HÀM BOOL pdf

1
HÀM BOOL
N i Dung Chínhộ
N i Dung Chínhộ

Hàm Bool

Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

Biểu Đồ Karnaugh Cho Hàm Bool

Thuật Toán Tìm Công Thức Đa Thức Tối Tiểu Cho Hàm Bool

Hàm Bool Của Mạch Điện

Bài Tập
2
HÀM BOOL
I.
Hàm Bool
1.
Đại số Bool nhị phân
2.
Hàm Bool
3.
Đại số Bool của các hàm Bool
II.
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
1.
Từ đơn
2.

Đơn thức
3.
Đơn thức tối tiểu trong Fn
4.
Đa thức trong Fn
5.
Dạng nối rời chính tắc của hàm Bool
6.
Cách tìm dạng nối rời chính tắc của hàm Bool
7.
Mệnh đề
8.
So sánh các dạng đa thức của hàm Bool
9.
Công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool
3
HÀM BOOL
N i Dung Chính (tt)ộ
N i Dung Chính (tt)ộ
III.
Biểu Đồ Karnaugh Cho Hàm Bool
1.
Bảng mã
2.
Biểu đồ Karnaugh cho hàm Bool
3.
Nhận xét
4.
Tính chất
5.

Biểu đồ của 1 đơn thức
6.
Biểu đồ của đa thức
7.
Tế bào và tế bào lớn
IV.
Thuật Toán Tìm Công Thức Đa Thức Tối Tiểu Cho Hàm Bool
1.
Họ phủ và họ phủ tối tiểu
2.
Thuật toán
V.
Đại Số Các Mạch Điện
1.
Hàm Bool của mạch điện
2.
Các loại cổng cớ bản
3.
Thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm Bool
4.
Tối ưu hóa việc thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm Bool
VI.
Bài Tập
4
HÀM BOOL
N i Dung Chính (tt)ộ
N i Dung Chính (tt)ộ
I.
I.
Hàm Bool

Hàm Bool
5
HÀM BOOL
George Boole
(1815-1864)
I.
I.
Hàm Bool
Hàm Bool
1.
Đại số Bool nhị phân:
Cho B ={0,1}. ta đặt các phép toán như sau:

x y = xy

x V y = (x + y) – (xy)

¬ x = 1 – x
6
Byx ∈∀ ,
HÀM BOOL
1.
Đại số Bool nhị phân:
Đại số bool của các số nhị phân cũng thỏa các trường hợp (luật) như trong mệnh đề.
7
I.
I.
Hàm Bool
Hàm Bool
Luât phủ định kép ¬ ¬E <=> E

Luật lũy đẳng E E <=> E
E V E <=> E
Luật giao hoán F E <=> E F
F V E <=> E V F
Luật kết hợp (E F) G <=> E (F G)
(E V F) V G <=> E V (F V G)
Luật phân phối E (G V F) <=> (E G) V (E F)
E V (G F) <=> (E V G) (E V F)
Luật phủ định De-Morgan ¬ (E F) <=> ¬E V ¬F
¬ (E V F) <=> ¬E ¬F
Luật hấp thụ E (E V F) <=> E ; E V (E F) <=> E
Luật trung hòa E 1 <=> E
E V 0 <=> E
Luật thống trị E 0 <=> 0
E V 1 <=> 1
Luật bù E ¬E <=> 0
E V¬E <=> 1
Luật kéo theo E → F <=> ¬E V F
Phủ định kéo theo ¬( E → F) <=> E ¬F
HÀM BOOL
2.
Hàm Bool:
a. Định nghĩa Cho và .
Hàm Bool n biến là ánh xạ f : Bn → B, trong đó B = {0, 1}
Một hàm Bool n biến là một hàm số có dạng f = f(x
1
,x
2
,…,x
n

), trong đó mỗi biến trong x
1
, x
2
,…, x
n
và f chỉ nhận giá trị trong B =
{0, 1}
Ký hiệu F
n
để chỉ tập các hàm Bool n biến.

Ví dụ: Biểu thức logic E = E(p
1
,p
2
,…,p
n
) theo n biến p
1
, p
2
,…, p
n
là một hàm Bool n biến.
8
I.
I.
Hàm Bool
Hàm Bool

HÀM BOOL
1≥n
Nn ∈
2.
Hàm Bool:
b.
Bảng chân trị
Xét hàm Bool n biến f(x
1
,x
2
,…,x
n
)

Vì mỗi biến x
i
chỉ nhận hai giá trị 0, 1 nên chỉ có 2n trường hợp của bộ biến (x
1
,x
2
,…,x
n
).

Do đó, để mô tả f ta có thể lập bảng gồm 2n hàng ghi tất cả các giá trị của f tùy theo 2n trường hợp của biến. Ta gọi đây là bảng
chân trị của f.
9
I.
I.

Hàm Bool
Hàm Bool
HÀM BOOL
2.
Hàm Bool:
b.
Bảng chân trị
Ví dụ: cho mạch điện như hình vẽ


Tùy theo cách trạng thái cầu dao A, B, C mà ta sẽ có dòng điện đi qua MN.
Bảng giá trị
10
I.
I.
Hàm Bool
Hàm Bool
HÀM BOOL
A
C
M
N
B
3.
Các phép toán trên hàm Bool:

Với ta định nghĩa tổng, tích, bù hàm Bool của f và g như sau






11
I.
I.
Hàm Bool
Hàm Bool
HÀM BOOL
,
F
gf
n
∈
)()( fggfgf −+=∨
fggf =∧
ff −=1
3.
Các phép toán trên hàm Bool:
Ví dụ: n = 2

12
I.
I.
Hàm Bool
Hàm Bool
HÀM BOOL
X
1
1 1 0 0

X
2
1 0 1 0
0(x
1
, x
2
) 0 0 0 0
1(x
1
, x
2
) 1 1 1 1
f(x
1
, x
2
) 0 1 0 1
g(x
1
, x
2
) 1 1 0 0
¬
f(x
1
, x
2
) 1 0 1 0
¬

g(x
1
, x
2
) 0 0 1 1
f g(x
1
, x
2
) 0 1 0 0
f V g(x
1
, x
2
) 1 1 0 1
1.
Từ đơn:
Xét tập hợp các hàm Bool của n biến F
n
theo n biến x
1
,x
2
,…,x
n
.
Mỗi hàm bool x
i
hay ¬ x
i

được gọi là từ đơn.
Ví dụ: x
1
, x
2
, x
3
,…
2.
Đơn thức:
Là tích khác không của một số hữu hạn từ đơn.
Hay có thể hiểu là: Tích Bool của 1 hay nhiều từ đơn sao cho tích này khác 0.
Ví dụ: Trong F4 xét x
3
, x
1
x
2
,

x
1
x
2
x
3
x
4
(bậc của đơn thức là số thành phần x)
Trong Fn các đơn thức có bậc từ 1 đến n

x, ¬x, y, ¬y, z, ¬z, t, ¬t là các từ đơn
x¬yz ¬t, ¬x ¬yt là các đơn thức


13
II.
II.
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
HÀM BOOL
3.
Đơn thức tối tiểu trong Fn:
Là đơn thức có bậc cao nhất bằng n trong Fn.
Dạng tổng quát m = y
1
y
2
y
n,
y
i
= x
i
hoặc ¬x
i
1 ≤ i ≤n
Ví dụ: Trong F4 xét các đơn thức tối tiểu bậc 4
x
1
x

2
x
3
x
4,
x
1
¬x
2
x
3
x
4,
x
1
x
2
x
3
x
4
, ¬x
1
¬x
2
¬x
3
¬x
3
4.

Đa thức trong Fn:
Là tổng Bool các đơn thức f = u
1
V

u
2
V u
3
V…V u
k
, trong đó Ui là các đơn thức.
Ví dụ: Trong F5 xét đa thức
f(x
1
,x
2
,x
3,
x
4
) = x
1
¬x
5
V ¬x
2
x
3
¬x

4
V ¬x
3
V ¬x
1
x
3
x
4
x
5
=> Tổng Bool 4 đơn thức f(1,0,1,1,0)=1¬0V¬01¬1V¬1V¬1110 = 1


14
II.
II.
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
HÀM BOOL
5.
Dạng nối rời chính tắc của hàm Bool:
Cho f thuộc Fn , f có thể viết dưới dạng sau
f = m
1
V m
2
V m
3
V …V m

k
, (*)
với m
i
là các đơn thức tối tiểu bậc = n (i = 1…n )

(*) được gọi là dạng nối rời chính tắc của f

Ví dụ: Trong F4 có dạng biểu diễn sau đây
f(x,y,z,t) = x¬y¬zt V ¬xyzt V xy¬z¬t có dạng (*)


15
II.
II.
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
HÀM BOOL
6.
Cách tìm dạng nối rời chính tắc của hàm Bool:
Có 2 cách để xác định dạng nối rời chính tắc của một hàm Bool

Cách 1: Bổ xung từ đơn còn thiếu vào các đơn thức

Bước 1: Khai triển hàm Bool thành tổng của các đơn thức

Bước 2: Với mỗi từ đơn thu được ở bước 1, ta nhân đơn thức đó với các tổng dạng với xi là những từ đơn bị thiếu trong
đơn thức đó

Bước 3: Tiếp tục khai triển hàm thu được ở bước 2 và loại bỏ những đơn thức bị trùng. Công thức đa thức thu được chính

là dạng nối rời chính tắc của hàm Bool ban đầu
Ví dụ: Trong F
3
tìm dạng nối dời chính tắc f(x,y,z)= ¬x V ¬yz V xy¬z
f = ¬x(y V ¬y).(z V ¬z) V (¬x V x)¬yz V xy¬z
f = ¬xyz V ¬xy¬z V ¬x¬yz V ¬x¬y¬z V ¬x¬yz V x¬yzVxy¬z (*)
(*) Chính là dạng nối dời chính tắc

16
II.
II.
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
HÀM BOOL
6.
Cách tìm dạng nối rời chính tắc của hàm Bool:
Có 2 cách để xác định dạng nối rời chính tắc của một hàm Bool

Cách 2: dùng bảng chân trị. Để ý đến các vector bool trong bảng chân trị
mà f=1, tại đó Vector bool thứ k là u
1
, u
2
,…, u
n
mà f(u
1
, u
2
,…, u

n
) = 1.
Ví dụ: cho f(x,y) = x V ¬y. Tìm biểu thức dạng nối rời chính tắc của f
Lập bảng chân trị của f

Các thể hiện làm cho f = 1 là 00, 10, 11 lập được các từ tối tiểu tương ứng.
Vậy dạng nối rời chính tắc của f là f(x,y) = ¬x ¬y V x ¬y V xy

17
II.
II.
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
HÀM BOOL
7.
Mệnh đề:
f F∈
n
Khi đó,

f có thể có nhiều dạng đa thức khác nhau , ta chọn ra các công thức
đơn giản nhất có thể được. Chúng chính là các công thức đa thức
tối tiểu của f.

f chỉ có một dạng nối dời chính thức duy nhất (không tính sự hoán
đổi của các đơn thức).

18
II.
II.

Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
HÀM BOOL
8.
So sánh các dạng đa thức của hàm Bool:
f F∈
n
và f có 2 dạng đa thức
f = u
1
V u
2
V… V u
p
(1)
f = v
1
V v
2
V… V v
q
(2)
a. Ta nói (1) và (2) đơn giản ngang nhau nếu
p = q
deg(u
j
) = deg(v
j
) (1 ≤ j ≤ p)

b. Ta nói (1) đơn giản hơn (2) hay (2) phức tạp hơn (1)
p ≤ q

deg(u
j
) ≤ deg(u
j
) (1 ≤ j ≤ p)
chú ý:

Có thể hoán vị v
1
, v
2
, …,v
q
trước khi so sánh bậc nếu cần thiết

Có thể có những cặp đa thức không so sánh được
19
II.
II.
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
HÀM BOOL
8.
So sánh các dạng đa thức của hàm Bool:
Ví dụ:
a. f F∈
4

có 3 dạng đa thức
f(x,y,z,t) = x ¬y ¬t V ¬xyz V x ¬z ¬ t V xyz (1)
= x ¬y ¬t V ¬xyz V xy ¬z V yzt (2)
= x ¬y ¬t V ¬xyzt V ¬xyz ¬t V xy ¬z V yzt (3)
(1) và (2) đơn giản ngang nhau
vì p = q = 4
deg(u
j
) = deg(v
j
) = 3

(2) đơn giản hơn (3) hay (3) phức tạp hơn (2)
vì q = 4 < r = 5
deg(v
j
) ≤ deg(q
j
)
20
II.
II.
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
HÀM BOOL
8.
So sánh các dạng đa thức của hàm Bool:
Ví dụ:
b. g F∈
4

có 3 dạng đa thức
g(x,y,z,t) = x ¬yz V z ¬t V ¬xyz V ¬xy ¬zt (4)
= z ¬t V x ¬yzt V ¬xyzt V ¬xy ¬zt (5)
ta thấy: p = q = 4
d(u
1
) > d(v
1
); d(u
2
) < d(v
2
)

nên cần phải hoán vị
(5)  x ¬yzt V z ¬t V ¬xyzt V ¬xy ¬zt (5`) (q` = 4)
(4) đơn giản hơn 5`

vì p = q` = 4

deg(u
j
) ≤ deg(w
j
)

21
II.
II.
Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
HÀM BOOL
III.
III.
Biểu đồ karnaugh cho hàm Bool
Biểu đồ karnaugh cho hàm Bool
1.
Bảng mã: xét B = {0,1}
a.
Bảng mã cho B
2
(2 biến bool x và y)
b.
Bảng mã cho B
3
(3 biến bool x, y, z)
c.
Bảng mã cho B
4
(4 biến pool x, y, z, t)


22
HÀM BOOL
III.
III.
Biểu đồ karnaugh cho hàm Bool
Biểu đồ karnaugh cho hàm Bool
2.
Ghi chú:

a.
Khái niệm kề nhau trong bảng mã được hiểu như sau

Dòng (cột) 1 kề với dòng (cột) 2

Dòng (cột) 2 kề với dòng (cột) 3

Dòng (cột) 3 kề với dòng (cột) 4

Dòng (cột) 4 kề với dòng (cột) 1
b.
2 ô kề nhau trong bảng mã có mã số sai khác nhau 1 vị trí


23
HÀM BOOL
III.
III.
Biểu đồ karnaugh cho hàm Bool
Biểu đồ karnaugh cho hàm Bool
3.
Biểu đồ Karnaugh cho hàm Bool:

Biểu đồ Karnaugh chỉ dùng cho 4 biến trở xuống.

f ∈ F
n
(n ≤ 4) và xét bảng chân trị của f. Ta quan tâm các vector bool mà f=1 tại đó. Đánh dấu các ô đó của bảng mã. Tập hợp
các ô được đánh dấu gọi là biểu đồ karnaugh của hàm bool F.

Ký hiệu: kar(f) – biểu đồ karnaugh của f
Ví dụ: f ∈ F
3
có bảng chân trị




24
HÀM BOOL
III.
III.
Biểu đồ karnaugh cho hàm Bool
Biểu đồ karnaugh cho hàm Bool
4.
Nhận xét:
Một hàm bool f F∈
n
được xác định nếu ta biết 1 trong 4 yếu tố sau đây:
a. Bàng chân trị của f.
b. Một dạng đa thức của f.
c. Dạng nối rời chính tắc (1 dạng đa thức đặc biệt cùa f).
d. S = kar(f) ((n ≤ 4)).
5.
Tính chất:

f, g f F∈
n
(n ≤ 1)
a. Kar(¬f): phần bù của biều đồ kar(f) trong bảng.

b. Kar(f g) = kar(f.g) = kar(f) kar(g).
c. Kar(f V g) = kar(f) V kar(g).
25
HÀM BOOL