Đề thi thử Đại Học môn toán tỉnh Vĩnh Phúc doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (276.16 KB, 5 trang )
S GD-T VNH PHÚC
THI KHO SÁT CHT LNG LN IV NM HC 2012 – 2013
TRNG THPT CHUYÊN
Môn: TOÁN 12 – Khi B,D
VNH PHÚC
Thi gian: 180 phút (Không k giao )
I. PHN CHUNG CHO TT C CÁC THÍ SINH (7 im)
Câu 1. Cho hàm s
3 2 2 2
3 3(1 ) 2 2 1
y x x m x m m
= − + − + − −
(m là tham s).
1. Kho sát s bin thiên và v th ca hàm s ã cho khi
1.
m
= −
2.
Tìm t
t c
các giá tr
c
a tham s
th
c m
hàm s
ã cho có c
c
i, c
c ti
u;
ng th
i hai
i
m
c
c tr
c
a
th
hàm s
i x
ng nhau qua
ng th
ng
: 4 5 0.
d x y
− − =
Câu 2.
Gi
i ph
ng trình
( )
2
1
4 4 4
cos 2 cos 2 sin 1 cos2x x x x
π π
+ − + + =
v
i
0 .
4
x
π
≤ ≤
Câu 3.
Gi
i h
ph
ng trình
3 3 3
2 2
27 7 8
9 6
x y y
x y y x
+ =
+ =
( ,x y
∈
)
Câu 4. Tính tích phân
1
ln 2
ln
e
x
x x x
I dx
−
+
=
Câu 5. Cho hình chóp .
S ABCD
có áy
ABCD
là hình bình hành, vi 2 2
SA SB AB a BC
= = = =
và
0
120 .
ABC∠ =
Gi
H
là trung im ca cnh
AB
và
K
là hình chiu vuông góc ca
H
trên mt phng
( ),
SCD K
nm trong tam giác
SCD
và
3
5
.
HK a=
Tìm th tích ca hình chóp theo
a.
Câu 6. Cho
a
,
b
là các s thc dng tha mãn
3.
ab a b
+ + =
Chng minh rng
2 2
3 3 3
1 1 2
a b ab
b a a b
a b
+ +
+ + +
≤ + +
II. PHN RIÊNG (3 im): Thí sinh ch c mt trong hai phn riêng, phn A hoc phn B.
A. Theo chng trình chun
Câu 7a. Trong mt phng vi h ta
Oxy
, cho ng tròn
2 2
( ):( 1) ( 1) 16
C x y
− + + =
có tâm
I
và
im
(1 3;2).
A + Vit phng trình ng thng
∆
i qua A và c
t
( )
C
t
i hai
i
m B, C phân bi
t sao
cho tam giác IBC không có góc tù
ng th
i có di
n tích b
ng
4 3.
Câu 8a.
Trong không gian v
i h
t
a
Oxyz, cho
i
m
(0;4;2)
M và hai m
t ph
ng
( ),( )
P Q
l
n l
t
có ph
ng trình
3 1 0, 3 4 7 0.
x y x y z
− − = + + − =
Vi
t ph
ng trình c
a
ng th
ng
∆
i qua M và
song song v
i giao tuy
n c
a
( )
P
và
( ).
Q
Câu 9a.
Tìm t
t c
các s
th
c a, b sao cho s
ph
c
2 3
z i
= +
là nghi
m c
a ph
ng trình
2
0.
z az b
+ + =
B. Theo chng trình nâng cao
Câu 7b.
Trong m
t ph
ng v
i h
t
a
Oxy, cho
i
m
(3;4)
M và
ng tròn
2 2
: 6 2 2 0.
x y x y
ω
+ − + + =
Vi
t ph
ng trình c
a
ng tròn
Γ
v
i tâm M, c
t
ω
t
i hai
i
m A, B
ssao cho AB là c
nh c
a m
t hình vuông có b
n
nh n
m trên
.
ω
Câu 8b.
Trong không gian v
i h
t
a
Oxyz, vi
t ph
ng trình c
a m
t c
u có tâm
(1;2;3)
I và ti
p xúc
v
i
ng th
ng
2
: .
1 2 2
x y z
d
+
= =
−
Câu 9b.
Hãy gi
i ph
ng trình sau trên t
p h
p s
ph
c
2 2 2
( ) ( ) 5 5 0.
z i z i z
− + − − =
Cán b coi thi không gii thích gì thêm!
S
GD-
T V
NH PHÚC
THI KHO SÁT CHT LNG LN IV NM HC 2012 – 2013
TRNG THPT CHUYÊN
HD chm môn TOÁN 12 – Khi B,D
VNH PHÚC
Hng dn chung:
-
M
i mt bài toán có th có nhiu cách gii, trong HDC này ch trình bày s lc mt cách gii. Hc
sinh có th gii theo nhiu cách khác nhau, nu ý và cho kt qu úng, giám kho vn cho im ti
a ca phn ó.
- Câu (Hình hc không gian), nu hc sinh v hình sai hoc không v hình chính ca bài toán, thì
không cho im, nhng không nht thit phi v hình 1; câu (Hình hc gii tích) không nht thit
phi v hình.
- im toàn bài chm chi tit n 0.25, không làm tròn.
- HDC này có 04 trang.
Câu Ni dung trình bày im
1
1.
3 2
3
1: 3m y x x− = −
+
= . TX:
0.25
Chi!u bin thiên:
3 ( 2), 0 0 2
y x x y x x
′ ′
= = − = ⇔ = ∨ =
Xét d
u
y
′
và k
t lu
n: hàm s
ng bi
n trên
( ;0),(2; )
−∞ +∞
, ngh
ch bi
n trên
(0;2)
Hàm s
t c
c
i t
i
0, 3
cd
x y
= =
; hàm s
t c
c ti
u t
i
2, 1
ct
x y
= = −
0.25
Nhánh vô c
c:
lim , lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= = +∞ = = −∞
; l
p b
ng bi
n thiên
0.25
V
th
4
2
0.25
2.
2 2
3 6 3(1 )
y x x m
′
= − + −
Hàm s
có c
c
i, c
c ti
u khi và ch
khi
0
y
′
=
có hai nghi
m phân bi
t và
"
i d
u khi qua hai
nghi
m
ó.
i
!
u này t
ng
ng v
i ph
ng trình
2 2
2 1 0
x x m
− + − =
có hai nghi
m phân bi
t,
t
c là
0.
m
≠
0.25
Khi
ó,
th
c
a hàm s
có hai
i
m c
ctr
3 2 3 2
(1 ; 2 1), (1 ;2 1)
A m m m B m m m
+ − − + − − +
0.25
Hai
i
m này
i x
ng nhau qua d khi và ch
khi trung
i
m c
a AB n
m trên d và
AB d
⊥
.
i
!
u
này t
ng
ng v
i
2
2
1 4(1 ) 5 0
2
2 4
m
m
m
− − − =
⇔ = ±
− = −
0.25
Kt lu n
0.25
2
Bin "i tích thành t"ng, thu c
1
cos( ) cos 4 (1 cos 2 )(1 cos2 )
2 2
x x x
π
+ + − + =
0.25
2
1
cos4 1 cos 2 cos4 0 ,
2 8 4
k
x x x x k
π π
⇔ + − = ⇔ = ⇔ = + ∈
0.5
Do
0;
4
x
π
∈
nên
8
x
π
=
0.25
3
Nh
n xét
0,
y
≠
nhân hai v
ph
ng trình th
hai v
i 7y, tr
#
i ph
ng trình th
nh
t,
c
3 2
(3 ) 7(3 ) 14(3 ) 8 0
xy xy xy
− + − =
T
#
ó tìm
c ho
c
1
xy
=
ho
c
2
xy
=
ho
c
4
xy
=
0.25
V
i
1,
xy
=
thay vào ph
ng trình th
nh
t,
c
3
19
7
y = −
do
ó
3
7
19
x = −
0.25
V
i
2,
xy
=
thay vào ph
ng trình th
nh
t,
c
3
26
2
7
y = −
do
ó
3
7
26
x = −
0.25
V
i
4,
xy
=
thay vào ph
ng trình th
nh
t,
c
3
215
2
7
y = −
do
ó
3
7
2
215
x = −
0.25
4
Vi
t l
i bi
u th
c d
i d
u tích phân
ln 2
·
ln 1
x dx
x x
−
+
0.25
t ln
x t
=
th
thì khi
1 2
x
≤ ≤
thì
0 1
t
≤ ≤
và
,
dx
dt
x
=
0.25
Khi
ó
1 1
0 0
2 3
1
1 1
t
I dt dt
t t
−
= = −
+ +
0.25
Tính
c
1 3ln 2 1 ln8
I
= − = −
0.25
5
G
i I là trung
i
m CD. Ch
ra các tam giác , , ,
ADH HDI IHB BCI
là các tam giác
!
u c
nh a. Suy
ra
2
2
3
4 3
4
ABCD
a
S a= × = (
.v.d.t)
G
i J là trung
i
m DI. Khi
ó
,
HJ AB CD
⊥
và do
ó
( )
CD SHJ
⊥
.
0.25
Suy ra
.
K SJ
∈
Ngoài ra
3
2
a
HJ = . H
n n
$
a, do tam giác SAB là tam giác
!
u c
nh 2a và H là
trung
i
m AB nên
SH AB
⊥
và
3.
SH a=
0.25
Suy ra
2 2 2 2
1 1 5 1
3
SH HJ a HK
+ = = do
ó tam giác SHJ vuông t
i H .
0.25
T
#
ó, do
,
SH AB HJ
⊥
nên
( )
SH ABCD
⊥
hay SH là
ng cao c
a hình chóp.
0.25
a
a
a
a
a
a
a
a
C
I
B
H
A
D
Hình 1
a
2a
2a
J
I
H
D
B
A
C
S
K
Hình 2
V
y
3
.S ABCD
V a
= =
(
.v.t.t)
6
T
#
gi
thi
t suy ra
(1 )(1 ) 1 4
a b ab a b
+ + = + + + =
.
t
, 0
a b x x
+ = >
th
thì
2 2
( ) 4 4(3 ) 2
x a b ab x x
= + ≥ = −
≥
(do
0
x
>
)
0.25
B
t
ng th
c c
n ch
ng minh t
ng
ng v
i
(
)
(
)
( )( )
( )
( )
2 2 2 2
3 1 3 1
3 3 12
1 3 10 0
2 1 1
a a b b
a b a b a b
a b a b a b
+ + +
+ + ≥ + − ⇔ + − + − + ≥
+ + + +
(1)
0.25
Do
2 2 2
( ) 2
a b a b ab
+ = + − nên
2 2 2 2
2(3 ) 2 6,
a b x x x x
+ = − − = + −
do
ó (1) tr
%
thành
2 3 2
12
2 6 3 10 0 4 12 0
x x x x x x
x
+ − − − + ≥ ⇔ − + − ≥
0.25
ý r
ng
3 2 2
4 12 ( 2)( 6) 0
x x x x x x
− + − = − + + ≥
nên b
t
ng th
c cu
i cùng luôn
úng. Suy ra
i
!
u ph
i ch
ng minh.
0.25
7a
ng tròn
( )
C
có tâm
(1; 1)
I
−
và bán kính
4
R
=
0.25
Do
1
· · ·sin 4 3
2
ICB
IC IB CIB S∠ = = nên
3
sin
2
CIB∠ = . T
#
ó, do
0
90
CIB∠ ≤ và
IC IB
=
nên
tam giác CIB
!
u, v
i
dài ba c
nh b
ng 4. B
%
i v
y, bài toán quy v
!
vi
t ph
ng trình
ng
th
ng
∆
i qua
(1 3;2)
A + và cách
(1; 1)
I
−
m
t kho
ng b
ng
2 3.
