CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 14b pot

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 14
DÒNG ĐIỆN VÀ MOMENT
TỪ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1.Mật độ dòng
Xét phương trình
Schrödinger
(14.1)
ψψ
µ
ψ
U
t
i
+∇−=
∂
∂
2
2
2



Cùng với phương trình liên hợp phức
(14.2)
**2
2*
2
ψψ
µ
ψ
U
t
i
+∇−=
∂
∂




Nhân (14.1) với
*
ψ
và (14.2) với
ψ
rồi lấy phương trình này trừ phương trình kia, ta được:
( )
(14.3)
*22*
2*

*
2
ψψψψ
µ
ψ
ψ
ψ
ψ
∇−∇−=








∂
∂
+
∂
∂


tt
i


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Vế trái của phương trình này chính là
( )
2
*
ψψψ
t
i
t
i
∂
∂
=
∂
∂

còn vế phải được biến đổi tiếp
thành:
(14.4)

























∂
∂
∂
∂
+








∂
∂
∂
∂
+









∂
∂
∂
∂
−












∂
∂
∂
∂
+









∂
∂
∂
∂
+






∂
∂
∂
∂
−
zzyyxxzzyyxx
***
*
2
2
ψψψ

ψ
ψψψ
ψ
µ

Mặt
khác:








∂
∂
∂
∂
−






∂
∂
∂
∂

=
=
∂
∂
∂
∂
−








∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−







∂
∂
∂
∂
=
=








∂
∂
∂
∂
−






∂
∂
∂
∂

xxxx
xxxxxxxx
xxxx
*
*
***
*
*
*
ψ
ψ
ψ
ψ
ψψψ
ψ
ψψψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
và tương tự với các thành phần toạ độ y và z nên (14.4) trở
thành:
( ) ( )
[ ] [ ]
.
22

**
2
**
2
ψψψψ
µ
ψψψψ
µ
∇−∇−=∇−∇−
divdivdiv

Do đó, (14.3) có thể được viết lại như
sau:
[ ]
(14.5) .
2
**
2
ψψψψ
µ
ψ
∇−∇=
∂
∂
div
i
t

Vì ta đang xét chuyển động của đúng một hạt, mà
( ) ( )

2
rr

ψρ
=
là mật độ xác suất tìm thấy hạt ở vị trí
r

nên có thể coi
( )
r

ρ
như là “mật độ hạt” tai
r


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Như vậy, vế trái của (14.5) chính là tốc độ biến thiên của mật độ xác
suất tìm thấy hạt.
Đặt
[ ]
jdiv
i


=∇−∇ .
2
**

ψψψψ
µ
khi đó (14.5) trở thành:
(14.6) 0
=+
∂
∂
jdiv
t

ρ
So sánh với phương trình tương tự trong Cơ học cổ điển, lẽ tự
nhiên ta cần coi
j

là mật độ dòng và coi (14.6) là phương trình biểu diễn tính liên tục
của mật độ dòng xác suất. Vì dòng chỉ có một hạt nên nếu điện tích
của hạt là q thì
jq

sẽ là mật độ dòng điện.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Biểu diễn gradient trong hệ toạ độ địa phương
Để bài toán về dòng trong trường xuyên tâm bớt phức tạp, ta cần biểu
diễn gradient của hàm trạng thái trong một hệ toạ độ đặc biệt.
Tại mỗi điểm M
0
trong không gian với ba toạ độ

000
,,
ϕθ
r
ta xét một hệ gồm ba trục toạ độ xác định hư dưới đây.
Trước hét xét mặt cầu
0
rr =
Trên hình vẽ, đường viền của mặt cầu này là đường tròn mầu đen.
Ta hình dung mặt cầu này là “trong suốt”, nghĩa là các đường bên
trong nó không cần vữ đứt đoạn.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
M
0
z
y
x
O
dr
ψ
∂
,
θ
ψ
dr
∂1
,
ϕ

ψ
θ
dr
∂
sin
1

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
3. Dòng điện trong trường xuyên tâm
Quay lại bài toán về chuyển động của điện tích –e trong trường
xuyên tâm của điện tích Ze và xét trạng thái dừng với
mM
z

=

Trước hét xét mặt cầu
0
rr
=
.
Ta viết lại hàm trạng thái trong trường hợp
này:
( ) ( )
(14.7)
ϕ

θ
π
ψ
imm
lnlnlm
ePrR .cos
~
.
4
1
.
=
Liên hợp phức
của
nlm
ψ
là:
( ) ( )
(14.8)
ϕ
θ
π
ψ
imm
lnlnlm
ePrR
−
=
.cos
~

.
4
1
.
*


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bây giờ ta tìm các toạ độ của vector
j

trong hệ toạ độ địa phương tại M(r,
θ
,
ϕ
). Dễ thấy hai toạ độ đầu trên
các trục r,
θ
là:
0
2
0
2
*
*
*
*
=









∂
∂
−
∂
∂
=
=








∂
∂
−
∂
∂
=
θ
ψ

ψ
θ
ψ
ψ
µ
ψ
ψ
ψ
ψ
µ
θ
nlm
nlm
nlm
nlm
nlm
nlm
nlm
nlmr
r
i
j
rr
i
j


Tiếp theo, ta có:
*
*

nlm
nlm
nlm
nlm
im
im
ψ
ϕ
ψ
ψ
ϕ
ψ
−=
∂
∂
=
∂
∂

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Vì vậy, toạ độ thứ ba của
j

là:
( )
(14.9)
2
**
sinsin2

nlmnlmnlmnlmnlm
r
m
r
imi
j
ψ
θµ
ψψψψ
θµ
ϕ

=+
−
=
Do j
r
và j
θ
bằng 0 nên có thể nói rằng không có dòng điện chạy xa
dây dẫn hoặc lại gần so với gốc toạ độ (tức là điểm đặt điện tích Ze)
cũng không có dòng chạy theo “kinh tuyến”, mà chỉ có dòng điện
chạy vònh trên các mặt phẳng vuông góc với phương mà trên đó mà
hình chiếu của
M
ˆ

có giá trị xác định (ở đây là trục Oz).

HONG DUC UNIVERSITY

307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Với r và
θ
xác định thì mật độ dòng tỷ lệ thuận với mật độ xác suất
tìm thấy hạt.
Như vậy, bức tranh về dòng điện phù hợp với cách hình dung cổ
điển về chuyển động trong trường xuyên tâm.
Khác biệt duy nhất ở đây là sự không xác định của vị trí và quỹ đạo.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
5. Moment từ của dòng điện tròn
Ta hãy tính moment từ của dòng điện với mật độ
jeJ


−=
trong đó
j

cho bởi ba toạ độ
0
==
θ
jj
r
và
ϕ
j
cho bởi (14.9), theo mẫu của Vật lý cổ điển.

Cường độ dòng điện chuyển qua tiết diện vuông góc với phương
của dòng điện bằng:
(14.10)
σ
ϕ
dejdI
−=
Moment từ sinh bởi dòng điện dI là:
(14.11)
c
dIS.
−
trong đó c là vận tốc ánh sang trong chân không, S là diện tích hình
tròn xác định như sau
dM
z
=


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
hình tròn này nằm trên mặt phẳng vuông góc với Oz, tâm hình tròn là
giao điểm O’ của mặt phẳng này với Oz và biên đi qua một điểm M của
tiết diện d
σ
(do tiết diện là nhỏ nên M có thể lấy bất kỳ trong đó).
Như vậy, ta có:
(14.12)
σψ
µ

θπ
σ
θπ
ϕ
d
me
c
r
dje
c
r
nlm
2
22
sin
.
sin 
=
dM
z
=

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam