LUẬN văn THẠC sĩ HAY đánh giá trạng thái của một số lớp hệ vi phân và sai phân có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LƯU THỊ HIỆP

ĐÁNH GIÁ TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ LỚP
HỆ VI PHÂN VÀ SAI PHÂN CĨ TRỄ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LƯU THỊ HIỆP

ĐÁNH GIÁ TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ LỚP
HỆ VI PHÂN VÀ SAI PHÂN CĨ TRỄ
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 9460102

Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Đình Phư
Trường ĐH Quang Trung
Phản biện 2: GS.TS. Đặng Đức Trọng
Trường ĐH Khoa học tự nhiên-ĐHQG TP. Hồ Chí Minh
Phản biện 3: TS. Phạm Quý Mười
Trường ĐH Sư phạm-ĐH Đà Nẵng

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. PHAN THANH NAM

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Lời cam đoan

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS. Phan Thanh Nam. Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của
tôi. Các kết quả trong Luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng
và chưa từng được ai cơng bố trước đó.

Người hướng dẫn

Tác giả

PGS. TS. Phan Thanh Nam

Lưu Thị Hiệp

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Lời cảm ơn

Luận án này được hoàn thành trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa

Tốn và Thống Kê, Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm
khắc của Thầy, PGS.TS Phan Thanh Nam. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến Thầy.
Nhân dịp này, tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào
tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán và Thống Kê trường Đại học Quy Nhơn
đã tạo các điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập tại Trường. Tác giả xin
gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các Thầy, Cô giáo trong Khoa đã giúp đỡ, động
viên và nhiệt tình truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt thời gian qua. Đặc
biệt, tác giả rất biết ơn các Thầy, Cơ giáo trong bộ mơn giải tích đã dành thời gian
đọc bản thảo Luận án và có nhiều góp ý q báu giúp Luận án được hồn thiện hơn.
Tác giả muốn nói lời cảm ơn đến các nhà khoa học trong hội đồng đánh giá Luận
án các cấp vì đã đọc bản thảo của Luận án và có những ý kiến vơ cùng q báu để
tác giả hồn thiện Luận án.
Tác giả xin cảm ơn các anh chị nghiên cứu sinh đã quan tâm, chia sẻ, trao đổi
chuyên mơn trong q trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Quy Nhơn.
Cuối cùng, tác giả xin dành lời tri ân gia đình, những người ln u thương, bên
cạnh, chia sẻ và động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành Luận án.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


MỤC LỤC

Danh mục các ký hiệu

iii

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

iv

Danh mục bảng

v

MỞ ĐẦU

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

7

1.1

1.2

1.3

Bài tốn ổn định các hệ động lực có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Mơ hình thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Hệ vi phân

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.3

Hệ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Bài toán tìm tập bị chặn tới hạn, tập bất biến cho các hệ có nhiễu . . .

13

1.2.1

Hệ vi phân

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2

Hệ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.1

Một số bổ đề liên quan đến việc sử dụng hàm Lyapunov . . . .

17

1.3.2

Hệ dương và một số bổ đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.3

Hệ suy biến và một số bổ đề liên quan . . . . . . . . . . . . . .

21

Chương 2. Tính ổn định của hệ tuyến tính có trễ
2.1

Một số phát triển gần đây đối với phương pháp hàm Lyapunov . . . . .

22
22

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


2.2

Hệ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3

Hệ vi phân suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Chương 3. Đánh giá trạng thái của hệ có trễ và nhiễu bị chặn

49

3.1

Một số phát triển gần đây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2

Đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho hệ sai phân . . . . . . . . . . .

51

3.3

Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương . . . . . . . . . . . . .

62

3.3.1

Sự hội tụ sau thời gian hữu hạn của hệ tuyến tính dương . . . .

65

3.3.2

Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương khơng có nhiễu

68

3.3.3

Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương có nhiễu . . .

71

KẾT LUẬN

78

DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

79

TÀI LIỆU THAM KHẢO

79

CHỈ MỤC

90

ii

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Danh mục các ký hiệu

:
:
:
:

Tập
Tập
Tập
Tập

N

N0
AT
A−1
rank(A)
det(A)
σ(A)
λmax (A)
ρ(A)
s(A)
A > (≥) 0

:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:

chiều
{1, 2, 3, . . . }
{0} ∪ N
Ma trận chuyển vị của ma trận A
Ma trận nghịch đảo của ma trận A
Hạng của ma ma trận A
Định thức của ma trận A

Tập các giá trị riêng của ma trận A
Giá trị riêng lớn nhất của ma trận A
max{|λ| : λ ∈ σ(A)}, bán kính phổ của ma trận A
max{Re(λ) : λ ∈ σ(A)}
Ma trận A là ma trận đối xứng xác định dương

A

(không âm)
: Tất cả các phần tử của ma trận A là dương

C
R (R+ , R0,+ )
Rn (Rn0,+ )
Rn×m (Rn×m
0,+ )

( )0

A, B ∈ Rn×m , A ( ) B
X ∈ Rn×n , Sym{X} = X + X T
In
∗
[ ]
x = [x1 x2 ... xn ]T ( ) 0
n

x, y ∈ R , x

( )y

hợp
hợp
hợp
hợp

các
các
các
các

số phức
số thực (dương, không âm)
vectơ thực (không âm) n chiều
ma trận thực (không âm) n × m

(khơng âm)
: aij > (≥) bij , i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , m}
:
:
:
:

Ma trận đơn vị cấp n
Hạng tử đối xứng trong một ma trận đối xứng
Biểu thị vectơ bên phải ở dạng bậc hai đối xứng
Vectơ x dương (không âm),

nghĩa là xi > (≥) 0 với mọi i ∈ {1, . . . , n}
: x−y ( ) 0

x
y

col{x, y}, x, y ∈ Rn×m

:

B(0, q)
deg(P )
C([a, b], Rn )

: {x ∈ Rn0,+ : x q}, hình cầu trong Rn0,+
: Bậc của đa thức P (s)
: Tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận
giá trị trên Rn với chuẩn ||x|| = max ||x(t)||
t∈[a,b]

iii

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Trang
Hình 1.1

Quá trình gia cơng kim loại

8

Hình 1.2

Mơ hình rung động tái sinh

8

Hình 1.3

Bộ giảm rung cổ điển

9

Hình 1.4

Bộ giảm rung cộng hưởng

9

Hình 1.5

Tập bị chặn tới hạn của hệ (1.5)

14

Hình 1.6

Tập bất biến của hệ (1.5)

14

Hình 1.7

Tập bị chặn tới hạn của hệ (1.7)

16

Hình 1.8

Tập bất biến của hệ (1.7)

16

Hình 3.1

Bao tập đạt được là hình elipsoid [105]

50

Hình 3.2

Bao tập đạt được là hình đa diện [65]

50

Hình 3.3

Quỹ đạo hệ thống và các chặn

62

Hình 3.4

Các quỹ đạo của x1 (t) và chặn của nó

75

Hình 3.5

Các quỹ đạo của x2 (t) và chặn của nó

75

Hình 3.6

Các quỹ đạo của x3 (t) và chặn của nó

76

Hình 3.7

Các quỹ đạo của y1 (t) và chặn của nó

76

Hình 3.8

Các quỹ đạo của y2 (t) và chặn của nó

76

iv

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Danh mục bảng

Trang
Các cận trên cho phép h2 với µ khác nhau và h1 = 40; 50
của Ví dụ 2.1, trường hợp (i)

37

Các cận trên cho phép h2 với µ khác nhau và h1 = 60; 70
của Ví dụ 2.1, trường hợp (i)

37

Các cận trên cho phép h2 với µ khác nhau và h1 = 30
của Ví dụ 2.1, trường hợp (i)

38

Các cận trên cho phép h2 với h1 khác nhau
của Ví dụ 2.1, trường hợp (ii)

38

Các cận trên cho phép, h2 , với các giá trị khác nhau

của µ và h1 (Ví dụ 2.2)

39

Bảng 2.6

Các cận trên h với các giá trị khác nhau của µ

48

Bảng 3.1

Các cận tính được

62

Bảng 3.2

Thuật tốn tính cận trạng thái thành phần

74

Bảng 2.1

Bảng 2.2

Bảng 2.3

Bảng 2.4

Bảng 2.5

v

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


MỞ ĐẦU

Trong các hệ điều khiển, thông tin/dữ liệu được truyền tải qua các băng tầng kết
nối. Do đó, thơng tin truyền tải giữa nơi phát đi và nơi nhận được thường trễ sau
một khoảng thời gian. Trễ thời gian (gọi ngắn gọn là trễ) là một trong những nguyên
nhân dẫn đến tính khơng ổn định và hiệu suất kém (poor performance) của hệ thống
[27, 30, 32, 44]. Các hướng nghiên cứu về ổn định, điều khiển và quan sát cho các lớp
hệ có trễ là các chủ đề quan trọng trong lý thuyết điều khiển và đã thu hút sự quan
tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước như Hale J. [32], Kharitonov V.L.
[30], Boyd S. [8], Fridman E. [27], Seuret A. [83], Park P.G. [76], He Y. [35], Trinh H.
[96], Phat V.N. [2], Son N.K. [41], Du N.H. [20], Linh V.H. [10], Thuan D.D. [19], Ngoc
P.H.A. [72], Nam P.T. [63], Hien L.V. [40], Huong D.C. [95], Thuan M.V. [94], . . . . Bên
cạnh các yếu tố độ trễ thời gian thì yếu tố nhiễu là không thể tránh khỏi trong hầu
hết các hệ thống thực tế. Trong trường hợp nhiễu không biết và biến thiên, tính ổn
định của hệ có nhiễu nói chung là khơng được đảm bảo. Trong trường hợp này, người
ta thường giả thiết nhiễu biến thiên trong một khoảng bị chặn. Khi đó, thay vì nghiên
cứu tính ổn định thì người ta xét bài toán đánh giá trạng thái cho các hệ động lực có
nhiễu. Bài tốn đánh giá trạng thái cho hệ có nhiễu là bài tốn tìm một tập bị chặn
nhỏ nhất có thể sao cho trạng thái của hệ thống hội tụ vào trong tập đó. Trường hợp
đặc biệt, khi đánh giá cho các trạng thái xuất phát từ điểm gốc thì bài tốn đánh giá
trạng thái trở thành bài tốn tìm bao tập đạt được. Năm 2003, bài tốn tìm bao tập
đạt được, lần đầu tiên, được xét cho các hệ tuyến tính có trễ trong [28] và bài tốn
đánh giá trạng thái cho các hệ có trễ được phát triển mạnh mẽ trong các năm gần đây

[25, 45, 47, 62, 64, 65, 66, 67, 70, 91, 94, 96, 109, 110].
Phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ quan trọng, được sử dụng phổ biến
thông qua việc xét lớp hàm Lyapunov phù hợp, các điều kiện đủ cho tính ổn định của
hệ được thiết lập. Với các lớp hệ tuyến tính có trễ, các điều kiện đủ đó thường được
biểu diễn dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính và có thể kiểm tra, giải
được bằng các cơng cụ giải số và các thuật tốn lồi. Các điều kiện ổn định đó có thể
chia thành hai loại: (I) các điều kiện ổn định độc lập với độ trễ; (II) các điều kiện ổn
định phụ thuộc độ trễ. Thực tế cho thấy các hệ có trễ thường chỉ ổn định với một độ
trễ nhất định. Vì vậy, các tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc độ trễ (II) có nhiều ứng dụng
và được quan tâm nghiên cứu, phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây. Để cải
thiện các điều kiện ổn định phụ thuộc vào trễ sao cho có thể tăng khoảng biến thiên
của độ trễ đến mức lớn nhất có thể hoặc sử dụng ít nhất các biến quyết định trong khi
vẫn giữ nguyên độ trễ tối đa, các nhà nghiên cứu đã phát triển hai hướng:

1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


(1) Đề xuất các lớp hàm Lyapunov mới, mở rộng, sử dụng nhiều thông tin của trạng
thái hệ thống hơn;
(2) Đưa ra các kỹ thuật đánh giá chặt hơn đối với đạo hàm của hàm Lyapunov.
Với hướng nghiên cứu thứ nhất, một trong những cách để mở rộng các lớp hàm Lyapunov là người ta thường xây dựng các lớp hàm Lyapunov càng tổng quát, càng chứa
nhiều thông tin về trạng thái thì tiêu chuẩn ổn định thu được càng tốt, càng dễ thỏa
mãn hơn như mở rộng hạng tử tồn phương [12, 34], thêm các hạng tử tích phân ba
lớp và bốn lớp [79, 90], sử dụng kỹ thuật phân hoạch trễ [18, 24]. . . . Với hướng nghiên
cứu thứ hai, để cải tiến kỹ thuật đánh giá đạo hàm của các hàm Lyapunov, một trong
những bất đẳng thức được sử dụng phổ biến nhất là bất đẳng thức tích phân Jensen
[29]. Gần đây, để đánh giá chặt hơn đạo hàm các hàm Lyapunov, bất đẳng thức tích
phân dựa trên Wirtinger [83] (bất đẳng thức đánh giá chặt hơn bất đẳng thức Jensen

và để ngắn gọn gọi là bất đẳng thức tích phân Wirtinger), bất đẳng thức tích phân
Wirtinger mở rộng [38], bất đẳng thức Bessel-Legendre [50, 84], bất đẳng thức tích
phân dựa trên ma trận tự do [100] đã được thiết lập và đề xuất sử dụng. Ngồi ra,
với các lớp hệ có trễ biến thiên, kết hợp kỹ thuật phân hoạch, các bất đẳng thức lồi
đảo [49, 77, 85, 86, 102]. . . cũng được sử dụng một cách hữu hiệu để tăng khoảng biến
thiên độ trễ.
Phương pháp hàm Lyapunov cũng được mở rộng cho bài toán đánh giá trạng
thái/bao tập đạt được cho các hệ có trễ và nhiễu bị chặn với đạo hàm của hàm Lyapunov
được đánh giá phụ thuộc vào các cận của nhiễu [8]. Để thu được đánh giá trạng thái chặt
hơn, người ta không những cải tiến các lớp hàm Lyapunov mà còn đưa ra các kĩ thuật
đánh giá chặt hơn cho đạo hàm của các hàm Lyapunov, nhiều kết quả về đánh giá trạng
thái/bao tập đạt được đã được công bố trong [25, 36, 45, 47, 62, 65, 67, 91, 109, 110].
Tuy nhiên, đối với phương pháp này, người ta thường đánh giá trên tồn bộ vectơ trạng
thái. Do đó, để thu được các đánh giá trạng thái/bao tập đạt được nhỏ nhất có thể,
bên cạnh việc phát triển phương pháp hàm Lyapunov, một số kỹ thuật đánh giá trạng
thái cũng được đề xuất, như đánh giá từng thành phần của trạng thái [66, 70, 91] và
tổng quát hơn nữa là đánh giá hàm tuyến tính trạng thái [64, 65].
Một hướng nghiên cứu đang được phát triển gần đây tập trung vào việc mở rộng
phương pháp hàm Lyapunov cho bài tốn ổn định cho các lớp hệ tuyến tính mà cả trễ
và đạo hàm của trễ đều bị chặn. Kỹ thuật chính là việc đề xuất sử dụng các lớp hàm
Lyapunov với các ma trận biến thiên phụ thuộc trễ thay vì các ma trận hằng. Khi đó,
thơng tin chặn đạo hàm của trễ được khai thác và một vài kết quả cải tiến hơn đã
được đề xuất [48, 96, 103]. Tuy nhiên, các kết quả này chỉ mới nghiên cứu cho lớp hệ
vi phân và chưa khai thác nhiều cho lớp hệ sai phân. Trong Luận án, chúng tôi phát
triển kỹ thuật này cho lớp hệ sai phân và lớp hệ vi phân suy biến.
2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Trong thực tế, có rất nhiều hệ thống mà tất cả các trạng thái của nó ln dương
chẳng hạn như các hệ động lực trong sinh học, cơ học, vật lý, hóa học, kỹ thuật
[4, 23, 42, 56]. Một hệ động lực được gọi là dương nếu mọi nghiệm của nó ứng với
điều kiện ban đầu khơng âm thì nghiệm đó là khơng âm. Khác với các lớp hệ động
lực thơng thường, lớp các hệ dương có các tính chất đặc biệt và cần có phương pháp
nghiên cứu đặc thù riêng mà các phương pháp hàm Lyapunov và các bất đẳng thức
ma trận tuyến tính thường là ít hữu hiệu cho việc nghiên cứu tính ổn định. Một trong
những phương pháp hữu hiệu được dùng để nghiên cứu tính ổn định cho các lớp hệ
dương là phương pháp so sánh nghiệm thơng qua việc khai thác các tính chất của ma
trận dương, ma trận Metzler [80, 81, 88]. Gần đây, phương pháp so sánh nghiệm cũng
đã được mở rộng cho bài toán đánh giá trạng thái cho một số lớp hệ dương [37, 66] và
chỉ mới xét cho các lớp hệ tuyến tính. Tuy nhiên, phương pháp này vẫn chưa mở rộng
cho lớp hệ suy biến. Và bài toán mở này được chúng tôi nghiên cứu trong Luận án.
Luận án tập trung chính vào hai vấn đề sau:
(1) Phát triển mở rộng phương pháp hàm Lyapunov bằng kỹ thuật ma trận biến thiên
phụ thuộc trễ cho bài toán ổn định cho một số lớp hệ tuyến tính có trễ.
(2) Phát triển phương pháp hệ dương cho bài toán đánh giá trạng thái cho lớp hệ
dương suy biến có trễ.
Với lớp hệ vi phân có trễ và đạo hàm của trễ đều bị chặn, để khai thác thông tin
về chặn đạo hàm của trễ, kỹ thuật hàm Lyapunov với các ma trận phụ thuộc trễ đã
được đề xuất sử dụng trong [48, 96]. Năm 2016, các tác giả trong [103], lần đầu tiên,
mở rộng kỹ thuật này để khảo sát tính ổn định cho lớp hệ sai phân có trễ sau:

x(k + 1) = Ax(k) + A x(k − h(k)), k ∈ N ,
d
0
(1)

x(k) = φ(k), k ∈ {−h2 , . . . , 0},
với điều kiện 0 ≤ h1 ≤ h(k) ≤ h2 và µ1 ≤ ∆h(k) ≤ µ2 . Trong [103], các tác giả đề

xuất lớp hàm Lyapunov chỉ với một ma trận phụ thuộc trễ trong hạng tử tồn phương.
Trong Luận án, chúng tơi đề xuất sử dụng một lớp hàm Lyapunov mở rộng với hai ma
trận phụ thuộc trễ, trong đó một ma trận phụ thuộc trễ ở trong hạng tử toàn phương
và một ma trận phụ thuộc trễ ở trong hạng tử tổng đơn. Sai phân của hàm Lyapunov
được đánh giá thông qua hai bất đẳng thức hữu hiệu gần đây gồm: bất đẳng thức
Wirtinger rời rạc cải tiến [68] và bất đẳng thức ma trận lồi đảo phụ thuộc trễ [85]. Kết
quả là, chúng tôi thu được một tiêu chuẩn ổn định mới, độ trễ biến thiên trong khoảng
rộng hơn và số biến quyết định ít hơn, cho lớp hệ sai phân có trễ (1) (Định lý 2.1).
Lớp hệ thứ hai được chúng tôi xem xét trong Luận án là lớp hệ vi phân suy biến.
Hệ suy biến (hay cịn gọi là hệ phương trình vi phân đại số) bao gồm một phương
3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


trình vi phân kết hợp với một phương trình sai phân. Lớp hệ này tổng quát hơn lớp
hệ tuyến tính và cho phép chúng ta có thể mơ hình hóa được nhiều hệ thực tế hơn
[58, 71, 82]. Hệ suy biến được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế [56],
mạng lưới điện [9], cơ học [57]. . . . Do đó, bài tốn ổn định, điều khiển cho các lớp hệ
suy biến cũng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài
nước [9, 17, 19, 31, 40, 51, 73, 92, 93]. Việc nghiên cứu bài toán ổn định cho lớp hệ suy
biến có trễ phức tạp hơn so với nghiên cứu các hệ vi phân tuyến tính thơng thường vì
hai lý do chính sau đây:
(1) Với hệ suy biến, bài tốn tồn tại duy nhất nghiệm khơng phải bao giờ cũng thỏa
mãn mà phải cần thêm một số ràng buộc cho sự tồn tại nghiệm [17].
(2) Khi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov, việc xây dựng hàm Lyapunov và đánh
giá đạo hàm của hàm Lyapunov dọc theo quỹ đạo nghiệm của hệ khó khăn hơn so với
hệ thơng thường [26, 40].
Phương pháp hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định cũng được phát triển và mở
rộng cho các lớp hệ suy biến. Tuy nhiên, các điều kiện đưa ra dựa trên phương pháp

này thường khó thỏa mãn hơn vì nó cần thêm các điều kiện ràng buộc về mặt đại số và
các điều kiện về tồn tại duy nhất nghiệm. Để mở rộng lớp hàm Lyapunov, năm 2014,
Liu Z.Y., Lin C. và Chen B. [53] đã phát triển phương pháp chuyển đổi lớp hệ suy
biến về lớp hệ trung tính. Thơng qua việc nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ trung
tính thì tính ổn định của lớp hệ suy biến cũng được đảm bảo. Phương pháp chuyển
đổi này đã nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trong những năm
gần đây [21, 52, 53, 54, 107, 108]. Hướng nghiên cứu này cũng được kết hợp với việc
sử dụng các bất đẳng thức tích phân Wirtinger [83] và bất đẳng thức tích phân dựa
trên ma trận tự do [100] để đưa ra các tiêu chuẩn ổn định tốt hơn cho lớp hệ có trễ
suy biến [21, 52, 53, 54, 107, 108]. Hầu hết các kết quả hiện nay chỉ mới sử dụng các
hàm Lyapunov chứa hạng tử tích phân hai lớp. Hơn nữa, kỹ thuật ma trận phụ thuộc
trễ chưa được phát triển cho lớp hệ suy biến. Trong Luận án, chúng tôi xây dựng một
lớp hàm Lyapunov mở rộng với một ma trận phụ thuộc trễ và chứa hạng tử tích phân
ba lớp để khảo sát tính ổn định cho lớp hệ vi phân suy biến có trễ sau:

E x(t)
˙
= Ax(t) + Ah x(t − h(t)), t ≥ 0,
(2)
 x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0],
trong đó E là ma trận suy biến và trễ biến thiên h(t) thỏa mãn 0 ≤ h(t) ≤ h,
˙
µ1 ≤ h(t)
≤ µ2 . Đạo hàm của hàm Lyapunov được đánh giá thơng qua bất đẳng thức
tích phân Wirtinger cải tiến [76] và bất đẳng thức ma trận lồi đảo phụ thuộc trễ [85].
Từ đó, một tiêu chuẩn mới đảm bảo tính ổn định cho hệ vi phân suy biến (2) với độ
trễ lớn hơn được thiết lập (Định lý 2.2).
4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Đối với bài toán đánh giá trạng thái cho các lớp hệ có nhiễu, kỹ thuật đánh giá
hàm tuyến tính trạng thái sẽ giúp đưa ra các đánh giá chặt hơn so với việc đánh giá
toàn bộ vectơ bằng phương pháp Elipsoid. Các kết quả đánh giá hàm tuyến tính trạng
thái chỉ mới xét cho lớp hệ vi phân [64, 65]. Trong Luận án, chúng tơi mở rộng bài
tốn đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho lớp hệ sai phân sau:

x(k + 1) = Ax(k) + A x(k − h(k)) + Bω(k), k ∈ N ,
d
0
(3)

x(k) = 0, k ∈ {−h2 , . . . , 0}.
Bằng cách xây dựng một hạng tử tồn phương của hàm tuyến tính trạng thái trong
lớp hàm Lyapunov, một điều kiện đủ cho sự tồn tại các chặn cho hàm tuyến tính trạng
thái của hệ sai phân (3) được đưa ra (Định lý 3.1). Kết quả đưa ra được áp dụng để
thiết lập một hình đa diện bao tập đạt được cho hệ (3) và nhỏ hơn các bao tập đạt
được bằng các hình elipsoid như các phương pháp thơng thường.
Với bài tốn đánh giá trạng thái cho các hệ dương, cho đến năm 2018, chưa có bất
cứ tác giả nào sử dụng phương pháp so sánh nghiệm để đánh giá trạng thái cho lớp hệ
dương suy biến có nhiễu bị chặn. Bài tốn mở này được chúng tơi phát triển cho lớp
hệ dương suy biến sau:

x(t)
˙
= Ax(t) + By(t − h1 (t)) + ω(t), t ≥ t0 ≥ 0,
(4)
y(t) = Cx(t) + Dy(t − h2 (t)) + d(t),
trong đó A là một ma trận Metzler, B, C, D là không âm, D là một ma trận Schur.

Thông qua việc khai thác một cách hữu hiệu hơn các tính chất của ma trận dương,
ma trận Metzler, chúng tôi đề xuất được một đánh giá nghiệm mới, chặt hơn cho lớp
hệ dương suy biến khơng có nhiễu. Kết hợp kết quả thu được và phương pháp so sánh
nghiệm, chúng tôi mở rộng cho bài toán đánh giá trạng thái cho lớp hệ dương suy biến
(4) và đề xuất một thuật tốn tính tốn để đưa ra đánh giá trạng thái nhỏ nhất cho
hệ này (Định lý 3.4).
Với các kết quả nghiên cứu đã đạt được, nội dung chính của Luận án được bố cục
trong ba chương.
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tơi giới
thiệu hai mơ hình thực tiễn, nhắc lại một số khái niệm và các kiến thức chuẩn bị được
sử dụng trong Luận án gồm: Bài tốn ổn định các hệ động lực có trễ, Bài tốn tìm tập
bị chặn tới hạn, tập bất biến cho các hệ có nhiễu và Một số bổ đề bổ trợ.
Chương 2 trình bày hai kết quả mới cho tính ổn định cho hai lớp hệ tuyến tính có
trễ. Cụ thể, chúng tơi trình bày các tiêu chuẩn ổn định hữu hiệu hơn cho hệ sai phân
có trễ trong Định lý 2.1 và cho hệ vi phân suy biến có trễ trong Định lý 2.2. Để minh
5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


họa cho tính hữu hiệu của các tiêu chuẩn đưa ra, chúng tơi xét các ví dụ số và trình
bày các bảng so sánh giữa các cận đã đạt được với các cận thu được bởi các kết quả
gần đây.
Chương 3 trình bày hai kết quả mới cho bài tốn đánh giá trạng thái cho hai lớp
hệ có trễ và nhiễu bị chặn. Cụ thể, chúng tôi đưa ra đánh giá hàm tuyến tính trạng
thái cho hệ sai phân trong Định lý 3.1 và đưa ra đánh giá trạng thái nhỏ nhất cho hệ
vi phân đại số dương trong Định lý 3.4. Hơn nữa, chúng tơi xét các ví dụ số, lập bảng
so sánh và hình vẽ để minh họa cho tính hữu hiệu của kết quả đạt được.
Các kết quả chính của Luận án được cơng bố trong các bài báo [1-4] trong Danh
mục các cơng trình của tác giả liên quan đến luận án và đã được báo cáo tại:

• Đại hội Tốn học Việt Nam lần thứ IX, Trường Đại học Thơng tin Liên lạc, Nha
Trang, 14-18/08/2018.
• Hội thảo “Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần III”, Trường Đại học Tây Ngun,
Đăklăk, 02-04/08/2019.
• Seminar Khoa Tốn và Thống Kê, Trường Đại học Quy Nhơn, Bình Định.

Bình Định, tháng 05 năm 2020
Tác giả

Lưu Thị Hiệp

6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tơi giới thiệu hai mơ hình thực tiễn, bài tốn ổn định cho
hệ có trễ và bài tốn đánh giá trạng thái cho hệ có nhiễu bị chặn, trình bày một số
khái niệm và phương pháp nghiên cứu cho hai bài tốn này. Chúng tơi cũng nhắc lại
một số bổ đề bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của Luận
án. Kiến thức sử dụng trong chương này được tham khảo trong [2, 6, 7, 22, 30, 33, 43,
46, 55, 66, 67, 68, 69, 70, 74, 75, 76, 80, 85, 89, 91, 96, 99].

1.1
1.1.1

Bài toán ổn định các hệ động lực có trễ

Mơ hình thực tiễn

Trong mục này, chúng tơi trình bày hai mơ hình thực tiễn phổ biến được mơ hình
hóa bằng hệ phương trình vi phân có trễ. Hai mơ hình này được giới thiệu trong hai
tài liệu kinh điển [22, 30].
Mơ hình 1 ([30], Q trình gia cơng kim loại). Hình 1.1 mơ tả một q trình gia cơng
kim loại bao gồm một phơi hình trụ quay với vận tốc góc khơng đổi ω, y(·) là quỹ đạo
của lưỡi dao, máy cắt di chuyển dọc theo trục của phôi với vận tốc tuyến tính khơng
đổi ωf /2π, f là tỷ lệ bước dao theo chiều dài trên mỗi vòng quay tương ứng với độ
dày thông thường của phôi bào bị loại bỏ. Khi dụng cụ chạy, vì rung của máy và các
cơ cấu cơ khí làm cho đầu lưỡi dao khơng đứng yên mà bị rung theo nên đầu lưỡi dao
không đi trên một đường thẳng mà đi trên đường lượn sóng. Do đó, người ta sẽ thiết
kế thêm một bộ giảm rung để có một bề mặt trơn. Bộ giảm rung này bao gồm một lị
xo có độ cứng k và hệ số giảm rung c được mơ tả trong Hình 1.2.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Hình 1.1 Q trình gia cơng kim loại

Hình 1.2 Mơ hình rung động tái sinh
Để giảm rung, người ta điều chỉnh k, c sao cho quỹ đạo của lưỡi dao dao động quanh
điểm cân bằng. Với vận tốc góc của phơi là ω, thời gian để phơi hồn thành một vịng
quay là τ = 2π/ω. Khi đó, độ dày của phơi bào sau một vịng quay là y(t) − y(t − τ ).
Q trình gia cơng kim loại phụ thuộc vào độ dày của phôi bào và được mô tả bng
phng trỡnh cú tr nh sau:
mă
y (t) + cy(t)
+ ky(t) = −Ft (f + y(t) − y(t − τ )),

(1.1)

trong đó m, c và k phản ánh qn tính, đặc tính giảm rung và độ cứng lị xo của máy
công cụ, y(·) là quỹ đạo chuyển động của lưỡi dao, Ft (·) là lực cắt phụ thuộc độ dày
phôi bào tức thời f + y(t) − y(t − τ ).
Mơ hình 2 ([22], Bộ giảm rung cộng hưởng). Mơ hình của bộ giảm rung cổ điển được
minh họa trong Hình 1.3 bao gồm: một vật cấu trúc chính có khối lượng mp , một lị
xo có độ cứng kp và một bộ giảm rung có hệ số giảm cp , phụ thuộc vào lực điều hòa
f (t), xp (·) là quỹ đạo dịch chuyển của vật có khối lượng mp ; một vật thêm vào có khối
8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


lượng ma , bộ giảm rung có hệ số ca , lị xo có độ cứng ka được gắn vào một cấu trúc
chính, xa (·) là quỹ đạo dịch chuyển của vật có khối lượng ma .

Hình 1.3 Bộ giảm rung cổ điển
Các thông số ka , ca , ma , kp và cp cần được thiết kế phù hợp để làm giảm rung tốt nhất.
Để tăng hiệu suất chống rung của hệ thống, người ta thiết kế thêm một điều khiển
cộng hưởng u(t) tác động vào hệ thống và gọi là bộ giảm rung cộng hưởng. Bộ giảm
rung cộng hưởng được minh họa trong Hình 1.4 sau:

Hình 1.4 Bộ giảm rung cộng hưởng
Khác với Hình 1.3, giữa hai vật ma và mp trong Hình 1.4 có thêm điều khiển u(t). Điều
khiển u(t) làm nảy sinh lực điều hòa, triệt tiêu các rung động khơng mong muốn của
cấu trúc chính v c mụ t bi phng trỡnh sau:
ma xăa (t) + ca x˙ a (t) + ka xa (t) = u(t).
Người ta sẽ thiết kế u(t) sao cho cấu trúc chính ổn định với tốc độ nhanh nhất. Thơng
thường người ta thiết kế điều khiển u(t) dựa trên tốc độ trạng thái ở quá khứ, x˙ a (t−τ1 )

9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


và trạng thái hiện tại, xa (t) như sau:
u(t) = g1 x˙ a (t − τ1 ) + g2 xa (t),
trong đó g1 , g2 là phản hồi đạt được và τ1 là độ trễ. Tuy nhiên, thông tin trạng thái
xa (t) khó sử dụng một cách tức thời. Do đó, để tăng cường hiệu suất, người ta sử dụng
tốc độ trạng thái ở quá khứ, x˙ a (t − τ1 ) và trạng thái ở quá khứ, xa (t − τ2 ), cụ thể,
u(t) = g1 x˙ a (t − τ1 ) + g2 xa (t − τ2 ),

(1.2)

trong đó τ2 là độ trễ. Khi đó, với điều khiển u(t) như trong (1.2), phương trình chuyển
động của hệ thống c vit thnh h cú tr nh sau:
ma xăa (t) + ca x˙ a (t) + ka xa (t) − g1 x˙ a (t − τ1 ) − g2 xa (t − τ2 ) = 0.
1.1.2

Hệ vi phân

(a) Phương trình hệ vi phân có trễ
Trong mục này, chúng tơi trình bày dạng tổng qt của hệ phương trình vi phân
có trễ. Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ (trễ) 0 ≤ h < +∞ và
x(·) là một hàm liên tục trên R, nhận giá trị trong Rn , với mỗi t ∈ R ta xây dựng hàm
xt ∈ C, phụ thuộc trễ thời gian như sau:
xt (s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0],
trong đó C := C ([−h, 0], Rn ) là không gian các hàm liên tục từ [−h, 0] vào Rn . Như
vậy, đồ thị của xt là một đoạn quỹ đạo của đồ thị của x(·) trên [t − h, t], tức là xt (s)
là biến trạng thái x(·) tại các thời điểm quá khứ t + s, s ∈ [−h, 0]. Chuẩn của xt là

chuẩn trong C được xác định bởi ||xt || = sup ||x(t + s)||. Khi đó, hệ phương trình có
s∈[−h,0]

trễ mơ tả sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi trạng thái của hệ thống tại thời điểm t vào
các trạng thái của hệ thống trong khoảng thời gian trước đó [t−h, t] được cho dưới dạng:

x(t)
˙
= f (t, xt ), t ≥ 0,
x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0],

(1.3)

trong đó f : R0,+ × C → Rn là hàm vectơ cho trước và hàm ϕ ∈ C là hàm giá trị ban
đầu với ϕ = sup ϕ(s) .
s∈[−h,0]

Nghiệm x(·) của hệ (1.3) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0] được
ký hiệu x(t, ϕ). Để nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.3), ta giả thiết:
(i) Hệ (1.3) ln có nghiệm x(t) ≡ 0, tức là, f (t, 0) = 0, t ∈ R0,+ .
10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


(ii) Hệ (1.3) luôn thỏa mãn các điều kiện về tồn tại, duy nhất và kéo dài nghiệm đến
vô cùng.
(b) Các khái niệm ổn định
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại ba định nghĩa ổn định, ổn định tiệm cận, ổn
định mũ cho hệ phương trình vi phân có trễ (1.3):

Định nghĩa 1.1 ([7]). Nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ (1.3) được gọi là
(i) ổn định nếu với mọi số
||ϕ|| < δ thì

> 0, tồn tại số δ > 0 sao cho với ϕ ∈ C thỏa mãn
||x(t, ϕ)|| < với mọi t ≥ 0.

(ii) ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và tồn tại số δ0 > 0 sao cho với ϕ ∈ C thỏa
mãn ||ϕ|| < δ0 thì
lim ||x(t, ϕ)|| = 0.
t→+∞

(iii) ổn định mũ nếu tồn tại số M > 0 và số α > 0 sao cho mọi nghiệm x(t, ϕ) của hệ
thỏa mãn
||x(t, ϕ)|| ≤ M e−αt ||ϕ|| với mọi t ≥ 0.
Khi đó M được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α được gọi là số mũ ổn định.
Để cho ngắn gọn, thay vì nói nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ (1.3) là ổn định (ổn định tiệm
cận, ổn định mũ) ta sẽ nói hệ (1.3) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ).
(c) Phương pháp hàm Lyapunov
Phương pháp hàm Lyapunov là một trong những phương pháp phổ biến dùng để
nghiên cứu tính ổn định cho các hệ động lực. Phương pháp hàm Lyapunov dựa vào sự
tồn tại của một lớp hàm trơn đặc biệt gọi là hàm Lyapunov mà tính ổn định của hệ
được kiểm tra thơng qua dấu đạo hàm của hàm Lyapunov. Phương pháp này được mở
rộng cho lớp hệ có trễ [99] và được trình bày trong Định lý 1.1 dưới đây.
Cho một hàm liên tục V : R × C → R0,+ và x(t, ϕ) là nghiệm của hệ (1.3). Ta định
nghĩa đạo hàm của V (t, xt ) dọc theo nghiệm của hệ (1.3) như sau:
1
V˙ (t, xt ) = lim sup [V (t + s, xt+s ) − V (t, xt )].
s→0+ s
Với giả thiết f : Rn × D → Rn , D là một tập bị chặn trong C thì điều kiện ổn định của

hệ (1.3) được trình bày trong Định lý sau:

11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Định lý 1.1 ([99], Định lý Lyapunov-Krasovskii). Giả sử u, v, w : R0,+ → R0,+ là các
hàm liên tục không giảm thỏa mãn u(0) = v(0) = 0, u(s) > 0, v(s) > 0 với s > 0. Nếu
tồn tại một hàm liên tục V : R × C → R0,+ sao cho:
(i) u(||x(t)||) ≤ V (t, xt ) ≤ v(||xt ||),
(ii) V˙ (t, xt ) ≤ −w(||x(t)||)
thì V là hàm Lyapunov. Hơn nữa, nếu w(s) > 0 với s > 0, thì V là hàm Lyapunov
chặt. Nếu V là hàm Lyapunov thì hệ (1.3) là ổn định. Nếu V là hàm Lyapunov chặt
thì hệ (1.3) là ổn định tiệm cận.
1.1.3

Hệ sai phân

Xét hệ phương trình sai phân có trễ sau:

x(k + 1) = f (k, x ), k ∈ N ,
k
0

x(s) = ϕ(s), s ∈ {−h, −h + 1, . . . , 0},

(1.4)

trong đó x(k) ∈ Rn là vectơ trạng thái, k ∈ N0 . Kí hiệu ∆ := {−h, −h + 1, . . . , 0} và

D := D(∆, Rn ) là không gian của các ánh xạ đi từ ∆ vào Rn . Hàm giá trị ban đầu
ϕ ∈ D, ϕ := max||ϕ(s)||. Hàm xk ∈ D, biểu diễn một đoạn quỹ đạo trạng thái quá
s∈∆

khứ của x(·), được định nghĩa bởi: xk (s) = x(k + s), s ∈ ∆ và xk = max||x(k + s)||.
s∈∆

Hàm f : N0 × D → Rn thỏa mãn điều kiện f (k, 0) = 0, k ∈ N0 . Một nghiệm x(·) của
hệ (1.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(s) = ϕ(s), s ∈ ∆, được kí hiệu là: x(k, ϕ).
Tương tự như hệ phương trình vi phân có trễ (1.3), ta cũng có các khái niệm ổn
định, ổn định tiệm cận cho hệ (1.4):
Định nghĩa 1.2 ([2]). Nghiệm x(k) ≡ 0 của phương trình (1.4) được gọi là
(i) ổn định nếu với mọi số
||ϕ|| < δ thì

> 0, tồn tại số δ > 0 sao cho với ϕ ∈ D thỏa mãn
||x(k, ϕ)|| < , với mọi k ∈ N0 .

(ii) ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và tồn tại số δ0 > 0 sao cho với ϕ ∈ D thỏa
mãn ||ϕ|| < δ0 thì
lim ||x(k, ϕ)|| = 0.
k→+∞

Tương tự như hệ vi phân, ta cũng có định lý về phương pháp hàm Lyapunov cho
hệ sai phân (1.4) và được trình bày trong Định lý sau:

12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Định lý 1.2 ([89]). Nếu tồn tại λ1 , λ2 > 0, β > 0 và một hàm liên tục V : N0 ×D → R+
sao cho:
(i) λ1 x(k)

2

≤ V (k, xk ) ≤ λ2 xk 2 ,

(ii) ∆V (k, xk ) := V (k + 1, xk+1 ) − V (k, xk ) ≤ −β x(k) 2 , ∀xk ∈ D thỏa mãn (1.4)
thì hệ (1.4) là ổn định tiệm cận.

1.2

Bài tốn tìm tập bị chặn tới hạn, tập bất biến cho các hệ
có nhiễu

Bên cạnh các yếu tố độ trễ thời gian thì yếu tố nhiễu cũng là không thể tránh khỏi
trong hầu hết các hệ thống thực tế. Trong mục này, chúng tơi trình bày bài tốn đánh
giá trạng thái/bao tập đạt được cho lớp hệ vừa có trễ vừa có nhiễu bị chặn.
1.2.1

Hệ vi phân

Xét một hệ thống mơ tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ

x(t)
˙
= f (t, xt , ω(t)), t ≥ 0,
x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0],

(1.5)

trong đó f : R+ × C × Rp → Rn là hàm vectơ cho trước, hàm xt ∈ C := C([−h, 0], Rn ),
xt (s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0] thể hiện trạng thái ở thời gian quá khứ, ϕ ∈ C là hàm giá
trị ban đầu. Nhiễu ω(t) ∈ Rp là không biết nhưng giả sử thỏa mãn điều kiện bị chặn
2
ω T (t)ω(t) ≤ ωm
, ∀t ≥ 0,

(1.6)

với ωm ∈ R là số thực đã biết.
Kí hiệu x(t, ϕ, ω(t)) là nghiệm của hệ (1.5) phụ thuộc vào điều kiện ban đầu ϕ(·)
và nhiễu ω(·) thỏa mãn điều kiện (1.6).
Vì nhiễu ω(·) là khơng biết nên khơng thể xác định chính xác quỹ đạo nghiệm x(·)
của phương trình (1.5). Khi đó, tính ổn định hay ổn định tiệm cận của hệ thường
không đảm bảo. Trong trường hợp này, thay vì nghiên cứu tính ổn định, ta tìm một
tập bị chặn nhỏ nhất sao cho trạng thái của hệ hội tụ vào trong tập đó và gọi tập này
là tập bị chặn tới hạn.
Định nghĩa 1.3 ([43]). Tập R ⊆ Rn được gọi là tập bị chặn tới hạn của hệ (1.5)
nếu mỗi nghiệm x(t, ϕ, ω(t)) của hệ (1.5), tồn tại một thời gian T (đủ lớn) thỏa mãn
x(t, ϕ, ω(t)) ∈ R, t ≥ T .

