260 đề HSG toán 6 cấp trường 2018 2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2018-2019
Mơn Tốn 6
Bài 1.

M = 3 − 32 + 33 − 34 + ...... + 32015 − 32016

1) Rút gọn biểu thức sau:
1 1 1
1
1
3
+ 2 + 2 + ..... + 2 +
<
2
2
2 3 4
99 100
4
2) Chứng tỏ rằng:
x
Bài 2. Tìm số tự nhiên biết:
a)1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ..... + ( 2 x − 1) = 225
18
b)2 x.2 x +1.2 x + 2 = 10000...0
14 2 43 : 5
18 chu so 0

Bài 3.
a) Cho

3a + 2bM
17 ( a, b ∈ ¥ ) .

b) Tìm số
Bài 4.

x, y
nguyên biết

Chứng minh
xy + x − y = 4

Cho 20 điểm phân biệt trong đó có

được 1 đường thẳng. Tìm
Bài 5.

a

a

10a + bM
17

điểm thẳng hàng cứ qua 2 điểm ta vẽ

biết số đường thẳng tạo thành là

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho:

a

đường thẳng.

chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho

5 dư 4, a chia cho 7 dư 3.
ĐÁP ÁN
Bài 1.

421


a) M = 3 − 32 + 33 − 34 + ..... + 32015 − 32016
3M = 32 − 33 + 34 − 35 + ..... + 32016 − 32017
⇒ 3M + M = 3 − 32017
4M = 3 − 32017 ⇒ M =

3 − 32017
4

1
1 1
1
1
1
<
; 2<
;.......;
<

2
2
3 2.3 4 3.4
100 99.100
1 1 1
1
1
1 1
1
1
⇒ 2 + 2 + 2 + ..... + 2 +
< +
+
+ ...... +
2
2 3 4
99 100
4 2.3 3.4
99.100
1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
3 1
3
= + − + − + ...... + −
= + −
= −
<

4 2 3 3 4
99 100 4 2 100 4 100 4
1 1 1
1
1
3
⇒ 2 + 2 + 2 + ..... + 2 +
<
2
2 3 4
99 100
4
b)

Bài 2.

x∈¥
2x −1
a) Với mọi
ta có
là số lẻ
A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + .... + ( 2 x − 1)
Đặt
⇒A
2x −1
1
là tổng các số lẻ liện tiếp từ đến
( 2 x − 1 − 1) : 2 = x
Số số hạng của A là:
(số hạng)

2
⇒ A = ( 2 x − 1) + 1 .x : 2 = x
= 225 ⇒ x 2 = 225 = 152 ⇒ x = 15

Mà
18
b)2 x.2 x +1.2 x + 2 = 1000....0
14 2 43 : 5
18 chu so 0

x + x +1+ x + 2

2
= 10 : 518 = 218
⇒ 3 x + 3 = 18 ⇒ x = 5
Bài 3.

18


a)3a + 2bM
17 ⇒ 10 ( 3a + 2b ) M
17 ⇒ ( 30a + 20b ) M
17
⇒ ( 30a + 3b + 17b ) M
17 ⇒ 3 ( 10a + b ) + 17b M
17
Do17bM
17 ⇒ 3 ( 10a + 17 ) M
17 ⇒ 10a + bM

17

3b) xy + x − y = 4 ⇒ x ( y + 1) − ( y + 1) = 3 ⇒ ( x − 1) ( y + 1) = 3 = 1.3. = 3.1 = −1. − 3 = −3. − 1
⇒ ( x; y ) = { ( 2;2 ) ; ( 0; −4 ) ; ( 4;0 ) ; ( −2; −2 ) }

Thử các trường hợp
Bài 4.
Giả sử trong 20 điểm khơng có 3 điểm nào thẳng hàng
A1 , A2 , A3 ,......, A20
20
Gọi
điểm đó là
Vì cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng nên
A1
A2 , A3 ,....., A20
Qua điểm và từng điểm trong 19 điểm còn lại
ta vẽ được 19 đường
thẳng.
A2
A3 , A4 ,....., A20
Qua điểm và từng điểm trong 18 điểm còn lại
ta vẽ được 18
đường thẳng.
………………………………………………
A19
A20
Qua điểm
và điểm
ta vẽ được 1 đường thẳng.
1 + 2 + 3 + .... + 19 + 20 = 190

Do đó số đường thẳng tạo thành là:
(đường thẳng)
a
Với điểm trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng thì ta có số đường thẳng tạo
a.( a − 1)
1 + 2 + 3 + ...... + ( a − 1) =
2
thành là
Với a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng.
Vậy trong 20 điểm mà có a điểm thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi là:
( a − 1) a : 2 − 1 = 190 − 170

( a − 1) a : 2 = 21 ⇒ a ( a − 1) = 42 = 6.7 ⇒ a = 7

Bài 5.
Gọi số phải tìm là

a


⇒ a = 2k + 1; a = 3q + 1; a = 5m + 4; a = 7 r + 3(k , q, m, r ∈ ¥ )
⇒ a + 11 = 2k + 12M2; a + 11 = 3q + 12M
3
a + 11 = 5m + 15M
5; a + 11 = 7 r + 14M
5
⇒ a + 11∈ BC (2;3;5;7)
Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất

⇒ a + 11 = BCNN (2;3;5;7) = 210 ⇒ a = 199