Chủ đề 1. Hàm số lượng giác

sin

tang

CHỦ ĐỀ 1. HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
§0. ƠN TẬP
A. LÝ THUYẾT
T
1. Định nghĩa các giá trị lƣợng giác
OP  cos a
OQ  sin a
AT  tan a
BT '  cot a

B
Q

T'

cotang

M

a

Nhận xét:
 a,  1  cos a  1;  1  sin   1

 tana xác định khi a   k , k  Z ,

O

cosin
p

A

2
 cota xác định khi a  k , k  Z

2. Hệ thức cơ bản:
sin2a + cos2a = 1;
1  tan2 a 

1
2

cos a

3. Cung liên kết:
Cung đối nhau

tana.cota = 1
; 1  cot 2 a 

1
sin2 a

Cung bù nhau

cos(a)  cos a

sin(  a)  sin a

sin(a)   sin a

cos(  a)   cos a

tan(a)   tan a

tan(  a)   tan a

cot(a)   cot a

cot(  a)   cot a

Cung hơn kém p

Cung hơn kém

Cung phụ nhau



sin   a   cos a
2



cos   a   sin a
2




tan   a   cot a
2



cot   a   tan a
2



4. Bảng giá trị lƣợng giác của các góc (cung) đặc biệt
0
0

0

0

30

0

45

0

0

60

90

0

0

120

0

135

0

0

180

270

360

sin

0

1

0

–1

0

cos

1

0

–1

0

1

tan

0

–1

1

cotg

1

0

–1

0

0

0

5. Công thức cộng

6. Công thức nhân đôi:
Hệ quả:
sin2a = 2sina.cosa
cos2a  cos2 a  sin2 a  2 cos2 a  1  1  2sin2 a
tan 2a 

7. Công thức hạ bậc:

2 tan a
1  tan2 a

; cot 2a 

cot 2 a  1
2 cot a

8. Công thức nhân ba:

a
2

9. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan :
2t
a
Đặt: t  tan (a    2k ) thì: sin a 
;
2
1  t2

cos a 

1  t2
1 t

2

;

tan a 

2t
1  t2


10. Cơng thức biến đổi tổng thành tích:
sin(a  b)
cos a.cos b

sin(a  b)
tan a  tan b 
cos a.cos b
sin(a  b)
cot a  cot b 
sin a.sin b
sin(b  a)
cot a  cot b 
sin a.sinb




sin a  cos a  2.sin  a    2.cos  a  
4
4



ab
ab
.cos
2
2
ab
ab
sin a  sin b  2 cos
.sin
2
2

ab
ab
cos a  cos b  2 cos
.cos
2
2
ab
ab
cos a  cos b   2sin
.sin
2
2
sin a  sin b  2sin

tan a  tan b 

 
 
sin a  cos a  2 sin  a     2 cos  a  
 4

4
11. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
 cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b)
2
1

sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) 
2
cos a.cos b 

§1. HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
Vấn đề 1:

TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
y  sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T   1, 1 ; hàm lẻ, chu kỳ T0  2 .
2
a

*

y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 

*

y = sin(f(x)) xác định  f ( x ) xác định.

y  cos x : Tập xác định D = R; Tập giá trị T   1, 1 ; hàm chẵn, chu kỳ T0  2 .
2
* y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 
a

*

y = cos(f(x)) xác định  f ( x ) xác định.




y  tan x : Tập xác định D  R \   k , k  Z  ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0   .
2


* y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 
a

*

y = tan(f(x)) xác định  f ( x ) 


2

 k (k  Z )

y  cot x : Tập xác định D  R \ k , k  Z  ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0   .




*

y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 

*

y = cot(f(x)) xác định  f ( x )  k (k  Z ) .

a

* y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2
Thì hàm số y  f1( x )  f2 ( x ) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
B. BÀI TẬP
1. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:
 2x 

 x 1 

a/ y  sin 

b/ y  sin x

c/ y  2  sin x

d/ y  1  cos2 x



e/ y  tan  x  
6



f/ y  cot  x  
3






2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:


a/ y = 2sin  x    1
b/ y  2 cos x  1  3


4

d/ y  4sin2 x  4sin x  3
e/ y  cos2 x  2sin x  2
3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:
a/ y = sin2x
b/ y = 2sinx + 3
d/ y = tanx + cotx
e/ y = sin4x
4. Tìm chu kỳ của hàm số:
b/ y  cos

a/ y  sin 2 x
d/ y  sin 2 x  cos

x
2

e/ y  tan x  cot 3x
h/ y  cos2 4 x

g/ y  2sin x . cos3x
ĐS:

a/  .

b/ 6  .

x
3

c/  .

d/ 4  . e/  . f/ 70  .

c/ y  sin x
f/ y  sin4 x  2 cos2 x  1
c/ y = sinx + cosx
f/ y = sinx.cosx
c/ y  sin2 x
f/ y  cos

3x
2x
 sin
5
7

i/ y = tan(3x + 1)



g/  . h/ . i/
4

3

Vấn đề 2. Đồ thị hàm số lƣợng giác
1/
–
–
–
–

Vẽ đồ thị hàm số lƣợng giác:
Tìm tập xác định D.
Tìm chu kỳ T0 của hàm số.
Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần).
Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn:
x   0, T0  hoặc

–
–

 T T 
x   0 , 0  .
 2 2

Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.
Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ v  k .T0 .i về bên trái

và phải song song với trục hoành Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox).
2/ Một số phép biến đổi đồ thị:
a/ Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ
thị y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục
hồnh a đơn vị nếu a < 0.


b/ Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x)
qua trục hoành.
c/ Đồ thị y  f ( x )   f ( x ), neáu f(x)  0 được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ
-f(x), neáu f(x) < 0
nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hồnh và lấy đối xứng phần đồ thị y =
f(x) nằm ở phía dưới trục hồnh qua trục hồnh.
Ví dụ 1: đồ thị hàm số y = f(x) = sinx.
– Tập xác định: D = R.
– Tập giá trị:  1, 1 .
–
–

y

Chu kỳ: T = 2p.
Bảng biến thiên trên đoạn  0, 2 
x

y = sinx

1

0

p

x

2p

–1

0

0

1

y

0
0

– Tịnh tiến theo véctơ v  2k .i ta được đồ thị y = sinx.
–1
Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
 


– Hàm số đồng biến trên khoảng  0,  và nghịch biến trên  ,   .
2



y

Ví dụ 2: đồ thị hàm số y = f(x) = cosx.
– Tập xác định: D = R.
– Tập giá trị:  1, 1 .
–
–

y = cosx

0

p

x

2p

–1

0
1

y



1

Chu kỳ: T = 2p.
Bảng biến thiên trên đoạn  0, 2  :
x

2

1
0

0

2k .i ta được đồ thị y = cosx.
– Tịnh tiến theo véctơ v  –1
Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
 
 3 
– Hàm số nghịch biến trên khoảng  0,  và nghịch biến trên khoảng   ,
.
2
2








§2. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. LÝ THUYẾT
1.
Phƣơng trình sinx = sina
a/ sin x  sin    x    k 2
(k  Z )
 x      k 2
sin x  a. Điều kiện :  1  a  1.
 x  arcsin a  k 2
sin x  a  
(k  Z )
 x    arcsin a  k 2
c/ sin u   sin v  sin u  sin(v)


d/ sin u  cos v  sin u  sin   v 
2



e/ sin u   cos v  sin u  sin  v  

2

b/

Các trƣờng hợp đặc biệt:
sin x  0  x  k (k  Z )



sin x  1  x   k 2 (k  Z ) ; sin x   1  x    k 2 (k  Z )
2

2

sin x   1  sin2 x  1  cos2 x  0  cos x  0  x 


2

 k (k  Z )

2. Phƣơng trình cosx = cosa
a/ cos x  cos  x     k 2 (k  Z )
cos x  a. Điều kieän :  1  a  1.
cos x  a  x   arccos a  k 2 (k  Z )
c/ cos u   cos v  cos u  cos(  v)


d/ cos u  sin v  cos u  cos   v 
2



e/ cos u   sin v  cos u  cos   v 
2


b/

Các trƣờng hợp đặc biệt:

cos x  0  x 

 k (k  Z )
2
cos x  1  x  k 2 (k  Z )

cos x   1  x    k 2 (k  Z )

cos x   1  cos2 x  1  sin2 x  0  sin x  0  x  k (k  Z )

