PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ SỬ DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ SỬ DỤNG TÍCH PHÂN VÀ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
2. Cơ sở lí thuyết
2.1. Kiến thức tốn
Bảng tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp

 C    0 , C là hằng số

Giả sử u =u(x) có đạo hàm theo biến x
(k.u)’ = k.u’ (k là hằng số)

 x   1

 u     .u


 x     .x 1


C
 C 
    2 .u '
u
u

với x  0

 sin x    cos x

 u    2 1u .u ' ;  C u    2Cu .u '

 cos x     sin x

 sin u    cos u.u '

1
 tan x    2  1  tan 2 x
cos x
x

 cot x    

 cos u     sin u.u '


 k
2

 tan u   

1
 (1  cot 2 x) ;
2
sin x

 cot u    

x  k

u'
  1  tan 2 u  .u '

2
cos u
u'
   1  cot 2 u  .u '
2
sin u

 e    e .u '
u

 e    ex
x

u

 a    a .ln a.u '
u

 a    a x .ln a
x

u

 ln u    uu'

 ln x    1x

 log a x   

.u '

1
 1 
    2 .u ' ;
u
u

1
 1 
    2 với x  0
x
 x

 x   2 1x

 1

 log u    u.ln1 a .u '

1
x.ln a

a

Bảng tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp



 0dx  C



 a x dx 
1

ax
 C (0  a  1)
ln a






 dx  x  C



 x dx 

 cos xdx  sin x  C



x 1
 C , (  1)
 1

 sin xdx   cos x  C

1
  dx  ln x  C
x



 e dx  e  C
x

x



1
 cos2 xdx  tan x  C



1
 sin 2 xdx   cot x  C

Một số phương trình vi phân thường gặp

Khái niệm chung về phương trình vi phân
- Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm đến cấp n, thì phương trình vi phân là một phương
trình trong đó có thể chứa biến x, hàm số y và bắt buộc chứa đạo hàm của hàm số theo biến x.





 n
0
Dạng tổng quát F x, y, y ', y'',...., y

- Giải phương trình vi phân là tìm dạng tường minh của hàm số y  f  x 
- Trong Vật lí các phương trình vi phân thường gặp là các hàm số của tọa độ phụ thuộc
thời gian ví dụ như phương trình dao động điều hịa..., các hàm số của dịng điện, hiệu điện thế,
điện tích phụ thuộc thời gian ...
Một số dạng phương trình vi phân thường gặp
- Phương trình vi phân cấp 1 với biến số phân li
+ Dạng tổng quát: f1  x  dx  f 2  y  dy
Chú ý rằng ở vế trái chỉ chứa biến x và vi phân của nó, ở vế phải chỉ chứa biến y và vi
phân của nó
+ Phương pháp giải: Lấy tích phân hai vế theo hai biến độc lập x và y
- Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất, khuyết y’
+ Dạng tổng qt của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

y '' p  x  y ' q  x  y  f  x 
+ Trong Vật lí ta thường gặp những phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất
khuyết y’ ( f  x   0, y '  0 )

y '' q  x  y  0
+ Cách giải: Việc giải PT dạng này khá phức tạp nên học sinh chỉ cần nhớ dạng nghiệm
tổng quát, tùy từng bài toán sẽ xác định được dạng nghiệm tường minh
Nghiệm tổng quát: y  A cos   x   
2


2.2 Kiến thức vật lí

* Từ thơng
- Một khung dây dẫn phẳng diện tích S được đặt trong từ trường đều có cảm ứng từ B,
khung gồm N vịng dây thì từ thơng gửi qua khung được định nghĩa như sau

r r
  NBS cos  ;   B, n





- Trong trường hợp khung được đặt trong từ trường không đều ( B biến thiên ) hoặc quay
trong từ trường ( góc  biến thiên ) thì từ thơng cũng biến thiên theo thời gian.
* Hiện tượng cảm ứng điện từ - Định luật Len-xơ về chiều dòng điện cảm ứng - Định
luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ
- Hiện tượng cảm ứng điện từ: Là hiện tượng xuất hiện một dịng điện cảm ứng trong
một mạch điện kín khi có sự biến thiên từ thơng qua mạch.
Chú ý rằng nếu mạch điện khơng kín thì trong mạch có xuất hiện một suất điện động
nhưng khơng có dịng điện
- Định luật Len-xơ về chiều dòng điện cảm ứng: Dòng điện cảm ứng có chiều sao cho từ
trường do nó sinh ra có tác dụng chống lại sự biến thiên từ thông qua mạch ( hoặc chống lại
nguyên nhân sinh ra nó )
- Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ: Suất điện động cảm ứng xuất hiện trong một
mạch điện kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên từ thông qua mạch

ec  

d
dt

* Lực từ tác dụng lên một đoạn dây dẫn mang dòng điện đặt trong từ trường đều
- Phương : Lực từ tác dụng lên đoạn dịng điện có phương vng góc với mặt phẳng chứa
đoạn dòng điện và cảm ứng tại điểm khảo sát .
- Chiều lực từ : Tuân the quy tắc bàn tay trái
Quy tắc bàn tay trái : Đặt bàn tay trái duỗi thẳng để các đường cảm ứng từ xuyên vào lịng
bàn tay và chiều từ cổ tay đến ngón tay trùng với chiều dịng điện. Khi đó ngón tay cái choãi ra
90o sẽ chỉ chiều của lực từ tác dụng lên đoạn dây dẫn.
- Độ lớn (Định luật Am-pe). Lực từ tác dụng lên đoạn dòng điện cường độ I, có chiều dài

ur

l hợp với từ trường đều B một góc 
F = BIl sin 
B là độ lớn của cảm ứng từ . Trong hệ SI, đơn vị của cảm ứng từ là Tesla, kí hiệu là T.
* Suất điện động cảm ứng trong một đoạn dây dẫn chuyển động

ec  Blv sin 
3


* Hiện tượng tự cảm – Năng lượng từ trường của ống dây
Độ tự cảm:   Li ( L là hệ số tự cảm của mạch – đơn vị là Henri (H) )
Suất điện động tự cảm: etc   L

di
dt

Năng lượng từ trường của ống dây: W 

1 2

Li
2

3. Hệ thống bài tập
Phần này tác giả phân loại các bài tập thường gặp thành ba dạng bài toán, trong mỗi
dạng bài tốn đều có phần lời giải chi tiết và phân tích tỉ mỉ cách làm nhằm giúp các em có thể
hình dung một cách tổng qt cách làm của mỗi dạng bài toán và áp dụng được thành thạo các
phép tính vi tích phân và phương trình vi phân
Phần cuối cùng là một số bài tập để học sinh vận dụng phương pháp đã học được vào tự
giải
Bài toán 1: Khung dây siêu dẫn chuyển động trong từ trường
Bài tốn 2: Khung dây có điện trở chuyển động trong từ trường
Bài toán 3: Suất điện động trong mạch kín trong trường hợp một phần của mạch
điện chuyển động trong từ trường
BÀI TOÁN 1: KHUNG DÂY SIÊU DẪN CHUYỂN ĐỘNG TRONG TỪ TRƯỜNG
BÀI 1
Một khung dây dẫn hình vng siêu dẫn, có khối lượng m và cạnh a nằm trong mặt phẳng
ngang trong một từ trường không đều, có giá trị cảm ứng từ biến thiên theo quy luật:

 Bx  .x

 By  0

 Bz  .z  B0
( Xem hình vẽ 1 )

Hình 1
Cho độ tự cảm của khung dây là L. Tại thời điểm t = 0 thì tâm của khung dây trùng với
gốc tọa độ, và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ Ox, Oy, dịng điện trong khung
bằng khơng và nó được thả ra khơng vận tốc đầu.

Hỏi khung sẽ chuyển động như thế nào và ở đâu sau thời gian t kể từ lúc thả.
4


LỜI GIẢI
Sử dụng tính chất bảo tồn từ thơng đối với mạch điện siêu dẫn
* Ta đi chứng minh rằng đối với mạch điện siêu dẫn thì từ thơng tổng cộng đi qua diện tích
của mạch được bảo tồn:
Xét một vịng dây siêu dẫn đặt trong từ trường ngồi biến thiên  trong vịng dây có một
dịng điện cảm ứng, dòng điện này lại sinh ra một từ trường riêng. Vậy từ thơng qua diện tích
vịng dây là do hai từ trường tạo ra: từ trường ngoài và từ trường của dòng điện cảm ứng.
Suất điện động cảm ứng trong vòng dây là: ec  

d
(1)
dt

Mặt khác áp dụng ĐL Ơm cho tồn mạch ta có: ec  i.R  0 (2) ( Vì vịng dây siêu dẫn
nên R = 0 ).
Từ (1) và (2) 

d
 0    const
dt

Kết luận: Từ thơng qua diện tích vịng dây siêu dẫn được bảo tồn
* Xét trường hợp của bài tốn: Tại một thời điểm t, từ thơng qua diện tích khung dây được
cho bởi từ thơng của từ trường ngồi và từ thơng do chính dịng điện cảm ứng sinh ra:

  a 2 Bz  Li  const (Các thành phần Bx và By luôn song song với mặt phẳng của

khung dây nên từ thông ứng với các thành phần này bằng không ). Xét tại thời điêm ban đầu z =
2
0 và i = 0. Do vậy ta có   t  0   Bo a

Vậy theo tính chất bảo tồn từ thơng ta có: a 2 B0  a 2.z  Li  a 2 B0 hay:

a 2.z
(3)
a .z  Li  0  i 
L
2

* Sau khi thiết lập được biểu thức của i, ta đi khảo sát chuyển động của khung dây theo
phương pháp động lực học, hoặc theo phương pháp năng lượng:
a) Xét theo phương pháp động lực học
* Các lực tác dụng lên các cạnh của khung: Hãy chú ý đến các thành phần của từ trường

 Bx  .x

 By  0

 Bz  .z  B0

5


Dễ thấy rằng thành phần B z gây ra lực từ tác dụng lên các cạnh của khung dây sẽ cân bằng
nhau. Chỉ có thành phần Bx gây ra các lực từ tác dụng lên các cạnh song song với trục Oy và lực
từ này có phương thẳng đứng, lực tác dụng lên hai cạnh này luôn cùng chiều.
2

Lực từ tổng hợp tác dụng lên khung dây có độ lớn F  2a. x .i  a  .i ( Vì 2 x  a và i

>0)
PT chuyển động của vòng là: mz ''  mg  a 2i (4)

a 4 2 
mgL 
Thế (3) vào (4) ta được: z ''
 z  4 2  0
mL 
a 
Phương trình này chứng tỏ chuyển động của khung là một dao động điều hịa với tần số

a 2
góc  
mL
Nghiệm của pt này có dạng:

z

mgL
 A cos  t   
a 4 2

Tại t = 0 thì z = 0 và i = 0 từ đó ta thu được:   0 và A 

mgL
a 4 2

mgL

a 2
Vậy pt dao động của khung là: z  4 2 cos  t   1 với  
a
mL
b) Xét theo phương pháp năng lượng
Xét thanh dịch chuyển xuống dưới một đoạn dz ( dz < 0 ). Chú ý rằng lực từ tác dụng lên
khung là F  2a. x .i  a 2 .i  

a 4 2 z
 0 hướng lên trên. Ta có độ biến thiên cơ năng của
L

khung bằng công của lực từ tác dụng
 F .dz  mgdz  mvdv , chia hai vế của phương trình trên cho dt ta được:

