Bài giảng Giải tích 1: Chương 2.1 - ThS. Đoàn Thị Thanh Xuân

lOMoARcPSD|16991370

TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA TP.HCM

TỐN GIẢI TÍCH 1
ĐẠI HỌC

Giảng viên: ThS. Đoàn Thị Thanh Xuân
Email:

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH
45 TIẾT LÝ THUYẾT + 30 TIẾT BÀI TẬP

Ch 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (BT)
Ch 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
Ch 3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Ch 4. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM 1 BIẾN
Ch 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Chương 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
Bài 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Bổ túc về hàm số (xem bài giảng)
1.1. Định nghĩa hàm số-Các hàm số cơ bản
1.2. Hàm số hợp
1.3. Hàm số ngược
1.4. Hàm số Hyperbolic

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

Nhắc lại các hàm đã học
x
1. Hàm số mũ: y  a , a  0, a  1
MXD: D  ; MGT :(0; )

• Hàm nghịch biến
x

x

lim a  0, lim a  

x 

x 

• Hàm đồng biến

x

x

lim a  , lim a  0

x 

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()

x 


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

2. Hàm số logarit: y  loga x , a  0, a  1
MXD: D  (0; ); MGT : 
a>1:

Hàm đồng biến
0Tính chất:

log a ( x. y )  log a x  log a y
x
log a  log a x  log a y
y
r

log a ( x )  r log a x, r  R

y  log a x  x  a y
log a (a x )  x, x
a log a x  x, x  0

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

So sánh một số hàm
logarit với a>1 cụ thể

Đặc biệt: khi a=e, ta kí hiệu logex = lnx (logarit tự nhiên)
ln b
và ta có cơng thức
log a b 
ln a
Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến


3. Hàm lũy thừa: y  x
MXD, MGT: Tùy thuộc vào 

TH:   2, 4,...
MXD:  . MGT:

 0, 



TH:   1, 3,...
MXD:  . MGT: 

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

y x

TH:   1
MXD:  \ 0. MGT: 
Gọi là đường Hyperbol

TH:   1 / 2
MXD: 0, 
MGT: 0, 

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

4. Hàm hợp: Giả sử hai hàm số f và g thỏa mãn.

g : X  Y , f :Y  Z

Khi đó, hàm số h(x )  ( f  g )(x )  f (g(x )) được gọi
là hàm số hợp của f và g .

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

f ( x)  2 x  1, g ( x)  x 2  1
VD: Cho 2 hàm
Tìm f  g, g  f và tính giá trị của chúng tại x = 2

f  g(x)  f (g(x))  f ( x2 1)  2 x2 1 1
 f  g (2)  2 5  1
2

2

g  f ( x )  g (2 x  1)  (2 x  1)  1  4 x  4 x  2
 g  f (2)  26

Lưu ý : 2 hàm f  g , g  f không bằng nhau

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

5. Hàm ngược:
Hàm số f được gọi là song ánh (one-to-one function)
nếu x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ).

X        Y

Hàm 1-1

X   Y
Không là hàm 1-1

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

Hàm y=x3 là hàm 1-1

Hàm y=x2 khơng là hàm 1-1

Hàm 1-1 có đồ thị chỉ cắt mọi đường thẳng y = C,
với C thuộc MGT của hàm tại duy nhất 1 điểm.

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

Hàm ngược: Xét hàm song ánh f có MXĐ D và
miền giá trị G . Khi đó, hàm số ngược của f , ký hiệu
1
là f , có MXĐ G và miền giá trị D được định nghĩa
f 1(y )  x  f (x )  y (x  D, y  G ).

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

 Đồ thị của hàm y  f 1(x ) đối xứng với đồ thị
của hàm y  f (x ) qua đường thẳng y  x . Nếu

điểm (a, b) thuộc đồ thị hàm f (x ) thì điểm (b, a )
1
thuộc đồ thị hàm f (x ).

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

VD: Tìm hàm ngược của hàm y = f(x)= x3 - 1
Ta sẽ tìm hàm y  f 1(x ) bằng cách tính x theo y
3

y  x 1  x  3 y 1
Thay x bởi y, y bởi x, ta được hàm ngược

y  f 1 ( x)  3 x  1
ff

1

( x)  f ( f

1

3

( x))  f ( x  1) 



3



3

x 1 1  x

MXĐ và MGT của cả 2 hàm f và f -1 đều là R

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

VD: Hàm y=x2 không làm hàm 1-1 trên (-∞,+∞)
Tuy vậy, nếu ta giới hạn bớt
MXĐ của hàm là (0 ,+∞) thì
ta được hàm 1-1  y  x 2 ,

x  0
Khi đó, ta vẫn có hàm ngược

y  x, x  0

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()

, x≥0


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

Hàm ngược của hàm y = sinx : hàm y = arcsinx

Trên đọan   ,   Hàm y = sinx là hàm 1-1
 2 2

Tồn tại hàm ngược là hàm y=arcsinx
Hàm y = arcsinx

  
có MXĐ = [-1.1], MGT =   , 
 2 2

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

  
y  arcsin x  x  sin y, y   ,  

 2 2

  
arcsin(sin x)  x, x   , 
 2 2
sin(arcsin x)  x, x  1,1



1

arcsin(1)   ,arcsin(
)
2
4
2
3

arcsin(0)  0, arcsin(
)
2
3
Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

Hàm ngược của hàm y = cosx : hàm y = arccosx

Trên đoạn [0,π], hàm
y=cosx là hàm 1-1, tồn tại
hàm ngược

y = arccosx
MXĐ = [-1,1], MGT = [0,π]

y  arccos x  x  cos y

1

1
2
arccos(0)  ,arccos( )  ,arccos( ) 
2
4
2
3
2
Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

Hàm ngược của hàm y = tanx : hàm y=arctanx

y  tan x  x  arctan y

Hàm y=arctanx,

  
Trên khoảng   , 
 2 2

Hàm y=tanx là hàm 1-1



   
MXĐ = R, MGT =   , 
 2 2





arctan()   , arctan(1)  , arctan(0)  0, arctan() 
2
4
2
Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

Hàm ngược của hàm y = cotx : hàm y = arccotx

Trên đọan (0,π)
hàm là hàm 1-1

y  cot x  x  arccot y

Hàm y = arccotx có MXĐ = R, MGT = (0,π)

1

5
arccot(0)  0, arccot( )  , arccot( 3) 
3
6
3
Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Hàm hyperbolic

Bài 1. Hàm số một biến

Định nghĩa

sin hyperbolic

ex  e x
 shx
sinh( x) 

2

cos hyperbolic

e x  e x
cosh( x) 
 chx
2

tan hyperbolic

sinh( x)
tanh( x) 
 thx
cosh( x)

cotan hyperbolic

cosh( x)
coth( x) 
 cthx
sinh( x)

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Bài 1. Hàm số một biến

Hàm y = coshx (chx)

Hàm y = sinhx (shx)

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()


lOMoARcPSD|16991370

Hàm hyperbolic

Bài 1. Hàm số một biến

Hàm y = tanhx (thx)

Hàm y=cothx (ctx)

Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen ()