Bài giảng Đại số tuyến tính Chương 0 Kiến thức chuẩn bị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
( DÀNH CHO KHỐI KỸ THUẬT - CNTT)

Giảng viên: THS. ĐẶNG VĂN CƯỜNG

1


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương 0
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

2


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương 0
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Nhóm, Vành và Trường.

2


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương 0

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Nhóm, Vành và Trường.
Các khái niệm nhóm, vành và trường được giới thiệu trong phần
này chỉ dừng ở mức đủ dùng cho các diễn đạt trong phần sau
của giáo trình.
Giả sử G là một tập hợp. Mỗi ánh xạ
o:G×G→G
được gọi là một phép tốn hai ngơi (hay một luật hợp thành) trên
G. Ảnh của cặp phần tử (x, y) ∈ G × G bởi ánh xạ o được ký
hiệu là xoy, và được gọi là tích hay hợp thành của x và y.
2


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương 0
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Nhóm, Vành và Trường.
Các khái niệm nhóm, vành và trường được giới thiệu trong phần
này chỉ dừng ở mức đủ dùng cho các diễn đạt trong phần sau
của giáo trình.
Giả sử G là một tập hợp. Mỗi ánh xạ
o:G×G→G
được gọi là một phép tốn hai ngơi (hay một luật hợp thành) trên
G. Ảnh của cặp phần tử (x, y) ∈ G × G bởi ánh xạ o được ký
hiệu là xoy, và được gọi là tích hay hợp thành của x và y.
2

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.1. Một nhóm là một tập hợp khác rỗng G được trang
bị một phép tốn hai ngơi o thoả mãn 3 điều kiện sau:
(G1 ) Phép toán có tính kết hợp
(xoy)oz = xo(yoz), ∀x, y, z ∈ G.
(G2 ) Có một phần tử e ∈ G, được gọi là phần tử trung lập, với
tính chất
xoe = eox = x, ∀x ∈ G.

(G3 ) Với mọi x ∈ G, tồn tại phần tử x′ ∈ G, được gọi là nghịch
đảo của x, sao cho
xox′ = x′ ox = e.

3


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.1. Một nhóm là một tập hợp khác rỗng G được trang
bị một phép tốn hai ngơi o thoả mãn 3 điều kiện sau:
(G1 ) Phép toán có tính kết hợp
(xoy)oz = xo(yoz), ∀x, y, z ∈ G.
(G2 ) Có một phần tử e ∈ G, được gọi là phần tử trung lập, với
tính chất
xoe = eox = x, ∀x ∈ G.

(G3 ) Với mọi x ∈ G, tồn tại phần tử x′ ∈ G, được gọi là nghịch
đảo của x, sao cho
xox′ = x′ ox = e.
Nhận xét:
Phần tử trung lập là duy nhất. Thật vậy, nếu e và e′ đều là các

3


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
phần tử trung lập của nhóm G thì
e = eoe′ = e′ .
Với mọi x ∈ G, phần tử x′ ở mục (G3 ) là duy nhất. Thật vậy, nếu
x′1 và x′2 là các phần tử nghịch đảo của x thì
x′1 = x′1 oe = x′1 o(xox′2 ) = (x′1 ox)ox′2 = eox′2 = x′2 .
Trong nhóm có luật giản ước, tức là
xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y.

4


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
phần tử trung lập của nhóm G thì
e = eoe′ = e′ .
Với mọi x ∈ G, phần tử x′ ở mục (G3 ) là duy nhất. Thật vậy, nếu
x′1 và x′2 là các phần tử nghịch đảo của x thì
x′1 = x′1 oe = x′1 o(xox′2 ) = (x′1 ox)ox′2 = eox′2 = x′2 .
Trong nhóm có luật giản ước, tức là
xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y.
Thật vậy, để có luật giản ước, chỉ cần nhân hai vế của đẳng thức
xoy = xoz với nghịch đảo x′ của x từ bên trái và nhân hai vế của
đẳng thức xoz = yoz với nghịch đảo z ′ của z từ bên phải.
4


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân

Nếu phép tốn o có tính giao hốn, tức là
xoy = yox, ∀x, y ∈ G,
thì G được gọi là nhóm giao hốn (nhóm abel).
Theo thói quen, luật hợp thành o trong một nhóm abel thường
được ký hiệu theo lối cộng “ + ”. Hợp thành của cặp phần tử
(x, y) được ký hiệu theo lối cộng x + y và được gọi là tổng của x
và y. Phần tử trung lập được gọi là phần tử không, ký hiệu là 0.
nghịch đảo của x được gọi là phần tử đối của x, ký hiệu là (−x).
Trường hợp tổng qt, phép tốn o trong nhóm thường được ký
hiệu theo lối nhân “.”, Hợp thành của cặp phần tử (x, y) được ký
hiệu là x.y hay đơn giản là xy, và gọi là tích của x và y. Phần tử
trung lập của nhóm thường được gọi là phần tử đơn vị. Phần tử
nghịch đảo của x được ký hiệu là x−1 .
5


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Example 1.1.
a) Các tập hợp số Z, Q, R lập thành nhóm abel đối với phép cộng.
b) Các tập Z∗ = Z\{0}, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} làm thành một
nhóm abel đối với phép nhân.

6


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Example 1.1.
a) Các tập hợp số Z, Q, R lập thành nhóm abel đối với phép cộng.
b) Các tập Z∗ = Z\{0}, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} làm thành một
nhóm abel đối với phép nhân.

Definition 1.2. Giả sử G và G′ là các nhóm (với phép tốn viết
theo lối nhân). Một ánh xạ ϕ : G → G′ được gọi là một đồng cấu
nhóm nếu
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G.

6


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Example 1.1.
a) Các tập hợp số Z, Q, R lập thành nhóm abel đối với phép cộng.
b) Các tập Z∗ = Z\{0}, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} làm thành một
nhóm abel đối với phép nhân.
Definition 1.2. Giả sử G và G′ là các nhóm (với phép tốn viết
theo lối nhân). Một ánh xạ ϕ : G → G′ được gọi là một đồng cấu
nhóm nếu
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G.
Nhận xét: Đồng cấu nhóm ϕ biến đơn vị e của G thành đơn vị e′
của G′ : ϕ(e) = e′ .
Nó cũng biến phần tử nghịch đảo của x thành phần tử nghịch
đảo của ϕ(x):
ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 .
6


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.3. Ta có các khái niệm sau:
a) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một đơn ánh được gọi là một
đơn cấu nhóm.
b) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một toàn ánh được gọi là một

toàn cấu.
c) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một song ánh được gọi là một
đẳng cấu nhóm.
Nếu có một đẳng cấu nhóm giữa G và G′ thì ta nói G đẳng cấu
với G′ và viết G ∼
= G′ .

7


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Bây giờ ta chuyển sang khảo sát các vành và trường.

7


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Bây giờ ta chuyển sang khảo sát các vành và trường.
Definition 1.4. Một vành là một tập hợp R = ∅ được trang bị hai
phép tốn hai ngơi, gồm phép cộng
+ : R → R, (x, y) → x + y,
và phép nhân
. : R × R → R, (x, y) → xy,
thoả mãn ba điều kiện sau:
(R1 ) R là một nhóm abel đối với phép cộng.
(R2 ) Phép nhân có tính kết hợp:
(xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R.

7

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
(R3 ) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng:
(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R.
Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao
hốn:
xy = yx, ∀x, y ∈ R.

Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị,
tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho
1x = x1 = x, ∀x ∈ R.

8


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
(R3 ) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng:
(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R.
Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao
hốn:
xy = yx, ∀x, y ∈ R.
Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị,
tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho
1x = x1 = x, ∀x ∈ R.
Example 1.3. Các tập hợp số Z, Q là các vành giao hốn và có
đơn vị đối với các phép tốn cộng và nhân thơng thường. Tập hợp
số tự nhiên N không là một vành và không là một nhóm đối với
phép cộng.
8

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
(R3 ) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng:
(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R.
Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao
hốn:
xy = yx, ∀x, y ∈ R.

Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị,
tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho
1x = x1 = x, ∀x ∈ R.
Example 1.3. Các tập hợp số Z, Q là các vành giao hốn và có
đơn vị đối với các phép tốn cộng và nhân thơng thường. Tập hợp
số tự nhiên N không là một vành và không là một nhóm đối với
phép cộng.
8


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.5. Giả sử R và R′ là các vành. Một ánh xạ
ϕ : R → R′ được gọi là một đồng cấu vành nếu
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ R,
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R.

Các khái niệm đơn cấu vành, toàn cấu vành, đẳng cấu vành được
định nghĩa tương tự đối với trường hợp nhóm.

9

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.5. Giả sử R và R′ là các vành. Một ánh xạ
ϕ : R → R′ được gọi là một đồng cấu vành nếu
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ R,
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R.

Các khái niệm đơn cấu vành, toàn cấu vành, đẳng cấu vành được
định nghĩa tương tự đối với trường hợp nhóm.
Example 1.4. Phép nhúng i : Z → Q là một đơn cấu vành.
Phần tử x trong vành có đơn vị R được gọi là khả nghịch nếu tồn
tại x′ ∈ R sao cho xx′ = x′ x = 1. Dễ dàng chứng minh được
rằng phần tử x′ có tính chất như vậy nếu tồn tại thì duy nhất. Nó
được ký hiệu là x−1 .

9


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Definition 1.5. Giả sử R và R′ là các vành. Một ánh xạ
ϕ : R → R′ được gọi là một đồng cấu vành nếu
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ R,
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R.

Các khái niệm đơn cấu vành, toàn cấu vành, đẳng cấu vành được
định nghĩa tương tự đối với trường hợp nhóm.
Example 1.4. Phép nhúng i : Z → Q là một đơn cấu vành.

Phần tử x trong vành có đơn vị R được gọi là khả nghịch nếu tồn
tại x′ ∈ R sao cho xx′ = x′ x = 1. Dễ dàng chứng minh được
rằng phần tử x′ có tính chất như vậy nếu tồn tại thì duy nhất. Nó

được ký hiệu là x−1 .
Definition 1.6. Một vành giao hốn có đơn vị 1 = 0 sao cho mọi
phần tử khác khơng trong nó đều khả nghịch được gọi là một
9


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
trường.

10


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
trường.
Example 1.5. Vành Q là một trường. Vành số ngun Z khơng là
một trường, vì các số khác ±1 đều không khả nghịch.

10


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
trường.
Example 1.5. Vành Q là một trường. Vành số ngun Z khơng là
một trường, vì các số khác ±1 đều không khả nghịch.

Definition 1.7. Vành R được gọi là khơng có ước của khơng nếu,
với mọi a, b ∈ R, ab = 0 thì hoặc a = 0, hoặc b = 0, hoặc cả a và
b đều bằng không.

10