F  mg  mz ''
a 4 2 z

 mg  mz '' từ đó ta cũng đi tới phương trình vi phân:
L
z ''

a 4 2 
mgL 
 z  4 2  0
mL 
a 

BÀI 2

6


Một khung dây hình chữ nhật siêu dẫn, có các cạnh là a và b, khối lượng m và hệ số tự
cảm L, chuyển động với vận tốc ban đầu v0 trong mặt phẳng của nó hướng dọc theo chiều dài
khung từ vùng khơng có từ trường vào một vùng có từ trường đều B 0 vng góc với mặt phẳng
khung dây. Hãy mô tả chuyển động của khung như là hàm số của thời gian
LỜI GIẢI
Chọn gốc tọa độ tại điểm tiếp xúc giữa vùng có từ trường và vùng khơng có từ trường,
chiều dương hướng theo chiều chuyển động của khung. Chọn gốc thời gian là lúc khung bắt đầu
chuyển động vào vùng có từ trường.
Giả sử b > a  Khung hình chữ nhật sẽ chuyển động dọc theo cạnh b và phương trình
chuyển động của khung là:

m

dv
  B0 aI (1)
dt

( Chú ý rằng ta bỏ qua tác dụng của trọng lực )
Trong đó I là dòng điện trong khung dây. Dòng điện I được cho bởi cơng thức tính suất
điện động trong khung:

L

dI
 B0 av (2)
dt

Chú ý rằng pt ( 2 ) cũng có thể được rút ra từ tính chất bảo tồn từ thơng với khung dây
siêu dẫn. Thật vậy: Từ thông ban đầu qua khung dây bằng không, do vậy tại một thời điểm t, độ
tăng từ thơng do từ trường ngồi gây ra phải bằng độ tăng từ thơng do dịng điện cảm ứng trong
khung gây ra. Nghĩa là: B0 a. vdt   LdI  L
Từ (1) ta rút ra: I 

dI
 B0 av
dt

m dv
.
. Đạo hàm hai vế theo thời gian ta được:
B0 a dt

dI m d 2v

.
. Thế biểu thức này vào pt (2) ta thu được pt vi phân với hàm vận tốc phụ
dt B0 a dt 2
thuộc thời gian:

d 2v  B0 a 

v0
dt 2
mL
2

7

Phương trình này chứng tỏ chuyên động của khung là một dao động điều hịa với tần số
góc  

B0 a
.
mL

Phương trình vận tốc là: v  A cos  t   

v  v0

Giải điều kiện ban đầu: 
ta thu được: A  v0 và   0
dv
I

0


0

dt
 v  v0 cos

B0 a
t
mL
 B0 a 

t dt
mL



Ta có: dx  vdt  v0 cos 

Lấy tích phân hai vế ta được phương trình chuyển động:
x

t

 dx   v

 B at 
cos  0 dt
 mL 

 x  v0

mL
 Ba 
sin  0 t 
B0 a
 mL 

0

0

0

BÀI 3
Một vịng nhẫn mỏng, siêu dẫn được
giữ ở phía trên một thanh nam châm đặt
thẳng đứng như hình vẽ 2. Trục của vòng
dây trùng với trục của thanh nam châm. Từ
trường xung quanh chiếc vịng có tính đối
xứng trụ và được mơ tả bởi hệ thức:

Hình 2

 Bz  B0  1  z 

 Br  B0r

Trong đó B0, ,  là những hằng số; z và r là tọa độ theo phương thăng đứng và phương
bán kính. Ở thời điểm ban đầu khơng có dịng điện trong chiếc vịng. Khi được thả ra nó bắt đầu
di chuyển xuống dưới và trục vẫn thẳng đứng. Từ các dữ kiện bên dưới, hãy xác định xem sau
đó vịng nhẫn chuyển động thế nào. Tính cường độ dịng điện trong chiếc vòng
8


Dữ kiện:
- Đặc điêm của vòng: Khối lượng m  50mg ; bán kính: r0  0,5cm ; độ tự cảm

L  1,3.108 H
- Tọa độ ban đầu của tâm vòng nhẫn  z  0; r  0 

B0  0,01 T 



1
- Các thông số của từ trường:   2 m



  32  m 1 
LỜI GIẢI
Từ thơng tổng cộng qua vịng nhẫn được gây bởi từ trường ngồi và từ trường của dịng
điện cảm ứng

  Bz r02  LI  B0  1  z  r02  LI
Theo tính chất bảo tồn từ thơng đối với vịng dây siêu dẫn ta có:   const
Tại thời điểm ban đầu: z = 0 và I = 0    B0 r02
Từ đó ta rút ra biểu thức của dòng điện: I 

B0 r02
z
L

Ta đi phân tích lực tác dụng và viết phương trình động lực học cho chuyển động của vòng
nhẫn:
Lực tác dụng lên vòng nhẫn bao gồm lực từ và trọng lực, thành phần Bz gây ra lực từ theo
phương nằm ngang nhưng tổng lực từ do thành phần này gây ra ln bằng khơng ở mọi vị trí
của vịng, thành phần Br gây ra lực từ tác dụng theo phương thẳng đứng.
Nếu chọn trục Oz hướng lên thì biểu thức đại số của lực từ là

F   Br I  2r0  (Chú ý rằng I < 0 theo cách ta chọn trục Oz 0. Thay các biểu thức của I

và Br vào ta nhận được:

