Giải tích Mạch điện

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ

SÁCH HỌC TẬP GIẢI TÍCH MẠCH ĐIỆN
Phân loại:
Mã số:

Chủ biên: ThS. Lê Nguyễn Hịa Bình

Bình Dương, 2/2017


LỜI NĨI ĐẦU
Sách hướng dẫn học tập mơn Giải Tích Mạch Điện được biên soạn cho sinh viên ngành
Điện – Điện tử và các ngành kỹ thuật, sẽ cung cấp cho sinh viên các kiến thức cơ bản về
phân tích mạch điện, các kiến thức cơ bản và nâng cao mơn Giải Tích Mạch Điện. Sách
được viết dựa theo đề cương mơn Giải tích mạch điện, mong rằng sẽ giúp đỡ cho sinh viên
Khoa CNTT và Điện - Điện Tử sẽ được nhiều kiến thức trong học tập và thực tế.
Qua q trình biên soạn cũng khơng khỏi thiếu sót. Tơi rất mong nhận được sự đóng góp
ý kiến của các đồng nghiệp, các em sinh viên nhằm hoàn thiện tốt hơn.
Bình Dương, tháng 6 năm 2017
Tác giả


CHƯƠNG 1:

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẠCH ĐIỆN

Sau khi học xong chương này sẽ đạt được năng lực:
- Phát biểu được khái miệm về mạch điện một chiều
- Vẽ được mơ hình thay thế của mạch điện

- Phát biểu và vận dụng được các định luật trong mạch điện
- Vận dụng phương pháp biến đổi tương đương các phần tử trong mạch điện

1.1. MẠCH ĐIỆN VÀ MƠ HÌNH
1.1.1. Mạch điện, các phần tử trong mạch điện
Mạch điện là tập hợp các thiết bị điện nối với nhau bằng các dây dẫn (phần tử
dẫn) tạo thành những vịng kín trong đó dịng điện có thể chạy qua. Mạch điện thường
gồm các loại phần tử sau: nguồn điện, phụ tải (tải), dây dẫn.
Ví dụ: Ở Hình 1-1 nguồn điện là máy phát điện MF, tải gồm động cơ điện ĐC
và bóng đèn Đ, các dây dẫn nối tử nguồn đến tải.
Tải

Dây dẫn
MF

ĐC

Đ
Nguồn điện

Hình 1-1: Mạch điện đơn giản
a. Nguồn điện: Nguồn điện là thiết bị phát ra điện năng. Về nguyên lý, nguồn

điện là thiết bị biến đổi các dạng năng lượng như cơ năng, hóa năng, nhiệt năng,…
thành điện năng.
Ví dụ: Ở Hình 1-2:
- Pin, accu biến đổi hóa năng thành điện năng;
- Máy phát điện biến đổi cơ năng thành điện năng;
- Pin mặt trời biến đổi năng lượng bức xạ thành điện năng,…
1

Hình 1-2: Một số dạng nguồn điện
b. Tải: Tải là các thiết bị tiêu thụ điện năng và biến đổi điện năng thành các
dạng năng lượng khác như quang năng, nhiệt năng, cơ năng,... (Hình 1-3)

Hình 1-3: Một số loại phụ tải tiêu thụ điện điển hình
c. Dây dẫn: Dây dẫn thường làm bằng kim loại (đồng, nhôm) dùng để truyền
tải điện năng từ nguồn đến tải.
Ngoài ra, trong mạch điện cịn có nhiều loại phần tử khác nhau như: phần tử
làm thay đổi áp và dòng trong các phần khác của mạch điện (máy biến áp, máy biến
dòng), phần tử làm giảm hoặc tăng cường các thành phần nào đó của tín hiệu (các
bộ lọc, bộ khuếch đại),…
Trên mỗi phần tử thường có một số đầu nối ra gọi là các cực dùng để nối nó
với các phần từ khác. Dòng điện đi vào hoặc đi ra phần tử từ các cực. Phần tử có thể
có hai cực, ba cực, bốn cực hay nhiều cực.
Ví dụ: - cuộn dây, tụ điện, điện trở là phần tử hai cực;
- transistor là phần tử ba cực;
- máy biến áp, khuếch đại thuật tốn là phần tử nhiều cực.
Nếu phần tử có kích thước rất nhỏ so với độ dài của bước sóng điện từ thì trên
các cực của phần tử có thể định nghĩa các đại lượng dòng điện, điện áp và có thể
dùng hai đại lượng này để đo cường độ chung (xét về tồn bộ) của q trình điện từ
2


xảy ra bên trong phần tử. Dòng điện và điện áp được định nghĩa như sau:
1.1.2. Các đại lượng đặc trưng quá trình năng lượng trong mạch điện
Để đặc trưng cho quá trình năng lượng cho một nhánh hoặc một phần tử của
mạch điện ta dùng hai đại lượng: dòng điện i và điện áp u.
1.1.2.1. Dòng điện

Dòng điện i về trị số bằng tốc độ biến thiên của lượng điện tích q qua tiết diện
ngang một vật dẫn:
i=

dq
dt

(1.1)

Chiều dịng điện quy ước là chiều chuyển động của điện tích dương trong điện
trường.
A

i

B
UAB
Hình 1-4

1.1.2.2. Điện áp
Hiệu điện thế (hiệu thế) giữa hai điểm gọi là điện áp. Điện áp giữa hai điểm A
(có điện thế φA ) và B (có điện thế φB ) là công cần thiết để làm dịch chuyển một đơn
vị điện tích (1 Coulomb) từ A đến B, được tính bằng cơng thức:
uAB = φA − φB

(1.2)

Chiều điện áp quy ước là chiều từ điểm có điện thế cao đến điểm có điện thế
thấp.
1.1.2.3. Chiều dương dòng điện và điện áp

Đối với các mạch điện đơn giản, theo quy ước trên ta dễ dàng xác định được
chiều dịng điện và điện áp trong một nhánh. Ví dụ mạch điện gồn một nguồn điện
một chiều và một tải (Hình 1.5). Trên hình đã vẽ chiều điện áp đầu cực nguồn điện,
chiều điện áp trên nhánh tải và chiều dịng điện trong mạch.
Tuy nhiên, khi tính tốn phân tích mạch điện phức tạp, ta khơng thể dễ dàng
xác định ngay chiều dòng điện và điện áp các nhánh, đặc biệt đối với dòng điện xoay
3


chiều, chiều của chúng thay đổi theo thời gian. Vì thế, khi giải mạch điện, ta tùy ý
vẽ chiều dòng điện và điện áp trong các nhánh gọi là chiều dương. Kết quả tính tốn
nếu có trị số dương, chiều dòng điện (điện áp) trong nhánh ấy trùng với chiều đã vẽ,
ngược lại, nếu dịng điện (điện áp) có trị số âm, chiều của chúng ngược với chiều đã
vẽ.
i

+
_

u

u

Hình 1-5

1.2. CÁC PHẦN TỬ TRONG MẠCH ĐIỆN
Mơ hình mạch dùng trong lý thuyết mạch điện, được xây dựng từ các phần tử
mạch lý tưởng sau đây:
1.2.1. Các phần tử 2 cực
1.2.1.1. Điện trở R

Điện trở R đặc trưng cho quá trình tiêu thụ điện năng và biến đổi điện năng sang
dạng năng lượng khác như nhiệt năng, quang năng, cơ năng v…v.
Một cách tổng quát, phần tử điện trở được định nghĩa là phần tử được đặc trung
bởi quan hệ giữa dịng điện và điện áp trên phần tử có dạng sau:
i

R

i

𝑢𝑅

R

𝑢𝑅

Hình 1-6: Ký hiệu phần tử điện trở trong mạch điện
Quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên điện trở: cho dòng điện i chạy qua điện
trở R, giữa hai đầu điện trở R có điện áp rơi uR , theo định luật Ohm ta có:

4


𝑢𝑅 = 𝑓𝑅 . (𝑖) hoặc : 𝑖𝑅 = 𝜑𝑅 . (𝑢)

(1.3)

Trong đó: fR và 𝜑𝑅 là những hàm liên tục.

Quan hệ giữa u và i trong (1.3) gọi là đặc tuyến Volt – Ampere (V-A) của phần

tử điện trở. Tổng quát, các đặc tuyến này không là đường thẳng (gọi là điện trở phi
tuyến hay điện trở không tuyến tính).
i

i

i
u

u
0

0

u

b. Đặc tuyến V-A điện trở tuyến tính

a. Đặc tuyến V-A điện trở phi tuyến

Hình 1-7: Đặc tuyến V-A của điện trở
Nếu đặc tuyến V-A là tuyến tính (Hình 1-7 b.) ta có phần tử điện trở tuyến tính.
Quan hệ giữa dòng điện và điện áp được biểu thị qua định luật Ohm:
(1.4)

Với:

𝑢 = 𝑅. 𝑖
𝑢
𝑖

(1.5)

là điện trở, đơn vị là Ohm (Ω).

𝑅=

Điện trở tuyến tính có giá trị khơng âm (≥ 0), và không phụ thuộc vào giá trị
của điện áp và dòng điện.

5


Trường hợp R = 0, ta có u ≡ 0 đối với bất kỳ giá trị nào của dòng điện. Điều này
tương đương với sự ngắn mạch hai cực. Mô hình này dùng cho dây dẫn (để nối các
phần tử) trong mạch điện.
Phương trình 1.4 có thể được viết lại dưới dạng khác như sau:
𝑢=

1
. 𝑖 = 𝐺. 𝑢
𝑅

(1.6)

trong đó G là điện dẫn, đơn vị đo là Siemen (S)
hoặc Mho (Ʊ): 1S = 1/Ω = Ω-1 = Ʊ.
Trường hợp R = ∞ hay G = 0, ta có i ≡ 0 đối với bất kỳ giá trị nào của điện áp.

Mơ hình này dùng để biểu diễn sự hở mạch.

1.2.1.2. Điện cảm L

Phần tử điện cảm là mơ hình lý tưởng của cuộn dây, khi chỉ xét đến hiện tượng
chủ yếu là hiện tượng tích phóng năng lượng từ trường, bỏ qua các hiện tượng khác.
Phần tử này được đặc trưng bởi quan hệ giữa từ thơng móc vịng và dòng điện chảy
qua cuộn dây:

𝜓

𝛹 = 𝑓𝐿 (𝑖)

(1.7)
𝜓
i

𝜓
=𝐿
𝑖

i

i

0

0

a. Đặc tuyến V-A điện cảm phi tuyến

u

b. Đặc tuyến V-A điện cảm tuyến tính

Hình 1-8: Đặc tuyến V-A của điện cảm
Trong trường hợp đặc tuyến này là đường thẳng ta có phần tử điện cảm tuyến
tính (Hình 1-7 b).
6


Khi đó tỷ số 𝐿 = 𝛹/𝑖 khơng phụ thuộc vào dịng điện i.
eL

i

uL

Hình 1-9: Ký hiệu phần tử điện cảm trong mạch điện
Khi có dịng điện i chạy trong cuộn dây W vịng sẽ sinh ra từ thơng móc vòng
với cuộn dây:
𝜓 = W𝜑