3. Phƣơng trình tanx = tana
a/ tan x  tan   x    k (k  Z )
b/ tan x  a  x  arctan a  k (k  Z )
c/ tan u   tan v  tan u  tan(v)


d/ tan u  cot v  tan u  tan   v 
2



e/ tan u   cot v  tan u  tan   v 
2



Các trƣờng hợp đặc biệt:

tan x   1  x  

tan x  0  x  k (k  Z )

4. Phƣơng trình cotx = cota
cot x  cot   x    k (k  Z )
cot x  a  x  arccot a  k (k  Z )
Các trƣờng hợp đặc biệt:

cot x  0  x   k (k  Z )

cot x   1  x  

2



 k (k  Z )

4


4

 k (k  Z )

5. Một số điều cần chú ý:
a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa
căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.


* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x   k (k  Z ).
2

*

Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x  k (k  Z )

*

Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x  k

*

Phương trình có mẫu số:

sin x  0  x  k (k  Z )


cos x  0  x   k (k Z )



(k  Z )

2

2



tan x  0  x  k



cot x  0  x  k



(k  Z )

2


2

(k  Z )

b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các
cách sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vơ định.
B. BÀI TẬP
1. Giải các phương trình:







1) cos  2 x    0
2) cos  4 x    1
3) cos   x   1
6



4) sin  3 x    0
3


7) sin  3x  1 

1
2

3

x 
5) sin     1
2 4





8) cos x  150 

5




6) sin   2 x   1
6


2
2



1
 2x   
11) tan  2 x  1  3
2
6


10) cos 



13) tan  3 x    1
6







14) cot  2 x    1
3




x 
3
9) sin     
2
2 3





12) cot 3x  100 

3
3

15) cos(2x + 250) = 

§3. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP

2
2


A. LÝ THUYẾT

3.1. Phƣơng trình đƣa về phƣơng trình bậc hai.
Dạng

Đặt

Điều kiện

t = sinx
t = cosx

t = tanx
t = cotx

Nếu đặt: t  sin2 x hoaëc t  sin x thì điều kiện : 0  t  1.
B. BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau:
1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0
2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0
3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x
4) tan2 x  1  3  tan x  3  0
5) 4sin2 x  2  3  1 sin x  3  0
7) tan2x + cot2x = 2
2. Giải các phương trình sau:
1) 4sin23x + 2  3  1 cos3 x  3 = 4

3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13
5)
7)

3

+ tan2x = 9
cos x
1
2

sin x

2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
4)

1
2

cos x

  3  3  tan x  3  3  0

6) 9 – 13cosx +

= cotx + 3

9) cos2x – 3cosx = 4 cos2

6) 4 cos3 x  3 2 sin 2 x  8cos x
8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0

8)
x
2

1
2

cos x

4
1  tan2 x

=0

+ 3cot2x = 5

10) 2cos2x + tanx =

4
5

§3. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP(Tiếp)


A. LÝ THUYẾT
3.2. Phƣơng trình a sin x  b cos x  c.
Cách 1:




a2  b2 ta được:
a
b

sin x 
cos x 
(1) 
a2  b2
a2  b2
a
b
, cos  
  0, 2 
2
2
2
2
a b
a b

Chia hai vế phương trình cho

Đặt: sin  

phương trình trở thành:

sin  .sin x  cos  .cos x 
 cos( x   ) 



c
2

a b

2

c
a2  b2

c
a2  b2
 cos  (2)

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
c
a2  b2
(2)  x      k 2 (k  Z )

 1  a2  b2  c 2 .


Cách 2:

x 
  k có là nghiệm hay không?
2 2
x
b/ Xét x    k 2  cos  0.
2
x
2t
1  t2

Đặt: t  tan , thay sin x 
, cos x 
, ta được phương trình bậc hai theo t:
2
1  t2
1  t2

a/ Xét x    k 2 

(b  c)t 2  2at  c  b  0 (3)

Vì x    k 2  b  c  0, nên (3) có nghiệm khi:
 '  a2  (c2  b2 )  0  a2  b2  c2 .

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan

x
 t0 .
2

Ghi chú:
1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
a2  b2  c2 .

