CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 16 doc

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 16
SPIN, MOMENT TOÀN PHẦN VÀ PHÉP QUAY

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trong bài này, ta sẽ thấy mối lien hệ của spin và moment toàn
phần
Trong bài này, ta sẽ thấy mối lien hệ của spin và moment toàn
phần
tức là tổng của moment quỹ đạo với moment spin
tức là tổng của moment quỹ đạo với moment spin
Với quy luật biến đổi của hàm trạng thái theo các phép quay
không gian hay các phép quay hệ trục toạ độ
Với quy luật biến đổi của hàm trạng thái theo các phép quay
không gian hay các phép quay hệ trục toạ độ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1.Hàm trạng thái với spin ½ trong phép quay hữu hạn.
Vì spin là đại lượng vector nên giá trị trung bình của nó cũng phải là
đại lượng vector.
Vì vậy, nếu chọn các toán tử
zyx
SSS

ˆ
;
ˆ
;
ˆ
dưới dạng các ma trận định thì hàm trạng thái lại phải thay
đổi theo một quy luật nhất định trong phép quay không gian
Với
zyx
SSS
ˆ
;
ˆ
;
ˆ
đã chọn như trong bài 15 thì, nếu tạm thời bỏ qua các toạ độ
không gian , giá trị trung bình của chúng sẽ được tính như sau:

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( ) ( ) ( )
1
*
22
*
1
2
1
*
2

*
1
2
1
*
2
*
1
2
;
2
01
10
;
2
ˆ
ψψψψ
ψ
ψ
ψψ
ψ
ψ
ψψ
+=









=
















=ΨΨ=
+

xx
SS
(16.1)
( ) ( ) ( )
1
*
22
*

1
1
2
*
2
*
1
2
1
*
2
*
1
2
;
2
0
0
;
2
ˆ
ψψψψ
ψ
ψ
ψψ
ψ
ψ
ψψ
−−=









−
=
















−
=ΨΨ=
+
 i
i

i
i
i
SS
yy

(16.2)
( ) ( ) ( )
2
*
21
*
1
2
1
*
2
*
1
2
1
*
2
*
1
2
;
2
10
01

;
2
ˆ
ψψψψ
ψ
ψ
ψψ
ψ
ψ
ψψ
−=








−
=

















−
=ΨΨ=
+

zz
SS
(16.3)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Như vậy, bộ ba số
( )
1
*
22
*
1
ψψψψ
+
( )
1
*
22

*
1
ψψψψ
−− i
và
( )
2
*
21
*
1
ψψψψ
−
phải biến đổi trong phép quay như ba toạ độ của bán kính vector của
một điểm.
Để đỡ phức tạp, ta hãy xét phép quay hệ trục toạ độ Oxyz
quanh trục Oz một góc
ϕ
, để nhận được trục mớI Ox’y’z’

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Khi đó, nếu ký hiệu (x,y,z) và (x’,y’,z’)lần lượt là các toạ độ của một
điểm M trong các hệ toạ độ “cũ” và “mới”, thì:





=

+−=
+=
zz
yxy
yxx
'
'
'
cossin
sincos
ϕϕ
ϕϕ
(16.4)
Tương ứng, yêu cầu về mối liên hệ giữa hàm trạng thái








=Ψ
'
2
'
1
'
ψ
ψ

trong hệ O’x’y’z’ và hàm trạng thái








=Ψ
2
1
'
ψ
ψ
trong Oxyz (mô tả cùng một trạng thái của hạt) sẽ là:

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )








+=−
−++=−
+−+=+
2
*
21
*
1
'
2
*
'
2
'
1
*
'
1
1
*
22
*
11
*
22
*
1
'

1
*
'
2
'
2
*
'
1
1
*
22
*
11
*
22
*
1
'
1
*
'
2
'
2
*
'
1
cossin
sincos

ψψψψψψψψ
ϕψψψψϕψψψψψψψψ
ϕψψψψϕψψψψψψψψ
ii
i
(16.5)
Vì các biểu thức ở ba phương trình trên là các biểu thức bậc hai đối với
21
,
ψψ
nên có thể đoán rằng, để chúng biến đổi giống như ba toạ độ của
một điểm khi bị quay một góc -
ϕ
(ứng với việc quay hệ toạ độ
một góc bằng
ϕ
) thì
21
,
ψψ
phải biến đổi như kiểu bị quay một góc -
ϕ
/2.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Và quả vậy, nếu
lấy:






