LÝ THUYẾT + BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG LỚP 11

BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
PHẦN 1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ:
1. TÓM TẮT SGK:
1.1 Định nghĩa:

d   P   d  a; a   P 
d


d   P 
* Nhận xét: 
d a
a

P





a

(P)

1.2. Điều kiện đường thẳng vng góc với mặt phẳng

d vng góc với  P  nếu d vng góc với 2 đường
thẳng cắt nhau cùng nằm trong  P 


d

d  a

 d   P
d  b
 a, b  P ; a  b  M
 


a

b

(P)

1.3. Các tính chất:
* Định nghĩa: Mặt phẳng đi qua trung điểm O
của đoạn AB và vng góc với AB là mặt
phẳng trung trực của đoạn AB .

M

* Nhận xét:  P  là mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB : M   P   MA  MB
A

I

(P)

B



a / / b
 
 b   P

a   P 
a


a  b
 
 a / /b
a

P
;
b

P







b

(P)


 P  / /  Q 
 
 a  Q 

a   P 

 P    Q 
 
 Q  / /  P 

 P   a;  Q   a

a

(P)

(Q)


a / /  P 
 
ba

b   P 
a   P 
 

 a / /  P
a  b; b   P 

a
b

(P)

1.4. Phép chiếu vng góc, định lý ba đường vng góc
 Phép chiếu song song lên mặt phẳng ( )
theo phương l vng góc với mặt phẳng ( ) gọi
là phép chiếu vng góc lên mặt phẳng ( ) .

A
l

* H là hình chiếu vng góc (gọi tắt là hình chiếu)
của A lên mp  P  nếu H   P  và AH   P 
H
(P)




Định lý ba đường vng góc:
Cho đường thẳng a   P  , b   P  và a '
là hình chiếu của a trên

P

a

. Khi đó

b  a'  b  a
a'

b

(P)

1.5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.


d   P   (d ;  P )  900



d
  P    d ;  P     d ' d '   AIH  với d '

A
d

là hình chiếu của d lên  P 




d'



Chú ý: 00  d ;  P   900

H

I

(P)

2. KIẾN THỨC BỔ SUNG:
2.1. Một số mơ hình thường gặp.
1. Hình chóp S . ABC có SA vng góc với đáy


SA  BC



SAB , SAC vng tại A



A là hình chiếu vng góc của S lên
 ABC  .

2. Hình chóp tam giác đều S . ABC . (hoặc tứ diện đều )



Đáy ABC là tam giác đều



Mặt bên là các tam giác cân tại S. (hoặc
là tam giác đều nếu hình chóp là tứ diện
đều)



O là trọng tâm ABC



SO   ABC 

3. hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là: hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng, hình thoi.


A là hình chiếu của S lên  ABCD 



Các tam giác SAB, SAC, SAD vuông tại A



Đặc biệt: Nếu ABCD là hình vng hoặc

hình thoi thì AC vng góc BD.



Đáy ABCD là hình vng, các mặt bên là
các tam giác cân tại S.



Các tam giác SAC, SBD cân tại S.



O là hình chiếu của S lên  ABCD 

4. hình chóp tứ giác đều


5. Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang có góc A vng và SA vng góc với đáy.


A là hình chiếu của S lên  ABCD 



Các tam giác SAB, SAC, SAD vuông tại A.



Đặc biệt nếu AB = 2BD:

+ Gọi I là trung điểm AD thì CI  AD .
+ Trong trường hợp thêm AB = BC thì
AC  CD

2.2. Các hệ thức lượng trong tam giác:
Tam giác ABC vuông tại A

1
1
 a.h  b.c
2
2



S



a 2  b2  c 2 ( định lý Pitago)



b2  b '.a



c 2  c '.a



h2  b '.c '



a.h  b.c



1
1 1
 2 2
2
h
b c



sin B  cos C 

AC
BC



b ' b2

c ' c2



cos B  sin C 

AB
BC



AM 



tan B  cot C 

AC
AB



cot B  cot C 

AB
AC

ABC

1
BC
2

Tam giác thường




a

2

Định lí cơsin:
b
c 2 2bc.cos A
2

b2

c2

a2

2ca.cos B

c2

a2

b2

2ab.cosC



Tính cosin 1 góc:
b2 c2 a 2
cos A
2bc
c2 a 2 b2
cos B
2ca
a 2 b2 c2
cosC
2ab


ma2
2
b

m

mc2

Độ dài trung tuyến:
2(b 2 c 2 ) a 2
4
2(a 2 c 2 ) b 2
4
2(a 2 b 2 ) c 2
4



Định lí sin :
a
b
c
sin A sin B
sinC

2R



Diện tích tam giác

S

1
ah
2 a

S

1
bc sin A
2

S

abc

4R

S

pr ; p

S

p(p

a )(p

AG 

2
AM
3


Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng a

1
bh
2 b

a

1
ch
2 c

1
ca sin B
2

b
2

1
ab sinC
2

c

b)(p

c)





a2 3
4
a 3
AH 
2

S

2.3. Các chú ý khác


Độ dài đường chéo hình vng cạnh bằng a là a 2



Độ dài đường chéo hình chữ nhật có độ dài 2 cạnh là a và b là

a 2  b2


BÀI TẬP: ĐƯỜNG VNG GĨC MẶT
NHẬN BIẾT
Câu 1. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và nằm trong mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng ?
A. Mọi đường thẳng c vng góc với a thì c vng góc với (P).
B. Mọi đường thẳng c vng góc với b thì c vng góc với (P).
C. Mọi đường thẳng c vng góc với a và b thì c vng góc với (P).
D. Mọi đường thẳng c vng góc với a thì c vng góc với b.
Câu 2. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A. Nếu đường thẳng b  (Q) thì a  b .B. Nếu đường thẳng b  a thì b / /(Q) .
C. Nếu đường thẳng b / /(Q) thì a  b .D. Nếu đường thẳng b / / a thì b  (Q) .
Câu 3. Cho đường thẳng a vng góc với mặt phẳng ( Q ). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A. Nếu đường thẳng b  a thì b  (Q) . B. Nếu đường thẳng b / /(Q ) thì b / / a .

C. Nếu đường thẳng b / / a thì b  (Q) .D. Nếu đường thẳng b / / a thì b / /(Q) .
Câu 4. Cho mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng ?
A. (P)// AB.

B. A  (P).
C. B  (P).
D. AB  (P).
Câu 5. Cho mặt phẳng (P) và đoạn thẳng AB. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. (P) là mặt phẳng trung trực của AB khi và chỉ khi (P)//AB.
B. (P) là mặt phẳng trung trực của AB khi và chỉ khi (P)  AB và (P) qua trung điểm của AB.
C. (P) là mặt phẳng trung trực của AB khi và chỉ khi (P)  AB và (P) qua A.
D. (P) là mặt phẳng trung trực của AB khi và chỉ khi AB  (P).
THƠNG HIỂU
Câu 6. Cho tam giác A’B’C’ là hình chiếu vng góc của tam giác ABC lên mặt phẳng (P). Mệnh đề
nào sau đây là đúng ?
A. A’B’//AB.
B. AA’  (P)
C. AA’// (P).
D. AA’  AB.
Câu 7. Cho hình chóp S. ABC, có SA vng góc với đáy và đáy là tam giác vng tại B . Góc giữa SB
và (ABC) được xác định là góc nào?
A. SBC .

C. SAC .
D. SBA .
Câu 8. Cho hình chóp S. ABC, có SA vng góc với đáy và đáy là tam giác vng tại B . Tìm cạnh
vng góc với SB.
A. BC.
B. AB.
C. AC.
D. SA
Câu9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và các cạnh bên bằng nhau. Gọi O là giao của
hai đường chéo của đáy.Tìm mặt phẳng vng góc với SO
A. (ABCD).

B. (SAB).
C. (SBC).
D.(SAC).
Câu 10. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vng ABCD tâm O và SA vng góc với đáy . Mặt
phẳng nào vng góc với BD ?
A. (SAB).
B.(SAD) .
C. (SAC) .
D. (SBD).
Câu 11. Cho tứ diện đều ABCD có I là trung điểm của AB. Khi đó AB vng góc với mặt phẳng nào
sau đây ?
A. (ABC).
B. (ABD) .
C. (ACD).
D.(ICD).
B. SAB .


VẬN DỤNG
Câu 12. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuồng ABCD cạnh a, có cạnh SA  a 2 và SA vng
góc với mặt phẳng (ABCD) ? Góc giữa SC với mp(ABCD) là:
A. 900
.
B. 600
. C. 450 .
D.
0
30 .
Câu13. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuồng ABCD cạnh a, có cạnh SA  a 2 và SA vng
góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD. Tính số đo góc giữa

SC và mặt phẳng (AMN) .
A. 900
.
B. 600
. C. 450 .
D.
0
30 .
Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi một vng góc và có cạnh
bằng a. Gọi  là góc giữa AO và (ABC) . Tính tan  .
2
1
.
B. tan  = 2 .
C. tan  =a.
D. tan  =
.
2
a
Câu 15. Cho hình chóp S. ABC có SA=a và SA vng góc với đáy và đáy là tam giác vuông cân tai B ,
AB =a . Hỏi số đo góc giữa AC và mặt phẳng (SBC) bằng bao nhiêu ?
A. 900
.
B. 600
. C. 450 .
D.
0
30 .
Câu 16: Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại O, điểm A’ là hình chiếu của A  d lên (P). Gọi  là

A. tan  =

góc giữa d và (P). Hỏi  được xác định là góc sau đây ?
A ' AO
AA ' O D. 
A.  = AOA '
B.  =
C.  =
0
=0
Câu 17:Cho hình lăng trụ ABC. ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB  2a . Hình chiếu vng
góc của A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng 600 . Tính góc giữa hai đường thẳng AC và  ABC  là:




1
. B. .
C. .
D. arcsin .
4
6
3
4
Câu 18: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  . Gọi H là trung điểm của AB . Tính
A.

cơsin của góc giữa SC và  SHD  .

A.

15
.
5

B.

3
.
5

C.

a 3
.
5

D.

2
5

.

Câu 19 Cho tứ diện S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A , SA  SB  SC 
Tính cosin của góc giữa SA và  ABC  .
A.

3

.
3

B.

6
.
3

C.

6
.
2

D.

2
.
3

a 3
, BC  a .
2


Câu 20: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vng góc với nhau từng đơi một.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB
B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB

C. Góc giữa AC và (ABD) là góc ACB
D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD
Hướng dẫn giải

Chọn A.

Câu 21: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC)
lấy điểm S sao cho SA = (√6)a/2 . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC) .
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Hướng dẫn giải

Chọn D
Từ giả thiết suy ra:
SA ⊥ (ABC) ⇒ (SA, (ABC)) = 90°


Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vng
góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
Hướng dẫn giải

Chọn C
Gọi H là trung điểm của BC suy ra
AH = BH = CH = (1/2)BC = a/2

Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ (ABC). Gọi (P) là mặt phẳng qua B
và vng góc với SC. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC là:
A. Hình thang vng.
B. Tam giác đều.
C. Tam giác cân.
D. Tam giác vuông.
Hướng dẫn giải


Gọi I là trung điểm của CA, kẻ IH ⊥ SC.
Ta có BI ⊥ AC, BI ⊥ SA ⇒ BI ⊥ SC
Do đó SC ⊥ (BIH) hay thiết diện là tam giác BIH.
Mà BI ⊥ (SAC) nên BI ⊥ IH hay thiết diện là tam giác vuông.
Chọn D
Câu 24: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a = 12, gọi (P) là mặt phẳng qua B và vng góc với AD. Thiết
diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng
A. 36√2
B. 40
C. 36√3
D. 36
Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm AD
Do tam giác ABD đều nên BE ⊥ AD (1)
Do tam giác ACD đều nên CE ⊥ AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AD ⊥ (BEC)
⇒ Thiết diện là tam giác BCE. Gọi F là trung điểm của BC.

Chọn A
Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA ⊥ (ABC) Mặt phẳng
(P) đi qua trung điểm M của AB và vng góc với SB cắt AC, SC, SB lần lượt tại N, P, Q . Tứ giác
MNPQ là hình gì ?
A. Hình thang vng
B. Hình thang cân
C. Hình bình hành
D. Hình chữ nhật
Hướng dẫn giải


Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vng tại N
Chọn A