(1.8)

Điện cảm của cuộn dây: 𝐿 = 𝜓 /𝑖 = 𝑊𝜑/𝑖

L được gọi là điện cảm (hoặc hệ số tự cảm) và được đo bằng Henry (H).
Nếu dịng điện i biến thiên thì từ thơng cũng biến thiên và theo định luật cảm

ứng điện từ trong cuộn dây xuất hiện sức điện động tự cảm:
𝑒𝐿 = −

𝑑𝜓
𝑑𝑖
= −𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝑡

(1.9)

Quan hệ giữa dòng điện và điện áp:
𝑢𝐿 = −

𝑒
𝑑𝑖
= 𝐿
𝐿
𝑑𝑡

(1.10)

Dịng điện i được xác định từ phương trình:
𝑡

trong đó:

1
𝑖 = ∫ 𝑢𝐿 𝑑𝑡 + 𝑖(0)
𝐿

(1.11)

0

𝜓(0)
(1.12)
𝐿
là giá trị của dòng điện qua phần tử điện cảm tại thời điểm ban đầu t = 0.
𝑖 ( 0) =

1.2.1.3. Điện dung C
Phần tử điện dung là mơ hình lý tưởng của tụ điện, khi chỉ xét đến hiện tượng
chủ yếu là tích phóng năng lượng điện trường, bỏ qua các hiện tượng khác. Phần tử

7


điện dung được đặc trưng bởi quan hệ giữa điện tích tích lũy trên bản cực và điện áp
giữa hai cực.
𝑞 = 𝑓𝐶 (𝑢𝑐 )

𝑞

(1.13)
𝑞

𝑞
=𝐶
𝑢

i

u

u
0

0
a. Đặc tuyến V-A điện cảm phi tuyến

u

b. Đặc tuyến V-A điện cảm tuyến tính

Hình 1-10: Đặc tuyến V-A của điện dung
i

C
uC

Hình 1-11: Ký hiệu phần tử điện dung trong mạch điện
Nếu đặc tuyến này là đường thẳng: ta có phần tử điện dung tuyến tính
(Hình 1- 7 b). Trong trường hợp này, khi đặt điện áp uC hai đầu tụ điện, sẽ có điện
tích q tích lũy trên bản tụ điện:
𝑞 = 𝐶 . 𝑢𝐶

(1.14)

Nếu điện áp uC biến thiên sẽ có dịng điện dịch chuyển qua tụ điện:

Từ đó suy ra:

𝑖=

𝑑𝑞
𝑑𝑢𝐶
= 𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑡

1 𝑡
𝑢𝐶 = ∫ 𝑖𝑑𝑡
𝐶 0

(1.15)

(1.16)

Nếu tại thời điểm t=0, tụ điện đã có điện tích ban đầu thì điện áp trên tụ điện là:
8


𝑢𝐶 =

1 𝑡
∫ 𝑖𝑑𝑡 + 𝑢𝐶 (0)
𝐶 0

(1.17)

trong đó uC(0) là điện áp ban đầu trên tụ:
𝑢𝑐 (0) =

𝑞 (0)
𝐶

(1.18)

Đơn vị của điện dung là Farad (F) hoặc µF.
1.2.1.4. Nguồn (điện) áp độc lập
Nguồn điện áp đặc trưng cho khả năng tạo nên và duy trì một điện áp trên hai
cực của nguồn. Nguồn điện áp u(t) được ký hiệu như Hình 1-12 a và được biểu diễn
bằng một sức điện động e(t) như Hình 1-12 b. Chiều e(t) quy ước từ điểm có điện
thế thấp đến điểm điện thế cao. Chiều u(t) được quy ước từ điểm có điện thế cao
đến điểm có điện thế thấp.
u(t) = −e(t)
u(t)

u(t)

u

e

+-

i

e(t)

a)

b)

c)

Hình 1-12: Nguồn (điện) áp lý tưởng
Đối với nguồn (điện) áp thực tế thì đặc tuyến sẽ khác so với nguồn áp lý tưởng
như ở Hình 1-12 c do bản thân nguồn điện cũng có điện trở và áp ở đầu ra phụ thuộc
vào dòng điện. Người ta xây dựng nguồn áp thực tế gồm một nguồn lý tưởng nối tiếp
với một điện trở Ra. Khi đó đặc tuyến ngồi sẽ có dạng:
𝑢(𝑡 ) = 𝑒(𝑡 ) + 𝑅𝑎 𝑖(𝑡)

phụ thuộc vào dịng điện của nguồn cung cấp (Hình 1-13).

9

(1.19)


e(t)

i(t)

Ra

+u(t)

Hình 1-13: Nguồn (điện) áp thực tế
1.2.1.5. Nguồn dịng (điện) độc lập
Nguồn dòng điện j(t) đặc trưng cho khả năng của nguồn điện tạo nên và duy trì
một dịng điện cung cấp cho mạch ngồi (Hình 1-14).

u
j(t)

j

i

Hình 1-14: Nguồn dịng (điện) lý tưởng
Đối với nguồn dịng (điện) thực, mơ hình của nó gồm nguồn dịng lý tưởng nối
song song với điện trở Rd (Hình 1-15). Dịng điện chay từ nguồn phụ thuộc vào điện
áp trên hai cực của nguồn dòng:
𝑖 (𝑡 ) = 𝑗 (𝑡 ) −

j(t)

𝑢(𝑡)
𝑅𝑑

(1.20)

i(t)

>>
Rd
Hình 1-15: Nguồn dịng (điện) thực tế

10


1.2.2. Các phần tử 4 cực

1.2.2.1. Các nguồn phụ thuộc
Trái với các nguồn độc lập có thể tạo ra một điện áp hoặc dịng điện hồn tồn
khơng bị ảnh hưởng bới phần còn lại của mạch, các nguồn phụ thuộc tạp ra một dòng
điện hoặc điện áp phụ thuộc vào một dòng điện hoặc điện áp ở một nơi nào đó trong
mạch. Hình 1-16 ký hiệu 4 loại nguồn phụ thuộc ở trong mạch điện.
+
+

u1

_

𝑔u1

i2

i1

_

a) VCCS (Nguồn dòng phụ thuộc áp)

+

u1

_

b) CCVS (Nguồn áp phụ thuộc dòng)

+
_+ αu1

u2

+
_ ri1

i1

u2

βi1

i2

_

c) VCVS (Nguồn áp phụ thuộc áp)

d) CCCS (Nguồn dòng phụ thuộc dịng)

Hình 1-16: Phần tử nguồn phụ thuộc
Các đầu vào ở bên trái tượng trưng điện áp hoặc dòng điện điều khiển phụ thuộc.
Các đầu ra ở bên phải là dòng điện hoặc điện áp ra của nguồn bị điều khiển.
Các hằng số r, 𝑔, α, β là các hệ số điều khiển.

a. Nguồn dòng phụ thuộc áp (VCCS: Voltage Controlled Current Source)
Phần tử này phát ra dòng điện i2 phụ thuộc vào điện áp u1 theo hệ thức:
𝑖2 = 𝑔. 𝑢1

(1.21)

Đơn vị đo của 𝑔 là Siemen (S) hoặc Mho (Ʊ).

b. Nguồn áp phụ thuộc dòng (CCVS: Current Controlled Voltage Source)
Phần tử này phát ra điện áp u2 phụ thuộc dòng điện i1 theo hệ thức:

Đơn vị đo của r là Ohm (Ω).

𝑢2 = 𝑟. 𝑖1
11

(1.22)


c. Nguồn áp phụ thuộc áp (VCVS: Voltage Controlled Voltage Source)
Phần tử này phát ra điện áp u2 phụ thuộc vào điện áp u1 theo hệ thức:

𝛼 khơng có thứ nguyên.

𝑢2 = 𝛼. 𝑢1

(1.23)

d. Nguồn dòng phụ thuộc dòng (CCCS: Current Controlled Current Source)
Phân tử này phát ra dòng điện i2 phụ thuộc vào dòng điện i1 theo hệ thức:

𝛽 khơng có thứ ngun.

𝑖2 = 𝛽. 𝑖1

(1.24)

Các nguồn phụ thuộc thường được dùng khi mơ hình các linh kiện điện tử như

transistor, op-amp,… và các mạch điện tử chứa chúng.
1.2.2.2. Hai phần tử điện cảm có ghép hỗ cảm
Phần tử bốn cực này có thể xem như là mơ hình lý tưởng của hai cuộn dây có
ghép hỗ cảm với nhau nếu ta bỏ qua hiện tượng tiêu tán và hiện tượng tích phịng
năng lượng điện trường.
Xét hai cuộn dây đặt gần nhau sao cho dòng điện biến thiên chạy trong một cuộn
dây sẽ tạo ra từ thơng móc vịng khơng những ở chính bản thân cuộn dây đó mà với
cả cuộn dây kia. Và do đó cảm ứng điện áp khơng những ở trong chính bản thân cuộn
dây đó mà cả ở trong cuộn dây kia. Mỗi cuộn dây đều bị ảnh hưởng bởi từ trường gây
ra do cuộn dây kia. Khi đó ta nói hai cuộn dây có ghép hỗ cảm với nhau.
ψ11

ψ21
i1

a)

M
*

u21

*
b)

Hình 1-17: Phần tử điện cảm có ghép hỗ cảm trong mạch điện
Hiện tượng hỗ cảm là hiện tượng xuất hiện từ trường trong một cuộn dây do
dòng điện biến thiên trong cuộn dây khác tạo nên.
12


Trên Hình 1-17 a có hai cuộn dây có liên hệ hỗ cảm với nhau. Từ thông hỗ cảm
trong cuộn dây 2 do dòng điện i1 tạo nên là:
𝜓21 = 𝑀𝑖1

(1.25)

𝜓12 = 𝑀𝑖2

(1.26)

Tương tự từ thông hỗ cảm trong cuộn dây 1 do dòng điện i2 trong cuộn dây 2
tạo nên là:

M là hệ số hỗ cảm giữa hai cuộn dây, đơn vị hỗ cảm là Henry (H) hoặc mH.
Nếu i1 biến thiên thì điện áp hỗ cảm của cuộn dây 2 do i1 tạo nên là:
𝑢21 =

𝑑𝜓21 𝑀𝑑𝑖1
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡

𝑢12 =

𝑑𝜓12 𝑀𝑑𝑖2
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡

(1.27)

Tương tự điện áp hỗ cảm của cuộn dây 1 do dòng điện i2 tạo nên là:
(1.28)

Hỗ cảm 𝑀 được ký hiệu như sơ đồ Hình 1-17 b và dùng cách đánh dấu một cực

cuộn dây bằng dấu sao (*) để dễ xác định dấu của phương trình (1.27) và (1.28). Đó

là các cực cùng tính, khi các dịng điện có chiều cùng đi vào (hoặc cùng đi ra khỏi)
các cực đánh dấu ấy thì từ thơng tự cảm 𝜓11 và 𝜓21 cùng chiều. Cực cùng tính phụ
thuộc vào chiều quấn dây và vị trí của các cuộn dây có hỗ cảm.

Tùy thuộc vào cực tính của hai cuộn dây cùng (hay ngược) chiều ta có từ thơng
trong mỗi cuộn dây:
𝜓1 = 𝐿1 𝑖1 ± 𝑀𝑖2

(1.29)

𝜓2 = 𝐿2 𝑖2 ± 𝑀𝑖1

(1.30)

𝑑𝑖1

𝑑𝜓1 𝑑𝜓11 𝑑𝜓12
𝑑𝑖2
=
+
= 𝐿1
±𝑀
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝜓2 𝑑𝜓22 𝑑𝜓21
𝑑𝑖1
𝑑𝑖2
𝑢2 =
=
+
= 𝐿2
±𝑀
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡

(1.31)

Điện áp cảm ứng trên hai cuộn dây được xác định theo công thức:
𝑢1 =

Điện áp u1 và u2 gồm hai thành phần:
- Điện áp tự cảm: 𝐿1

𝑑𝑖1
𝑑𝑡

và 𝐿2

𝑑𝑖2
𝑑𝑡

13

(1.32)


- Điện áp tự cảm: ±𝑀

𝑑𝑖2
𝑑𝑡

và ±𝑀

𝑑𝑖1
𝑑𝑡

Quy tắc để xác định dấu “+” hoặc “-” trong biểu thức ±𝑀

𝑑𝑖

𝑑𝑡

của biểu thức hỗ

cảm như sau: Nếu dịng điện i có chiều dương đi vào đầu có dấu “*” (đầu khơng có
dấu”*”) trong cuộn dây và điện áp có cực tính “+” ở đầu có dấu “*” (đầu khơng có
𝑑𝑖

dấu “*”) trong cuộn dây kia thì điện áp hỗ cảm là 𝑀 , trường hợp ngược lại là
−𝑀

𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑑𝑡

.

Mức độ ghép hỗ cảm giữa hai cuộn dây được xác định qua hệ số ghép k được

định nghĩa theo công thức:
𝑘=

𝑀

(1.33)

√𝐿1 𝐿2

Người ta chứng minh được 𝑘 ≤ 1.

Khi 𝑀2 = 𝐿1 𝐿2 thì 𝑘 = 1: ta có ghép lý tưởng, tồn bộ các đường sức ở cuộn

dây này đều móc vịng qua cuộn dây kia.
1.2.2.3. Biến áp lý tưởng

Mạch hai cuộn dây ghép hỗ cảm nêu ở mục trên nếu ghép lý tưởng (𝑘 = 1) và

hệ số tự cảm 𝐿1 và 𝐿2 là vô cùng lớn nhưng tỷ số

𝐿2
𝐿1

𝑤

2

= ( 2 ) là hữu hạn được gọi là
𝑤1

biến áp lý tưởng, trong đó: 𝑤1 là số vịng dây quấn của cuộn 1, 𝑤2 là số vịng dây

quấn của cuộn 2.

𝑖1
𝑢1

𝑖2

1: 𝑛

𝑢2

Hình 1-18: Máy biến áp lý tưởng
Từ biểu thức 1.31 và 1.32 dễ dàng chứng minh được:

14


(1.34)

𝑢2 √𝐿2 𝑤2
=
=
=𝑛
𝑢1 √𝐿1 𝑤1
1
𝑖2
=−
𝑛
𝑖1

(1.35)

Với 𝑛 là tỷ số vòng dây giữa cuộn dây 2 và cuộn dây 1.

Biểu thức 1.34 và 1.35 gọi là hệ phương trình của một biến áp lý tưởng.

1.3. CƠNG SUẤT VÀ NĂNG LƯỢNG

𝑖

𝑢

Hình 1-19
Xét một phần mạch điện chịu tác động ở hai đầu một điện áp 𝑢, qua nó có dịng

điện 𝑖. Nếu chiều dương của điện áp và dịng điện như Hình 1-19, thì năng lượng điện

được đưa vào phần mạch điện đó (hay phần mạch điện đó hấp thu năng lượng) trong
khoảng thời gian vô cùng bé 𝑑𝑡 là:

𝑑𝑤 = 𝑢. 𝑑𝑞 = 𝑢. 𝑖. 𝑑𝑡

(1.36)

Trong đó 𝑑𝑞 là lượng điện tích dịch chuyển qua phần mạch điện từ cực + sang

cực – trong khoảng thời gian 𝑑𝑡.

Công suất tức thời được đưa vào phần mạch điện là:
𝑝 (𝑡 ) =

𝑑𝑤
= 𝑢. 𝑖
𝑑𝑡

(1.37)

Với 𝑝(𝑡) là một đại lượng đại số (có trị số dương hoặc âm). Nếu tại một thời

điểm 𝑡 nào đó 𝑝 > 0 thì tại thời điểm 𝑡 đó phần mạch thực sự hấp thu năng lượng với
15


cơng suất là 𝑝. Cịn nếu 𝑝 < 0 thì tại thời điểm 𝑡 đó phần mạch thực sự phát ra năng

lượng (tức là năng lượng được đưa từ phần mạch ra ngồi) với cơng suất là |𝑝|.

Từ 1.37 suy ra năng lượng cung cấp cho phần mạch trong khoảng thời gian ∆𝑡

từ 𝑡0 đến 𝑡0 + ∆𝑡 là:

𝑡0 +∆𝑡

𝑡0 +∆𝑡

(1.38)

𝑊 (𝑡0 , 𝑡0 + ∆𝑡 ) = ∫ 𝑝(𝑡 ). 𝑑𝑡 = ∫ 𝑢(𝑡 ). 𝑖(𝑡). 𝑑𝑡
𝑡0

𝑡0

Nếu chiều dương của dòng điện 𝑖 và điện áp 𝑢 được chọn như Hình 1-20 thì tích

𝑢. 𝑖 gọi là cơng suất tức thời phát ra bởi phần mạch điện:
𝑝𝑓 (𝑡 ) là đại lượng đại số:

𝑝𝑓 (𝑡 ) = 𝑢(𝑡 ). 𝑖(𝑡)

(1.39)

𝑖

𝑢

Hình 1-20
Nếu tại 𝑡, 𝑝𝑓 (𝑡 ) > 0: phần mạch thực sự phát ra năng lượng với công suất

𝑝𝑓 (𝑡 ).

Nếu tại 𝑡, 𝑝𝑓 (𝑡 ) < 0: phần mạch thực sự hấp thu năng lượng với công suất

|𝑝𝑓 (𝑡 )|.

Đơn vị của công suất là Watt (W). Đơn vị của năng lượng là Joule (J).

Nói một phần tử phát ra công suất -10W tương đương với phần tử đó hấp thu
một cơng suất là +10W. Hoặc nói một phần tử phát ra công suất +10W cũng tương
đương với phần tử đó hấp thu một cơng suất -10W (Ví dụ ở Hình 1-21).
16


- 2A

2A

5V

5V

Hình 1-21
1.3.1. Cơng suất và năng lượng trên điện trở
Xét mạch điện ở Hình 1-6, cơng suất điện trở tiêu thụ:

1

𝑝𝑅 (𝑡) = 𝑢(𝑡). 𝑖(𝑡) = 𝑅. 𝑖 2 (𝑡 ) = 𝐺. 𝑢2 (𝑡)

(1.40)

Với G = : là điện dẫn.
R

Với 𝑅 > 0 ta có 𝑝𝑅 (𝑡) ln dương, điều này chứng tỏ phần tử 𝑅 chỉ có tiêu hao

(hấp thụ) năng lượng điện.

Năng lượng tiêu tán trên điện trở trong khoảng thời gian từ 𝑡0 đến 𝑡0 + ∆𝑡:
𝑊= ∫

𝑡0 +∆𝑡

𝑡0

𝑡0 +∆𝑡

𝑝(𝑡 ). 𝑑𝑡 = ∫

Khi i = const ta có W = R. i2 . ∆t.

𝑡0

𝑅. 𝑖 2 (𝑡 ). 𝑑𝑡

(1.41)

1.3.2. Công suất và năng lượng trên phần tử điện dung
Công suất tức thời hấp thu bởi phần tử điện dung 𝐶:
𝑝𝐶 (𝑡 ) = 𝑢(𝑡 ). 𝑖 (𝑡 ) = 𝐶. 𝑢(𝑡 ).

𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡

Với chiều dương của 𝑢 và 𝑖 như trên Hình 1-11.

Năng lượng tích lũy trong phần tử điện dung tại thời điểm 𝑡:

17

(1.42)


𝑡

𝑡

𝑡

−∞

−∞

−∞

𝑑𝑢
𝑊𝐶 (𝑡 ) = ∫ 𝑝𝐶 (𝜏)𝑑𝜏 = 𝐶 ∫ 𝑢(𝜏)
𝑑𝜏 = 𝐶 ∫ 𝑢. 𝑑𝑢
𝑑𝜏
𝑊𝐶 (𝑡 ) =

Với giả thiết 𝑢(−∞) = 0.

1
𝐶. 𝑢2 (𝑡)
2

(1.43)

Khi |𝑢| tăng từ trị số |𝑢1 | lên trị số |𝑢2 |(> |𝑢1 |) thì năng lượng điện trường tích

lũy vào phần tử C thêm một lượng:

∆𝑊𝐶 =

1
𝐶 (𝑢22 − 𝑢12 )
2

Khi |𝑢| giảm từ trị số |𝑢2 | xuống trị số |𝑢1 | thì tồn bộ năng lượng ∆𝑊𝐶 trên

được phóng ra bên ngồi. Trong phần tử 𝐶 khơng có hiện tượng tiêu tán, chỉ có hiện

tượng tích phóng năng lượng điện trường.

1.3.3. Công suất và năng lượng trên phần tử điện cảm
Công suất tức thời hấp thu bởi phần tử điện cảm 𝐿:
𝑝𝐿 (𝑡 ) = 𝑢(𝑡 ). 𝑖 (𝑡 ) = 𝐿. 𝑖(𝑡 ).

𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡

(1.44)

Với chiều dương của 𝑢 và 𝑖 như trên Hình 1-9.

Năng lượng tích lũy trong phần tử điện cảm tại thời điểm t:
𝑡

𝑡

𝑡

−∞

−∞

−∞

𝑑𝑖
𝑊𝐿 (𝑡 ) = ∫ 𝑝𝐿 (𝜏)𝑑𝜏 = 𝐿 ∫ 𝑖 (𝜏) 𝑑𝜏 = 𝐿 ∫ 𝑖. 𝑑𝑖
𝑑𝜏
Với giả thiết 𝑖 (−∞) = 0.

𝑊𝐿 (𝑡) =

1 2
𝐿. 𝑖 (𝑡)
2

(1.45)

Khi |𝑖| tăng từ trị số |𝑖1 | lên trị số |𝑖2 |(> |𝑖1 |) thì năng lượng điện trường tích

lũy vào phần tử L thêm một lượng:

∆𝑊𝐿 =

1
𝐿(𝑖 2 − 𝑖12 )
2 2
18


Khi |𝑖| giảm từ trị số |𝑖2 | xuống trị số |𝑖1 | thì tồn bộ năng lượng ∆𝑊𝐿 trên được

phóng ra mạch bên ngồi. Trong phần tử 𝐿 khơng có hiện tượng tiêu tán, chỉ có hiện

tượng tích phóng năng lượng từ trường.

1.3.4. Công suất và năng lượng trên phần tử bốn cực gồm hai cuộn dây ghép hỗ
cảm
𝑝(𝑡 ) = 𝑢1 . 𝑖1 + 𝑢2 . 𝑖2
= 𝑖1 (𝐿1

𝑑𝑖1
𝑑𝑡

(1.46)

±𝑀

𝑑𝑖2
𝑑𝑡

) + 𝑖2 (𝐿2

Năng lượng tích lũy trong phần tử ở thời điểm t:

𝑑𝑖2
𝑑𝑡

±𝑀

𝑡

𝑑𝑖1
𝑑𝑡

)

1
1
𝑊 (𝑡 ) = ∫ 𝑝(𝜏)𝑑𝜏 = 𝐿1 𝑖12 (𝑡 ) + 𝐿2 𝑖22 (𝑡 ) + 𝑀𝑖1 𝑖2
2
2

(1.47)

−∞

Với giả thiết 𝑖1 (−∞) = 0, 𝑖2 (−∞) = 0. Có thể chứng minh rằng 𝑊 (𝑡 ) ≥ 0.

Chú ý rằng hệ số ghép: 𝑘 =

𝑀

√𝐿1 𝐿2

luôn luôn ≤ 1.

1.3.5. Phần tử thụ động và phần tử tích cực

Dựa vào việc xét năng lượng của các phần tử, người ta phân chia các phần tử
mạch ra hai loại:
- Phần tử mạch thụ động (passive element): là phần tử nếu năng lượng cung cấp
cho nó ln ln dương:
𝑡

𝑡

−∞

−∞

(1.48)

𝑊 (𝑡 ) = ∫ 𝑝(𝜏)𝑑𝜏 = ∫ 𝑢(𝜏). 𝑖 (𝜏)𝑑𝜏 ≥ 0

Trong đó t là thời điểm bất kỳ và giả thiết rằng 𝑢(−∞) = 0, 𝑖 (−∞) = 0, chiều

dương của u và i như trên Hình 1.19.

- Phần tử mạch tích cực (active element): là phần tử khơng thỏa điều kiện ở
cơng thức 1.48.
Theo định nghĩa trên thì các phần tử điện trở, điện dung, điện cảm, hai điện cảm
ghép hỗ cảm với nhau thuộc loại các phần tử thụ động. Các phần tử nguồn áp, nguồn
dòng (độc lập và phụ thuộc) là các phần tử tích cực.

19


1.4. PHÂN LOẠI MẠCH ĐIỆN
1.4.1. Có thể phân loại mạch điện thành mạch có thơng số tập trung và mạch có
thơng số rải.
Các phần tử lý tưởng đã xét ở mục 1.3 thuộc loại các phần tử có thơng số tập
trung. Cường độ của quá trình điện từ ở phần tử có thơng số tập trung được đo bằng
các biến dòng, áp trên các cực của phần tử và các biến dịng, áp này khơng phụ thuộc
vào tọa độ khơng gian mà chỉ phụ thuộc vào thời gian. Bản chất của q trình điện từ

(tiêu tán, tích lũy,…) trong các phần tử thông số tập trung được mô tả bởi các phương
trình đại số hoặc vi tích phân trong thời gian liên hệ giữa dòng và áp trên các cực của
phần tử thông qua các thông số tập trung như R, L, C, M,… không phụ thuộc vào tọa
độ không gian. Mạch điện thực có thể được thay thế bởi một mơ hình mạch chỉ gồm
các phần tử lý tưởng tập trung (như đã xét trong mục 1.3) được gọi là mạch có thơng
số tập trung. Q trình điện từ trong mạch có thơng số tập trung được đo bởi một số
hữu hạn biến dòng, áp chỉ phụ thuộc vào biến thời gian, và được mô tả bởi một hệ
phương trình đại số hoặc vi tích phân trong miền thời gian.
Trong mạch có thơng số tập trung, q trình điện từ xem như được khoanh từng
vùng ở từng phần tử, năng lượng điện từ xem như được tập trung chỉ trong các phần
tử. Sự thay đổi của các đại lượng điện dịng, áp, cơng suất năng lượng ở từng vùng
phần tử mạch thông số tập trung được xem là xảy ra đồng thời, nói cách khác sóng
điện từ và năng lượng xem như lan truyền tức thời.
Chú ý rằng, bước sóng 𝜆 được định nghĩa là quãng đường mà sóng điện từ tần

số 𝑓 lan truyền được trong một chu kỳ 𝑇 = 1/𝑓 nghĩa là 𝜆 = 𝑣/𝑓 với 𝑣 là vận tốc

lan truyền trong khơng khí 𝑣 = 𝑐 = 3. 108 𝑚/𝑠.

Ở phần tử mạch có thơng số rải, cường độ quá trình điện từ cũng được đo bởi

các biến dòng điện, điện áp. Tuy nghiên, các biến này không những phụ thuộc vào
biến thời gian mà cịn phụ thuộc vào biến khơng gian. Q trình điện từ trong phần
tử thông số rải được mô tả bởi các phương trình đạo hàm riêng trong khơng – thời
gian. Mạch có chứa các phần từ có thơng số rải được gọi là mạch có thơng số rải.
Phần tử có thơng số rải có kích thước so được với bước sóng điện từ, đo đó
khơng thể bỏ qua thời gian lan truyền của sóng điện từ. Ví dụ về phần tử có thơng số
20

rải là đường dây trên khơng hoặc cáp có chiều dài so được với bước sóng (cỡ trên
1/10 bước sóng), chẳng hạn đường dây tải điện dài cỡ trên vài trăm km làm việc ở
tần số 50Hz ứng với bước sóng 𝜆 =

3.108
50

(m) = 6000(km) hoặc một đường dây dẫn

sóng dài chừng vài chục m nối từ máy phát sóng có bước sóng cỡ vài chục m lên
anten phát,…

Ta gọi các đường dây như vậy là đường dây dài. Quá trình điện từ ở đường dây
dài có thể được đo gần đúng bởi hai biến dòng điện 𝑖(𝑥, 𝑡) và điện áp 𝑢(𝑥, 𝑡) coi là
phân bố, truyền dọc đường đây.

Hình 1-22: Đường dây dài
Phương trình mơ tả đường dây dài có dạng phương trình đạo hàm riêng như sau:
𝜕𝑢
𝜕𝑖
= 𝐿 + 𝑅. 𝑖
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑖
𝜕𝑢
−
=𝐶
+ 𝐺. 𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑡

−

(1.49)

Trong đó: 𝐿, 𝐶, 𝐺, 𝑅 – là các thông số của đường dây dài.

Mạch có thơng số rải có thể được xếp vào mơ hình trường bởi vì nó mơ tả q

trình điện từ dùng các phương trình đạo hàm riêng trong khơng gian và thời gian. Tuy
nhiên, nó có những đặc điểm gần với mơ hình mạch.
Ví dụ: cũng do q trình điện từ ở mỗi tiết diện dây bằng hai biến trạng thái:
dịng điện và điện áp nên người ta xếp nó vào bên cạnh các mơ hình mạch, xem như
là một mơ hình mạch biến tướng.
Tóm lại, trong lý thuyết mạch điện , ta sử dụng hai mơ hình: mơ hình có thơng
số tập trung và mơ hình mạch có thơng số rải.
21


Một mạch điện thực được gọi là mạch có thơng số tập trung hay rải tùy thuộc
vào tần số của tín hiệu làm việc, nói các khác, tùy thuộc vào quan hệ giữa kích thước
hình học của mạch với độ dài của bước sóng 𝜆 của trường điện từ trong mạch. Trong

thực tế, một mạch điện được coi là mạch có thơng số tập trung nếu thỏa điều kiện:
𝑙𝑚𝑎𝑥 ≤ 0,01𝜆. Trong đó 𝑙𝑚𝑎𝑥 - là kích thước hình học lớn nhất của mạch.

1.4.2. Bên cạnh đó, cịn có thể chia mạch điện thành mạch tuyến tính và khơng
tuyến tính (phi tuyến).
Mạch điện gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn nguyên lý xếp chồng và tỷ lệ
Nguyên lý xếp chồng phát biểu như sau: Nếu đáp ứng của mạch đối với
các kích thích 𝑓1 (𝑡 ), 𝑓2 (𝑡 ), 𝑓3 (𝑡 ), … 𝑓𝑛 (𝑡 ) tác động riêng lẻ theo thứ tự là

𝑦1 (𝑡 ), 𝑦2 (𝑡 ), 𝑦3 (𝑡 ), … 𝑦𝑛 (𝑡 ) thì đáp ứng đối với tác động đồng thời n kích thích

đó sẽ bằng tổng n đáp ứng đối với từng kích thích thành phần: 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 +
⋯ 𝑦𝑛 .

Nguyên lý tỷ lệ được phát biểu như sau: Nếu đáp ứng của mạch đối với

kích thích 𝑓(𝑡) là 𝑦(𝑡) thì đáp ứng đối với kích thích 𝐴𝑓(𝑡) sẽ là 𝐴𝑦(𝑡), trong
đó A là hằng số.

Nếu mạch điện chỉ gồm những phần tử tuyến tính thì nó là mạch tuyến tính.
Quan hệ giữa các đại lượng trong mạch tuyến tính được mơ tả bằng các phương trình
vi phân tuyến tính hoặc đại số tuyến tính.
Ví dụ: Xét mạch điện tuyến tính như Hình 1.23a có hai kích thích là nguồn sức
điện động E1 và nguồn dòng J2. Giả sử tiến hành hai thí nghiệm:
- Khi chỉ có tác dụng của E1 = 40V như Hình 1.23b, dịng điện qua r3 đo được
là 4A.
- Khi chỉ có tác dụng của nguồn dịng J2 = 5A, dịng qua r3 là -1 A, Hình 1.23c.
Hỏi khi đồng thời có sự tác dụng của cả nguồn E1 = 20V và J2 = 6A thì dịng
qua điện trở r3 là bao nhiêu?

22


b) J2 = 0

a)
c) E1 = 0
Hình 1-23

Giải:
Từ nguyên lý tỷ lệ suy ra:
- Nếu chỉ có tác dụng của E1 = 20V thì dịng qua r3 sẽ là:
𝑖′ =

4x20
=2𝐴
40

- Nếu chỉ có tác dụng của J2 = 6 A thì dịng qua r3 sẽ là:
′

𝑖′ =

−1x6
= 1,2𝐴
5

Do đó, theo nguyên lý xép chồng, khi có tác dụng đồng thời của cả hai nguồn
E1 = 20 V và J2 = 6 A thì dịng qua r3 sẽ là:
𝑖 = 𝑖 ′ + 𝑖 ′′ = 2 + (−1,2) = 0,8 𝐴

Chú ý việc triệt tiêu nguồn áp E1 tương ứng với việc ngắn mạch hai đầu nguồn,
còn việc triệt tiêu nguồn dòng J2 tuong ứng với việc hở mạch.

23