phuong phap giai bai tap ve ham so do thi ham so chon loc

HÀM SỐ - ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
A. Phương pháp giải
1. Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta
luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x
gọi là biến số.
2. Khi y là hàm số của x ta có thể viết y

f x ,y

g x ...

Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của biến số.
Hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng cơng thức, bằng sơ đồ mũi tên, bằng đồ thị.
Khi x thay đổi mà y ln nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng.
3. Mặt phẳng tọa độ Oxy được xác định bởi hai trục số vng góc với nhau: trục hoành
Ox và trục tung Oy; giao điểm hai trục O là gốc tọa độ.
Trên mặt phẳng tọa độ, mỗi điểm M xác định một cặp số x 0 ; y0 ; ngược lại mỗi cặp
số x 0 ; y0 xác định một điểm M. Cặp số x 0 ; y0 gọi là tọa độ của điểm M; x 0 là
hoành độ, y 0 là tung độ của điểm M. Ta viết M x 0 ; y0 .
4. Đồ thị của hàm số y

f x là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương

ứng x; y trên mặt phẳng tọa độ. x; y
5. Đồ thị của hàm số y
6. Đồ thị hàm số y

ax a

a
a;x

x

0 là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

0 là hai nhánh (hai đường cong), một nhánh nằm ở góc

phần tư thứ I và một nhánh nằm ở góc phần tư thứ III khi a

0 và một nhánh nằm ở

góc phần tư thứ II và một nhánh nằm ở góc phần tư thứ IV khi a

0.

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho các cặp số sau:
2; 3 ;

1,5; 4 ; 1,2;5 ;

5 2
1
;8 ; 18; ;
7 5
3

3; 2 .

a) Lập bảng giá trị các cặp số.
b) Vẽ sơ đồ mũi tên.

c) Giải thích tại sao bảng vừa lập xác định y là một hàm số của x?
d) Hàm số đó có thể được cho bởi cơng thức nào?
Trang 1


 Tìm cách giải: Ta cần kiểm tra xem mỗi giá trị của đại lượng x có được tương ứng
với một và chỉ một giá trị của đại lương y. Từ quan hệ của x và y viết công thức của
hàm số.
Giải
a) Bảng giá trị các cặp số:
x

-2

-1,5

1,2

y

-3

-4

5

5
7

18

-3

2
5

1
3

-2

8

b) Sơ đồ mũi tên:

c) Trong bảng trên ta thấy mỗi giá trị của x đều được tương ứn xy

f x

g với một

và chỉ một giá trị của y là hàm số của x (việc lập bảng và sơ đồ mũi tên cũng đã chứng
tỏ điều ấy).
d) Hàm số có thể được cho bởi cơng thức y
x

6
với
x

5
2; 1,5;1,2; ;18; 3
7

Ví dụ 2: Cho hàm số được xác định bởi công thức f x
a) Tính f 3 ;f

3 ;f

b) Tìm x để f x
c) Chứng tỏ với x

5x 2

6

1
;
3

74;f x

R thì f x

1;
f

x .
Trang 2

 Tìm cách giải: Để tính f a ta thay x
tìm x biết f x

a vào cơng thức, từ đó tìm được giá trị. Để

m và từ đó tìm được x. Ta thay vai trò của x là và so

m ta thay y

sánh kết quả để kết luận.
Giải
5.32

a) f 3
f

1
3

1
3

2

c) Với

3

5.

5
9

6

74 nghĩa là

5x 2

6

1 nghĩa là

f x

39;f
6

5.

b) f x

6

5x 2

x thì f

6

x

5.

x

2

6

74

2

5x 2
x2

5

5x 2

6

Ví dụ 3: Một hàm số được xác định như sau: y
a) Đặt y

f x . Tính f 5 ;f

39

4
5 .
9

5x 2

1

3

x2

80
1

6

16

x

x

4.

1.

f x .

x

5
x

nÕu x

0

nÕu x

0

5

8 ;f 0 ;

b) Hãy viết gọn cơng thức trên.
 Tìm cách giải:
a) Thay x

5;x

8 và x

0 vào f x để ý rằng 5

b) Lưu ý định nghĩa về giá trị tuyệt đối x

x

0; 8

nÕu x

0

x nÕu x

0

0.
.

Giải
a) f 5
f
f 0

5 5

8

0 (vì 5

8
0 5

0)

3 (vì

5

8

0)

5.

b) Cơng thức trên được viết gọn là y
x

x

nÕu x

0

x nÕu x

0

f x

x

5 vì theo định nghĩa

.

Ví dụ 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Trang 3


a) y

5x

3;

b) y

2
4x 9

;

d) y

2x
;
x 9

f) y

3x
.
x2 2

5

c) y

4x

2

9

2

e) y

x

3x 12

x

5

;

x
x

1

;

 Tìm cách giải: Để tìm tập xác định của các hàm số được cho bằng công thức, ta chỉ
cần tìm tất cả các giá trị của biến làm cho cơng thức có nghĩa.
Giải
a) Tập xác định của hàm số y
b)

2
4x 9

x
x

1

c)
y

d)

5
4x

2

9

4x 2

9

9

là tập hợp số thực khác

x

là tập hợp số thực khác

1

0

x

3x 12

x

5

3
và khác
2

9

0

3
: x
2

x

9

khơng có nghĩa khi 3x 12

. Vậy tập xác định của hàm số y

5: x R x

4;x

1

9
và khác
4

3
. Vậy tập xác định của hàm số
2

x

2
3x 12

5

3
2

9 . Vậy tập xác định của

9: x R x

0
x

x

Rx

x

2x
là tập hợp số thực khác 9 và khác
x 9

2

2

x

9

và x
4

0 tức là x

1

1

2x
khơng có nghĩa khi x
x 9

f) x 2

0 và x

9

2
4x 9

khơng có nghĩa khi 4x 2

5

hàm số y
e)

9

;x
4

Rx

3 là R;

khơng có nghĩa khi 4x

. Vậy tập xác định của hàm số y

1: x

5x

x

4 và x

9
5

0

x

5

là tập hợp số thực khác 4 và khác

5

0 với mọi x nên tập xác định của hàm số y

3x
là R.
x
2
2

Trang 4


Ví dụ 5: Cho hàm số y

m3

2m3

2 .3

2 x

2m3

5 . Tìm m nếu f 3

51 .

3 vào được

 Tìm cách giải: Thay x
f x

m3

f x

51 . Giải ra tìm được m.

5

Giải
m3

Ta có f 3
5m3

m3

40

2m3

2 .3

8

5

m

5m3

51

6 5

51

2.

Ví dụ 6: Cho các điểm A 0;6 ;B 5;6 ;C 5;0 ;D 2;2 ;M

4;0 ; N 0;2 . Tìm diện

tích hình tam giác AMN và hình tứ giác ABCD.
 Tìm cách giải: Biểu diễn các điểm A,B,C,D,M, N trên mặt phẳng tọa độ nối lại
được

AMN và tứ giác ABCD.

Mỗi đơn vị trên trục tọa độ là một đơn vị độ dài. Tam giác AMN có độ dài đáy AN là
8 (đvđd), chiều cao MO là 4 (đvđd).
Ta có ABCO là hình chữ nhật. Để tính được diện tích tứ giác ABCD từ D ta hạ các
đường vng góc DK và DH xuống hai trục tọa độ Ox và Oy tạo thành hình vng
OHDK và các tam giác vng AHD và DKC.
Giải
Ta có tam giác AMN có độ dài đáy AN là 8 (đvđd), chiều
cao MO là 4 (đvđd). Nên:

SAMN

1
AN.MO
2

1
.8.4 16 (đvdt)
2

Từ D ta hạ các đường vng góc DK và DH xuống hai
trục tọa độ Ox và Oy.
Ta có: OA

6 (đvđd)

OC

5 (đvđd); HA

HD

DK

Ta có: SABCD

SABCD

OK

OH

SAOCB

AO.OC

4 (đvđd); CK

3 (đvđd)

2 (đvđd).
SAHD

1
AH.HD
2

SDKC

SOHDK

1
DK.KC OH.OK
2

6.5 0,5.4.2 0,5.3.2 2.2 19 (đvdt).
Trang 5

 Chú ý: Ta có thể tìm SABCD bằng cách khác: Nối O với D ta có:
SABCD

SAOCB

SDOC .

SAOD

Bạn đọc tự giải.
Ví dụ 7: Cho hàm số y

2x

a) Viết 5 cặp số x; y với x

2; 1;0;1;2 .

b) Biểu diễn các cặp số đó trên mặt phẳng tọa độ.
c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm

2;4 và gốc tọa độ O. Kiểm tra bằng thước xem các

điểm cịn lại có nằm trên đường thẳng đó khơng.
 Tìm cách giải: Để xác định cặp số ta thay giá trị của x vào công thức, sau đó tính giá
2;4 trên mặt phẳng tọa độ thì từ điểm -2 trên trục hồnh ta

trị của y. Khi biểu diễn

vẽ một đường thẳng vng góc với trục hoành; từ điểm 4 trên trục tung ta vẽ một đường

thẳng vng góc với trục tung; giao điểm của hai đường vng góc trên là điểm cần
biểu diễn.
Giải
a)

Năm

cặp

số

cần

xác

định

là

2;4 ;

1;2 ;

0;0 ; 1; 2 ; 2; 4 .

b) Biểu diễn các cặp số đó trên mặt phẳng tọa

độ

như hình bên.

c) Các điểm còn lại đều thuộc đường thẳng d
hai điểm

đi qua

2;4 và gốc tọa độ O.

Ví dụ 8: Đồ thị hàm số y

ax đi qua điểm A

4; 2 .

a) Xác định hệ số a và vẽ đồ thị của hàm số đó;
b) Cho B
biết

2;4 và C 2;1 . Khơng cần biểu diễn B, C trên mặt phẳng tọa độ hãy cho

trong

các

bộ

ba

điểm

sau,

ba

điểm

nào

thẳng

hàng:

A,B,C ; A,O,B ; A,O,C ; B;O;C ;

c) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số y

2x .
Trang 6


 Tìm cách giải: Thay tọa độ điểm A vào y
y

ax ta sẽ tìm được a. Đồ thị hàm số

ax là một đường thẳng qua gốc tọa độ nên chỉ cần xác định 2 điểm của đường

thẳng.
Thông thường để vẽ đồ thị hàm số y

ax chỉ cần xác định 1 điểm rồi vẽ đường thẳng

qua điểm đó và gốc tọa độ.
Một điểm thuộc đồ thị hàm số khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hàm số đã cho.
Giải
a) Đồ thị hàm số y
hàm số, tức là a.

ax đi qua điểm A
2 suy ra a

4

Để vẽ đồ thị hàm số, ta cho x

hàm số y

4; 2 phải thỏa mãn

1
.
2

1
x.
2

Hàm số đã cho là y

điểm A

4; 2 nên cặp số

4 thì y

2 vẽ

4; 2 . Đường thẳng OA là đồ thị của

1
x.
2

b) Thay tọa độ của B
không thỏa mãn vì 2

2;4 vào y

1
.
2

1
x ta thấy
2

4

Vậy điểm B khơng thuộc đồ thị của hàm số y
Thay tọa độ của C 2;1 vào y

1
x.
2

1
x ta thấy thỏa mãn vì 1
2

1
.2 .
2

1
x.
2

Vậy điểm C thuộc đồ thị của hàm số y

Do đó chỉ có bộ ba điểm A,O,C thẳng hàng.
c) Cho x

1 thì y

2 . Vẽ điểm D 1;2 .

Đường thẳng DO là đồ thị hàm số y

2x (hình vẽ trên).

Trang 7

Ví dụ 9: Vẽ đồ thị của hàm số y

2x nÕu x

0

1
x nÕu x
2

0

 Tìm cách giải:
Vẽ hai đồ thị y

2x khi x

1
x khi x
2

0 và y

0.

Hai đồ thị kết hợp thành đồ thị cần vẽ.
Giải
Đồ thị d1 của hàm số y

2x khi x

Đồ thị d 2 của hàm số y

1
x khi x
2

0 là tia OM với M 2; 4

0 là tia ON với N

d1 và d 2 kết hợp thành đồ thị hàm số y

Ví dụ 10: Vẽ đồ thị hàm số y

3x

2; 1 .

2x nÕu x

0

1
x nÕu x
2

0

.

x.

 Tìm cách giải: Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối của một số thực x:
x

x

nÕu x

0

x nÕu x

0

Xét hàm số trên với hai trường hợp x

0 và x

0.

Giải

Trang 8


x

Do x

nÕu x

0

x nÕu x

0

4x

nên hàm số trên trở thành y

Đồ thị d1 của hàm số y

4x khi x

nÕu x

0

2x nÕu x

0

0 là tia OQ gốc O đi

qua điểm Q 1;4 .

Đồ thị d 2 của hàm số y
qua P

2x khi x

0 là tia OP gốc O đi

2;4 .

d1 và d 2 kết hợp thành đồ thị hàm số y

3x

x.

C. Bài tập vận dụng
13.1. Cho các cặp số x, y sau đây:
x

0,5

y

2
3

1
6

2

3
1
9

-1

1
15

-6

1
3

-5

1
18

a) Hãy lập các cặp số x, y .
b) Vẽ sơ đồ mũi tên.
c) Các cặp số này xác định một hàm số. Tại sao?
d) Hàm số đó có thể được cho bởi công thức nào?
13.2. Trong các sơ đồ sau, sơ đồ nào xác định một hàm số? Tại sao. Hàm số nào được
biểu thị bằng công thức?

Trang 9

f x được xác định bởi công thức f x

13.3. Cho hàm số y
a) Chứng tỏ với x
b) Tính f

20

R thì f x

f 5

c) Tìm x để f x
13.4. Hàm số y
y

f x

2x

f

f

8

6;f x

3
x

4

x .
1
;
2

f

1,2.

f x được xác định như sau:
5

2x

nÕu x

2,5

5 nÕu x

2,5

a) Tính f 5 ; f 2018 ;f 0 ;f

3;

b) Hãy viết gọn cơng thức trên;
c) Tính nhanh tích P

f 0,5 .f 1,5 .f 2,5 ....f 99,5 ;

d) Đại lượng x có là hàm số của đại lượng y khơng?
13.5. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y

3x;

c) y

2016
;
27x 3 1

13.6. Cho hàm số y
a) Tìm f 2 khi m

b) y

d) y
f x

m2

5 x2

2x 18
;
2x 10 x 8

1975x
;
30x 2 4
4 m2

2m 1 .

1;
Trang 10


b) Tìm m nếu f

2

376 .

13.7.
a) Cho hàm số y

2018x 2

f x

Chứng minh với mọi x
b) Cho hàm số y

R thì f

x

2x 9

1945x .

R thì f

x

f x

Chứng minh với mọi x

2019 .

f x .

f x .

13.8. Cho hình chữ nhật có chiều rộng 25cm và chiều dài 28cm. Người ta tăng mỗi
chiều 15

x cm.

a) Tính chu vi y của hình chữ nhật mới theo x. Chứng minh đại lượng y là hàm số của
đại lượng x;
b) Tập xác định của hàm số y.
13.9. Đồ thị hàm số y

ax đi qua điểm C 1;2 .

a) Xác định hệ số a và vẽ đồ thị của hàm số đó;
b) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số y
13.10. Vẽ đồ thị của 2 hàm số y

0,5 x .

3x và đồ thị hàm số y

2

nÕu x

0

2 nÕu x

0

trên

cùng một hệ trục tọa độ. Xác định giao điểm hai đồ thị. Kiểm tra lại kết quả bằng tính
tốn.
13.11. Cho hàm số y

2bx

x.

a) Vẽ đồ thị hàm số khi b

2;

b) Vẽ đồ thị hàm số khi b

0,5 (cùng trên hệ trục tọa độ của câu a).

13.12. Biết đồ thị hàm số y

a
a
x

0 đi qua điểm A

2;0,5 .

a) Xác định hệ số a, và vẽ đồ thị (H) của hàm số với a vừa tìm;
b) P x P ; yP là một điểm trên (H) biết 2x P

8yP

0 , xác định tọa độ của P;

c) Tìm giao điểm đồ thị hàm số trên với đồ thị (D) của hàm số y

x.

13.13. Gọi f là hàm xác định trên tập hợp các số nguyên và thỏa mãn các điều kiện sau

đây:
Trang 11


1) f 0

0;

2) f 1

3;

3) f x f y

f x

y

f x

y , với mọi x, y Z .

Tính f 7 .
(Cuộc thi Olimpic Toán học thành phố Leningrat, LB Nga năm 1987)
13.14. Cho f x là hàm số thỏa mãn f 2x

1

x 12 x

13 , với mọi số thực.

Hãy xác định giá trị của f 31 .
(Cuộc thi Toán Canada mở rộng 2006)
13.15. Cho hàm số f x thỏa mãn f 2x

1

x

2013 x

2014 . Tính f 4207

(Đề thi Olimpic Tốn tuổi thơ cấp THCS, Đăk Lăk năm học 2013 – 2014)
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
13.1. a); b) Bạn đọc tự lập các cặp số và vẽ sơ đồ.
c) Trong các cặp số trên ta thấy mỗi giá trị của x đều được tương ứng với một và chỉ
một giá trị của y nên y là hàm số của x (Việc lập cặp số và sơ đồ mũi tên cũng sẽ chứng
tỏ điều ấy).
d) Hàm số có thể được cho bởi công thức y

1
với x
3x

0,5;

1
1

;3; 1; ; 6 .
6
15

13.2. Theo khái niệm hàm số:
- Quy tắc trong sơ đồ (a) biểu thị một hàm số. Công thức y
- Quy tắc trong sơ đồ (b) không biểu thị một hàm số vì với x

0,5x.

4 có hai giá trị tương

ứng thuộc Y.
- Quy tắc trong sơ đồ (c) không biểu thị một hàm số vì có phần tử chẳng hạn 3 của tập
X khơng có giá trị tương ứng thuộc tập Y.
- Quy tắc trong sơ đồ (d) biểu thị một hàm số. Cơng thức y

3x .

13.3.
a) Với x
Từ f

x

R thì f
f x

3
x

4

x

f

x

3
x
4

3
x
4

f x .

f x .

Trang 12


Vậy với x

R thì f x

b) f

f 5

20
3
.
4

f

8

f

x.

f

1
2

3
.5
4

20

3
.
4

3

x
4

c) f x

6 nghĩa là

f x

1,2 nghĩa là

6

3
.
4

8

x

1
2

3
24 .
8

8.

3
x
4

1,2

5

4031;

x

1,6.

13.4.
a) f 5

10 5

f 2018
f 0
f

0
3

5;

2018.2
5

5;

2.

3

5 11.

b) Công thức được viết gọn là y
x

c) P

x

nÕu x

0

x nÕu x

nên y

0

0 vì f 2,5

f x

2x

f x

5 vì theo định nghĩa

2x
5

2x

nÕu 2x

5

0 hay x

2,5

5 nÕu 2x

5

0 hay x

2,5

.

0.

d) Đại lượng x không là hàm số của đại lượng y vì ứng với một giá trị của y ta có hai
giá trị tương ứng của x (chẳng hạn y

9 thì x

2 ) nên theo định nghĩa

7 và x

hàm số đại lượng x không là hàm số của đại lượng y.
13.5.
a) x x R vµ x
c) x x

R;x

13.6. a) Khi m
b) f

2

m2

0 ;

b) x x R;x

1
;

3

d) x x

1 thì f x
5

2

2

4 x2

4 m2

376

8 ;

R .
4 22

16 nên f 2

2m 1

5 vµ x

m

16

32.

50.

13.7.
Trang 13


a) Ta có: f

x

2018

f

x

f x .

b) f

x

2

f

x

x

9

x

1945

2

2018x 2

2019

2x 9

x

2019

f x

2x 9 1945x

1945x

f x

f x .

13.8.
a) Chiều rộng mới là 25

15

x ; chiều dài mới là 28

nhật mới là y

x

28 15

y

4x

2 25 15

x

4x

15

x . Chu vi hình chữ

166 .

166 là hàm số vì ứng với mỗi giá trị của x ta có một giá trị tương ứng duy

nhất của y.
b) Tập xác định của hàm số y

4x

166 là D

x x R;x 15 .

13.9.
a) Đồ thị hàm số y
tức là a.1

ax đi qua điểm C 1;2 nên cặp số 1;2 phải thỏa mãn hàm số,

2 suy ra a

2 . Hàm số đã cho là y

OC là đồ thị của hàm số y
b) y

2x . Vẽ điểm C 1;2 . Đường thẳng

2x .

f x

0,5 x

0,5x

nÕu x

0,5x nÕu x

* Đồ thị t1 của hàm số y

0
0

0,5x khi x

0 là tia OA

với A 4;2 .
* Đồ thị t 2 của hàm số y

0,5x khi x

Hợp của t1 và t 2 là đồ thị hàm số y

0 là tia OB với B

4;2 .

0,5 x .

Trang 14


13.10. y

f x

3x

3x

nÕu x

0

3x nÕu x

Đồ thị d1 của hàm số y

3x khi x

0
0 là tia OA với

A 1;3

Đồ thị d 2 của hàm số y
với B

3x khi x

0 là tia OB

1;3 ,

d1 và d 2 kết hợp thành đồ thị hàm số
y

3x

nÕu x

0

3x nÕu x

0
2 nÕu x

Đồ thị hàm số y

2 nÕu x

đường thẳng t 2 với x

a) Khi b
y

2 thì 2

x nÕu x

0 kết hợp với phần

2
;2 .
3

0
0

2
.
3

nên

2 hàm số trên trở thành

3x nÕu x
5x nÕu x

Đồ thị y

là phần đường thẳng t1 với x

3x nên x

x nÕu x

13.11. Do x

0

0.

Giao điểm của hai đồ thị là C
Kiểm tra với y

0

0
0

3x khi x

0 là tia d1 gốc O đi qua

5x khi x

0 là tia d 2 gốc O đi qua Q

P 1;3 .

Đồ thị y

t1 và t 2 hợp thành đồ thị hàm số y

b) Khi b

0,5 hàm số trên trở thành y

Đồ thị y

0 khi x

3x

x. .

f x

x

x

1;5 .

0

nÕu x

2x nÕu x

0
0

0 là tia Ox.
Trang 15

Đồ thị y

0 là tia d 3 gốc O đi qua M

2x khi x

Tia Ox và d 3 hợp thành đồ thị hàm số y

1;2 .

x.

x

13.12.

a
a
x

a) Đồ thị (H) của hàm số y
A

2;0,5 nên ta có 0,5

Hàm số đã cho là y

a

2

0 đi qua điểm

a

1.

1
.
x

Vẽ đồ thị:

x

-4

-2

-1

-0,25

0,25

0,5

1

2

4

y

0,25

0,5

1

4

-4

-2

-1

-0,5

-0,25

1
là hai nhánh đường cong
x

Vẽ các điểm x; y và nối lại được: Đồ thị hàm số y

h1 nằm ở góc phần tư thứ II và h 2 nằm ở góc phần tư thứ IV.

1
nên y P và x P thỏa mãn biểu thức trên nghĩa là
x

b) P nằm trên đồ thị hàm số y
yP

1
xP

Với x P

. Do 2x P
2 thì yP

8yP nên 2x P

8.

Ta có hai điểm P1 2; 0.5 và P2

M 2;2 ; N

xP

x P2

0

2 thì yP

0.5;x P

c) Đồ thị (D) của hàm số y

1

4x P

2

0.5.

2;0.5 .

f x

x

x

nÕu x

x

nÕu x

2;2 . Hai đồ thị (D) và (H) cắt nhau tại I

0
0

gồm 2 tia OM và ON với

1;1 .

13.13. Áp dụng lần lượt các tính chất đã cho ta có:
f 1f 0

f 1 0

f 1f 1

f 1 1

f 2f 1

f 2 1

f 1 0
f 1 1
f 2 1

2f 1
f 2
f 3

6

f 0
f 1

f 0
f 2
f 3

2.
7.
18.
Trang 16


f 3f 1

f 4

f 2

f 4

47.

f 4f 3

f 7

f 1

f 7

843.

Vậy f 7

843.

13.14. Ta có: 31

2x

13.15. Ta có: 4027

1
2x

x
1

15 . Vậy f 31
x

15 12 15 13

2013 . Vậy f 4027

84.

0.

Trang 17