0.25
ng th
ng
∆
có ph
ng trình
( 1 3) ( 2) 0
a x b y
− − + − =
v
i
2 2
0.
a b
+ ≠
Ta có ph
ng trình
2 2
| 3 3 |
2 3
a b
a b
− −
=
+
, t
#
ó tìm
c
3
b a
=
0.25
Ch
n
1, 3
a b= = , suy ra
: 3 1 3 3 0.
x y
∆ + − − =
0.25
8a
M
t ph
ng
( )
P
có véct
pháp tuy
n
(3; 1;0)
p
= −
và m
t ph
ng
( )
Q
có véct
pháp tuy
n
(1;3;4)
q
=
0.25
Giao tuy
n d c
a (P) và (Q) có véct
ch
ph
ng
[ ; ] ( 4; 12;10) 2(2;6; 5)
u p q
= = = − − = − −
0.25
Do
d
∆
nên
∆
có véct
ch
ph
ng
1
· (2;6; 5)
2
v u
= − = −
0.25
Do
ó,
∆
có ph
ng trình
4 2
2 6 5
x y z
− −
= =
−
0.25
9a
Tính
2
1 6 , 2 (3 )
z i az a a i
= + = +
0.25
Suy ra
2
(2 1) (3 6)
z az b a b a i
+ + = + + + +
0.25
T
#
ó, có h
2 1 0
3 6 0
a b
a
+ + =
+ =
0.25
Gi
i h
, thu
c
2, 3
a b
= − =
và k
t lu
n.
0.25
7b
ng tròn
ω
có tâm
(3; 1)
I
−
và bán kính
2 2
R =
.
0.25
Gi
s
&
tìm
c
ng tròn
2 2 2
: ( 3) ( 4)x y
ρ
Γ − + − =
th
a mãn yêu c
u. Khi
ó, do AB là dây
cung chung, nên
,
AB IM
⊥
hay
ng th
ng AB nh
n
(0;5)
IM =
làm véct
pháp tuy
n. H
n
n
$
a, I và M
%
v
!
hai phía c
a AB. Do
ó,
ng th
ng AB có ph
ng trình d
ng
5 0
y c
+ =
v
i
20 5
c
− < <
(1)
0.25
AB là c
nh c
a hình vuông n
i ti
p
ω
khi và ch
khi
( ; ) 2
2
R
d I AB
= =
. T
#
ó, k
t h
p v
i (1),
tìm
c
5
c
= −
. Suy ra
: 1 0.
AB y
− =
0.25
M
t khác AB là tr
'
c
ng ph
ng c
a
,
ω
Γ
nên AB có ph
ng trình
2
23
0.
10
y
ρ
−
+ =
T
#
ó
2
13
ρ
=
, b
%
i v
y
2 2
: ( 3) ( 4) 13
x y
Γ − + − =
0.25
8b
+
ng th
ng d
i qua
(0; 2;0)
M
−
, có véct
ch
ph
ng
(1; 2;2)
u
= −
.
Tính
c
(1;4;3)
MI =
0.25
+ Kh
ng
nh và tính
c
[ ; ]
233
( ; )
| | 3
MI u
d I d
u
= = =
0.5
+ Kh
ng
nh m
t c
u c
n tìm có bán kính b
ng
( ; )
d I d
và vi
t ph
ng trình
2 2 2
233
( 1) ( 2) ( 3)
9
x y z− + − + − =
0.25
9b
Vi
t l
i ph
ng trình v
!
d
ng
2 2 2
( 1) 5 5 0
z z
+ − − =
0.25
Khai tri
n, rút g
n, nhân t
&
hóa
2 2
( 1)( 4) 0
z z
+ − =
0.5
Gi
i các ph
ng trình, thu
c
z i
= ±
và
2
z
= ±
r
i k
t lu
n.
0.25