=
=
−
2
2
*
'
2
2
1
*
'
1
ϕ
ϕ
ψψ
ψψ
i
i
e
e
t
hì:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )

ϕψψψψϕψψψψ
ϕϕψψϕϕψψ
ψψψψψψψψ
ϕϕ
sincos
sincossincos
1
*
22
*
11
*
22
*
1
2
*
12
*
1
1
*
22
*
1
'
1
*
'
2

'
2
*
'
1
+−+=
=+−−=
=+=+
−
i
ii
ee
ii

(16.6)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
tức là hệ thức thứ nhất trong (16.5) thoã mãn. Các hệ thức còn lại
cũng được chứng minh theo cách đơn giản như vậy.
Ta hãy lưu ý đến một trường hợp đặc biệt, khi
ϕ
=2
π
. Khi đó, tất cả
các điểm trong không gian đều nhận lại các toạ độ cũ như trước khi
quay,
và ta cũng có thể coi rằng chưa hề có việc thực hiện phép quay nào
Tuy nhiên, vì
1

−=
±
π
i
e
nên (16.6) lúc đó trở thành:





−=
−=
2
'
2
1
'
1
ψψ
ψψ
(16.7)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Hàm trạng thái chỉ trở lại hoàn toàn như cũ khi góc quay bằng 4
π
, tức
là quay lại hai vòng!.
Điều này rõ ràng không thể chấp nhận được theo quan điểm cổ điển

Tuy nhiên, kêt quả kỳ lạ này không hề phi lý về mặt logic vì các lý do sau.
(i) thứ nhất, hàm trạng thái ở đây không đơn giản phụ thuọc vào
điểm trong không gian mà còn phụ thuộc cả biến số spin nên không
thể nói rằng sau khi quay một vòng thì dứt khoát hàm trạng thái
phải nhận lại giá trị cũ.
(ii) thứ hai, bản than hàm trạng thái không phải là đại lượng đo được
mà chỉ có các biểu thức bậc hai của chúng
2
*
21
*
1
ψψψψ
+
hoặc
1
*
22
*
1
ψψψψ
+
mới đo được

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Vì vậy, giá trị của hàm trạng thái có thể xác định sai khác một thừa
số dạng
α
i

e
(với
α
là số thực)
Do đó,việc Ψ không đổi dấu khi quay đủ một vòng không có gì là phi lý.
Như vậy, có thể nói tồn tại của moment riêng (spin) biểu hiện ở sự
thay đổi giá trị của hàm trạng thái khi quay hệ trục toạ độ, kể cả khi
hàm trạng thái không phụ thuộc toạ độ.
Chú ý: Với quy luật biến đổi cho bởi (16.6) người ta nói hàm
trạng thái với spin ½ là spinor.





=
=
−
2
2
*
'
2
2
1
*
'
1
ϕ
ϕ

ψψ
ψψ
i
i
e
e


(16.6)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Hàm trạng thaí với spin ½ trong phép quay vô cùng bé
Trước hết, ta vẫn xét phép quay hệ trục toạ độ quanh trục Oz, nhưng
lần này, thay cho góc quay là
ϕ
, ta sẽ xét một góc quay vô cùng bé
δϕ
.
Vì với x đủ nhỏ thì e
x
≈ 1+x nên (16.6) trở thành:














−=






+=
2
1
2
1
2
'
2
1
'
1
δϕ
ψψ
δϕ
ψψ

i
i

(16.8)
Mặt khác,
vì:
Ψ






=Ψ=

















−
=












−
kSS
z



.
ˆ
1
ˆ
1
10
01
2
1
2

1
2
1
2
1
2
1
ψ
ψ
ψ
ψ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
(trong đó
k

là vector đơn vị của trục Oz, trong trường hợp này là trục quay),
nên (16.8) trở thành:
Ψ













+=Ψ
δϕ
kS



.
ˆ
1
1
'
(16.9)
Trong trường hợp tổng quát, khi trục quay không trùng với Oz, vector
k

cần được thay bởi vector đơn vị
n

của trục quay tương ứng, tức là thay cho (16.9), ta có:
Ψ













+=Ψ
δϕ
nS



.
ˆ
1
1
'
(16.10)
Bây giờ ta xét tác động của phép quay lên hàm trạng thái như hàm
của ba toạ độ không gian (và tạm bỏ qua biến số spin).

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Vẫn xét phép quay quanh trục Oz một góc
δϕ

Khi đó, các toạ độ (x, y, z) và (x’, y’, z’) của cùng một điểm trong hệ
toạ độ cũ và mới sẽ liên hệ với nhau như sau
(nếu lấy cos
δϕ
≈ 1, sin
δϕ

≈
δϕ
)





=
+−=
+=
zz
yxy
yxx
'
'
'
δϕ
δϕ
(16.11)
hay:
rrr

δ
+=
'
trong đó
r

δ

có ba toạ độ là y
δϕ
, -x
δϕ
và 0
Rõ rang, ta có
[ ]
δϕδ
krr


×=

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trong trường hợp trục quay tuỳ ý với vector đơn vị
n

, ta có:
[ ]
δϕδ
nrr

×=
Do đó:
[ ]
δϕ
nrrr

×+=

'
(16.12)
Giả sử hàm trạng thái chỉ phụ thuộc vào điểm trong không gian.
Khi đó quy luật phụ thuộc của hàm này vào các toạ độ của điểm buộc
phải thay đổi khi quay hệ toạ độ
Ký hiệu
ψ
và
'
ψ
là biểu thức tương ứng của hàm này trong các hệ toạ độ cũ và mới
Khi đó phải có:
( )
( )
rr

ψψ
=
''
hay:
( )
( )
rrr

ψδψ
=+
''

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

tức là:
( )
( )
rrr

δψψ
−=
''
(16.13)
Mặt khác:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
rPrr
i
rrPr
i
rrrrrr









ψδϕψψδψδψψδψ
.
ˆ

.
ˆ
×−=−=∇−=−
(16.14)
Áp dụng cộng thức
[ ]
[ ]
bcacba




×−=×
ta được
[ ]
nMnPrPnr







.
ˆˆˆ
−=







×−=×
do đó, kết hợp (16.13) với (16.14) ta được:
( ) ( ) ( )
rnM
i
rr




ψδϕψψ

ˆ
'






+=

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
hay
( ) ( )
rnM
i

r




ψδϕψ












+=

ˆ
1
'
(16.15)
trong đó
M
ˆ

là toán tử moment quỹ đạo.
Bây giờ ta kết hợp (16.10) với (16.15): đối với hàm vừa phụ thuộc x,

y, z, vừa phụ thuộc biến số spin, trong phép quay hệ trục toạ độ nó
phải chịu tác động của cả hai toán tử:
( )












+=
δϕδϕ

ˆ
1
1
nS
i
R



và:
( )













+=
δϕδϕ

ˆ
1
2
nM
i
R




HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Tác động liên tiếp của hai toán tử này ứng với tích của hai toán tử,
Nếu bỏ qua vô cùng bé bậc cao thì toán tử tích sẽ là:
( ) ( )













+=
δϕδϕδϕ

ˆ
1
21
nJ
i
RR



(16.16)
trong đó
SMJ
ˆ
ˆˆ



+=
là toán tử moment toàn phần của hạt. Như vậy, qua phép quay vô
cùng bé, hàm








=Ψ
2
1
ψ
ψ
biến thành:
Ψ













+=Ψ
δϕ

ˆ
1
'
nJ
i



(16.17)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Trường hợp spin tuỳ ý
Tất cả những điều nói về spin ½ có thể tổng quát hoá cho trường hợp
spin tuỳ ý. Trong trường hợp tổng quát, ta xét hàm trạng thái k thành
phần, vớI k = 2l + 1, trong đó l là số nguyên hoặc bán nguyên (dương).
Toán tử spin
S
ˆ

cũng gồm ba thành phần
zyx
SSS
ˆ
;
ˆ
;

ˆ
thoả mãn các hệ thức giao hoán như trong trường hợp spin ½
Khi đó, mỗi thành phần đều có thể nhận 2l + 1 giá trị. Nếu
SMJ
ˆ
ˆˆ


+=
là moment toàn phần thì ta vẫn có quy tắc biến đổi hàm trạng thái
như (16.17)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Tuy nhiên, nói chung thì hàm trạng thái không có tính chất spinor
nghĩa là nếu bỏ qua sự phụ thuộc vào toạ độ thì quy tắc biến đổi
vẫn không phải là quy tắc (16.16).
Trường hợp spin bằng 1 (tức là l = 1), hàm trạng thái gồm ba thành
phần và biến đổi giống như vector.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam