chu de tiem can cua do thi ham so on thi tot nghiep thpt mon toan

Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

CHỦ ĐỀ 04: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
LÝ THUYẾT
❖ Đường tiệm cận ngang
▪

Cho hàm số y = f ( x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( a; + ) , ( −; b ) hoặc

( −; + ) ). Đường thẳng

y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị

hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f ( x) = y0 , lim f ( x) = y0 .

x →+

x →−

❖ Đường tiệm cận đứng
▪

Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim f ( x) = + , lim− f ( x) = − , lim+ f ( x) = − , lim− f ( x) = +

x → x0 +

x → x0

x → x0

x → x0

Lưu ý:
▪

Với đồ thị hàm phân thức dạng y =

ax + b
a
c  0; ad − bc  0 ) ln có tiệm cận ngang là y =
(
cx + d
c

d
và tiệm cận đứng x = − .
c

❖ Dấu hiệu nhận biết các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
▪

Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu khơng là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.

▪

Hàm phân thức mà bậc của tử  bậc của mẫu có TCN.

▪

Hàm căn thức dạng: y =

f ( x) − g ( x) , y =

f (x) − g (x) , y = g (x) −

ngang. (dùng liên hợp)
▪

Hàm y = a x , ( 0  a  1) có tiệm cận ngang y = 0 .

▪

Hàm số y = log a x , ( 0  a  1) có tiệm cận đứng x = 0 .

❖ Cách tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
▪

Tiệm cận đứng: ta đi tìm nghiệm của mẫu khơng là nghiệm của tử.

▪

Tiệm cận ngang: tính 2 giới hạn: lim y hoặc lim y
x →+

❖ Một số chú ý trong quá trình tìm tiệm cận.

▪

Nếu x → +  x  0  x 2 = x = x .

▪

Nếu x → −  x  0  x 2 = x = − x .

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

x →−

f ( x ) có tiệm cận


Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số

VÍ DỤ MINH HỌA
VÍ DỤ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = + và lim f ( x ) = 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
x →1+

x →1−

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 .
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 .

A. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận.
Lời giải

Chọn B
Vì lim f ( x ) = + nên đồ thi hàm số có tiệm cận đứng x = 1 .
x →1+

VÍ DỤ 2. Cho hàm số y =
A. 2

2x2 − x
. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:
x2 + 5x + 4
B. 1
C. 3

D. 4

Lời giải
Chọn C
 x = −1
Xét phương trình x2 + 5x + 4 = 0  
, hai nghiệm này đều không là nghiệm của tử số nên
 x = −4
đây là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
2x2 − x
Mặt khác: lim 2
= 2 , nên đường y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x → x + 5 x + 4
Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

VÍ DỤ 3. Cho hàm số y =
A. 3

x+3 −2
. Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận.
x − 3x + 2
B. 1
C. 4
D. 2
2

Lời giải
Chọn D
Ta có:

x+3 −2
x −1
1
=
=
, x  1 .
x − 3 x + 2 ( x − 1)( x − 2 ) x + 3 + 2
( x − 2) x + 3 + 2

(

2

)

(

)

Khi đó ta thấy x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Mặt khác: lim

x →+

( x − 2)(

1
x+3 +2

)

= 0 , nên đồ thị hàm số nhận y = 0 làm tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
VÍ DỤ 4. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f ( x) =
A. y = 2; y = −2 .

B. y = 2; y = − 2 .

1
2 x2 − 5x − 2 x2 − 3x

C. y = 2 .

D. y = 2 .

Lời giải

Chọn B

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

2 x 2 − 5x + 2 x 2 − 3x
5

Tập xác định D = ( −;0 )   ; +  . Ta có lim f ( x) = lim
=− 2
x →+
x →+
−2 x
2


Và lim f ( x) = lim
x →−

x →−

2 x 2 − 5x + 2 x 2 − 3x
= 2.
−2 x

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là đường thẳng y =  2

VÍ DỤ 5. Cho hàm số y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình bên dưới.

Hỏi đồ thị hàm số y = g ( x ) =
A. 3

2x
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
f ( x)

B. 1

C. 4

D. 2

Lời giải
Chọn A
Điều kiện xác định: f ( x)  0 .
Từ đồ thị ta thấy f ( x) = 0 khi x = −4 , x = −1 và x = 2 .
Khi đó f ( x) = a( x + 4)( x + 1)( x − 2) có 3 nghiệm.
Do đó đồ thị hàm số y = g ( x ) có 3 đường tiệm cận đứng.
VÍ DỤ 6. Biết đồ thị hàm số y =
A. −8 .

3 x − 5 + ax + b

( x − 2)

2

khơng có tiệm cận đứng. Khi đó 4a − b bằng:
C. −4 .

B. 10 .
Lời giải

Chọn A
Đồ thị hàm số y =

3 x − 5 + ax + b

( x − 2)

2

khơng có tiệm cận đứng

 f ( x ) = 3x − 5 + ax + b = 0 có nghiệm kép x = 2 .
1 + 2 a + b = 0

3
 f ( 2 ) = 0

a = −



3
2.
+a=0

 f  ( 2 ) = 0

b = 2

 2 2.3 − 5

 3
Vậy 4a − b = 4.  −  − 2 = −8 .
 2

3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

D. 8 .


Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
VÍ DỤ 7. Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =

( x − 1) ( x

2

+ 3x + 3

mx + 2 x − 3
2

)

có đúng 3

đường tiệm cận.
 1 
A. m   − ;0  .
 3 

 1

B. m   − ; + 
 3


 1 
C. m   − ;0  .
 3 

 1 
D. m   − ;0  .
 3 

Lời giải
Chọn A

(

)

Ta có ( x − 1) x 2 + 3x + 3  0  x  1
Trường hợp 1:
Nếu m = 0 thì đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang. Do đó đồ thị hàm số khơng thể có ba

đường tiệm cận.
Trường hợp 2:
Nếu m  0 thì đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y = 0.
Do đó đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận  mx 2 + 2 x − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 thuộc nửa khoảng 1; + )



1
1 + 3m  0
 '  0
m  − 3



1
 1 
 −1
 ( x1 − 1)( x2 − 1)  0    0
 m  0  −  m  0 . Vậy m   − ;0 
3
 3 

m
m  −1
( x1 − 1) + ( x2 − 1)  0
1 + m


 m  0

VÍ DỤ 8. Cho hàm số y =

x −1
có đồ thị ( C ) , gọi d là tiếp tuyến với ( C ) tại điểm có hồnh độ bằng
x+2

m − 2 . Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của ( C ) tại điểm A ( x1 ; y1 ) và cắt tiệm cận ngang của

(C ) tại điểm B ( x ; y ) . Gọi S
2

2

là tập hợp các số m sao cho x2 + y1 = −5 . Tính tổng bình phương các

phần tử của S .
A. 0 .

B. 4 .

C. 10 .

D. 9 .

Lời giải
Chọn C
Ta có y =

3

( x + 2)

2

.

Với x = m − 2  y = 1 −

3

3
: A  m − 2;1 −  ( m  0 ) .
m
m


Phương trình tiếp tuyến d của ( C ) : y =

3
3
x − m + 2) + 1 − .
2 (
m
m

Đồ thị ( C ) có tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = −2 .

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 4

Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023


3
3

6
6
y = 2 ( x − m + 2) + 1 −
y = 1 −
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 
m 
m nên y1 = 1 − .
m
m
 x = −2
 x = −2



3
3
y = 1
y = 2 ( x − m + 2) + 1 −
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: 
nên x2 = 2 m − 2 .
m 

m
x = 2m − 2
y = 1


Suy ra x2 + y1 = 2m −

m = 1
6
.
− 1 = −5  2 m2 + 4 m − 6 = 0  
m
=
−
3
m


Vậy tổng bình phương các phần tử của S là 12 + ( −3 ) = 10 .
2

5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Phan Nhật Linh

DẠNG 1

Câu 1:

Đồ thị hàm số y =
A. 3

Câu 4:

B. 2

D. 1

C. 2

D. 0

x +9 −3
là
x2 + x
C. 0

D. 3

2 x −1 − x2 + x + 3
.
x2 − 5x + 6
C. x = −3 và x = −2 . D. x = −3 .

B. x = 3 .

B. 2

B. 0 .

x + 16 − 4
là
x2 + x
C. 1

D. 0

x+4 −2
là
x2 + x
C. 1 .

D. 2 .

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. 1

Câu 9:

x−2
có mấy tiệm cận.
x2 − 4
B. 1

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. 3 .

Câu 8:

x2 − 5x + 4
.
x2 −1
C. 0

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. 3

Câu 7:

B. 3

4x 1
là
x 1
D. 3.
2

Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = 3 và x = 2 .

Câu 6:

5x2

C. 2.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. 1

Câu 5:

B. 1.

Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. 2

Câu 3:

Cơ bản về tiệm cận của đồ thị hàm số

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y
A. 0.

Câu 2:

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

Cho hàm số y =
A. 4 .

B. 3

x2 + 2 x + 3
x 4 − 3x 2 + 2
B. 5 .

Câu 11: Đồ thị hàm số y =
A. 2 .
Câu 12: Đồ thị hàm số y =

B. 1

x+2
D. 4

C. 2

C. 3 .

C. 3

D. 6 .
x − 2 +1
là
x − 3x + 2
D. 2
2

2 x + x2 − x
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
3x + 1
B. 3 .
C. 0 .

5x + 1 − x + 1
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
x2 − 2 x

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

là?

. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

Câu 10: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. 4

x ( 4x + 6) − 2

D. 1 .


Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
A. 0 .
B. 1 .

C. 2 .

Câu 13: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. 2 .

B. 3 .

x2 + 2 x + 3

Câu 14: Cho hàm số y =

x 4 − 3x 2 + 2
B. 5 .

A. 4 .
Câu 15: Đồ thị hàm số y =
A. 1 .

D. 3 .

x −1
.
4 3x + 1 − 3x − 5
C. 1 .

D. 0 .

. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 3 .

D. 6 .

4 x2 + 2 x −1 + x
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x +1
B. 0 .
C. 2 .

Câu 16: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y =
cận đứng. Số phần tử của S là
A. vô số.
B. 12 .

D. 3 .

x+2
x − 6 x + 2m
2

C. 14 .

D. 13 .

Câu 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số y =
tiệm cận?
A. 14 .
Câu 18: Cho hàm số y =

B. 8 .

C. 15 .

có hai đường tiệm

x −1
có 3 đường
x − 8x + m
2

D. 16 .

x −3
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc

x − 3mx + ( 2m2 + 1) x − m
3

2

đoạn  −2020; 2020 để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận?
A. 4039.

B. 4040.

C. 4038.

D. 4037.

Câu 19: Có bao nhiêu số nguyên của m thuộc đoạn  −100;100 để đồ thị hàm số y =
có đúng hai đường tiệm cân?
A. 200.
B. 2.

C. 199.

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y =
tiệm cận.
A. m = −1
Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) =

B. m  {1; 4}

C. m = 4

1

( x − m)

2x − x2

D. 0.

x2 + m
có đúng hai đường
x 2 − 3x + 2
D. m  { − 1; −4}

x +1
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị có ba đường
x − 2mx + 4
2

tiệm cận
A. m  2

 m  −2

B. 
5
 m  − 2

 m  2

 m  −2

C.  
5

 m  − 2

 m  −2
D. 
 m2

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2


Phan Nhật Linh
Câu 22: Biết rằng đồ thị của hàm số y =

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

( n − 3) x + n − 2017

( m, n là các số thực) nhận trục hoành làm
x+m+3
tiệm cận ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Tính tổng m + n .
A. 0
B. −3
C. 3
D. 6

Câu 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y =
đường tiệm cận?
A. 8

B. 6

x −1
mx 2 − 8 x + 2

có đúng bốn

D. Vơ số

C. 7

Câu 24: Với giá trị nào của hàm số m để đồ thị hàm số y = x − mx 2 − 3x + 7 có tiệm cạn ngang.
A. m = 1

B. m = −1

Câu 25: Cho hàm số y =

C. m = 1

D. Khơng có m

ax + 1
1
. Tìm a, b để đồ thị hàm số có x = 1 là tiệm cận đứng và y = là tiệm
bx − 2
2

cận ngang.

A. a = −1; b = 2 .

B. a = 4; b = 4 .

C. a = 1; b = 2 .

D. a = −1; b = −2 .

Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên m   −10;10 sao cho đồ thị hàm số y =
đường tiệm cận đứng?
A. 19 .

B. 15 .

x −1
có hai
2x + 6x − m − 3
2

D. 18 .

C. 17 .

Câu 27: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm
số y =

mx 2 + 3mx + 4
bằng 3?
x+2

A. 4 .

C. Vô số.

B. 2 .

Câu 28: Tổng các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số y =

D. 3 .

x −1
có đúng một
x + 2 ( m − 1) x + m2 − 2
2

tiệm cận đứng.
A. −

1
.
2

C. −3 .

B. 2 .

Câu 29: Cho hàm số y

x

3

3mx

2

x 3
2m 2

1 x

m

D.

. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn

của tham số m để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận?
A. 12 .
B. 9 .
C. 8 .

B. m  1 .

C. m = 1 và m = 0 .

Câu 31: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn

y

x

2

x2 4x
A. 2019 .

2 x 2 + 3x + m
khơng có tiệm
x−m

D. m  0 .

2017; 2017 để đồ thị hàm số

có hai tiệm cận đứng.

m
B. 2021 .

3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

C. 2018 .

6;6

D. 11 .

Câu 30: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y =
cận đứng.

A. m = 1 .

3
.
2

D. 2020 .


Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
Câu 32: Cho hàm số y f (x ) thỏa mãn lim f (x )

2019m , lim f (x )

x

x

nhiêu giá trị của m để đồ thị của hàm số y
A. 4.

2020m 4 . Hỏi có tất cả bao

f (x ) có duy nhất một tiệm cận ngang?

B. 2.

C. 3.

D. 1.

1
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ
 x − ( 2m + 1) x + 2m  x − m
thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
0  m  1
m  1
0  m  1



A. 
B. 
C. m  1 .
D. 
1 .
1.
1 .
m

m

m




2
2
2

Câu 33: Cho hàm số y =

2

Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y =
1 đường tiệm cận?
A. 0.

6x − 3
có đúng
( mx − 6 x + 3)(9 x2 + 6mx + 1)
2

D. Vơ số.

C. 1.

B. 2.

Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số: y
A. 0

m 1.

B. m

1.

C. m

x

1.

mx 2

1 có tiệm cận ngang.

D. m

1.

x−2
. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có
mx − 2 x + 4
đúng hai đường tiệm cận?
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .

Câu 36: Cho hàm số y =

2

Câu 37: Gọi S là tập các giá trị nguyên của m sao cho đồ thị hàm số y =
tiệm cận. Tính số phần tử của tập S.
A. Vô số
B. 3

C. 5

2019 x
17 x 2 − 1 − m x

có bốn đường

D. 4

Câu 38: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số
x
f ( x) =
nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó tổng các phần
3 4
3
x + mx + 1 − x + x + 1 + m2 x
tử của S bằng
1
1
1
1
A. .
B. − .
C. .
D. − .
2
2
3
3

Câu 39: Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng
đúng ba đường tiệm cận?
A. 12 .
B. 11 .
Câu 40: Cho hàm số y =

10;10 để đồ thị hàm số y

C. 0 .

x ( x m) 1
có
x 2

D. 10 .

1

với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm
x3 − 3x 2 + m − 1
số đã cho có 4 đường thẳng tiệm cận.
A. 1  m  5 .
B. −1  m  2 .
C. m  1 hoặc m  5 . D. m  2 hoặc m  −1
.

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 4


Phan Nhật Linh

Câu 41: Hàm số y =
A.

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
3x + 1 + ax + b

1
.
2

( x − 1)

2

khơng có tiệm cận đứng. Khi đó hiệu a − b bằng:

3
B. − .
4

5
C. − .
4

Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham để m đồ thị hàm số y =
tiệm cận đứng?
A. vô số.

B. 2 .

C. 2017

1
D. − .
2
− x 2 + 2016 x + 2017 − 24 7
có
x−m

D. 2019 .

Câu 43: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số
x
f ( x) =
nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó tổng các phần
x3 + mx + 1 − 3 x 4 + x + 1 + m2 x
tử của S bằng
1
1
1
1
A. .
B. − .
C. .
D. − .
2
2
3
3
Câu 44: Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng

đúng ba đường tiệm cận?
A. 12 .
B. 11 .

10;10 để đồ thị hàm số y

C. 0 .

Câu 45: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số y =
cận.
A. − 1  m  0 .

B. − 1  m  0 .

5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

C. m  −1 .

x ( x m) 1
có
x 2

D. 10 .

mx 2 + 1
có đúng một đường tiệm
x +1
D. m  0 .

Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số

BẢNG ĐÁP ÁN
1.C

2.A

3.C

4.A

5. B

6.C

7.C

8.C

9.A

10.D

11.A

12.C

13.A

14.B

15.C

16.B

17.A

18.D

19.A

20.D

21.C

22.A

23.B

24.A

25.C

26.C

27.B

28.A

29.B

30.C

31.D

32.B

33.A

34.C

35.B

36.D

37.C

38.B

39.A

40.A

41.C

42.C

43.B

44.A

45.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Chọn C
Tiệm cận ngang:

4 1 

4 1
x2  5 − − 2 
5− − 2
5x − 4 x − 1
x x 
x x

Ta có: lim y = lim
= lim
= lim
= 5 nên đồ thị hàm
2
1
1 
x→+
x→+
x→+
x→+
x −1

2
1− 2
x 1 − 2 
x
 x 
số có một tiệm cận ngang y = 5 .
2

Tiệm cận đứng:

x = 1
Cho x 2 = 1  
 x = −1
Ta có: lim y = lim
x→1

x→1

5x2 − 4 x − 1
x2 − 1

( 5x + 1)( x − 1) = lim 5x + 1 = 6 = 3 nên
x→1 ( x + 1)( x − 1)
x→1 x + 1
2

= lim

x = 1 không là tiệm

cận đứng.

lim + y = lim +
x→( −1)

x→( −1)

5x2 − 4 x −1
x2 − 1

 1 5x2 − 4 x −1 
5x2 − 4 x −1
= lim +
= lim + 
.
 = −
x − 1 
x→( −1) ( x + 1)( x − 1) x→( −1) 
 x +1

1

= +
 x→lim
+
x
+
1
−
1

(
)

vì 
.
2
5
x
−
4
x
−
1
 lim
= −4  0
 x→( −1)+
x −1
Khi đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x = −1 .
Tổng cộng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.
Câu 2:

Chọn A
Tập xác định: D =

\ 1

5 4
1− + 2
x2 − 5x + 4
x x = 1  y = 1 là đường tiệm cận ngang.

Ta có: lim y = lim
= lim
x →
x →
x →
1
x2 −1
1− 2
x
Mặc khác:
( x − 1)( x − 4 ) = lim ( x − 4 ) = − 3
x2 − 5x + 4
lim y = lim
= lim
2
x →1 ( x − 1)( x + 1)
x →1 ( x + 1)
x →1
x →1
x −1
2

 x = 1 khơng là đường tiệm cận đứng.
Tư duy tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 6


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
( x − 1)( x − 4 ) = lim ( x − 4 ) = −

x − 5x + 4
lim + y = lim +
= lim+
2
+
x →1 ( x − 1)( x + 1)
x →( −1)
x →( −1)
x →( −1) ( x + 1)
x −1
2

lim − y = lim −

x →( −1)

x →( −1)

( x − 1)( x − 4 ) = lim ( x − 4 ) = +
x2 − 5x + 4
= lim −
2
−
x →( −1) ( x − 1)( x + 1)
x →( −1) ( x + 1)
x −1

 x = −1 là đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận
Câu 3:

Chọn C
Ta có x 2 − 4 = 0  x = 2
 x−2  1
lim  2
 = nên đường thẳng x = 2 không phải là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số.
x →2 x − 4

 4
1
1
 x−2 
 x−2 
lim+  2
= lim+
= + , lim −  2
= lim −
= − , nên đường thẳng x = −2


x→−2  x − 4 
x→−2 x + 2
x→( −2 )  x − 4 
x→( −2 ) x + 2
là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số.
 x−2 
lim  2
 = 0 nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x→ x − 4




Vậy có đồ thị có hai đường tiệm cận.
Câu 4:

Chọn A
Tập xác định của hàm số: D =  −9; + ) \ 0; −1
Ta có: lim + y =

x +9 −3
= + và lim − y = lim −
x →( −1)
x →( −1)
x2 + x

lim +

x →( −1)

x →( −1)

x +9 −3
= − .
x2 + x

 TCĐ: x = −1 .

lim+ y = lim+

1

x +9 −3
x
1
= .
= lim+
= lim+
2
x →0
x +x
( x2 + x ) x + 9 + 3 x→0 ( x + 1) x + 9 + 3 6

lim y = lim−

1
x +9 −3
x
1
= .
= lim−
= lim−
2
2
x
→
0
x
→
0
x +x
( x + 1) x + 9 + 3 6

( x + x) x + 9 + 3

x →0

(

x →0

x → 0−

)

(

x →0

)

(

(

)

)

 x = 0 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Câu 5:

Chọn B

\ 2;3

Tập xác định D =

( 2 x − 1) − ( x 2 + x + 3)
2x −1 − x2 + x + 3
lim
= lim+
x → 2+
x→2
x2 − 5x + 6
( x2 − 5x + 6) 2 x −1 + x2 + x + 3
2

(

= lim+
x→2

= lim+
x→2

( 2 x − 1)

(x

2

2

(

− ( x 2 + x + 3)

− 5x + 6) 2 x − 1 + x2 + x + 3
(3 x + 1)

( x − 3) ( 2 x − 1 +

Tương tự lim−
x →2

x + x+3
2

)

)

)

=−

7
6

2x −1 − x2 + x + 3
7

= − . Suy ra đường thẳng x = 2 không là tiệm cận đứng của
2
x − 5x + 6
6

7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
đồ thị hàm số đã cho.

2 x −1 − x2 + x + 3
2x −1 − x2 + x + 3
lim
= +; lim−
= − . Suy ra đường thẳng x = 3 là tiệm
x →3+
x →3
x2 − 5x + 6
x2 − 5x + 6
cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 6:

Chọn C

Tập xác định hàm số D =  −16; + ) \ −1;0 .
Ta có

x + 16 − 4
x

= lim
= lim
( x + 1) x x→0 x ( x + 1) x + 16 + 4 x→0 ( x + 1)

lim y = lim
x →0

(

x →0

lim + y = lim +

x →( −1)

x →( −1)

(
)

)

x + 16 − 4
= lim
( x + 1) x x→( −1)+ ( x + 1)

)

1

(

x + 16 + 4

(

1

1
= .
x + 16 + 4 8

)

= + .

)

x + 16 + 4 = 15 + 4  0 , lim + ( x + 1) = 0 và x → ( −1) thì x  −1  x + 1  0 .

vì lim +
x →( −1

+

x →( −1)

Tương tự lim − y = lim −
x →( −1)

x →( −1)

( x + 1)

(

1
x + 16 + 4

)

= − .

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = −1 .
Câu 7:

TXĐ: D =  −4; + ) \ −1;0 .
Ta có: lim + y = lim +
x →( −1)

x →( −1)

x+4 −2
= −
x2 + x

Nên đường thẳng x = −1 là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
lim y = lim
x →0

x →0

x+4 −2
= lim
x →0
x2 + x

(

x+4 −2
x ( x + 1)

(

)(

x+4 +2

x+4+2

)

) = lim
x →0

( x + 1) (

1
x+4 +2

)

=

1
4

Nên đường thẳng x = 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng x = −1 .
Câu 8:

Chọn C

lim

x →+

lim

x →−

lim

x →−2

x ( 4x + 6) − 2
x+2
x ( 4x + 6) − 2
x+2

x ( 4x + 6) − 2
x+2

6 2
−
x x =2
2
1+
x

4+
= lim

x →+

6 2
−
x x = −2
2
1+
x

− 4+
= lim

x →−

= lim
x →−2

( x + 2 )( 4 x − 2 )
= lim
( x + 2 ) ( x ( 4 x + 6 ) + 2 ) x→−2



4x − 2
x ( 4x + 6) + 2

=

−5
2

Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang y = 2 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 8


Phan Nhật Linh
Câu 9:

(

)

Điều kiện: x  −; − 2  ( −1;1) 

x →−

)

2; + .

2 3
+
x x 2 = 1  y = 1 là đường tiệm cận
= lim
x 4 − 3x 2 + 2 x → 1 − 3 + 2
x2 x4
1+

x2 + 2 x + 3

Do lim y = lim y = lim
x →+

(

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

x →

ngang của đồ thị hàm số.
Có lim− y = + nên đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng.
x →1

Có lim + y = lim +
x →( −1)

x →( −1)

( x + 1)( x + 2 )
( x + 1) ( x + 2 ) ( x − 1) ( x −

2

)

= lim +
x →( −1)

( x + 1) ( x + 2 )

( x + 2 ) ( x − 1) ( x − 2 )

= 0 nên

đường thẳng x = −1 không là đường tiệm cận đứng.
Có lim + y = + nên đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng.
x →( 2 )
lim − y = + nên đường thẳng x = − 2 là đường tiệm cận đứng.
( )

Có

x→ − 2

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận ( 1 tiệm cận ngang, 3 tiệm cận đứng).
Câu 10: Chọn D

x − 2  0
x  2

x2
Đkxđ:  2
 x − 3x + 2  0  x  2, x  1
 x − 2 +1 
Ta có: lim+  2
 = + nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x →2  x − 3 x + 2 


 x − 2 +1 
lim  2
 = 0 nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →+ x − 3 x + 2 


Câu 11: Chọn A

Xét hàm số y =

2 x + x2 − x
 1
có tập xác định D = ( −;0  1; + ) \ −  .
3x + 1
 3

Ta có

1
3x 2 + x
x
2x + x2 − x
= lim
= ;
=
lim
1
1
1
3x + 1
x →− ( 3 x + 1) 2 x −
x →−
x →− 2 x −
x2 − x 4
x2 − x
3
3
3

(

lim

)

lim−

2x + x2 − x

2x + x2 − x 1
= 0 và lim+
= nên đồ thị không có tiệm cận đứng.
x →1
3x + 1
3x + 1
2

lim

2x + x − x
= lim
1
3x + 1
x →−

x →0

2

x →−

1
1
2 − 1−
x = lim
x =1,
1
1
3x + 1

3
x →−
3+
3
x

2x − x 1−

3

2x + x − x
= lim
1
x →+
3x + 1
x →−
2

và lim

3

1
và y = 1 .
3
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

là y =

1

1
2 + 1−
x = lim
x = 1 nên đồ thị có hai tiệm cận ngang
1
1
3x + 1
x →−
3+
3
x

2x + x 1−


Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
Vậy đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.
Câu 12: Chọn C

Tập xác định của hàm số là D =  −1;0 )  ( 2; + ) . Ta có

lim y = lim

x →0 −

x →0 −

(x

25 x 2 + 9 x

2

(

− 2 x ) 5x + 1 + x + 1

)

25 x + 9

9
=− .
x → 0−
4
( x − 2) 5x + 1 + x + 1

= lim

(

)

lim y = + .

x →2+

5 1
1 1
+ 2− 3+ 4

x x = 0.
lim y = lim x x
x→+
x→+
2
1−
x
Vậy đồ thị của hàm số có hai đường tiệm cận có phương trình x = 2 và y = 0 .
Câu 13: Chọn A

 1

Tập xác định: D =  − ; +  \ 1
 3


+ Ta có: lim+
x →1

(

)

( x − 1) 4 3x + 1 + 3x + 5
x −1
4 3x + 1 + 3x + 5
= lim+
= lim+
= −
2

x
→
1
x
→
1
−9 ( x − 1)
4 3x + 1 − 3x − 5
−9 ( x − 1)

do đó đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
1
1−
1
x −1
1
x
+ lim
= lim
= − do đó đường thẳng y = − là đường
x →+ 4 3 x + 1 − 3 x − 5
x →+
3
3
3 1
5
4
+ 2 −3−
x x
x

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Câu 14: Chọn B

(

)

Tập xác định D = −; − 2  ( −1;1) 

(

)

2; + .

lim − y = lim + y = lim + y = lim− y = + .
x →( −1)
x →(1)
x →( 2 )
( )

x→ − 2

 Các đường tiệm cận đứng của đồ thị là x =  2 , x = 1 .
lim y = lim y = 1  đồ thị có một tiệm cận ngang y = 1 .
x →−

x →+

Câu 15: Chọn C


−1 − 5
 x 
4
4 x 2 + 2 x − 1  0  
4 x2 + 2 x −1 + x
 
Hàm số y =
xác định  
−1 + 5 .
x +1
x +1  0
 x 
4

 x  −1


−1 − 5   −1 + 5
Tập xác định của hàm số đã cho là D = ( −; −1)   −1;

;
+
 .



4   4




lim y = lim

x →−

x →−

4x + 2x −1 + x
= lim
x →−
x +1
2

2 1
− +x
x x2
x +1

x 4+

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

2 1
2 1

− 2 +x
− 4 + − 2 +1
x x
x x
= lim
= lim
= −1 .
x →−
x →−
1
x +1
1+
x
 y = −1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → − .
−x 4 +

lim y = lim

x →+

4x + 2x −1 + x
= lim
x →+
x +1
2

x →+

2 1
− +x

x x2
x +1

x 4+

2 1
2 1
− 2 +x
4 + − 2 +1
x x
x x
= lim
= lim
=3.
x →+
x
→−
1
x +1
1+
x
 y = 3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → + .
x 4+

( x + 1)( 3x − 1)
4 x2 + 2 x −1 + x
4x2 + 2x −1 − x2
= lim
= lim
= −2.

x →−1
x →−1
2
2
x +1
x
+
1
4
x
+
2
x
−
1
−
x
x
+
1
4
x
+
2
x
−
1
−
x
( )

( )

lim y = lim

x →−1

)

(

x →−1

Vậy đồ thị hàm số y =

(

)

4 x2 + 2 x −1 + x
có 2 đường tiệm cận.
x +1

Câu 16: Chọn B
x + 2  0
Điều kiện xác định  2
.
 x − 6 x + 2m  0

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình x 2 − 6 x + 2m = 0 có hai nghiệm
9


  = 9 − 2m  0
m  2
9



m 
phân biệt x1 , x2 lớn hơn −2   x1 + x2  −2
 3  −2

2 .

4 + 12 + 2m  0
m  −8
2
( −2 ) − 6  ( −2 ) + 2m  0


Do đó tập S = −7; −6; −5;...; 4 có 12 giá trị.
Câu 17: Chọn A

x −1
x −1
= lim 2
= 0 nên hàm số có một tiện cận ngang y = 0 .
x →− x − 8 x + m
x →+ x − 8 x + m
Hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi hàm số có hai đường tiệm cận đứng  phương trình
Δ = 16 − m  0

m  16
x 2 − 8 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1  
.

m − 7  0
m  7

Ta có lim

2

Kết hợp với điều kiện m nguyên dương ta có

m  1; 2;3;...;6;8;...;15 . Vậy có 14 giá trị của

m thỏa mãn đề bài.
Câu 18: Chọn D
Ta có lim y = 0, lim y = 0  đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang.
x →+

x →−

Do đó đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có 3 tiệm cận đứng (*) .
Có x3 − 3mx 2 + ( 2m2 + 1) x − m = ( x − m ) ( x 2 − 2mx + 1)
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
x = m
x3 − 3mx 2 + ( 2m2 + 1) x − m = 0   2

 x − 2mx + 1 = 0

( *) 

( 2)

x3 − 3mx 2 + ( 2m 2 + 1) x − m = 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 3 .

 m  3 và ( 2 ) có 2 nghiệm phân biệt khác m và khác 3.

m  3
5

m  3, m 
 2

3
m − 2m.m + 1  0

 2

m 1
3 − 2m.3 + 1  0


  = m 2 − 1  0
  m  −1
 2

Do đó tập tất cả giá trị nguyên của m thỏa ycbt là −2020; −2019;...; −2; 2; 4;5;...; 2020 .

Vậy có 4037 giá trị m thỏa ycbt.
Câu 19: Chọn A
 x  m
Ta có điều kiện xác định là 
, khi đó đồ thị hàm số sẽ khơng có tiệm cận ngang.
 x  ( 0; 2 )

Ta có lim+ y = , lim− y = 
x→0

x →2

Suy ra x = 0, x = 2 là hai đường tiệm cận đứng

m  0
Vậy để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì 
, theo bài m thuộc đoạn  −100;100
m  2
. Vậy có 200 số nguyên của m thỏa mãn đầu bài.
Câu 20:

y=

x2 + m
x2 + m
.
=
x 2 − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2 )

lim y = 1  y = 1 là đường tiệm cận ngang.

x →

x2 + m
Đồ thị hàm số y = 2
có đúng hai đường tiệm cận  đồ thị hàm số có đúng một tiệm
x − 3x + 2
cận đứng  pt x 2 + m = 0 nhận nghiệm x = 1 hoặc x = 2 .
 m = −1
Khi đó: 
.
 m = −4
Với m = −1 có một tiệm cận đứng x = 2 .
Với m = −4 có một tiệm cận đứng x = 1 .
Vậy m  { − 1; −4} .
Câu 21: Chọn C

Để đồ thị có ba đường tiệm cận thì x 2 − 2mx + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt  −1
 m  2

0

 m  −2

 
2
5

( −1) − 2m ( −1) + 4  0
m  − 2 
Câu 22: Chọn A

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
ax + b
Theo cơng thức tìm nhanh tiệm cận của đồ thị hàm số y =
ta có
cx + d
d
Đồ thị hàm số nhận x = − = −m − 3 = 0 làm TCĐ  m = −3
c
a
Đồ thị hàm số nhận y = = n − 3 = 0 làm TCN  n = 3 .
c
Vậy m + n = 0 .

Câu 23: Trường hợp 1: m  0 suy ra tập xác định của hàm số là D = ( x1 ; x2 ) , ( x1 ; x2 là nghiệm của

phương trình mx 2 − 8 x + 2 = 0 ). Do đó m  0 khơng thỏa u cầu của bài toán.
x −1
Trường hợp 2: m = 0 = y =
suy ra tập xác định của hàm số là D = ( −; 4 ) .
−8 x + 2
lim y = −; lim− y = − . Khi đó ta có x = −4 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x →−

x →4

Do đó m = 0 khơng thỏa u cầu của bài tốn
Trường hợp 3: m  0 suy ra tập xác định của hàm số là D = ( −; x1 )  ( x2 ; + ) ( x1 ; x2 là
nghiệm của phương trình mx 2 − 8 x + 2 = 0 ). Do đó đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi
mx 2 − 8 x + 2 = 0
phương
trình
có
hai
nghiệm
phân
biệt
khác

16 − 2m  0
m  8


1  m  0; m   m  0; m   m = 1; 2;3; 4;5;7 . Suy ra có tất cả 6 giá trị nguyên của
m − 8 + 2  0
m  6


tham số m thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Câu 24: Chọn A
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

 Hàm số xác định trên một trong các miền ( −; a ) , ( −; a  , ( a, + ) hoặc  a; + )
m0

Trường hợp 1: m = 0  y = x − −3x + 7, lim y =  đồ thị khơng có tiệm cận ngang
x →

Trường hợp 2: m  0, y = x − mx 2 − 3x + 7

3 7  3
Khi lim y = lim  x − x m − + 2  = đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi m = 1 .
x →+ 
x x  2
x →+

Vậy m = 1
Cách trắc nghiệm:
3
Thay m = 1  y = x − x 2 − 3x + 7  lim x − x 2 − 3x + 7 = đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
x →+
2

)

(

)

(

 lim x − x 2 − 3x + 7 = − khơng có tiệm cận ngang.
x →−

(

)

Thay m = −1  y = x − − x 2 − 3x + 7  lim x − − x 2 − 3x + 7 không xác định.

(

)

x →+

lim x − − x 2 − 3x + 7 không xác định. Vậy m = 1

x →−

Câu 25: Chọn C

+ b = 0  đồ thị hàm số y =
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

ax + 1
khơng có tiệm cận.
−2


Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
+ b  0 , tập xác định của hàm số y =

ax + 1
2

là D = R \   .
bx − 2
b 

1
a+
ax + 1
x =a.
lim y = lim
= lim
x →
x → bx − 2
x →
2 b
b−
x
ax + 1
a
a 1
có tiệm cận ngang là đường thẳng y =  =  b = 2a .
 đồ thị hàm số y =
bx − 2
b
b 2
ax + 1  +
lim+ y = lim+
= .
2
2 bx − 2
 −

x→
x→
b

b

ax + 1
2
2
có tiệm cận đứng là đường thẳng x =  = 1  b = 2  a = 1 .
bx − 2
b
b

 đồ thị hàm số y =
Vậy a = 1; b = 2 .
Câu 26: Chọn C

x −1
có hai đường tiệm cận đứng khi phương trình
2x + 6x − m − 3
15

32 − 2 ( − m − 3)  0
m  −
2

2 x + 6 x − m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1  
2
2

2.1 + 6.1 − m − 3  0
m  5

Ta có đồ thị hàm số y =

Từ

đó

ta

suy

2

ra

tập

các

giá

trị

nguyên

của

m

thỏa

−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0,1, 2,3, 4, 6, 7,8,9,10 . Vậy có 17 giá trị nguyên của m

mãn

là

thỏa mãn.

Câu 27: Chọn B

Đồ thị hàm số y =

mx 2 + 3mx + 4
có nhiều nhất một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
x+2

Điều kiện để đồ thị hàm số y =

mx 2 + 3mx + 4
có 3 tiệm cận là nó có đúng 1 tiệm cận đứng và
x+2

2 tiệm cận ngang.
Xét điều kiện tồn tại lim y và lim y
x →+

x →−

Trường hợp 1: g ( x ) = mx + 3mx + 4  0 với x 
2

m = 0
16

  m  0
0m
9
  = 9m 2 − 16m  0


Trường hợp 2: g ( x ) = mx 2 + 3mx + 4  0 với x  ( −; x1 )  ( x2 ; + ) với x1 ; x2 là nghiệm

m  0
16
m
của g ( x )  
2
9
 = 9m − 16m  0
Vậy m  0 thì tồn tại lim y và lim y
x →+

y = lim
Khi đó: xlim
→+
x →+

x →−

mx 2 + 3mx + 4
= lim
x →+
x+2

3m 4
+ 2
x
x = m
2
1+
x

m+

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

lim y = lim

x →−

x →−

mx + 3mx + 4
= lim
x →−
x+2
2

3m 4
+ 2
x
x =− m
2
1+
x

− m+

Vậy điều kiện để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là m  0
Xét trường hợp x = −2 là nghiệm của tử số  x = −2 là nghiệm của g ( x ) = mx 2 + 3mx + 4

 g ( −2 ) = 0  m = 2
Khi đó y =

2 x2 + 6 x + 4
 lim− y =
x →−2
x+2

2 ( x + 1)( x + 2 )
x+2

 2 ( x + 1) 
= lim−  −
 = −
x →−2
x + 2 


 Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x = −2  m = 2 thỏa mãn
Xét trường hợp x = −2 không là nghiệm của tử số, để x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm

 g ( −2 )  0
số thì 
 g ( −2 )  0  4 − 2 m  0  m  2

 g ( −2 )  0

 đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x = −2 với m  ( 0; 2
mx 2 + 3mx + 4
có 3 tiệm cận là m  ( 0; 2
x+2

Vậy điều kiện để đồ thị hàm số y =

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là m = 1 ; m = 2 .
Câu 28: Chọn A

Đặt f ( x ) = x 2 + 2 ( m − 1) x + m 2 − 2
Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi f ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong
đó có 1 nghiệm x = 1 hoặc f ( x ) = 0 có nghiệm kép


3

 ( m − 1)2 − ( m 2 − 2 )  0
 m  2
m = 1
   0
 



 1 + 2 ( m − 1) + m 2 − 2 = 0
  f (1) = 0   
  m = 1; m = −3   m = −3 .


  = 0

3
3
3

m
=
m =
m =

2
2

2


1
Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là: − .
2
Câu 29: Chọn B
lim y
x

lim y

x

0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y

Do đó, đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình x3
có 3 nghiệm phân biệt x

3.

Xét phương trình x

2

x3

3mx 2

2m 2

3

3mx

1 x

m

15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

2m 2
0

1 x
x

m

m x2

3mx 2

0.

2m 2

1 x

0 ta có
2mx 1

0

x

m

x2

2mx 1

0

.

m

0


Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
Phương trình có ba nghiệm phân biệt x

3 khi và chỉ khi m
m

x2

2mx

1

0 có hai nghiệm phân biệt x

3

3

m2 1
2

3

3 và phương trình

0

2.3.m 1

0

m

3

m

1

m
m

Do m nguyên và m

6;6 nên m

1

.

5
3

6; 5; 4; 3; 2; 2; 4;5;6 .

Vậy có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.
Câu 30: Chọn C

Tập xác định:

\ m .


2 x 2 − 3x + m
2m 2 − 2m 
= lim  2 x + 2m − 3 +
.
x →m
x →m
x−m
x−m 



Có lim

2 x 2 − 3x + m
,
x →m
x−m

Để đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng thì phải tồn tại lim

m = 0
 2m 2 − 2m = 0  
m = 1
Câu 31: Chọn D

x

Để đồ thị hàm số y

2

2

có hai tiệm cận đứng thì phương trình x 2

x 4x m
hai nghiệm phân biệt khác 2
2017 m 4
4 m 0

m
12
12 m 0
m

m

2017; 2016;..;3 \

4x

m

0 có

12 .

Do đó số giá trị nguyên của tham số m thỏa đề bài là: 3 ( 2017) 1 1

2020 giá trị.

Câu 32: Chọn B

Đồ thị hàm số y = f ( x ) có duy nhất một tiệm cận ngang
m = 0
.
 2019m = 2020m  
 m = 3 2019

2020

Vậy có 2 giá trị của m thỏa bài toán
4

Câu 33: Chọn A

Điều kiện x  m.
Ta có lim y = 0  y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →+

x = m
Xét phương trình  x 2 − ( 2m + 1) x + 2m  x − m = 0   2
 x − ( 2m + 1) x + 2m = 0(*)
Để hàm số có 4 đường tiệm cận thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt m  x1  x2 .

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 16


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
1
1


( 2m − 1)2  0
m  2
m  2
1





m 
2
2
 ( x1 − m )( x2 − m )  0   x1 x2 − m ( x1 + x2 ) − m  0  m − m  0  
2 .
 x + x  2m
 2m + 1  2m
1  0
0  m  1


 1 2



Câu 34: Chọn C

Đặt f ( x ) = mx 2 − 6 x + 3 và g ( x ) = 9 x 2 + 6mx + 1 . Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1: m = 0 khi đó ta có y =

6x − 3

đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận

( −6 x + 3) ( 9 x2 + 1)

ngang là đường thẳng y = 0 do đó m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2: m  0

f ( x ) và g ( x ) đều vô nghiệm

và cả hai tam thức

m  3
 ' f  0 9 − 3m  0

 2

 m  .
9m − 9  0 −1  m  1
 'g  0
1
13
1
Trường hợp 3: Tam thức g ( x ) nhận x = làm nghiệm g   = 0  m = −
khi đó f ( x )
2
12
2
ln có 2 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số đã cho có nhiều hơn 1 đường tiệm cận.
Vậy có 1 giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y =

6x − 3
có đúng 1
( mx − 6 x + 3)(9 x2 + 6mx + 1)
2

đường tiệm cận

Câu 35: Chọn B
Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số: y

lim ( x

mx 2

1)

k

lim ( x

mx 2

1)

k

x

sao cho:

x

x

1 có tiệm cận ngang là tồn tại số thực k

mx 2

x

Hiển nhiên nếu m
Nếu m

0 thì giới lim ( x

mx 2

x

1) khơng hữu hạn

0 ta có

mx 2

lim ( x

x

1)

.
x(1 m)

2

lim y

x

lim ( x

x

mx 2

1)

lim

x

x (1 m) 1
x

mx 2

1

lim

x

1

m

1
x
1
x2

Để giới hạn trên hữu hạn khi và chỉ khi m=1.
Câu 36: Chọn D

x−2
= −2  Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
−2 x + 4
x−2
Với m  0 , ta có: lim
= 0  y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2
x → mx − 2 x + 4

Với m = 0 ; ta có hàm số y =

17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận  đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng 
mx 2 − 2 x + 4 = 0 có nghiệm duy nhất hoặc mx 2 − 2 x + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có
một nghiệm x = 2 .
1
mx 2 − 2 x + 4 = 0 có nghiệm duy nhất   = 0  1 − 4m = 0  m = .
4
1


   0
m 
2

mx − 2 x + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = 2 .  
4
 4m = 0
 m = 0

 m = 0 không thỏa mãn điều kiện.
Vậy chỉ có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 37: Chọn C

lim y =

x →−

2019
2019
, lim y =
.
m − 17 x→+
17 − m

Với m  17 thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y =

2019
2019
, y=

.
m − 17
17 − m

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi phương trình
17 x 2 − 1 − m x = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.


m  0
m  0

Ta có: (1)  17 x 2 − 1 = m x  

2
2
2
2 2
17 x − 1 = m x

(17 − m ) x = 1 ( 2 )
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt
m  0
 0  m  17 .
khác 0  
2
17 − m  0

Suy ra S = 0,1, 2,3, 4 .
Câu 38: Chọn B
Ta có: lim f ( x) = lim

x →0

x →0

1
x + mx + 1 − x 4 + x + 1 + m 2 x
x
3

3

.

x3 + mx + 1 − 3 x 4 + x + 1 + m 2 x
x

Mà lim
x →0

 x3 + mx + 1 − 1 3 x 4 + x + 1 − 1 m 2 x 
= lim 
−
+

x →0
x
x
x 




x3 + mx
x4 + x
= lim 
−
+ m2  .
x →0
 x( x 3 + mx + 1 + 1) x( 3 ( x 4 + x + 1) 2 + 3 x 4 + x + 1 + 1)

Đồ thị hàm số f ( x) nhận trục tung làm tiệm cận đứng

 lim(
x →0

( x 2 + m)
( x + mx + 1 + 1)
3

 6m 2 + 3m − 2 = 0 Vậy

( x3 + 1)

−
3

( x + x + 1) + x + x + 1 + 1
4

2

3

4

+ m2 ) = 0 

m 1
− + m2 = 0 .
2 3

1
m1 + m2 = − .
2

Câu 39: Chọn A

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 18


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

Xét g x

x x m

1.

x( x m) 1

x ( x m) 1
1 và lim
x
x
x 2
x 2
đường tiệm cận ngang y 1 và y
1.

1 . Nên đồ thị hàm số ln có hai

Ta có lim

Trường hợp 1: m
.
Vậy m

x

1

x

2

. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x

2

0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trường hợp 2: m

x

0 khi đó hàm số là y

2

Vậy m

2 m

1, m

9 thỏa mãn. Nên có 9 giá trị m .

2 ,. m

2

1

;0

0 nên x

0 . Hàm số g x có tập xác định là D

;m

2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì trước hết x
2, m
1 thỏa mãn

Với m

1 ta có g ( x)

x x 1

m;

.

2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

D . g ( 2)

Trường hợp 3: m
Để x
có m

0 . Hàm số g x có tập xác định là D

1 , g ( 2)

2 1

2

0;

.

D hay m

2 . Nên chỉ

2 là tiệm cận đứng của

0 nên x

đồ thị hàm số.
Với m

2 ta có g ( x)

x x

2

1 , g ( 2)

x x

2

1

1

0 nên x

2 là

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy 12 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu.
Câu 40: Ta có lim y = lim

1

= 0 , lim y = lim

x →−
x3 − 3x 2 + m − 1
y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →+

x →+

x →−

1
x3 − 3x 2 + m − 1

khơng tồn tại. Suy ra

Do đó, để đồ thị hàm số đã cho có 4 đường thẳng tiệm cận thì phương trình x3 − 3 x 2 + m − 1 = 0
có 3 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số g ( x ) = x 3 − 3x 2 + m − 1 . Tập xác định D =

.

x = 0
g  ( x ) = 3x 2 − 6 x ; g  ( x ) = 0  
.
x = 2
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình x3 − 3 x 2 + m − 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi m − 5  0  m − 1  1  m  5 .
Câu 41: Chọn A

Do hàm số khơng có tiệm cận đứng nên f ( x ) = 3x + 1 + ax + b = ( x − 1) g ( x ) .
2

19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số

3

a + b + 2 = 0 a = −
 f (1) = 0
1


4

Suy ra 


 a − b = → đáp án A.
3
2
b = − 5
 f ' (1) = 0 a + 4 = 0

4
n −1
Chú ý: Với f ( x ) = ( x − x0 ) g ( x ) thì ta ln có f ( x0 ) = f ' ( x0 ) = f '' ( x0 ) = ... = f ( ) ( x0 ) = 0 .
n

Câu 42: Chọn C

Biểu thức:

− x 2 + 2016 x + 2017 có nghĩa khi − x 2 + 2016 x + 2017  0  −1  x  2017 .

Đặt f ( x ) = − x 2 + 2016 x + 2017 .
Xét x − m = 0  x = m . Vậy đồ thị nếu có tiệm cận đứng chỉ có thể là x = m , khi đó điều kiện

(1)
−1  x  2017
m   −1; 2017 

là: 
2
 f ( m )  0

 − m + 2016m + 2017  24 7 (*)
m  1
Ta có (*)  m2 − 2016m + 2015  0  
( 2)
m  2015
m
→ có 2019 − 2 = 2017 số nguyên m thỏa mãn bài
Từ (1) , ( 2 )  m   −1; 2017  \ 1; 2015 ⎯⎯⎯

tốn → đáp án C.
Câu 43: Chọn B
Ta có: lim f ( x) = lim
x →0

x →0

1
x3 + mx + 1 − 3 x 4 + x + 1 + m 2 x
x

.

x3 + mx + 1 − 3 x 4 + x + 1 + m 2 x
x

Mà lim
x →0

 x3 + mx + 1 − 1 3 x 4 + x + 1 − 1 m 2 x 
= lim 

−
+

x →0
x
x
x 



x3 + mx
x4 + x
= lim 
−
+ m2  .
x →0
 x( x 3 + mx + 1 + 1) x( 3 ( x 4 + x + 1) 2 + 3 x 4 + x + 1 + 1)

Đồ thị hàm số f ( x) nhận trục tung làm tiệm cận đứng

 lim(
x →0

( x 2 + m)
( x3 + mx + 1 + 1)

( x3 + 1)

−
3

( x 4 + x + 1) 2 + 3 x 4 + x + 1 + 1

+ m2 ) = 0 

m 1
− + m2 = 0 .
2 3

1
m1 + m2 = − .
2

 6m 2 + 3m − 2 = 0 Vậy

Câu 44: Chọn A

Xét g x

x x m

1.

x( x m) 1
x ( x m) 1
1 và lim
x
x 2
x 2
1.

đường tiệm cận ngang y 1 và y

Ta có lim
x

1 . Nên đồ thị hàm số ln có hai

Tư duy tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 20