3/ Bất đẳng thức B.C.S:
y  a.sin x  b.cos x  a2  b2 . sin2 x  cos2 x  a2  b2
 min y   a2  b2 vaø max y  a2  b2 

B. BÀI TẬP

1. Giải các phương trình sau:

sin x cos x
a

 tan x 
a
b
b


2) sin x  cos x 

1) cos x  3 sin x  2

4) sin x  cos x  2 sin 5x
5)


6) 3 sin 2 x  sin   2 x   1
2



6
2

3) 3 cos3x  sin3x  2

3  1 sin x   3  1 cos x  3  1  0



2. Giải các phương trình sau:
2) sin 8 x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos8 x 

1) 2sin2 x  3 sin 2 x  3
3) 8cos x 

3
1

sin x cos x



 x
3


4) cosx – 3 sin x  2 cos 

5) sin5x + cos5x = 2 cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
3. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx – 2cosx = 2
2) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0
3) cosx + 4sinx = –1
4) 2sinx – 5cosx = 5
§3. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP (tiếp)
A. LÝ THUYẾT

3.2. Phƣơng trình a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d .
Cách 1:
 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay khơng?

Lưu y: cosx = 0  x   k  sin2 x  1  sin x   1.
2



Khi cos x  0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x  0 ta được:
a.tan2 x  b.tan x  c  d (1  tan2 x)



Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
(a  d )t 2  b.t  c  d  0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1  cos2 x
sin 2 x
1  cos2 x
 b.
 c.
 d
2
2
2
 b.sin 2 x  (c  a).cos2 x  2d  a  c (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x

(1)  a.

và
B. BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau:

cos2x)

1) 2sin2 x  1  3  sin x.cos x  1  3  cos2 x  1
2) 3sin2 x  8sin x.cos x   8 3  9  cos2 x  0
3) 4sin2 x  3 3 sin x.cos x  2 cos2 x  4
4) sin2 x  sin 2 x  2 cos2 x 

1
2

5) 2sin2 x  3  3  sin x.cos x   3  1 cos2 x  1
6) 5sin2 x  2 3 sin x.cos x  3cos2 x  2
7) 3sin2 x  8sin x.cos x  4 cos2 x  0



9) 
8)

2  1  sin2 x  sin 2 x   2  1 cos2 x  2

3  1 sin2 x  2 3 sin x.cos x   3  1 cos2 x  0

10) 3cos4 x  4sin2 x cos2 x  sin4 x  0
11) cos2x + 3sin2x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0

12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0
2. Giải các phương trình sau:
1) sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 0 2) 3 sin x.cos x  sin2 x 

2 1
2

3. Tìm m để phương trình : (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 1 có nghiệm.
§3. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP (tiếp)
A. LÝ THUYẾT
3.3. Phƣơng trình khác
Dạng 1: a.(sinx  cosx) + b.sinx.cosx + c = 0


 Đặt: t  cos x  sin x  2.cos  x
 ; t  2.
4





1
 t 2  1  2sin x.cos x  sin x.cos x   (t 2  1).
2

Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương
trình này tìm t thỏa t  2. Suy ra x.
Lưu ý dấu:





 cos x  sin x  2 cos  x    2 sin  x  



4

4




cos x  sin x  2 cos  x     2 sin  x  

4

4

Dạng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c = 0


 Đặt: t  cos x  sin x  2. cos  x
 ; Ñk : 0  t  2.


4

1

 sin x.cos x   (t 2  1).
2

 Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
B. BÀI TẬP
1. Giải các phương trình:
1) 2sin 2 x  3 3  sin x  cos x   8  0 2) 2  sin x  cos x   3sin 2 x  2
3) 3  sin x  cos x   2sin 2 x  3

4) 1  2  1  sin x  cos x   sin 2 x

3) 1  2  1  sin x  cos x   sin 2 x

4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0

5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6) 1  2   sin x  cos x   sin 2 x  1  2
2. Giải các phương trình:
1) sin 2 x  4  cos x  sin x   4
2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0


3. Giải các phương trình sau:
3
2

1) sin2x = sin23x

2) sin2x + sin22x + sin23x =

3) cos2x + cos22x + cos23x = 1

4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =

4. Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1

2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx

3
2