Giáo án hình học 12 chuyên đề 6 bài 1 mặt nón, hình nón và khối nón

CHUYÊN ĐỀ 6: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
BÀI 1: MẶT NÓN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa mặt nón trịn xoay, hình nón trịn xoay và khối nón trịn xoay.
+ Nắm được các cơng thức tính diện tích xung quanh của hình nón, diện tích đáy của hình nón,
diện tích tồn phần của hình nón, thể tích của khối nón.
 Kĩ năng
+

Nhận biết được một khối trịn xoay là khối nón.

+

Tính được các yếu tố liên quan đến khối nón như độ dài đường sinh, chiều cao, góc ở đỉnh,
diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thiết diện, thể tích của khối nón…

+

Giải được các bài tốn nâng cao liên quan đến khối nón như bài tốn cực trị, bài tốn thực tế…

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
MẶT NĨN TRỊN XOAY
Trong mặt phẳng  P  . Cho hai đường thẳng Δ là  cắt
nhau tại O và tạo thành góc  với 0    90 . Khi quay
mặt phẳng  P  xung quanh Δ thì đường thẳng  sinh ra
một mặt trịn xoay đỉnh O gọi là mặt nón trịn xoay (hay
đơn giản là mặt nón). Khi đó:
 Đường thẳng Δ gọi là trục của mặt nón.
 Đường thẳng  được gọi là đường sinh của mặt nón.
 Góc 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.

Nhận xét: Nếu M là một điểm tùy ý của mặt nón

N

khác với điểm O thì đường thẳng OM là đường sinh của
mặt nón đó.
HÌNH NĨN TRỊN XOAY
Cho OIM vng tại I quay quanh cạnh góc vng OI
thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình, gọi là hình
nón trịn xoay (gọi tắt là hình nón).
Khi đó:
 Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường
cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.
 Hình trịn tâm I, bán kính r  IM là đáy của hình nón.
TOANMATH.com

Trang 1


Chú ý: Nếu cắt mặt nón

N

bởi hai mặt

phẳng song song  P  và  Q  với  P  qua
O và vng góc với  thì phần mặt nón

N

giới hạn bởi hai mặt phẳng

P

Q 

và hình trịn giao tuyến của  Q  và

và

mặt nón  N  là hình nón.
KHỐI NĨN TRỊN XOAY
Phần khơng gian được giới hạn bởi một hình nón trịn
xoay kể cả hình đó ta gọi là khối nón trịn xoay hay ngắn
gọn là khối nón.
Các khái niệm tương tự như hình nón.
Xét khối nón có hình biểu diễn là hình bên thì ta có nhận
xét:
- Nếu mp  P  chứa OI thì thiết diện của mp  P  và khối
nón là một hình tam giác cân tại O.

Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay khối

- Nếu mp  P  vng góc với OI (khơng chứa O) thì thiết nón ta thường vẽ như hình bên.
diện của mp  P  và khối nón (nếu có) là một hình trịn.
Hình trịn thiết diện này có diện tích lớn nhất khi mp  P 
đi qua I.
CƠNG THỨC CẦN NHỚ
Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ dài
đường sinh là  thì có:

- Diện tích xung quanh: S xq  r .
- Diện tích đáy (hình trịn): S ht  r 2 .
- Diện tích toàn phần: Stp  r   r 2 .
1
1
- Thể tích khối nón: V  S ht .h  r 2 h .
3
3

TOANMATH.com

Trang 2


SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA

MẶT NĨN
MẶT NĨN TRỊN XOAY
Trong mặt phẳng  P  . Cho hai đường thẳng Δ và

 cắt nhau tại O và tạo thành góc  . Khi quay

mặt phẳng  P  xung quanh Δ thì đường thẳng 

sinh ra một mặt trịn xoay đỉnh O gọi là mặt nón
trịn xoay.

HÌNH NĨN TRỊN XOAY
Cho OMI vng tại I quay quanh cạnh góc
vng OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành

một hình, gọi là hình nón trịn xoay.

KHỐI NĨN TRỊN XOAY
Phần khơng gian được giới hạn bởi một hình
nón trịn xoay kể cả hình đó ta gọi là khối
nón trịn xoay hay ngắn gọn là khối nón.

CÁC CƠNG THỨC

S xq  r 

Diện tích xung quanh

S ht  r 2

Diện tích đáy

Diện tích tồn phần

Thể tích

TOANMATH.com

Stp  r   r 2

1
1
V  S ht .h  r 2 h
3
3

Trang 3


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết về mặt nón, hình nón, khối nón
Phương pháp giải
Cần nắm vững lí thuyết trọng tâm về mặt nón, hình Ví dụ: Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán
nón, khối nón ở trên.

kính r là
A.

1 2
r h . B. r 2 h .
3

C.

4 2
r h . D. 2r 2 h .
3

Hướng dẫn giải
1
1
Vì thể tích khối nón Vn  Sht .h  r 2 h
3
3

( Sht : diện tích hình trịn đáy).
Chọn A.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho đường thẳng l cắt và khơng vng góc với Δ quay quanh Δ
thì ta được
A. khối nón trịn xoay.

B. mặt trụ trịn xoay.

C. mặt nón trịn xoay.

D. hình nón trịn xoay.

Hướng dẫn giải
Cho đường thẳng l cắt và khơng vng góc với Δ quay quanh Δ thì ta Nếu khơng nắm kĩ lí thuyết thì
được mặt nón trịn xoay.

dễ nhầm với đáp án A hoặc

Chọn C.

đáp án D.

Ví dụ 2: Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính
đáy của một hình nón. Đẳng thức nào sau đây ln đúng?
A. l 2  hR .

B.

1

1
1
 2 2.
2
l
h
R

C. l 2  h 2  R 2 . D. R 2  h 2  l 2 .

Hướng dẫn giải
Lưu ý: Tam giác OIM vuông
tại I nên ta sử dụng định lý
Pitago suy ra đáp án.

Theo định nghĩa hình nón, ta có tam giác OIM vng tại I.
Do đó OM 2  OI 2  IM 2 , suy ra l 2  h 2  R 2 .
Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 1
TOANMATH.com

Trang 4


Câu 1: Cho hình nón  N  có chiều cao h, độ dài đường sinh  , bán kính đáy r. Kí hiệu S xq là diện tích
xung quanh của khối nón  N  . Cơng thức nào sau đây là đúng?
A. S xq  rh .

B. S xq  2r  .

C. S xq  2r 2 h .

D. S xq  r  .

Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD. Khi quay tứ diện đó quanh trục AB có bao nhiêu hình nón khác nhau
được tạo thành?
A. Một.

B. Hai.

C. Khơng có hình nón nào.

D. Ba.

Câu 3: Cho hình nón có diện tích xung quanh là S xq và bán kính r. Cơng thức nào sau đây dùng để tính
đường sinh  của hình nón đã cho.
A.  

S xq
r

.

B.  

2 S xq
r

.

C.   2S xq r .

D.  

S xq
2r

.

Câu 4: Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy bằng R, chiều cao bằng h, độ dài đường sinh bằng  .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.   R 2  h 2 .

B. R   2  h 2 .

C. h  R 2   2 .

D.   R 2  h 2 .

Dạng 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính
đáy, thiết diện của hình nón
Phương pháp giải
Nắm vững các cơng thức về diện tích xung quanh, Ví dụ: Tính diện tích xung quanh của khối nón có
diện tích tồn phần, diện tích đáy. Biết sử dụng các thiết diện qua trục là tam giác vuông cân diện tích
kết quả của phần kiến thức quan hệ song song, bằng 2?
quan hệ vng góc, các hệ thức lượng trong tam

A. S  2 2 .

B. S  4 .

giác… để áp dụng vào tính tốn.

C. S  2 .

D. S  4 2 .

Hướng dẫn giải
Tam giác OAB vng
cân diện tích bằng 2
1
 OA2  2
2
 OA  OB  2

AB  2 2  2 2  2 2
hR

AB
 2
2

Suy ra S xq  . 2.2  2 2 .
Chọn A.

TOANMATH.com

Trang 5

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện
là tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích tồn phần của hình nón đó.
A. 6a 2 .

B. 24a 2 .

C. 3a 2 .

D. 12a 2 .

Hướng dẫn giải
Ta có h 

Lưu ý: Diện tích tam giác
đều cạnh x là: S 

2a 3
 a 3,   2a, r  a .
2

x2 3
và
4

độ dài chiều cao là:

Diện tích tồn phần của hình nón là

h

Stp  r   r 2  .a.2a  .a 2  3a 2 .

x 3
.
2

Ở bài toán này x  2a .

Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy, diện tích đáy
của hình nón bằng 9 . Độ dài đường cao của hình nón bằng
A. 3 3 .

B.

3.

C.

9 3
.
2

D.

3
.
3

Hướng dẫn giải
Gọi r , , h lần lượt là bán kính đường trịn đáy,
đường sinh, chiều cao của hình nón đã cho.

r 2  9
r  3
Theo giả thiết ta có 
nên 
.
  6
  2 r
Lại có h   2  r 2 do đó h  36  9  3 3 .
Chọn A.
Ví dụ 3: Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vng có cạnh
góc vng bằng 1. Mặt phẳng    qua đỉnh S của hình nón đó cắt đường
trịn đáy tại M, N. Tính diện tích tam giác SMN, biết góc giữa    và đáy
hình nón bằng 60 .
A.

1
.
3

B.

1
.
2

C.

2
.
3

D.

3
.
2

Hướng dẫn giải
Gọi O là tâm đường tròn đáy, H là trung điểm
của MN.

giác cân tại S và

Ta có MN là giao tuyến của đường tròn đáy và
mặt phẳng    , lại có OH  MN , SH  MN .
Do đó góc giữa

Lưu ý: Tam giác SMN là tam



SM  SN  1 .

và đáy hình nón là

  60 .

SHO
TOANMATH.com

Trang 6


Vì thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vng có cạnh góc
vng bằng 1  SO 

2
.
2

Xét SOH vng tại O có sin 60 

SO
SO
6
 SH 

.
SH
sin 60
3
2

 6
2 3
Khi đó MN  2 SN  SH  2 1  
.



 3 
3


2

2

2

Vậy diện tích tam giác SMN là S SMN 

1
1 6 2 3
2
.
SH .MN  .
.

2
2 3
3
3

Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc
đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SAB  bằng

a 3
  30 , SAB
  60 . Độ dài đường sinh của hình nón theo a
và SAO
3
bằng
A. a 2 .

B. a 3 .

C. 2a 3 .

D. a 5 .

Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của AB, dựng OH  SI .
Ta có OH 

a 3
.
3

  60 nên tam giác SAB đều.
Do SAB
Suy ra SA  SB  AB .
Mặt khác

Lưu ý:

  30  SO  SA.sin 30  1 SA

SAO
2

 Ta có: OH  SI (1)

và OA  SA.cos 30 

SA. 3
.
2

 AB  OI
 AB   SOI 

 AB  SI
 AB  OH (2)

Xét tam giác SOI ta có

Từ (1) và (2) suy ra:

1
1
1
1
1
1
1

 2 




2
2
2
2
2
2
1
OH
OS
OI
OS
OA  AI
  2  SA 3   1  2
  SA 
   SA 
2
 2  2 

OH   SAB  , do đó

1
6
a 3

 2  SA  OH 6 
. 6 a 2.
2

OH
SA
3

d  O;  SAB    OH .

 Có thể đặt SA  x .

Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường trịn tâm O bán kính bằng 2a
TOANMATH.com

Trang 7


và độ dài đường sinh bằng a 5 . Mặt phẳng  P  qua đỉnh S cắt hình nón





theo thiết diện là một tam giác có chu vi bằng 2 1  5 a . Khoảng cách
d từ O đến mặt phẳng  P  là
A. d 

a 3
.
3

B. d 

a
.
2

C. d 

a 3
.
7

D. d 

a 3
.
2

Hướng dẫn giải
Giả sử thiết diện là tam giác SAB, khi đó ta có





SA  SB  AB  2 1  5 a



Do:



 a 5  a 5  AB  2 1  5 a

1
1
1


2
2
OH
OE
OS 2

 OH 

 AB  2a .

Gọi E là trung điểm AB, ta có AB  SE , mặt

OS .OE
OS 2  OE 2

khác AB  SO nên AB   SOE  .
Kẻ OH  SE tại H, ( H  SE ).
Ta thấy OH  AB vì OH   SOE   OH   SAB  .
Vậy khoảng cách từ S đến  P  là OH (hay d  O;  P    OH ).
EB 

1
AB  a, OB  R  2a, OE  OB 2  EB 2  4a 2  a 2  a 3 .
2

SO  SB 2  OB 2  5a 2  4a 2  a ,
OH 

OS .OE
OS  OE

Vậy d 

2

2



a.a 3
a  3a
2

2



a 3
.
2

a 3
. Chọn D.
2

Ví dụ 6: Cho hình nón trịn xoay nằm
giữa hai mặt phẳng song song  P  và

Q 

như hình vẽ. Kẻ đường cao SO của

hình nón và gọi I là trung điểm của SO.
Lấy M   P  , N   Q  , MN  a và đi
qua I cắt mặt nón tại E và F đồng thời
tạo với SO một góc  . Biết góc giữa đường cao và đường sinh của hình
nón bằng 45 . Độ dài đoạn EF là
A. EF  2a .
TOANMATH.com

a
B. EF   tan 2 .
2

Trang 8


C. EF   a tan 2 .

D. EF  2a tan 2 .

Hướng dẫn giải
Lưu ý:
S SFI  S SEI  S SFE (*)

S SFI 

1
SF .SI .sin 45
2

S SEI 

1
SE.SI .sin 45
2

  ESM
  SME
  45  90    135   .
SEF

S SFE 

1
SF .SE.sin 90
2

  SE. tan 135     SE. 1  tan  .
SF  SE.tan SEF
tan   1

Thay vào (*) ta được

Xét tam giác NIO có OI  NI .cos  

a
a
cos , NO  NI .sin   sin 
2
2

Xét tam giác SEF vuông tại S có

 nên
Vì SI là độ dài đường phân giác trong góc FSE
SI  2.

SI  2

SE.SF
.
SE  SF

SE tan 135   
SE.SF
a
 cos   2
SE  SF
2
1  tan 135   

 1  tan  
a 1 
cos 
tan   1 
a sin 

 SE 

1  tan 
2 1  tan  
2 2
tan   1

Do đó

EF 

SE
SE
a sin 
a


  tan 2 .

2
cos SEF cos 135    1  tan    cos   sin  

Chọn B.

Ví dụ 7: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên
và mặt đáy bằng 60 . Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón đỉnh
S, có đáy là đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

a 2 3
A. S xq 
.
3
C. S xq 

a 2 7
.
4

a 2 10
B. S xq 
.
8
D. S xq 

a 2 7
.
6

Hướng dẫn giải
Gọi O là tâm của tam giác ABC, khi đó SO   ABC  .
Hình nón đỉnh S, có đáy là đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có đường
sinh là SA, bán kính đường tròn đáy là OA.
Gọi H là trung điểm của BC thì
TOANMATH.com

Trang 9


  60 .
 SBC  ;  ABC    SHO

Tam giác ABC đều và O là tâm của tam
giác đều nên

OH 

1
1 a 3 a 3
;
AH  .

3
3 2
6

OA 

2
a 3
.
AH 
3
3

Tam giác SOH vuông tại O và có
  60 nên
SHO
SO  OH .tan 60 

a 3
a
. 3 .
6
2

Tam giác SOA vuông tại O nên SA  SO 2  OA2 

a 2 3a 2 a 21


.
4
9
6

Diện tích xung quanh hình nón là
S xq  r   .OA.SA  .

a 3 a 21 a 2 7
.

.
3
6

6

Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh a. Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
ABCD và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng ABC D . Kết quả tính diện tích tồn phần Stp của khối
nón đó có dạng bằng
A. bc  5 .

a 2
4





b  c với b và c là hai số nguyên dương và b  1 . Giá trị của bc là

B. bc  8 .

C. bc  15 .

D. bc  7 .

Câu 2: Một tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh cịn lại nằm trên đường trịn
đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng
A.

3 2
a .

2

B.

2 3 2
a .
3

C.

3 2
a .
3

D.

3a 2 .

Câu 3: Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 5a 2 và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của
hình nón đã cho là
A. a 5 .

B. 3a 2 .

C. 3a .

D. 5a .

Câu 4: Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vng có cạnh huyền bằng a 2 . Diện tích xung
quanh S xq của hình nón đó là

A. S xq 

a 2 3
.
3

B. S xq 

a 2 2
.
2

C. S xq 

a 2 2
.
6

D. S xq 

a 2 2
.
3

Câu 5: Cho một miếng tơn hình trịn có bán kính 50 cm. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích
tồn phần của hình nón bằng diện tích miếng tơn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy bằng
TOANMATH.com

Trang 10