13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Hình 1.5 Tập bị chặn tới hạn của hệ (1.5)

Ngồi tập bị chặn tới hạn, thì tập bất biến của hệ thống cũng được nhiều người
quan tâm nghiên cứu. Tập bất biến của một hệ động lực là một tập hợp mà ứng với
mọi hàm giá trị ban đầu thuộc tập này thì nghiệm tương ứng của hệ cũng sẽ thuộc tập
này với mọi thời gian sau đó. Ta có thể định nghĩa một cách chính xác như sau:
Định nghĩa 1.4 ([46]). Tập Ω ⊆ Rn được gọi là tập bất biến của hệ (1.5) nếu ϕ(s) ∈ Ω,
s ∈ [−h, 0] thì x(t, ϕ, ω(t)) ∈ Ω với mọi t ≥ 0, và nhiễu ω(t) thỏa mãn điều kiện (1.6).

Hình 1.6 Tập bất biến của hệ (1.5)
Nhận xét 1.1. Trong trường hợp hàm điều kiện ban đầu ϕ(s) = 0 với mọi s ∈ [−h, 0],
bài tốn tìm tập bất biến trở thành bài tốn tìm bao tập đạt được cho hệ thống. Tập
đạt được của một hệ động lực có nhiễu là tập tất cả các trạng thái xuất phát từ điểm
gốc. Mục đích của bài tốn tìm tập bất biến/ bao tập đạt được là tìm tập bất biến/bao
tập đạt được nhỏ nhất có thể.
Phương pháp hàm Lyapunov [28] và phương pháp so sánh nghiệm, dựa trên hệ
dương [46] được mở rộng lần đầu tiên cho bài tốn tìm tập bị chặn tới hạn và tập bất
14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


biến cho hệ có trễ bị nhiễu (1.5). Phương pháp hàm Lyapunov được trình bày trong
bổ đề sau:
Bổ đề 1.1 ([28]). Cho V là một hàm Lyapunov của hệ (1.5). Nếu tồn tại α > 0 sao
cho
α
V˙ (t) + αV (t) − 2 ω T (t)ω(t) ≤ 0, ∀t ≥ 0,
ωm
thì V (t) ≤ 1 + V (0)e−αt , ∀t ≥ 0.
Phương pháp so sánh nghiệm và dựa trên hệ dương có hai cách tiếp cận:
• Cách 1 ([46]):

- Thiết lập một công thức hàm mũ từ các hệ số của hệ thống.
- So sánh trực tiếp nghiệm của hệ có nhiễu với hàm mũ vừa thiết lập.
• Cách 2 ([66]):
- Thiết lập một sự so sánh nghiệm của hệ có nhiễu biến thiên bị chặn và nghiệm của
hệ có nhiễu hằng.
- Thiết lập một sự tương quan giữa nghiệm của hệ có nhiễu hằng và hệ khơng có nhiễu.
- Từ đánh giá trạng thái của hệ khơng có nhiễu ta đánh giá trạng thái của hệ có nhiễu
hằng và suy ra đánh giá trạng thái hệ có nhiễu biến thiên.
1.2.2

Hệ sai phân

Xét hệ phương trình sai phân có nhiễu sau:

x(k + 1) = f (k, x , ω(k)), k ∈ N ,
k
0

x(s) = ϕ(s), s ∈ {−h, . . . , 0},

(1.7)

trong đó x(k) ∈ Rn là vectơ trạng thái, k ∈ N0 . Kí hiệu ∆ := {−h, −h + 1, . . . , 0}
và D := D(∆, Rn ) là không gian của các ánh xạ đi từ ∆ vào Rn . Hàm ϕ ∈ D và
ϕ := max||ϕ(s)||. Hàm xk ∈ D, xk (s) = x(k + s), s ∈ ∆ và xk = max||x(k + s)||.
s∈∆

s∈∆

Hàm f : N0 × D × Rp → Rn và ω(·) ∈ Rp là nhiễu không biết nhưng giả sử thỏa mãn

điều kiện bị chặn
2
, ∀k ∈ N0 ,
(1.8)
ω T (k)ω(k) ≤ ωm
với ωm ∈ R là số thực đã biết. Kí hiệu x(k, ϕ, ω(k)) là nghiệm của hệ (1.7) phụ thuộc
vào điều kiện ban đầu ϕ(·) và nhiễu ω(·) thỏa mãn điều kiện (1.8).
Tương tự như hệ phương trình vi phân (1.5), ta cũng có định nghĩa tập bị chặn tới
hạn, tập bất biến cho hệ (1.7).
Định nghĩa 1.5 ([46]). Tập R ⊆ Rn được gọi là tập bị chặn tới hạn của hệ (1.7)
nếu mỗi nghiệm x(k, ϕ, ω(k)) của hệ (1.7), tồn tại một thời gian T (đủ lớn) thỏa mãn
x(k, ϕ, ω(k)) ∈ R, k ≥ T .
15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Hình 1.7 Tập bị chặn tới hạn của hệ (1.7)
Định nghĩa 1.6 ([46]). Tập Ω ⊆ Rn được gọi là tập bất biến của hệ (1.7) nếu ϕ(k) ∈ Ω,
k ∈ ∆ thì x(k, ϕ, ω(k)) ∈ Ω với mọi k ∈ N0 , và nhiễu ω(k) thỏa mãn điều kiện (1.8).

Hình 1.8 Tập bất biến của hệ (1.7)
Trong trường hợp đặc biệt, nếu hàm điều kiện ban đầu ϕ(k) = 0 với mọi k ∈ ∆ thì
bài tốn tìm tập bất biến trở thành bài tốn tìm bao tập đạt được. Mục đích của bài
tốn tìm tập bất biến/ bao tập đạt được là tìm tập bất biến/bao tập đạt được nhỏ
nhất có thể.
Phương pháp hàm Lyapunov [91] và phương pháp so sánh nghiệm, dựa trên hệ
dương [46] được mở rộng lần đầu tiên cho bài tốn tìm tập bị chặn tới hạn và tập bất
biến cho hệ có trễ bị nhiễu (1.7). Phương pháp hàm Lyapunov được trình bày trong
bổ đề sau:

Bổ đề 1.2 ([91]). Cho V là một hàm xác định dương và V (0) = 0. Nếu tồn tại một số
r > 1 sao cho
1 − r−1 T
∆V (k) + (1 − r−1 )V (k) −
ω (k)ω(k) ≤ 0
(1.9)
2
ωm
thì V (k) < 1, ∀k ≥ 0.
Bằng cách cải tiến Bổ đề 1.2, năm 2015, các tác giả trong [75] đã mở rộng cho
trường hợp tổng quát.
16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add