CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 15 docx

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
BÀI 15: SPIN

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Từ đầu tới giờ, ta đã mô trạng thái của hạt lượng tử bởi hàm
trạng thái chỉ phụ thuộc biến số không gian và biến số thời
gian.
Các sự kiện thực nghiệm chứng tỏ rằng có những loại hạt mà
trạng thái của nó không mô tả được một cách đầy đủ bằng loại
hàm trạng thaí như vậy.
ý nghĩa và nội dung của việc mở rộng như vậy sẽ được xem xét
và cụ thể hoá dần.
Do đó, cần xét cả loại hàm trạng thái phụ thuộc một vài “biến
số lạ”, phi không gian và phi thời gian.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1.Trường hợp một biến số lạ với hai giá trị
Trường hợp quan trọng nhất của việc mở rộng như đã nhắc đến
là trường hợp hàm trạng thái phụ thuộc một biến số lạ s, và biến
số lạ này chỉ nhận hai giá trị khác nhau.
Có thể hình dung hai giá trị này như hai điểm của một chiều không
gian vô hình. Như vậy, hàm trạng thái có dạng:
( , , , ) (15.1)x y z s

ψ ψ
=
(nếu bỏ qua sự phụ thuộc vào thời gian).
Gải sử s nhận hai giá trị là s
1
và s
2
.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ta nêu ra yêu cầu sau:
Xác suất để hạt nằm trong ở trong vùng không gian A và trong
trạng thái với s=s
i
là:
( )
dvszyxiAW
A
i
2
∫
= ),,,(,
ψ
Từ đó, ta có các hệ quả sau.
a. Mật độ xác suất tim thấy hạt ở điểm (x, y, z) là:
( ) ( ) ( )
2
2
2

1
szyxszyxzyx ,,,,,,,,
ψψϖ
+=
(15.2)
b. Xác suất tim thấy hạt ở trạng thái với s=s
i
(i=1, 2) là:
( )
dvszyxiW
i
2
∫
= ),,,(
ψ
trong đó tích phân lấy theo toàn bộ không gian.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Chú ý rằng mỗi hàm f(s) với s chỉ nhận hai giá trị (s
1
và

s
2
) có
thể đồng nhất với cặp số (f
1
, f
2

), trong đó f
i
= f(s
i
), nên thay cho
một hàm
),,,( szyx
ψ
, ta có thể xét một cặp hàm:






=Ψ
),,(
),,(
),,(
zyx
zyx
zyx
2
1
ψ
ψ
(15.3)
trong đó
),,,(),,(
i

szyxzyx
ψψ
=
2
Dặt
( )
**
,
21
ψψ
=Ψ
+
. Khi đó, vi (15.2) chính là:
( )
2211
ψψψψϖ
**
,, +=zyx
nên:
( )
ΨΨ=
+
zyx ,,
ϖ
(15.2’)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Toán tử spin
s

ˆ
là toán tử tác dụng lên hàm
),,,( szyx
ψψ
=
(s=1 hoặc 2). Vi hàm số như vậy có thể coi như một cặp hàm nên nếu
s
ˆ
chỉ tác dụng lên biến số s thi
s
ˆ
có thể biểu diễn dưới dạng ma trận vuông cấp 2.
Giả sử
Toán tử vector
s
ˆ

gồm ba thành phần
zyx
sss
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
được gọi là toán tử spin, nếu các thành phần này thoa mãn
các hệ thức giao hoán sau;

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

[ ]
[ ]
[ ]





=
=
=
zyx
yxz
xzy
siss
siss
siss
ˆˆ
,
ˆ
ˆˆ
,
ˆ
ˆˆ
,
ˆ



(15.4)

Dễ dàng thấy (15.4) giống hệt các hệ thức giao hoán đối với các
thành phần của moment quỹ đạo đã xét trong bài 11
Chú ý rằng các chỉ số x, y, z ở ba toán tử này không nói lên rằng
chúng tác dụng lên các biến số x, y, z.
ý nghĩa của các chỉ số sẽ được nêu sau.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Do sự “đồng dạng” của các toán tử
zyx
sss
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
so với các toán tử moment quỹ đạo
zyx
MMM
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
TA CHẤP NHẬN MỘT TÍNH CHẤT CỦA
zyx
sss
ˆ
,
ˆ

,
ˆ
là: nếu toán tử
2222
zyx
ssss
ˆˆˆˆ
++=
nhận các giá trị
)( 1
2
+ll
thi mỗi thành phần của nó có thể nhận một trong
12 +l
giá trị sau:
 llll ,)(, ,)(, 11 −+−−
(15.7)
Do các toán tử
zyx
sss
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
là các ma trận vuông cáp hai nên mỗi toán tử chỉ nhận cùng
lắm hai giá trị khác nhau

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Nhưng nếu l là số nguyên thi hoặc dãy (15.7) chỉ có một số (khi l =
0), hoặc có ít nhất ba số (l ≤ 0)
Dễ chứng tỏ rằng trường hợp l = 0 thực chất quy về trường hợp
hàm trạng thái không chứa biến số lạ (biến số lạ này từ đây ta gọi
gọi là biến số spin) nên ta sẽ không xét trường hợp này.
Dể dãy (15.7) chỉ có đúng hai số, tức là
l−
và
l
mà
1+−= ll
bắt buộc phai có
2
1
=l
Do đó, mỗi toán tử
zyx
sss
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
chỉ nhận đúng hai giá trị kha dĩ là
2

±

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

3. Biểu diễn toán tử spin qua các ma trận Pauli
Đặt:









=
=
=
zz
yy
xx
s
s
s
σ
σ
σ
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ

2
ˆ



(15.8)
Khi đó:
[ ]
[ ]
[ ]





=
=
=
zyx
yxz
xzy
i
i
i
σσσ
σσσ
σσσ
ˆˆ
,
ˆ

ˆˆ
,
ˆ
ˆˆ
,
ˆ
2
2
2
(15.9)
đồng thời mỗi toán
tử
zyx
σσσ
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
nhận hai giá trị là
1±
.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Có nhiều cách chọn các ma trận như vậy, và chúng mô tả cùng một
sự kiện vật lý. Theo đề xuất của W. Pauli, ta chọn:









−
==
10
01
3
σσ
z
ˆ
(15.10)
Khi đó có thể chứng minh rằng
x
σ
ˆ
và
y
σ
ˆ
phai là hai ma trận sau:









==
01
10
1
σσ
x
ˆ
(15.11)








−
==
0
0
2
i
i
y
σσ
ˆ
(15.12)

HONG DUC UNIVERSITY

307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bạn đọc hãy tự kiểm tra rằng, với cách chọn như trên thi
zyx
σσσ
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
thoa mãn các hệ thức (15.9), đồng thời bằng tính toán trực tiếp kiểm
tra lại rằng mỗi ma trận
321
σσσ
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
qua là có hai trị riêng là
1±
Các ma trận
321
σσσ
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
gọi là các ma trận Pauli.
Chú ý rằng, nếu mỗi hinh chiếu của toán tử spin có thể nhận các giá trị

từ dãy (15.7) thi ta nói hạt có spin bằng l. Trong trường hợp ta đang
xét thi hạt có spin bằng
2
1

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
4. Electron với tư cách là hạt có spin 1/2.
Những điều ta vừa trình bày ở trên sẽ không có nội dungvật lý nếu
không có loại hạt nào được mô tả bởi hàm trạng thái với toán tử spin
như trên.
Rất may là có tồn tại những hạt như vậy;
đó là các hạt electron, proton và neutron
Do các proton và neutron còn tham gia vào một loại tương tác đặc
biệt, dó là tương tác mạnh (tương tác giữ cho hạt nhân bền vững) nên
việc mô tả chúng rất phức tạp.
Còn đối với electron thì việc mô tả chúng bằng các hàm trạng thái
với biến số spin cho những kết quả rất chính xác.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Điều này cũng có nghĩa là loại hàm trạng thái mà ta đã xét ở các bài
trước (không chứa biến số spin) không thể mô tả đầy đủ electron,
nhất là trong tương tác với từ trường.
Việc khẳng định bằng thực nghiệm sự tồn tại spin của electron ngày nay
không còn là vấn đề gây tranh cãi nữa
Tuy vậy, cũng cần nói về một trong những thí nghiệm đơn giản và
nổi tiếng dẫn đến khái niệm spin: thí nghiệm Stern-Gerlach
Hai ông này đã cho một chùm mguyên tử hydrogen, tất cả đều
có cùng mức năng lượng và đề ở trạng thái s, tức là có moment

quỹ đạo bằng 0, đi qua một từ trường dạng đặc biệt.
Hai ông này đã cho một chùm mguyên tử hydrogen, tất cả đều
có cùng mức năng lượng và đề ở trạng thái s, tức là có moment
quỹ đạo bằng 0, đi qua một từ trường dạng đặc biệt.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Kết quả dự đoán là chúng phải đi theo những quỹ đạo như nhau
Tuy nhiên, trên thực tế thì chúng bị tách thành hai chùm, giống như là
chúng có hai giá trị moment từ khác nhau, tức là có hai giá trị moment
xung lượng khác nhau.
Diều này cùng rất nhiều sự kiện thực nghiệm khác đã dẫn G. Uhlenbeck
và S. Goudsmit tới gia thuyết là electron có moment riêng, không liên
quan gi tới chuyển động không gian, và hinh chiếu của nó trên một trục
bất kỳ trong không gian đều nhận đúng hai giá trị
2

±

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Moment riêng đó chính là đại lượng
s
ˆ

mà ta vừa xét ở trên, và như vậy,
zyx
sss
ˆ
,

ˆ
,
ˆ
chính là hinh chiếu của nó trên ba trục không gian.
Việc một toán tử tác dụng lên biến số phi không gian lại có hình
chiếu trên các trục không gian không có gì là lạ.
Nếu nó không thể hiện tác dụng trong không gian ba chiều thì không
có gì để nhận biết được nó, và sự tồn tại của biến số phi không gian
cũng trở nên vô nghĩa.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
5. Moment từ riêng
Kèm theo moment cơ học riêng (spin), hạt cũng có moment từ
riêng. Thực nghiệm cho thấy hai loại moment riêng này liên hệ với
nhau bởi công thức:
s
c
e
m
s

µ
−=
ˆ
(15.13)
Như vậy, giá trị tuyệt đối của hệ số tỷ lệ giữa moment cơ học
riêng và moment từ riêng là bằng hai lần hệ số tương ứng trong
trường hợp moment quỹ đạo
Điều này một lần nữa cho thấy không thể giải thích sự tồn tại của spin

như hệ quả của chuyển động không gian, cho dù đó là chuyển động quỹ
đạo hay sự quay chung quanh một trục riêng

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Chính sự tồn tại của một trục quay riêng như vậy cũng vô nghĩa, vì
electron không có vị trí và hình dạng xác định.
Như vậy, cần thừa nhận rằng spin là đặc trưng riêng của một loại hạt,
giống như khối lượng hoặc điện tích, chứ không phải do tương tác gây
ra.
Tuy nhiên, nó thể hiện qua tương tác và năng lượng tương tác phụ
thuộc vào cả các yếu tố bên ngoài

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trong từ trường
H

nang lượng tương tác của hạt với trường thể hiện bởi toán tử:






++=







=






=−
zzyyxx
HHH
c
e
H
c
e
Hs
c
e
Hm
ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ

ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ














σσσ
µ
σ
µµ
22
(15.14)
5. Phương trình Pauli

Trong điện động lực học cổ điển, hạt với khối lượng là
µ
và điện tích là q chuyển động trong điện từ trường cho bởi thế vô
hướng V và thế vector
A

có nang lượng là:

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
qVA
c
q
pE +






−=
2
2
1


µ
(15.15)
Chuyển sang cơ học lượng tử, theo nguyên lý Bohr, hệ thức
(15.15) phải thay bằng hệ thức toán tử sau:

qVA
c
q
pH +






−=
2
2
1


ˆ
ˆ
µ
(15.16)
cho hạt không có spin, và
( )
H
c
q
qVA
c
q
pH






.
ˆ
ˆ
σ
µµ
22
1
2
−+






−=
(15.17)
cho hạt có spin
2
1
(trong đó
σσ
ˆ

=
).

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Đối với electron, (15.17) trở thành
( )
H
c
e
eVA
c
e
pH





.
ˆ
ˆ
σ
µµ
22
1
2
−+







−=
(15.18)
Vì vậy, thay vì phương trình Schrodinger, hàm trạng thái phải thoả
mãn phương trình sau:
( )
Ψ−Ψ+Ψ






−=
∂
Ψ∂
H
c
e
eVA
c
e
p
t
i






 .
ˆ
σ
µµ
22
1
2
(15.19)
trong đó








=Ψ
2
1
ψ
ψ
PHƯƠNG TRÌNH (15.19) GỌI LÀ PHƯƠNG TRÌNH PAULI.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Chú thích lịch sử:
Thí nghiệm Stern-Gerlach về sự tách chùm nguyên tử hydrrogen
được thực hiện vaòi năn 1922.

Giả thuyết J. Uhlenbeck và S. Goudsmit về spin được nêu ra năm 1925
Cả hai sự kiện này đều xảy ra trước khi cơ học lượng tử chính thức
được xây dựng.
Năm 1927, Wolfgang Pauli, nhà vật lý lỗi lạc người Thuỵ sĩ
(1900-1958) đã phát biểu lại giả thuyết spin theo ngôn ngữ cơ học
lượng tử và biểu diễn toán tử spin qua các ma trận mang tên ông.
Wolfgang Pauli cũng là người đề xuất nguyên lý cấm (hay nguyên
lý Pauli), theo đó hai hạt có spin bán nguyên không thể tồn tại trong
cùng một trạng thái.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Nguyên lý này cũng được nêu ra trước khi có cơ học lượng tử
(cuối năm 1924) và nó đã đem lại cho Wolfgang Pauli giải
thưởng Nobel vào năm 1945.
Wolfgnag Pauli còn là tác giả của một loạt công trình quan trọng khác
trong Vật lý lượng tử.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam