Ứng dụng sai phân và phương trình sai phân để giải một số bài toán ở trường phổ thông

B ộ• GIÁO DỤC
• VÀ ĐÀO TẠO
•
TRƯỜNG ĐẠI
HỌC
s ư PHẠM
HÀ NỘI
2
•
•
•
•

NGUYỄN THI THÚY

ỨNG DUNG SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH
SAI PHÂN ĐẺ GIẢI MỘT SỔ BÀI TOÁN
ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
•

•

•

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2015
1


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới
sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn và truyền
thụ những kinh nghiệm đồng thời cũng là người khơi nguồn cảm hứng cho tác
giả trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên khích lệ tác giả
vươn lên trong học tập và vượt qua khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày
tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường ĐHSP Hà Nội 2,
phòng Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp
chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường
THPT Đông Anh- Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập
và hoàn thành tốt luận văn.

Hà Nội, 15 tháng 6 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thúy

2


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học nghiên cứu và đồng nghiệp với sự trân trọng biết ơn.

Hà Nội, 15 tháng 6 năm 2015

T"1 /

_ •1
Tác giả

Nguyễn Thị Thúy

3


MỤC LỤC
Trang
M ở đ ầu ........................................................................................................... 5
Chương I: Sai phân, phương trình sai phân và hệ phương trình sai phân. 7
1.1. Dãy s ố .............................................................................................................7
1.1.1. Dãy số hội tụ, dãy số phân kì..........................................................

7

1.2. Sai phân.................................................................................................

7

1.2.1. Định nghĩa sai phân..........................................................................

7

1.2.2. Một số tính chất của sai p h ân ................................................................... 8
1.3. Phương trình và hệ phương trình sai phân..........................................

11

1.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính....................................................

11

1.3.2. Tuyến tính hóa.................................................................................

29

1.3.3. Phương trình sai phân với hệ số biến thiên....................................

32

1.3.4. Hệ phương trình sai phân tuyến tính...............................................

35

Chương II: ứng dụng của sai phân giải một số bài toán ở phổ thông.

39

2.1. Bài toán tính tổng...............................................................................

39

2.2. Bài toán tìm số hạng tổng quát và giới hạn của dãy số......................

53

2.3. Bài toán sai phân trong trong phương trình hàm.................................

71

2.4. Bài toán sai phân trong tích phân truy hồi..........................................

80

Chưong III: ứng dụng của phưoug trình sai phân giải một số bài toán ở
phổ thông.
3.1. ứ ng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 .......................

85

3.2. ứ ng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2, cấp 3............

91

K ết lu ân ............................................................................................................ 100
T ài liêu tham k h ảo....................................................................................... 101

4

Mở đầu
1. Lí do chon đề tài
•

Trong những năm gần đây do sự phát triển mạnh mẽ của giải tích số nên
việc ứng dụng của nó trong khoa học và trong thực tiễn ngày càng sâu rộng.
Phương trình sai phân là một lĩnh vực được nhiều nhà khoa học quan tâm,
nghiên cứu. Các kết quả nghiên cứu của phương trình sai phân được áp dụng
trong một số lĩnh vực như: toán học, kinh tế, kỹ thuật tín hiệu số, lý thuyết hệ
động lực ròi rạc, đặc biệt cả trong lĩnh vực toán phổ thông.
Trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, tôi sẽ nghiên cứu một số ứng
dụng của sai phân và phương trình sai phân trong việc giải một số bài toán ở phổ
thông nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi
của tôi được tốt hơn.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các vấn đề đó nên tôi đã chọn nghiên
cứu đề tải:
ủng dụng sai phân và phương trình sai phân giải một số bài toán ở
trường phổ thông *
Do điều kiện về thời gian và năng lực còn hạn chế nên có những vấn đề
không thể được như mong muốn.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sai phân, phương trình sai phân.
Sưu tầm và giải một số bài toán dùng để bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở
phổ thông được giải bằng sai phân và phương trình sai phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải một số phương trình sai phân và hệ phương trình sai
phân.
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

5


Phương pháp sai phân, phương trình sai phân.
ứ ng dụng sai phân, phương trình sai phân giải một số bài toán phổ thông.
Phạm vi nghiên cứu là những bài toán cho học sinh khá giỏi ở phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kiến thức của giải tích, đại số tuyến tính.
Vận dụng sai phân và phương trình sai phân để giải các bài toán cụ thể
trong toán phổ thông.
6. Cấu trúc luân văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo luận văn
còn bao gồm 3 chương.
CHƯƠNG I: Sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân.
CHƯƠNG II: ứ ng dụng của sai phân giải một số bài toán ở phổ thông.
Chương III. ứ ng dụng của phương trình sai phân giải một số bài toán ở
phổ thông.
7. Đóng góp của luận văn
Luận văn đã trình bày được một số ứng dụng của sai phân và phương trình
sai phân vào việc giải một số bài toán cho học sinh khá giỏi ở trường phổ thông.
Hy vọng luận văn có thể phần nào giúp tác giả trong công việc bồi dưỡng học
sinh giỏi tại trường THPT Đông Anh.

6


C H Ư Ơ N G I: Sai phân, phư ơng trình sai phân, hệ phư ơng trình
sai phân.
1.1 Dãy số
1.1.1. Dãy số hội tụ, dãy số phân kì

a) Dãy số
Một hàm số X xác định trên tập các số tự nhiên N được gọi là dãy số. Đối với
dãy số người ta thường viết

X

thay cho kiểu viết thông thường của hàm số

x(n), n £ N
b) Một số dãy cơ bản
Dãy số tự nhiên ký hiệu là N có dạng {N} = {o, 1, 2

, n, ...}

Dãy số tự nhiên khác không ký hiệu là N* có dạng Ịn* j = {l, 2
Dãy số nguyên dương z + có dạng Ị z +| = {l, 2

, n, ...}

, n, ...}

Dãy số {xn} được gọi là:
Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho хп < м Vn = 1, 2,...
Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho xn >m V n = 1, 2,...
Bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
c) Dãy số hội tụ, dãy phân kì.
Ta nói rằng dãy số {xn} có giới hạn là a ( dãy sổ hôi tu ) nghĩa là: Với
mọi số dương £ nhỏ tùy ý cho trước, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi
n> N thì \xn - a\ < s . Ta viết lim xn = a

( a hữu hạn )

Dãy số không có giới hạn hay không hội tụ được gọi là dãy sổ phân kì.
1.2.

Sai phân

1.2.1. Định nghĩa sai phân.
Định nghĩa 1.
Giả sử f : i? —» i? là một hàm sổ cho trước và h là một hằng số khác 0.

7


Ta gọi hiệu:

л°/(x) = /

(jt) là sai phân cấp 0 của hàm sổ y = f (x)

Д1/ (x) = f ( x + h) —f (x) là sai phân cấp 1 của hàm sổ y = f (x)
AV ( x ) = A(Alf ( x ) ) = A f(x + h )~ Л /(x) = f ( x + 2h) - 2 / 0 + h) + f ( x ) là
sai phân cấp 2 của hàm số y - f (x)

A”f (jc) = A(A" lf (x)) = ỵ ơ f (x + hk).{-1)*+1 là sai phân cấp n
к= 0

của hàm số y - f (x)
Định nghĩa 2: Ta gọi hiệu Ах = X J X là sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm
số Jf(n) = X với n e N* hoặc we N hoặc n e Z

Định nghĩa 3: Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm X là sai phân của sai phân cấp 1
của X , và nói chung sa i ph ân cấp к của hàm X

là s a i p h â n c ủ a s a i p h â n c ấ p

к - ì của hàm sổ đó.
Như vậy,
Sai phân cấp 2 của hàm X là: A2X = Л(Лх ) = Ax +1 - Ax
= Xn + 2. — Xл + 1, — (x
. —JCn /)
V и + 1
= Xn+2 — 2xл + l , + X

lì

Sai phân cấp 3 của hàm X là: A3X - A(A2X ) = A2X +1- A2X
=xn +^,3 - 2xn +^ 2, + X71 +^ 1. - V(jc/ í
- x„+1
n+ J -

+ 2

2x n ^+1 + X 71J)

.. + 3x„.. - nxn
+ in

n+ 1

Nói chung, sai phân cấp к của hàm X là:

д*х, = Д(Д*-Х.) = д ‘"х„, - д*-‘х, = t ( - l ) ' . c ; ( a )
ỉ=0
1.2.2. Một số tính chất của sai phân
Tính chất 1. Sai phân các cấp đều có biểu diễn qua các giá trị của hàm số
Chứng minh. Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh công thức ( a ) .

8


Thât
vây
với Ả: = 1,7 ta có Лхп = Jt71+1. - Xп = c,°x
ф, - с!i nX .
•
•J
1
п+ i
Vậy công thức (a) đúng với к = \
Giả sử (a) đúng với к , có nghĩa là
л кхп= ± ( - 1 ) \ с к.хп+к_п
1=0

Ta chứng minh (a) đúng với к + 1, tức là
Д* * 4 = A 4 . , - A 4 = Ẻ ( - 1 ) ' C X t ( - l ) ' C X
;=0
;=0

+k - г

Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số ỉ là i - ì , sau đó thay ỉ bằng ỉ , ta được

Ё ( - 1 ) Ч „ - , = Ё ( - 1 ) " с ; - Ч +1.,
i=0

= - Е н у . с г ч +,

i=1

ỉ'=l

Bởi yậy
к

к+ 1

A* *■*„=£ H ) ' c k . . « - <+ % ( - I ) ' c ; x
i=0
Í=1

=Ề(-I)'(c;+cr K +1 _,+х„м+(-1Г X,
1=1

= E (-1

.. + Н Г Ч

i= l

= Ё (-1 )' с ;а „ . , . , + х,. ь ,+ ( - 1 Г ^
i=l
t+l

i=0
Vậy (a) đúng với k + ì
Theo luật quy nạp, ta có công thức (a) đúng với mọi giá trị n nguyên dương.
Tính chất 2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.
Chứng minh: Ta phải chứng minh
Ak(axn+ byn) = aAkxn + bầky n

{k = 1,2,...)

Thật vậy, theo (a) ta có д*(шси+ byn) = Ề (-1 y ơ k(axn+k_.+ byn+k_.)
i=1

9


k

k

=£(-i)'cx„_,+X(-i)'c;6y,

n +k —i

k

k
n +k — i

-

aAkx +

Tính chất 3. Sai phân của đa thức bậc n là đa thức bậc n —1,
tức là degPị^x) = n thì degAPịx) = n - \
Chứng minh
Giả sử degP ịx ) = n ta có p ị x ) = a xn + a ^x"“1+ ..... + axx + aữ (a ^ 0)
Khi đó
= P(x + h) - P(x)
= a (x + h Ỵ + a
=

a

(( x +

hỴ -

_J(jc +

x ”) +

a

A )"

1+
+

........... +

ữj ( x +

/ ỉ ) " “1 -

h ) + a ữ- ( a x ” + a

^ ” _1) +

............+

a ji

n

a ỵ c kx n~khk +a_l((jc + hỴ-1- x "-1) + .......+ ajĩ

Vì c\a h ^ O nên degầP[x) = n - ì
Tổng quát. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là:
1. Đa thức bậc m - k , nếu k < m
2. Hằng số nếu k - m
3. Bằng 0 khi k > m
Tính chất 4. Với n e Z

ta luôn luôn có :
N

n= j

N

Đặc biệt:

= xN+l - Xj
n= j

Chứng minh:

10

+

............. +

a^x + a ữ

)


Ệ a\
n= j

= Ệ A (A H *„)
n= j

= ẳ ( A t-1x „ 1- A ‘-'x„)
n= j

= Afc
_1AxiV + l -A^ * 'V
^

-* 7

1.3 Phương trình và hệ phương trình sai phân
1.3.1. Phưong trình sai phân tuyến tính
1.3.1.1. Định nghĩa
a) Định nghĩa 1
Phương trình sai phân tuyến tính của hàm Xlà một biểu thức tuyến tỉnh
giữa các giá trị của hàm X tại các thời điểm khác nhau:

L^x
= a,x
u+a,X
h n
0 n +k
1 n + t-1

a.x.
= Jf n
k k

(1.1)
V
/

Trong đó
+ Lh là kỉ hiệu toán tử tuyến tính tác động lên hàm X , xác định trên lưới có

bước lưới h .
+ aữ,a l,.... ,a k (aữ ^ 0, ak ^ 0) là các hằng số hoặc các hàm số của n, được
gọi là các hệ số của phương trình sai phân.

+ f là một hàm sổ của n được gọi là vế phải.
+ x là các giá trị cần tìm được gọi ẩn.
Phương trình (1.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k , vì để
tính được tất cả các giá tri

X ,

ta phải cho trước

k

giá trị liên tiếpcủa

X

theo

công thức truy hồi.
b) Định nghĩa 2
• Nếu / = 0

thì (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tỉnh thuần

nhất.

11


• Nếu f * 0 thì (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không
thuần nhất.

• Nếu f =0 và aữ,aỉ,.... ,ak (aữ * 0,ak * 0 ) là các hằng sổ thì (1.1) trở
thành
L.x
= anx
. + a,x
, ì +.... + a,x
=0
h n
0 n +k
1 n+ Ẵ -1
k n

(1-2)
\
/

Khi đó (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với
các hệ số là hằng số.
I.3.I.2. Nghiệm
a) Nghiệm tồng quát
Hàm số X biến n , thỏa mãn (1.1) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân
tuyến tính (1.1).
Hàm số Xn phụ thuộc vào tham số k , thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm tổng
quát của (1.2) nếu với mọi tập giá trị ban đầu x ữ, X1,

x k ] ta đều xác định được

duy nhất các tham số C0, C j , C t l nghiệm X trở thành nghiệm riêng của (1.2)
tức là thỏa mãn (1.2) và thỏa mãn

Xo = x 0 , Xi =

Jtj,......, Xk

-1

=

Jcjfc_1

Định lí 1: Nghiệm tổng quát X của (1.1) bằng tổng Xn và X* với X* là một
nghiệm riêng bất kì của (1.1).
Chứng minh.
Thật vậy giả sử X và X* là hai nghiệm của (1.1) tức là LhX - f , Lhx* - f
Do Lh tuyến tính nên Lhx - L hx* =Lh(x -X*) = 0
=>x -X* thỏa mãn (1.2)
=>Xn=Xn-X*
n
n
^ x n = xn+ xn (dpcm)
Định lí 2: Nếu X J, X 2, X

k làknghiệm, độc lập tuyến tính của (1.2), tức là từ

h ệ th ứ c c xx J + C2X 2 +. . . . + c kx k = 0 => c ì = c 2 = ......= c k = 0 th ì n g h iê m t ổ n g q u á t

12


X của (1.2) cỏ dạng Xn - Cjjc J + c2X 2 +.... + ckX k, trong đó c1,c 2, .... , ck là các

hằng sổ tùy ỷ.

Chứng minh. Theo tính chất tuyến tính của Lh ta có
k
k
LhXn =LhỴj cixni = Y ,ciLhxni =0. ( Vì giả thiêt xnl, X 2,
i=

Vậy

Xn

xnk là nghiệm của ( 1.2 )

i=

= c^x + C 2 X 2 +.... + ckx k là nghiệm của ( 1.2 )
J

Giả sử xữ,

xk , là các giá tậ ban đầu tùy ý. Ta chứng minh rằng có thể xác

định duy nhất các hằng số

Cj, c 2,

ckđể Xo =

x 0,

X1

=

xí, ..... , Xk

- 1

=

. Điều đó

có nghĩa là hệ
Cl*01+ C2*02+ ................. + ckx0k= x 0
ClXn +C2Xl2+ .................... + ckxìk= x ì

C\X k -U

+

C 2X k - \,2

+

..............+

C k X k - l ,k ~

X k -l

có nghiệm duy nhất các hằng số c,, c2, c k với mọi xa, j C j , J C Ì_1. Muốn vây
....... *0*

*01
*1

định thức

*2 ....... .......

^ 0. Điều này có được tò tính độc lập tuyến

**-1.1 C2Xk-1,2” ...... **-1,
tính của các véctơ nghiệm

X

Bây giờ ta tìm nghiệm

của ( 1.2 ) và nghiệm

Xn

J, X 2,

ckx k
X

Vì phương trình thuần nhất ( 1.2 ) luôn có nghiêm

quát ta tìm

X

của ( 1. 1)
X

= 0 nên để tìm nghiệm tổng

dưới dạng X = cẲn, c ^ 0, Ẳ ^ 0 .

Thay X =cẲn vào ( 1.2 ) ước lượng cho CẲHta được
LhẲ —ữ0Ẳk + ữ1Ẳk 1+ .... + ữ t = 0
Phương trình (1.3) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.2). Nghiệm
(1.2) và nghiệm X* của (1.1) phụ thuộc vào cấu trúc nghiệm của (1.3)
13

Xn

của


T H I: Nếu (1.3) có k nghiệm thực khác nhau là Ậ, Ầ2, Ẳ k thì nghiệm tổng
quát x n của (1.2) có dạng Xn = qýự + C2Ằ£ + .....+ ck/ự = ỵ^c.Ầ" trong đó
/=1
c (i = 1 , k) là các hằng số tùy ý.
Chứng minh:
Ta có

L h ~Xn

=i

x

M " =0

v ì

M" =

+ a f t ~ x+ ..........+ ữ *) = 0 •

Theo (2.3)Ta lại có
1

1

\

K ..... \ k

..................

= n

( Ậ - À j ) * o vì Ằi * Ẳj, Vi 5Êj

k>i> j > 1

ýl*-1 ýt*-1.......
..... 'ýl*-1
jfc

Theo định lí 2 ta được JC„ = c^" + C2Ẵ" +.... + ckẰnk - ỵ^c.Ãn là nghiệm tổng quát
của (1.2).
TH2: Nếu (1.3) có nghiệm thực Ầ. bội s thì ngoài nghiệm Ẳ" ta lấy thêm các
véctơ bổ sung nýl”, n ý ỉ " , n s~ìẲn. cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của
(1.2) và do đó nghiệm tổng quát Xn của (1.2) có dạng Xn = Ỵ_ia i.niẲn +
i= 0

a i"

Ỉ9t7=1

trong đó a., ai là các hằng số tùy ý.
TH3: Nếu (1.3) có nghiệm phức Ắ = a + bỉ = r(cosọ+isin(p) trong đó
r = |/L| = Võ^ + b2,

a
phức Ẳj = a - b i - r(cosẲn. - rn(cosnẹ? + i sin nọ), Ẫ"i - r" (cosnẹ? - ỉ sin nọ) là các nghiệm của (1.2).
Ta lấy
X1. = — ( Ấ n +

ẫ

")j = r" co sn ỹ >

X 2. = — { Ẳ n - ẳ ] ) =

r" s iim ẹ ?

Làm các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2). Khi đó theo định lí 2 ta được
x„ - 2^ Ấ.Ẳn + r"(B.cosn

ị* j= \

TH4: Nếu (1.3) có nghiệm bội phức Ẵ. bội s thì nó cũng có nghiệm liên hợp
phức Ăj bội s . Trong trường hợp này ngoài nghiệm
14


Ằ.x- r"cosnẹ?, Ầji - sin nọ ta cần lấy thêm 2 n - 2 véctơ bổ sung
Ấ.2 - r nncosĩup, Ẳ = r"n2cosnộ?,
.3

= r^nsinnẹ?, /1^3 = r " n 2sinnẹ?,
Khi đó ữieo định lí 2 ta có:
Ẳ ]2

Ả. - r"ns lC0Sĩlộ7,
/l>r"n s_1sinnẹ?

^ C Ẳn + rn[{Av+ A ^I+ .... + A n s~l)co%n(p + {Bl + B2n + .... + B ns ỉ)úĩm(p\
i*j= \

trong đó c , Ả1, Ẩ2, Ả
b) Nghiệm riêng X*

, B1} B2, B

là các hằng số tùy ý.

Để tìm nghiệm riêng X* của phương trình tuyến tính không thuần nhất
L hx n = a0 nxn+ k ,

+

a ,1 x n + t - 1

a íx í = f

k

k

J n

Ta có thể xét các trường hợp đặc biệt có thể tìm nghiệm riêng X
T H I: / là đa thức bậc m của n ; / = P (n),m & N
+ Nếu các nghiệm Ậ, Ẫ2, Ẳ k là các nghiệm khác 1 của phương trình đặc
trưng, thì

*;= Ổ„ (»)>»* eN .
Q (n)là đa thức cùng bậc m với / .
+ Nếu các nghiệm Ẳ bội s thì
X* = nsQ {rì), m e N
TH2: f = p («)./?", mG N , trong đó p (n) là đa thức bậc m của n
+ Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng đều là các nghiệm thực khác p
thì X* có dạng
K = Qmcn).Ị3”

( Qm(n) cùng bậc với /„)

+ Nếu phương tìn h đặc trưng có nghiệm Ằ - p bội s thì
X =nsp \ Q {rì). (Q (n) là đa thức của n cùng bậc với / )
TH3: / = a cos nx + yổsin nx, ( a ,p ) làcác hằng số. Trong trường hợpnày
nghiệm riêng có dạng

X*n - Acosnx +Bsmnx.
15


TH4: f n = / nl + f n2 +... + f ns, trong trường hợp này nghiệm riêng x \ ứng với
từng hàm / . , / = 1,2...,5 . Nghiệm riêng X* ứng với hàm / là
X*n = x n\\ + x n\ l + ..... + X*ns

( do tính tuyến tính của phương trình sai phân)
I.3.I.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một
a) Định nghĩa
Phương trình sai phân tuyến tỉnh cấp một có dạng
ax J+ bx = f , a ^ 0, b ^ 0 hoặc X 1=

qx + f , q ^ 0

(1.4)

+ Nếu a, b, qlà các hằng sổ, thì ta cỏ phương trình sai phân tuyến tỉnh cấp
một với hệ sổ hằng số.
+ Nếu a, b, q phụ thuộc n thì ta cỏ phương trình sai phân tuyến tỉnh cấp một

với hệ sổ biến thiên.
+f

là một hàm của n , gọi là vế phải.

+ X là ẩn.

+ Nếu f = 0, ta có phương trình sai phân tuyến tỉnh cấp 1 thuần nhất;
+ Nếu f * 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
b) Nghiệm
Nghiệm tổng quát của (1.4) có dạng
xn =x„+x*n ,

trong đó

Xn = CẲ"

với Ằ =

,
a

còn x*n là một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình sai phân tuyến tính không
thuần nhất.
c) Một số phương pháp tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân
tuyến tính cấp một không thuần nhất.
Phương pháp chọn ( phương pháp hệ số bất định)
16

+ Nếu ơ/ n là đa thức bâc
m của n: Jf n = pm (rì),
me N :
•
v s 7
1) Ẳ * 1 thì x*n tìm được dưới dạng đa thức cùng bậc a ,b ,q .
x *n= Qm(n)5 Qm(n) là đa thức bậc m của n .
2) Á = 1 thì
x*n- nQ M ’ ôm(n) là đa thức bậc m của n .

+ Nếu / = aỊ3n {a ^ 0,yổ ^ 0) tíiì tìm x*n dưới dạng
1) x*n - cfin, nếu Ả * Ị3
2) x*n - cnỊ3n, nếu Ẳ - p
Mở rộng
Nếu / = p (rì)fin{J3 ^ 0) thì tìm x*n dưới dạng
1) x *„- Qm{rì)Pn■
>nếu Ẳ ^ j3 ,(Q m(n) là đa thức bậc m của n .
2)

x*n - Q m{ n ) n p

n, nếu

Ẳ - Ị3 , { Q m( n )

là đa thức bậc

m

của

n

.

Nếu / =ao,osnx +J3únnx, ( a 2 + Ị32 * 0 ,x * k 7 T ,k G Z ). Tìm x*n dưới dạng
X*
n =Acosnx + Bsinnx.
Nếu /„ =/„, + /„2 + ... + f ns, trong trường họp này nghiệm riêng xnk ứng với
từng hàm f k,k = 1,2...,5 . Nghiệm riêng x k ứng với hàm / là
*

*

Xn = x nì\ + xn2\ +.... + x

*

ns

( do tính tuyến tính của phương trình sai phân)
Phương pháp biến thiên hằng số
Xét phương trình

ax l + bx = f

b
Phương trình thuân nhât ax 1+ bx = 0 có nghiệm X = CÂn,(Â = — )
a

Để tìm nghiệm riêng, ta xem c biến thiên theo n , có nghĩa là c là một hàm của
n và tìm X* = CnẢn. Thay vào phương trình sai phân, ta được

17


Lấy tổng hai vế theo Ả; từ 0 đến n - 1, ta được

Vậy
1.3.1.4. Phương trình sai phương tuyến tính cấp hai
a) Định nghĩa. Phương trình sai phân tuyến tỉnh cấp hai có dạng
axn+2, + bx n , + cx = f , na ^J 0,
c^ 0
n ??
+1

hay

* +2 = pxm+, + qxM+ f m,

+f

(1.5)

q*0,

là một hàm của n , gọi là vế phải.

+ xn là ẩn.
+ Nếu a, b, c, p, q là các hằng số thì (1.5) gọi là phương trình sai phân

tuyến tính cấp hai với hệ sổ hằng số.
+ Nếu a, b, c, p, q là các hàm số của n, thì (1.5) gọi là phương trình sai
phân tuyến tỉnh cấp hai với hệ sổ biến thiên.
+ Nếu f = 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tỉnh thuần nhất cấp hai
tương ứng với (1.5)
axn+2, + bx n +1, + cx n = 0

hay

* +2 = pxn
+1+

+ Nếu f ^ 0 thì (1.5) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
không thuần nhất.

18

(1 . 6)


b) Nghiệm của phưong trình sai phân tuyến tính cấp hai.
Tương tự như phương trình sai phân tuyến tính cấp n , nghiệm tổng quát của
(1.5) có dạng xn = x„ + x*n, trong đó

là nghiệm của phương trình sai phân

Xn

tuyến tính thuần nhất (2.6) và x*n là một nghiệm riêng tuỳ ý của (1.5).
Bước 1: Tìm nghiệm tồng quát Xn của phương trình thuần nhất (1.6)

Đặt xn = Ẳn Thay vào (2) ta có :
aẪ2+bẪ + c = 0

(1.7)

Từ đó ta có các trường hợp sau:
T H I: Nếu phương trình đặc trưng (1.7) có 2 ngiệm thực khác nhau Ậ ^ Ẳ2 thì
x„ = AĂỊ1+ BẰ%

trong đó Ả, B là hai hằng số tuỳ ý.

TH2: Nếu (1.7) có nghiệm thực kép Ậ = Ầ2 = Ầ thì
Xn = (Ẩ + Bn)Ẵn

trong đó A, B là các hằng số bất kỳ.

TH3: Nếu (1.7) có nghiệm phức

Ẳ = x + iy = r(cosọ+sin
Xn = r"(Acosn(với i2= - 1, r = \ả \ = yịx2 + y 2, ọ = arctg— )
X

Chứng minh:

„ 1 1

T H I: Do ■

Ầ ^ - Ậ ^ O , nên /ự và

là 2 nghiệm độc lập tuyến tính

của (1.6) nên x„ = ẨÃ1
”+ 3ã
TH2: Ậ =Ắ2 =Ắ là số thực, nên un - Ẳn là một nghiệm của (1.6). Ta tìm
nghiệm thứ hai của (1.6) là

V

dưới dạng: vn = y nẴn. Thay vn vào (1.6), ta

được
a.yn+2r +2+ byn+ỉr +' + cynr =

19

0


a

Theo công thức Viet: •

\ + Ả1 = 2Ẳ = —
a
V , = 1 2= a

Nên ta được

yn+2^ 2 - 2yn-A2 + ynA2 <=>yn+2+ yn= 2yn+1
r

r

7

0

/■

vậy y n là câp sô cộng tuỳ ý. Đê đơn giản, ta lây y„ = n (n e N) và được
v„n = nẦ„n
V

Vì — = n ^ cont nên un, vn độc lập tuyên tính yà
u n

X„

=

(A + Bn)Ẳn

(với

Ả ,

B là các hằng số tuỳ ý)

TH3: Nếu (1.7) có nghiệm phức Ẳ = r(cosTa có

Ấn - r "(cos
Theo công thức Moivre ta được Ă" - r"(cosn<£>+sin n ọ ).
Nếu Ẳn là nghiệm phức thì phần thực và phần ảo cũng là nghiệm, nên ta được 2
nghiệm u =cos(p,v =sinẹ?.
V

Hai nghiệm này độc lập tuyên tính, vì — = tgnọ ^ cosnt.
Un

Do vậy nghiệm

U

n -

A cos n
Ví dụ 1: Giải phương trình sai phân

Lòi giải: Ta có phương trình đặc trưng Ả1 + 8/1 - 9 = 0 có nghiệm
4 = 1 , ^ = -9
Do đó
Từ giả thiết ta có

x„= A + B (-9)'

20


x0=2

A + B =2

X, - -8

A - 9B = - 8
A =1
B =1

Vậy phương trinh có nghiệm Xn = 1+ (-9 )”
Ví dụ 2: Giải phương trình sai phân
Xn + 2, = 8*7Ỉ+1, — Ì6x n
xữ = 1, X1= 16.
T

\ .• _• 2 * _

Lời gỉảỉ:
Ta có phương trình đặc trưng /l2 -8 /1 + 16 = 0 có ngiệm kép /1 = 4
Do đó
Xn = (Ẩ + Bn) 4"
Với giả thiết ban đầu đễ dàng tìm được Ẩ - l , 5 = 3
Vậy phương trình có nghiệm x„ = (1 + 3n).4"
Ví dụ 3: Giải phương trình sai phân
*n+2 = *B+1-1

- ỉ
X0 = l Xl = ị
T

1J

• *? •

Lòi giải:
Ta có phương trình đặc trưng Ẫ2 - Ẫ + Ì -O c ỏ nghiệm Ẳ
™

,

1+/V3

Với /1 = — :— -COS—+ ừin—
2
3
3

Ả -COS——+ ỉsỉn—
3
3

nĩU
x„ = ÂCOS—- + Bsin
3
3
*<• 1 A’

Theo giả thiết ta có <
* ,= 1 = 1 + 5 ^
2 2
2
Vậy phương trình có nghiệm

Xn

= cos

Ịa = 1
^ Ị j =0

nn

21

1±;Vẫ


Bước 2: Tìm nghiệm riêng x*n tùy ý của phương trình (1.5)
Phương pháp chọn (còn gọi là phương pháp hệ số bất định).
Xét các trường hợp sau:
T H I: / là đa thức bậc k của n : / =Pk(n).
+ Nếu (1.7) không có nghiệm Ẳ - l , Ũ í ì tìm
x*n = Qk(n) ( Trong đó Qk («) là đa thức bậc k của n )
+ Nếu (1.7) có nghiệm đơn Ẳ - 1, thì x*n = nQk(n)
+ Nếu (1.7) có nghiệm kép Ả = 1, thì x*n - n2Qk(n)
Ví dụ 1. Tìm nghiệm riêng x*n của phương trình sai phân
Xn+2 = - 4 x n + 1, + 5x n + 12n + 8

Lòi giải:
Phương tìn h đặc trưng Ẫ2 + 4 Ẫ - 5 = Ocó nghiệm Ẵ - 1 và Ả - -5 .
Do vậy

x*n = n (an + bỴ

Thay vào phương tìn h sai phân, ta được
(« + 2 )[a (« + 2)+ Zj] + 4(w + l)[a (n + l) + Zj]-5w(aw+Zj) = 2«+ 8
Cho n = - ì ta có b+ 5 ( - a + b) = - 4 < ^ 2 a - 3 b = 2
Cho n = 0 ta có 2(2« + b) + 4 [a + b) = 8

4a + 3b = 4

(2 a -3 b = 2
Giải hệ <
ta đựơc a = 1, 0 = 0
[4a + 3b = 4
Vậy nghiệm riêng của phương trình là X* - n2
Ví dụ 2. Giải phương trình sai phân.
Í2xn+2 - 5xn+1 + 2xn = - n - 2n + 3
1*, =1, Xl =3.
Lời giải:

22


Phương tìn h đặc trưng 2Ẳ1 - 5Ã + 2 = 0 có các nghiệm Ẳ - 2 và Ẵ - —
1
Xn = A2n+ B —
2" , x*=an + bn + c.

„

Do vậy
•J

thay x*n vào phương trình sai phân, ta được
+ 2 Ỵ + b ịn + 2) + c J-5 [a(« + \Ỵ bịn + \ + c\+2(an2 +bn + csj
- - n2 - 2n + 3
Đồng nhất hệ thức ta được a - l , b - c - 0
Vây
■

x*=
n2 và Xn = Xn + X*n - A 2 2 + B —
+ n2
n
2«

Với X =1= A+B, X =3 = 2^4 + - 5 + l ^ y 4 = l, 5 = 0
1
2
Vậy X = 22 + n2
TH2: / = Pk{n)pn, trong đó p k(n) là đa thức bậc k của n.
+ Nếu phương trình đặc trưng (1.7) không có nghiệm Ẳ - p thì tìm
* ;= Q Á n)P"
+ Nếu (1.7) có nghiệm đơn Ẳ = p thì
* ;= n Qt (n)p"
+ Nếu (1.7) có nghiệm kép

< = i2a(«)A”
trong đó Qk{rì) là đa ứiức bậc k của n .
Ví dụ 1. Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân
2n

+

2

+

5x

+1 + 2 x

= (

35n

+

5

l ) .

3"

Lòi giải:
Phương trình đặc trưng

2Ẫ2 + 5Ấ+ 2 - 0

đều khác p = 3, nên x*n = ịan + b)3".
23

có nghiệm Ậ = - 2 ,Ẵ 2 = - —


Thay X* vào phương tìn h đặc trưng và nhóm các số hạng đồng dạng, ta được
35 an + 5 \a + 35b - 35« + 51=>a = l,ố = 0
Vậy

=n3"’

TH3: f = p (rì)cosỊ3 + Q (n)sinj3
trong đó p (n) và Q (n) là các đa thức bậc .
Nếu a = cosfi ± isinj3, không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.7) thì
tìm X* dưới dạng
x*n =

Tk { r ì ) c o s f i n

+ R k ( n ) s in / 3 n

( trong đó Tk(n) và RK(n) là các đa thức bậc k của n )
Nếu a - cosJ3 ± isỉnJ3 là nghiệm của phương trình đặc trưng thì tìm x*n dưới
dạng
X* = nTk{rì)cos0 n + nRk{n)sinfin

( trong đó Tk{n) và Rk{n) là các đa thức bậc k của n)

Ví dụ 1. Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân
X +2 +3 +1+ 2x = y n - 2 ) c o s ——+ 3{n + l)sin——.
Lòi giải:
Phương trình đặc trưng Ă2- 3Ẳ+ 2 - 0 có nghiệm Ả - 1 và Ả - 2, nên
*

/ _

7 \

j \ _•

_____ /

xn = [an + b jc o s— + [cn + d ịs in — .

Thay vào phương trình đang xét và đồng nhất hệ số ta có:
nn

x„

= ĩ l . c o s ——.

2

c) Phương pháp biến thiên hằng số
Xét phương trình sai phân

X+2 = p x n+1 + q x n + f n ,

Có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất là

24

(l .8)


^2 = w

t. + w

(1-9)

Neu и ,v là hai nghiệm độc lập của (1.9) thì ta tìm nghiệm riêngcủa (1.8)
dưới dạng
• W

X
n =А
n .и
n + Bn V
n

Trong đó A và В là hai hàm số của n . Thay vào (1.6) ta được
A +2U„+2 + B„+2Vn+2 = P Ả A +1M„+1+

+ 4ÁAnUn + Bnvn) (*)

Ta có
Aĩl+ 2

71+2

- p -LАn 71+1
МЛ+1, - Ấqn A
u =u 71+2АVА n+2
n n

71+1/

n+2

n + 1 -4 n

Л+1 n + 1

АẤ nл +n иnp А .и , - q

- ип+2 л А + Ал + 1Ар
и ^ +"аn ип J) - ±рп Ал + 1 ,ми,+-1 q " .Au
\ х п п+ 1
п
п
- и71+2Л А 71+1, + "ал ип ААп
(v ì и 2 = р и , + q и theo giả thiết ип là nghiệm của (1.9)
Theo công thức sai phân của tích
Aan bn = b л + l,Aan + an Abn
ta có A(un+1AẨJ = un+2A2Ẩn + AUn+ÌM„
và
иn + 2,AAЛ+1, + аẤ nиn AẢn = и

JAAn ,+ 1- A Ả ) +л u
nnAA
n+2 V
/
+2

n

+Л.Пq nи AA
n

-U n + 2,A2A +u
,AẨ
+J. qn и
AA
n
n+2n
n
n

= A(w„+iM ,+i) - U.+M' +
= A(Un+M n J -

+ Un J + Ч & М .

tương tự đố với V ta có
Вn+2,vn+2 - p-L Bn

,v Л+1 —q* B
v n=nA(v

.ABЛ+1,)' + vЛ+1.ABn +-*qn V nABn
n
' lĩ +1

л+1

Thay vào (*) ta có
А(и
ЛАи ’) + A(v
.АВп S) + (и \ ,АА +п+1V
,Лвп ') + аJ-n ипААп + qJ- пV Ап в п = J/ п
V и+1
V п+1
п и+1
hayJ А(и
ЛАп ' ) + Vп +1 ,Авп / ) + v(ил+ 1 .ААп + Vи+1 л в п )' + ал (и
АА п +V А
в
v п +1
'
л
п
Suy га

иЛ+1.ААп + V Л+1Л Вп = О
а (и ААп + V п АВп = J/ п

là đủ

Giải hệ• này

theo AẦn 3,Aв n ta được
AAn = vn+
\fn
J
*
TXT
q„w„
■In n
25

л

_ un+T\Xfn
T
q±nWn

п /

) =J /п

п