vật
lý là đều tăng không nhanh hơn
r
C
khi r → 0

Như vậy, ta phải lấy trường hợp
α
= l + 1, tức là R = C.r
l
. Khi
đó, nếu l > 0 thì R(0) = 0 và nếu l = 0 thì R(0) ≠ 0 (nhưng hữu
hạn)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Điều này mang một ý nghĩa tương tự như trong Cơ học cổ điển: nếu
l > 0 tức là moment động lượng khác không thì “cánh tay đòn” so
với gốc toạ độ bắt buộc phải khác không, tức là hạt không thể nào có
mặt ở gốc toạ độ
Suy ra mật độ xác suất có mặt tại gốc toạ độ bằng 0, tức là
0)0(
2
=R
hay
0)0( =R
Trong trường hợp ngược lại, sự có mặt của hạt ở gốc toạ độ là có thể
xảy ra
Bây giờ ta xét các giá trị r lớn.
Khi đó, trong (12.9) có thể bỏ qua các số hạng chứa r
2
ở gần
mẫu, đồng thời bỏ qua số hạng U(r) vị ta sẽ coi như là U(r) → 0
khi r → +∞

HONG DUC UNIVERSITY

307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Như vậy dạng tiệm cận của (12.8) sẽ là :
Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
Xét trường hợp E > 0. Khi đó:
E
ir
E
ir
eCeC
µµ
ρ
2
2
2
1

−
+=
và nghiệm tương ứng của (12.8) với r lớn sẽ là:
(12.12) 0
2
22
2
==
ρ
µρ

E
dr
d

(12.13)
E
r
E
r
eCeC
µµ
ρ
2
2
2
1
−+−−
+=

(12.14)








+=
− E
ir
E
ir
eCeC

r
R
µµ
2
2
2
1
1


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Dễ thấy rằng, mật độ xác suất để tìm thấy hạt ở khoảng cách r tính
từ gốc tọa độ không phải là
2
)(rR
mà phải là
2
2
.)( rrR
Mặt khác, do
1=
α
i
e
với
α
là số thực, nên theo (12.14) thì
R
cùng cấp với

r
1
do đó tích phân
∫
+∞
0
2
2
. drrR
dùng để tính xác suất toàn phần là phân kỳ
Điều này tương ứng với phổ liên tục của năng lượng, và do đó nếu hạt
có năng lượng dương thì giá trị của năng lượng có thể có thể là tuỳ ý
(miễn là dương).

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bây giờ xét trường hợp E < 0.
Khi đó
E
µ
2
1
−

là một số thực
dương
α
rr
eCeC
αα

ρ
21
+=
−
tức là:
( )
1 2
1
(12.15)
r r
R C e C e
r
α α
−
= +

Nếu C
2
≠ 0 thì R → ∞ khi r → ∞.
( )
r
eC
r
R
α
−
=
1
1
(12.13)

E
r
E
r
eCeC
µµ
ρ
2
2
2
1
−+−−
+=

Vi ta đặt rR(r) =
ρ
(r);
Điều này phi lý.
Vậy phải có C
2
= 0,
tức là:

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

∫
+∞
0
2

. drrR
hữu hạn.
Vì vậy, phổ năng lượng sẽ rời rạc
( )
r
eC
r
R
α
−
=
1
1

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Tóm tắt §12

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
r lon
E>0, E<0

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY

307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam