CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 13 docx

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 13
MỘT TRƯỜNG HỢP RIÊNG QUAN TRỌNG CỦA
TRƯỜNG XUYÊN TÂM

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Một trong những nhiệm vụ chính của Cơ học lượng tử là phải
giải thích được cấu tạo và tính chất của các nguyên tử
Một trong những nhiệm vụ chính của Cơ học lượng tử là phải
giải thích được cấu tạo và tính chất của các nguyên tử
Ở đây, ta xét một mô hình đơn giản của chuyển động electron
trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử
Ở đây, ta xét một mô hình đơn giản của chuyển động electron
trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử
Phần cuối bài này dành riêng cho trường hợp đơn giản nhất:
Nguyên tử hydrogen.
Phần cuối bài này dành riêng cho trường hợp đơn giản nhất:
Nguyên tử hydrogen.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1. Chuyển động của một điện tích trong trường lực Coulomb của
điện tích khác.
2. Các số lượng tử và hàm trạng thái

3. Phân bố xác suất theo khoảng cách, kinh độ và vĩ độ
4. Nguyên tử hydrogen

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1. Chuyển động của một điện tích trong trường lực Coulomb của
điện tích khác.
Như đã thấy, nếu hàm riêng của toán tử năng lượng trong trường
xuyên tâm U(r) là
),()(
ϕθψ
lm
YrR
=
thì chỉ có R(r) mới phụ thuộc vào biểu thức cụ thể của U(r).
Vì vậy, phương trình chuyển động trong trường xuyên tâm cụ thể
thực chất quy về phương trình cho R(r).
Xét trường hợp đặc biệt:
Chuyển động của electron (với điện tích –e) trong trường Coulomb
của điện tích hạt nhân (với điện tích +Ze) đặt cố định tại gốc tọa độ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Hàm thế năng trong trường hợp này là:
(13.1)
r
Ze
rU
2
)(

−=
và phương trình cho
ρ
= rR sẽ là:
(13.2) 0
)1(22
22
2
22
2
=








+
−++
ρ
µµρ
r
ll
r
ZeE
dr
d


Ở đây ta chỉ quan tâm đến trường hợp E < 0
Đặt
ε
µ
.
2
4

e
E −=
; khi đó
ε
> 0.
Tiếp theo, đặt
r
e
2
2

µ
ξ
=
, ta có:
2
2
4
42
2
2
ξ

ρµρ
d
de
dr
d

=
[ ]
0)(
2)1(1
232
2
=−+
+
−
ρ
µ
ρ
ρ
rUE
rr
ll
dr
d
r


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
và (13.2) trở thành

(13.3) 0
)1(2
2
22
2
=








+
−+−+
ρ
ξξ
ε
ξ
ρ
llZ
d
d
Xuất phát từ việc
ρ
có dạng tiệm cận
11
~~
++ ll

r
ξρ
khi
ξ
nhỏ và
εξ
ρ
2
2
~
−
−−
=
ee
mE
r

Khi
ξ
nhỏ ta tìm nghiệm của (13.3) dưới dạng
( )
(13.4)
∑
∞
=
++−−+
=+++=
0
122
210

21

n
ln
n
l
aeaaae
ξξξξρ
εξεξ
(13.2) 0
)1(22
22
2
22
2
=








+
−++
ρ
µµρ
r
ll

r
ZeE
dr
d


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Khi đó:
( )
+++−=
∑∑
∞
=
+−
∞
=
++−
0
2
0
12
2
2
1222
n
ln
n
n
ln

n
alneae
d
d
ξεξε
ξ
ρ
εξεξ
( )( )
∑
∞
=
−+−
++++
0
12
1
n
ln
n
alnlne
ξ
εξ
2ε
ρ
Do đó, thay
2
2
ξ
ρ

d
d
vào (13.3) và chia 2 vế cho
εξ
2
−
e
, ta được:
( ) ( )( )
+++++++−
∑∑
∞
=
−+
∞
=
+
0
1
0
1122
n
ln
n
n
ln
n
alnlnaln
ξξε
0)1(2

0
1
0
=+−+
∑∑
∞
=
−+
∞
=
+
n
ln
n
n
ln
n
allaZ
ξξ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Cho tổng các hệ số của các số hạng cùng bậc bằng 0, ta được
( ) ( )( )
0)1(21122
11
=+−+++++++−
++
nnnn
allZaalnlnaln

ε
( )
[ ]
( )( )
(13.5)
nn
a
lllnln
Zln
a
)1(21
212
1
+−++++
−++
=
+
ε
Bây giờ ta sẽ dùng công thức (13.5) để chứng minh rằng
ε
phải nhận
một trong các giá trị:
(13.6)
2
2
)1(2 ++
=
ln
Z
nl

ε
Thật vậy, giả sử
ε
không có dạng (13.6).

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
)(13.6'
nn
a
n
a
ε
22
1
=
+
Khi đó mọi a
n
đều khác 0, và n đủ lớn thì (13.5) có dạng gần đúng là:
do đó, các hệ số a
n
cùng dấu, giảm dần về giá trị tuyệt đối giống như
!
1
n
Vì vậy, ta có thể coi
∑
∞
=

0n
n
n
a
ξ
biến thiên giống như
ξε
22
e
do đó
ρ
biến thiên giống như
ξε
ξ
21
e
l
+
tức là
ρ
→ +
∞
khi
ξ
→ +
∞

Điều này rõ ràng là phi lý về mặt vật lý
Từ đó suy ra rằng
ε

phải có dạng (13.6)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Nói một cách khác, E phải nhận một trong các giá trị:
( )
(13.7)
2
2
42
12 ++
−=
ln
eZ
E
nl

µ
nên phổ năng lượng là rời rạc
Tương ứng, từ (13.5) ta có,
0
21
===
++
nn
aa
(nếu E = E
nl
).
Như vậy:

∑
=
−
+
==
n
n
k
k
l
nl
ae
nl
0
2
1
ξξρρ
εξ
Hay:
(13.8)
∑
=
−
==
n
k
k
k
l
nl

aeRR
nl
0
2
ξξ
εξ

Ngoài điều kiện (13.5), các hệ số a
k
được lựa chọn (mà suy cho cùng
là chỉ cần chọn a
0
) sao cho R thoã mãn điều kiện chuẩn hoá sau
(13.9)
∫
+∞
=
0
2
1)( drrrR
nl

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Các số lượng tử và hàm trạng thái
Để cho tiện, ta sẽ thay đổi cách ký hiệu các số trong (13.7) như sau:
Trước hết, n được thay đổi bởi n
r
để nhẫn mạnh vào mối liên quan của
nó với phương trình dành cho hàm bán kính. Như vậy, (13.7) trở thành:

( )
)(13.7'
2
2
42
12
++
−=
ln
eZ
E
r
ln
r

µ
Tương ứng, (13.8) trở thành
)(13.8'
∑
=
−
==
r
l
r
n
r
n
k
k

k
l
ln
aeRR
0
2
ξξ
εξ
Tiếp theo, vì
ln
r
E
thực chất chỉ phụ thuộc n = n
r
+l+1 nên (13.7’) trở thành:

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
(13.10)
22
42
2 n
eZ
E
ln
r

µ
−=
và tương ứng (13.8’) trở thành

(13.11)
∑
=
−
=
r
n
n
k
k
k
l
nl
aeR
0
2
ξξ
εξ
trong đó, R
nl
thay cho
ln
r
R
với n = n
r
+l+1 (thực chất đáng lẽ phải ký hiệu là R
n-l-1;l
).
Chú ý rằng mỗi mức năng lượng E

n
không phải chỉ ứng với
một trạng thái mà ứng với nhiều nhiều trạng thái khác
nhau

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Các trạng thái này được phân biệt với nhau bởi giá trị của l và
m (l ứng với trị riêng
)1(
+
ll
) của
2
ˆ
M
, còn m ứng với trị riêng
m
của
z
M
ˆ
Dễ chứng tỏ rằng có tất cả n
2
trạng thái như vậy; chúng được cho
bởi các hàm trạng thái:
( ) ( ) ( )
(13.12)
ϕθϕθψ
,,,

lmnlnlm
YrRr =
Theo thông lệ, các số n, l, n
r
và m được gọi là các số lượng tử, trong
đó n là số lượng tử chính, l là số lượng tử phương vị, n
r
là số lượng
tử bán kính và m là số lượng tử từ, (chú ý phân biệt số lượng tử
(quantum number) với số lượng các lượng tử (number of quanta)).