2 B02 r04 2
F
.z   kz
L
Phương trình động lực học cho chuyển động của vòng:

mg  kz  mz ''
Biến đổi pt này về dạng: z ''




k
mg 
z 
 0
m
k 

Thực hiện phép đổi biến số:  z 

mg  k 
mg 
'' z 
 0
k  m
k 
9

Phương trình vi phân này chứng tỏ chuyển động của vịng là một dao động điều hịa với
tần số góc  

k
m

Phương trình dao động có dạng: z  A cos  t    

mg
k

Từ các điều kiện ban đầu ta xác định được:   0 và A 
Vậy phương trình dao động của vịng là: z 

mg
k

mg
 cos  t  1
k

Nhận xét: Tọa độ z luôn không dương, và lực từ luôn hướng lên, tại điểm cao nhất của quỹ
đạo z = 0 thì lực từ bằng khơng, và dịng điện I chỉ chạy theo một chiều trong vòng nhẫn
Từ những dữ kiện đề cho ta xác định được:   31,2 rad/s và A = 1 cm
Dịng điện trong mạch có biểu thức

B0 r02 mg
I

 cos t  1
L
k
Dòng điện cực đại khi vòng ở vị trí thấp nhất và Imax = 39A
BÀI TỐN 2: KHUNG DÂY CÓ ĐIỆN TRỞ CHUYỂN ĐỘNG TRONG TỪ
TRƯỜNG
BÀI 4
Một lực F không đổi tác dụng vào một thanh kim loại khối lượng m, có thể trượt trên hai
thanh ray, đầu của các thanh ray được nối với điện trở R. Toàn bộ hệ thống đặt nằm ngang,
trong một vùng có từ trường đều, các đường sức hướng thẳng đứng. Thanh được kéo từ trạng
thái nghỉ. Giả thiết rằng thanh trượt không ma sát và bỏ qua hệ số tự cảm của khung, điện trở
của thanh và các thanh ray.
a) Xác định vận tốc của thanh là hàm số của thời gian.
b) Xác định dòng điện chạy qua điện trở R là hàm số của thời gian
LỜI GIẢI
a) Kết quả thanh chuyển động trong vùng có từ trường đều là có một suất điện động cảm
ứng xuất hiện trong thanh ec  Blv trong đó l là chiều dài của thanh và v là vận tốc của nó.
Do vậy một dịng điên chạy trong thanh có độ lớn I 

Blv
. Vì vậy lực từ tác dụng lên thanh có
R

độ lớn F  BIl lực này ngược hướng với hướng chuyển động của thanh
10


Phương trình động lực học cho chuyển động của thanh là

dv

B 2l 2
m F
v
dt
R
Giải pt vi phân bằng phương pháp phân li biến số. Biến đổi thành

mR d  F B 2l 2   F B 2l 2 
v   
v
 
B 2l 2 dt  m mR   m mR 
 F B 2l 2v 
d 
2 2
m mR 

   B l dt
Tương đương:
F B 2l 2 v
mR

m mR
  B 2 l 2t  
FR 
Lấy tích phân hai vế ta được: v  2 2 1  exp 

Bl 
 mR  
b) Dòng điện chạy trong thanh dẫn là I 

Blv
R

  B 2l 2 t  
F 
v  1  exp 

Bl 
 mR  
BÀI 5
Một khung dây thép hình chữ nhật có
kích thước là l và w được thả ra từ trạng
thái nghỉ từ thời điểm t = 0 ở ngay phía trên
có từ trường B0 được cho như hình vẽ 3.
Vịng dây có điện trở R, hệ số tự cảm
L và khối lượng m. Xét khung dây trong
suốt khoảng thời gian mà cạnh trên của
khung ở trong vùng khơng có từ trường.

Hình 3
a) Giả sử rằng độ tự cảm của vịng có thể bỏ qua nhưng điện trở của vịng thì khơng. Tìm
biểu thức của dịng điện và vận tốc của vòng như hàm số của thời gian
b) Giả sử rằng điện trở của vịng có thể bỏ qua nhưng độ tự cảm thì khơng. Tìm biểu thức
của dòng điện và vận tốc của vòng như hàm số của thời gian
LỜI GIẢI

11

Nếu khung dây có điện trở R và độ tự cảm L thì trong khung có hai suất điện động. Suất
điện động sinh ra do cạnh dưới của khung chuyển động cắt các đường sức từ, và suất điện động
tự cảm trong khung do dòng điện biến thiên
Trong trường hợp này ta viết ĐL Ơm cho tồn mạch như sau:

Blv  L
Phương trình động lực học: mg  BIl  m

dI
 IR (1)
dt

dv
(2)
dt

a) Xét trường hợp bỏ qua độ từ cảm của vịng dây cịn điện trở của vịng thì không
thể bỏ qua
Ta viết lại pt (1): Blv  IR  I=

Blv
B 2l 2
dv
thế vào (2) ta được: mg 
vm
R
R
dt

 Rm d 

B 2l 2 
B 2l 2
v  g 
v
Biến đổi PT trên về dạng: 2 2
g 
B l dt 
Rm 
Rm
Giải PT vi phân trên bằng phương pháp phân li biến số ta được:


B 2l 2 
dg 
v
2 2
Rm

   B l dt
B 2l 2
Rm
g
v
Rm
  B 2l 2t  
mgR 
Lấy tích phân hai vế ta được kết quả: v  2 2 1  exp 

Bl 
 Rm  

  B 2l 2t  
Blv mg 

Cường độ dòng điện trong khung cho bởi: I=
1  exp 

R
Bl 
 Rm  
b) Xét trường hợp bỏ qua điện trở của vòng dây còn độ tự cảm của vịng thì khơng
thể bỏ qua
Nếu khung khơng có điện trở thì vế phải của pt (1) bằng không. Do vậy ta thu được:

Blv  L

dI
dt

Đạo hàm hai vế pt (2) ta được:  Bl

dI
d 2v
m 2
dt
dt

d 2 v B 2l 2
Kết hợp hai phương trình trên ta có: 2 
v0
dt

mL
12


PT này cho thấy vận tốc khung biến thiên điều hịa theo thời gian với tần số góc

B 2l 2

mL
Biểu thức của vận tốc có dạng v  A cos  t   
Ta giải điều kiện ban đầu. Tại t = 0 thì I = 0 và v = 0. Vì I = 0 nên từ (2) suy ra

 A

dv
g
dt

g

;  

2

Vậy biểu thức của vận tốc và dòng điện trong khung dây là:

v
I

g



cos  t  

2


Bl g  
   mg  
 
sin

t


1

sin

t




 1
L 2  
2   Bl  
2  

BÀI 6

Một vành trịn kim loại bán kính r và tiết diện ngang S ( S << r2 ) có khối lượng riêng D và
điện trở suất  . Ban đầu vành nằm ngang rơi vào một từ trường có tính đối xứng trục như hình
vẽ 4 ( Trục của vành trùng với trục đối xứng của từ trường ). Tại một thời điểm náo đó vận tốc
của vành là v

Hình 4
a) Hãy tìm biểu thức của dịng điện cảm ứng trong vành
b) Tìm biểu thức của gia tốc a và vận tốc v của vành. Nêu nhận xét về độ lớn của v, giả
thiết độ cao của miền từ trường là đủ lớn
LỜI GIẢI
a) Kí hiệu B là độ lớn của cảm ứng từ của của từ trường tại điểm cách trục đối xứng của tư
trường một khoảng r. Tại mỗi điểm của vành kim loại, cảm ứng từ đề có trị số bằng B. Xét một
13


phầ tử chiều dài ∆l của vành. Tại thời điểm t mà vận tốc của vành là v thì suất điện động xuất
hiện ở ∆l có độ lớn bằng: E  Bvl
Suy ra suất điện động xuất hiện trong toàn bộ vành là: E  E  Bv.2 r
Dòng điện cảm ứng xuất hiện trong vành là:

I

l
2 r
E Bv.2 r

với R    
S
S
R

R
Từ đó ta tìm được I 

BSv


b) Do có dịng điện cảm ứng xuất hiện trong thanh nên phân tử l của thanh sẽ chịu tác
dụng của lực từ F  BI l lực này hướng vng góc với mặt phẳng của thanh lên trên ( Theo
ĐL Len-xơ thì lực từ phải hướng lên trên để chống lại chuyển động rơi của vòng )
Lực điện tổng hợp tác dụng lên thanh có độ lớn:

2 rB 2 Sv
F  F  BI  2 r  

Phương trình động lực học cho chuyển động của thanh:

2 rB 2 Sv
dv
mg 
m
; với m  D.2rS

dt
dv
B2
g
v
Biến đổi pt trên về dạng:
dt
D

Giải pt bằng cách phân li biến số rồi lấy tích phân hai vế và chú ý rằng khi t = 0 thì v = 0 ta
thu được

  B 2t  
D g 
v  2 1  exp 

B 
 D 
  B 2t 
Gia tốc của vòng là: a  g exp 

 D 
Từ các biểu thức của vận tốc và gia tốc ta có nhận xét: vận tốc tăng dần theo thời gian,
trong khi đó gia tốc giảm dần.
Sau một khoảng thời gian đủ dài thì a = 0 nên vịng rơi đều, vận tốc của vịng khi đó là:

v

D g
B2
BÀI 7

14


1) Chứng tỏ rằng khơng thể có từ trường tăng theo trục z, nếu từ trường này chỉ có thành
phần theo z. Xét một ống trụ có chứa các đường cảm ứng từ. Hãy chứng tỏ rằng: Br 

r dB

2 dz

2) Một vịng dây trịn điện trở R bán kính r và khối lượng m rơi vào một vùng có từ trường
khơng đều có các đường sức đối xứng xung quanh trục của hình trụ tâm của vịng trịn nằm trên
trục hình trụ cịn mặt phẳng vịng trịn vng góc với các đường sức từ, cảm ứng từ biến thiên

 dBz
 dz

dọc theo trục z 


 0 .


Viết phương trình biểu thị chuyển động rơi của vòng trong từ trường. Vẽ đồ thị biểu thị sự
biến thiên của vận tốc theo thời gian. Tìm vận tốc cuối của vịng dây
LỜI GIẢI
1)

Hình 5
Nếu cảm ứng từ tăng theo trục z thì mật độ đường sức càng mau hơn khi từ trường mạnh.
Khi đó ngồi thành phần cảm ứng từ theo trục z còn thành phần cảm ứng từ xuyên tâm Br ( như
hình vẽ 5 )
Ta đi chứng minh Br 

r dB
2 dz

Xét mặt trụ có bán kính tiết diện là r, chiều cao

z ( Xem hình 6 )
Từ thơng qua hai đáy bằng

1   r 2  B  z  z   B  z     r 2 dBz
Từ thông qua mặt bên là: 2  2 r.z.Br
Theo định lí Gau-xơ từ thơng qua mặt kín bất kì
15

Hình 6


bằng khơng do vậy ta có:

1  2  0 hay  r 2 .dBz  2 r.z.Br Vậy Br 

r dBz
2 dz

2) Xét vòng dây tại một thời điểm t, khi đó nó đang có vận tốc là v. Chọn chiều dương
hướng lên
Suất điện động gây ra bởi vòng dây là: ec  
Chú ý rằng: v 

d
dB
dB dz
  S z   r 2 z .
dt
dt

dz dt

dz
 0 , khi đi theo chiều âm trục z thì cảm ứng từ giảm. Do vậy ec  0
dt

2
Ta viết lại biểu thức của suất điện động: ec   r v

Cường độ dòng điện trong vòng dây là: I 

dBz
dz

ec  r 2v dBz

0
R
R dt

Phương trình động lực học cho chuyển động của khung

mg  Br I .2 r  m

dv
thay biểu thức của I từ trên xuống ta thu được:
dt
2

dv

 2r 4  dBz 
g

v
dt
mR  dt 
Các pt trên cho thấy ban đầu tốc độ của vòng dây (độ lớn vận tốc) sẽ tăng dần. Cho đến
khi lực từ tác dụng cân bằng với trọng lực thì tốc độ của vật sẽ đạt giá trị lớn nhất. Ta tìm được

vmax 

mgR
2

 dB 
 r  z
 dt 
2 4

Đồ thị v(t) được biểu diễn như hình vẽ 7:

Hình 7

16


BÀI TỐN 3: SUẤT ĐIỆN ĐỘNG TRONG MẠCH ĐIỆN KÍN TRONG TRƯỜNG
HỢP MỘT PHẦN CỦA MẠCH ĐIỆN CHUYỂN ĐỘNG TRONG TỪ TRƯỜNG
BÀI 8
Một từ trường đều có cảm ứng từ B, vng góc với hai thanh ray, với khoảng cách giữa

hai thanh ray là l được đặt nghiêng một góc  so với phương nằm ngang. Một thanh dẫn có
khối lượng m, được đặt nằm trên hai thanh ray, và có thể trượt khơng ma sát trên hai thanh như
hình vẽ.

Hình 8
Thanh sẽ chuyển động như thế nào sau khi được thả ra từ trạng thái nghỉ nếu mạch điện
tạo bởi thanh và các thanh ray được khép kín bởi.
a) Một điện trở R
b) Một tụ điện có điện dung C
c) Một cuộn dây có độ tự cảm L
LỜI GIẢI
Xét thanh đang trượt xuống với vận tốc v và gia tốc a dọc theo mặt phẳng nghiêng, trong
khi đó dịng điện chạy trong mạch là I. Phương trình chuyển động của thanh là:

ma  mg sin   BlI
Phương trình này là giống nhau cho cả ba trường hợp. Kết quả khác nhau là do mối quan
hệ giữa suất điện động và dòng điện trong mạch khác nhau ở mỗi trường hợp.
a) Mạch điện được khép kín bởi một điện trở thuần R. Dòng điện I và suất điện động cảm
ứng ec  Blv tn theo ĐL Ơm cho tồn mạch:

I

Blv
R

Và điều này chỉ ra rằng lực cản tăng dần tỉ lệ thuận với vận tốc. Vậy thanh sẽ chuyển động
với gia tốc giảm dần xuống bằng không, và sau cùng nó chuyển động thẳng đều.
17

Ta dễ tính được: vmax 

mgR sin 
B 2l 2

b) Nếu mạch được khép kín bởi một tụ điện có điện dung C thì quan hệ giữa suất điện
động và dịng điện trong mạch sẽ khác đi.
Điện tích của tụ điện được xác định bởi: Q  CBlv
Chú ý rằng dòng điện chạy trong thanh bằng đạo hàm của điện tích Q

I

dQ
 CBla
dt

Thế PT này vào phương trình chuyển động của thanh ta thu được kết quả thanh chuyển
động với gia tốc không đổi:

a

mg sin 
m  B 2 l 2C

c) Nếu mạch được khép kín bởi một cuộn dây có độ tự cảm L thì quan hệ giữa suất điện
động và dòng điện là:

L

dI

dI
dx
 Blv  L  Bl
dt
dt
dt

(Chọn gốc tọa độ là vị trí ban đầu của thanh và chiều dương hướng xuống dưới)
Tại thời điểm ban đầu thì x = 0 và I = 0
Giản ước dt ở hai vế của pt trên và thực hiện lấy tích phân 2 vế ta được:

LI  Blx
Thế vào pt chuyển động của thanh ta được: ma  mg sin  

B 2l 2
x
L

Phương trình này chứng tỏ thanh dao động điều hịa quanh vị trí cân bằng có tọa độ:

x0 

Bl
mgL sin 


và
tần
số
góc

mL
B 2l 2
Phương trình chuyển động của thanh là

x

mgL sin 
 1  cos t 
B 2l 2

BÀI 9

18


Một đầu của thanh
ray

nằm

ngang

với

khoảng cách giữa hai
thanh là l và các thanh
khơn có điện trở được
nối với một tụ điện có
điện dung C được tích
điện nhờ một nguồn

Hình 9

điện có suất điện động
là E .

Độ tự cảm của toàn bộ hệ thống có thể bỏ qua. Hệ thống được đặt trong một từ trường đều

hướng thẳng đứng, có cảm ứng từ B như hình vẽ. Một thanh dẫn trơn, nhẵn có khối lượng m và
điện trở R được đặt vng góc với các thanh ray. Các bản cực của tụ điện được bố trí sao cho
thanh bị đẩy ra xa từ phía tụ điện khi đóng mạch. Tính vận tốc cực đại của thanh
LỜI GIẢI
Ở thời điểm ban đầu khi tụ được nối vào mạch thì có một dịng điện chạy trong thanh

I0 

E
BlE
chạy trong thanh, thanh chịu tác dụng của một lực F  BIl 
, và một gia tốc ban
R
R

đầu: a 

BlE
mR

Theo ĐL Len-xơ suất điện động cảm ứng xuất hiện trong thanh dẫn chuyển động là
nguyên nhân làm dịng điện trong mạch giảm. Điện tích của tụ điện giảm và do đó hiệu điện thế
giữa hai bản tụ cũng giảm, trong khi đó suất điện động cảm ứng trong thanh tăng lên, cho đến

khi hai suất điện động triệt tiêu nhau. Thanh tiếp tục chuyển động với vận tốc lớn nhất.
Khi đó ta có: Blvmax 

Qmin
(1)
C

Phương trình chuyển động của thanh là:

m

dv
dv
dQ
 BIl  m   Bl
(Vì điện tích của tụ điện giảm )
dt
dt
dt

Giản ước dt hai vế, ta viết lại pt trên như sau: mdv   BldQ
Tốc độ của thanh tăng từ 0 đến giá trị v max trong khi đó điện tích của tụ điện giảm từ

Qmax  C .E đến Qmin . Lấy tích phân hai vế PT trên ta được:
m  vmax  0    Bl  Qmin  Qmax  (2)
19


Giải hệ (1) và (2) ta thu được vmax

BlCE
B 2l 2C 2E

và Qmin 
m  B 2l 2 C
m  B 2l 2 C

BÀI 10
Một vòng bằng kim loại bán kính 10 cm có thể lăn khơng trượt bên trong một vịng trịn
bằng kim loại đồng chất có bán kính 20 cm. Ngay chính giữa quỹ đạo có một trục nhỏ, giữa trục
quay và điểm P của quỹ đạo có mắc điện trở R0  314 .
Quỹ đạo nằm trong một từ trường đều vng góc với mặt phẳng quỹ đạo có cảm ứng từ

B  4.103 T . Giả sử trong mỗi giây vòng kim loại nhỏ lăn được 10 vòng bên trong vòng kim
loại lớn, cả hai vòng đều có điện trở tính theo đơn vị dài là   0,4 / m ngoài ra các điện trở
khác đều khơng đáng kể.

a) Trong mỗi giây vịng kim loại
quay quanh trục của nó bao nhiêu vịng ?
b) Dịng điện qua điện trở R0 có
chiều như thế nào?
c) Khi vịng tiếp xúc với điểm nào
trên quỹ đạo thì dịng điện qua R 0 có giá
trị cực đại, giá trị đó bằng bao nhiêu?
d) Khi vòng tiếp xúc với điểm nào
trên quỹ đạo thì dịng điện qua R 0 có giá
trị cực tiểu, giá trị đó bằng bao nhiêu?
Hình 10
LỜI GIẢI
a) Theo giả thiết trong mỗi giây vòng kim loại nhỏ lăn được 10 vòng xung quanh vòng

kim loại lớn  Trong mỗi giây vòng kim loại nhỏ cũng lăn được 10 vịng quanh trục của nó.
Tốc độ góc trong chuyển động quay xung quanh trục là 20 rad/s
b) Xác định chiều dòng điện qua điện trở R0
Khi vòng kim loại nhỏ lăn trong vịng
kim loại lớn thì trong vịng nhỏ sẽ xuất hiện
hai suất điện động cảm ứng trên hai nửa
vòng tròn giới hạn bởi hai điểm M và O. Hai
suất điện động này tạo thành bộ nguồn song
song. Mạch điện có thể vẽ lại như sau:
Hình 11
Từ hình vẽ 11 ta thấy dòng điện chạy qua điện trở R0 có chiều từ dưới lên trên
20


Ta đi thiết lập biểu thức của dòng điện qua điện trở R0
c) và d)
Hai suất điện động trên hai nửa vịng có độ lớn bằng nhau ec 


S
B
t
t

Ta dễ chứng minh được bán kính OM = r = 20cm cũng quay xung quanh O với tốc độ góc
10 vịng/s.

S là diện tích mà hai nửa cung trịn giới hạn bởi hai điểm tiếp xúc quét được trong thời
gian t


S
B. r 2
B

 16 .104V
Vậy có thể viết: ec 
t
t
0,1
Điện trở trong của bộ nguồn: rb 

 .r.
 0,02   
2.2

Điện trở tổng cộng của vòng dây lớn: R  2 . 2r  .  0,16   
Đặt điện trở của cung MP ( đi theo chiều kim đồng hồ ) là R1
Điện trở của cung MP ( đi ngược chiều kim đồng hồ ) là R2  0,16  R1
Cường độ dòng điện qua điện trở R0 là

I

ec
R  0,16  R1 
R0  rt  1
0,16

Khi R1 = 0 tức là M trùng với P thì dòng điện cực đại: I max  13,3mA
Khi R1  0,08    M trùng với Q thì dịng điện cực tiểu I min  10mA

BÀI 11
Một đĩa tròn bằng đồng có thể quay quanh một trục nằm ngang được đặt vào giữa hai cực
của một nam châm, mép dưới của đĩa nhúng vào một chậu thủy ngân và trục của bánh xe được
mắc vào một nguồn điện một chiều ( Như hình vẽ 12 ). Điện trở tổng cộng của dây dẫn ở mạch
ngoài là R  0,8 đường kính của đĩa là d = 0,5m. Cảm ứng từ B của từ trường gây ra bởi nam
châm có độ lớn B = 1 T và chỉ tồn tại trong vùng không gian giữa trục và mặt thủy ngân.

21


Hình 12
a) Mơ tả hiện tượng xảy ra khi đóng khóa K
b) Bây giờ gắn vào trục của bánh xe một rịng rọc có khối lượng khơng đáng kể, bán kính
của rịng rọc r = 2 cm. Quấn vào rịng rọc một sợi dây dài, không dãn, mảnh đầu sợi dây treo
một vật có khối lượng m = 200g. Tính suất điện động tối thiểu của nguồn điện để vật m được
nâng lên cao.
c) Biết rằng khi suất điện động của nguồn điện có độ lớn 1,5 V thì vật m được nâng lên với
vận tốc khơng đổi. Tính vận tốc góc của đĩa lúc này.
LỜI GIẢI
a) Khi khóa K đóng thì có dịng điện chay qua đĩa. Một nửa đĩa lại đặt trong từ trường gây
bởi nam châm nên phần đĩa đó sẽ chịu tác dụng của lực từ làm đĩa quay
b) Để có thể nâng vật lên thì mo-men lực từ tác dụng vào vành phải lớn hơn mo-men cản
do vật treo gây ra ( Xét tại thời điểm ban đầu vật bắt đầu được nâng lên, do vậy khi đó khơng
xuất hiện suất điện động cảm ứng trong đĩa )

M  mgr ( M là tổng mo-men lực từ tác
dụng vào đĩa )
Để tính mơ-men lực từ ta chia nửa đĩa trịn
thành các phần nhỏ như hình vẽ 13:
Mỗi phần nhỏ đó có dịng điện I chạy qua,

đặt cách trục quay một đoạn x, và có chiều dài
dx.
Mơ-men lực từ tác dụng lên phần nhỏ đĩa
đó là:

dM  B.I .dx. x 
Vậy mô-men lực từ tổng hợp tác dụng lên đĩa là:
22

Hình 13


M   dM 

d /2



BIxdx 

0

BId 2
E
; với I 
8
R

BEd 2
8mgrR

Vậy điều kiện để vật được nâng lên là:
 mgr  E 
 1,26V
8R
Bd 2
c) Muốn nâng vật đi lên đều thì suất điện động bằng 1,5V > 1,26 V là vì khi đĩa quay đều
thì trong đĩa sẽ xuất hiện một suất điện động cảm ứng ngược chiều với suất điện động của
nguồn. Do vậy suất điện động của nguồn phải lớn hơn giá trị tối thiểu khi vật bắt đầu đi lên
Để đĩa chuyển động đều đi lên thì ta phải có:

BId 2
8mgr
(1)
 mgr  I 
8
Bd 2
Dịng điện này mặt khác được tính theo ĐL Ơm cho toàn mạch I 
Từ (1) và (2) suy ra: Ec  E 

8mgrR
 0,476V
Bd 2

Suất điện động cảm ứng Ec 

B d 2
   15,23 rad/s
8

E - Ec

(2)
R

BÀI 12 ( MÁY PHÁT ĐIỆN ĐƠN CỰC FARADAY )
Xét một đĩa siêu dẫn có bán kính r 0 đặt trong một từ trường đều có cảm ứng từ B vng
góc với mặt phẳng của đĩa
Các chổi quét được bố trí ở mép đĩa và ở trục của nó (Xem hình vẽ 14) hệ thống này được
gọi là máy phát điện đơn cực Faraday, khi quay đĩa với tốc độ góc khơng đổi thì nó sẽ cung cấp
một dịng điện một chiều rất lớn và mượt (khơng có gợn ). Một mo-men quay được tạo ra nhờ
một trọng vật có khối lượng M treo trên một sợi dây dài quấn quanh mép đĩa.

23


Hình 14
a) Hãy giải thích làm thế nào và tại sao lại xuất hiện dòng điện. Lập biểu thức định lượng
của dịng điện như một hàm của tốc độ góc
b) Cho rằng sợi dây đủ dài, hệ thống sẽ đạt đến một tốc độ góc khơng đổi  f . Hãy tìm tốc
độ góc và dịng điện khi đó.
LỜI GIẢI
a) Giải thích sự tạo thành suất điện động giữa hai chổi quét.
Trong đĩa có sẵn nhiều electron khi đĩa quay với tốc độ góc  thì các electron cũng bị kéo
theo với tốc độ v   r ( r là khoảng cách từ electron đến trục quay ), vì vậy electron sẽ chịu tác
dụng của lực Lo-ren-xơ. Áp dụng quy tắc bàn tay trái ta thấy các electron sẽ chuyển động về
phía tâm đĩa, và kết quả là tâm đĩa nhiễm điện tích âm, mép đĩa nhiễm điện tích dương, làm xuất
hiện một suất điện động ở tâm đĩa và mép đĩa.
Lực Lo-ren-xơ tác dụng lên một eletron là: F  e Bv  e B r
 Ta có thể coi có một điện trường tương đương tác dụng lực điện trường lên electron
bằng độ lớn của lực Lo-ren-xơ. Cường độ điện trường đó có độ lớn là

E r   B r
Vậy suất điện động tạo thành giữa hai điểm C1 và C2 có độ lớn là:
r0

B r02
E   B rdr 
2
0
24


E B r02
Dịng điện chạy trong mạch có biểu thức: i  
R
2R
b) Tìm tốc độ góc và dịng điện khi chuyển động của hệ ổn định
Xét trong thời gian dt, theo ĐL bảo tồn năng lượng thì độ giảm thế năng của trọng vật M
sẽ bằng độ tăng động năng quay của đĩa và nhiệt lượng Jun – Len-xơ tỏa ra trên điện trở R

1 
Mgr0 dt  d  I  i 2 Rdt
2 
( I là mô-men quán tính của đĩa với trục quay đi qua tâm đĩa )
Chia hai vế cho dt ta có: Mgr0 

1 d 2
I
i R
2 dt

1 d B 2 2r04
Mgr0  I

2 dt
4R
Khi đã đạt đến tốc độ góc ổn định thì

d
 0 vậy ta có:
dt

Mgr0 f 

f 
Và dịng điện chạy trong mạch là i f 

B 2 2f r04
4R

4 RMg
B 2 r03

2 Mg
Br0

BÀI 13
Một đĩa kim loại bán kính r có thể quay khơng ma sát ở bên trong, dọc theo một ống
dây điện, trục của đĩa song song với trục hình học của ống dây. Một đầu của ống dây điện
được nối với mép đĩa và đầu kia nối với trục của ống dây. Cuộn dây có điện trở thuần R
và có n vịng dây trên một đơn vị dài, nó được đặt sao cho trục của nó song song với véc tơ

r

cảm ứng từ B0 của từ trường trái đất

25