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trạng thái ứng với các số lượng tử n, l, m, thường ký hiệu ngắn gọn là
nlm
Như vậy, trong biểu diễn toạ độ thì:
( ) ( )
(10.13)
ϕθ
,
lmnl
YrRnlm
=
Còn một cách khác để ký hiệu trạng thái (của điện tích –e):
dùng một chữ số và một chữ cái; chữ số là giá trị của n, chữ cái là s,
p, d, f, hoặc g ứng với l = 0,1, 2, 3, 4.
Như vậy 2s là trạng thái
20
(chưa có giá trị của m); 3d là trạng thái
32

Các trạng thái này cố nhiên suy biến, tức là chưa hoàn toàn xác định,
vì chưa có giá trị của m.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
3. Phân bố xác suất theo khoảng cách, kinh độ và vĩ độ
Xác suất để hạt có mặt trong vùng có thể tích V bằng
( ) ( )
==
∫∫∫∫∫∫
θϕθϕθψ
ddrdrYrRdv
V
lmnl
V
nlm
.sin,
2
22
( ) ( )
θϕθθ
π
ddrdrPrR
V
m
lnl
.sincos
~
.
4

1
.
2
2
2
∫∫∫
=
Từ đó suy ra:
a. Mật độ xác suất tìm thấy hạt ở khoảng cách r kể từ gốc toạ độ bằng:
( ) ( )
(13.14)
2
2
.rrRrP
nlnl
=
b. Mật độ xác suất tìm thấy hạt ở vĩ độ
θ
là:
( ) ( )
(13.15)
θθθ
sin.cos
~
2
1
2
m
lnl
Pq

=
c. Kinh độ
ϕ
phân bố đều, tức là mật độ xác suất ở kinh độ bằng
ϕ

không phụ thuộc vào
ϕ
(và luôn bằng
π
2
1
).

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
4. Nguyên tử hydrogen
Bây giờ ta nghiên cứu kỹ hơn trường hợp đơn giảm nhất; đó là nguyên
tử hydrogen.
Mục đích quan trọng của việc làm này là xác nhận lại những ý tưởng
của N. Bohr về cấu tạo nguyên tử và đối chiếu với các tính toán lý
thuyết về phổ của nguyên tử hydrogen với các quan sát thực nghiệm.
Công thức (12.10) cho electron trong nguyên tử hydrogen sẽ là:
(13.16)
22
4
2 n
e
E
n


µ
−=

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Mỗi lần electron chuyển từ trạng thái với năng lượng E
n
sang trạng
thái với năng lượng E
n’
, biến thiên năng lượng của nguyên tử sẽ
bằng E
n’
- E
n
Việc này kèm theo sự hấp thụ lượng tử năng lượng điện từ






−=−=
222
4
'
'
11
2 nn

e
EE
nn


µ
ω
nếu
nn
>
'
hoặc phát xạ lượng tử năng lượng






−=
222
4
1
'
1
2 nn
e


µ
ω

nếu
nn
<
'
(bước sóng tương ứng là
ω
π
λ
c2
=
)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Chú ý rằng đại lượng
115
3
4
10.27,3
4
−
== s
e
R

π
µ
được gọi là hằng số Rydberg – Ritz.
Như vậy các mức năng lượng của nguyên tử hydrogen sẽ là
2

2
n
R
E
n

π
−=
Sơ đồ phổ của nguyên tử hydrogen cho ở hình vẽ dưới đây.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Volt
7
8
3
2
5
6
4
1
0
9
13
10
12
11
10,15
40000
80000

60000
100000
0
20000
13,53
n
3
2
1
Dãy Lyman
Dãy Balmer
Dãy Ritz-Paschen
Dãy Brecket
Dãy Pfund
H
α
H
β
H
γ
H
δ
H
ε
H
ξ
H
η
H
υ

H
ι
4
5
6

I

II
Sơ đồ này hoàn toàn phù hợp với các số liệu thực nghiệm
Các đường nằm ngang là các mức năng lượng
Các đường thẳng đứng là các “bước nhảy” chuyển mức
Những con số ghi trên các đường thẳng đứng là các bước sóng (thu
hoặc phát); các bước sóng đó được chia thành 5dãy

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Cuối cùng, xin nêu đồ thị ham mật độ xác suất của electron cho một
vài trạng thái
Ở đây, khoảng cách từ các điểm cực đạI đến gốc tọa độ tương ứng
với bán kính quỹ đạo trong mô hình của N. Bohr.
Đặc biệt, với n = 1 (năng lượng tối thiểu) thì khoảng cách đó bằng:
cm
e
r
19
2

2
0
10.29,5
−
==
µ

tức là hoàn toàn trùng với bán kính quỹ đạo thứ nhất của N. Bohr!

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
0,1
5
1510 20 25 30
10
20
30
40
5
0,1
0,5
a) l = 0
0,1
5
1510 20 25 30
10
21
31
41
5

0,1
0,2
b) l = 1
0,1
5
1510 20 25 30
43
32
42
5
0,1
0,2
c) l = 2
Ở đây r đo bằng đơn vị bán
kính hydrogen

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam