CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 27 docx

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 27
PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Để khảo sát một chuyển động, ta phải biết cách giải phương trình Schrödinger
Nhưng việc giải chính xác phương trình như vậy chỉ có thể thực hiện được trong vài
trường hợp rất đặc biệt
Trong những trường hợp khác, ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng
Trong chương này, ta sẽ là quen với một trong những phương pháp giải gần đúng quan
trọng nhất:
Coi hamiltonian
H
ˆ
của hạt (hoặc hệ hạt) như là nhận được từ một hamiltonian
0
ˆ
H
(ứng với một phương trình có thể giải chính xác) bằng tác dụng một “nhiễu loạn”
{ }
0
ˆˆ
HH −
lên hệ, sau dó “điều chỉnh” nghiệm chính xác ứng với

0
ˆ
H
theo nhiẽu loạn
Trong bài này ta chỉ xét “nhiễu loạn dừng”
tức là
{ }
0
ˆˆ
HH −
không phụ thuộc thời gian.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1. Nội dung của phương pháp nhiễu loạn thứ nhất
Như đã nói trên, giả sử
là hamiltonian ứng với phương trình Schrödinger giả được chính xác.
Khi đó, ta có thể tìm được các trạng thái dừng
với
0
ˆ
H
0
n
ψ
ứng với các trị riêng
0
n
E
(n=1, 2, 3, …)

tức là:
(27.1)
000
0
ˆ
nnn
EH
ψψ
=
Tiếp theo, giả sử
H
ˆ
là hamiltonian của hạt đang dược khảo sát
Giả sử
H
ˆ
khá gần với
0
ˆ
H
tức là:
(27.2) WHH
ˆˆˆ
0
ε
+=
W
ˆ
là một toán tử cho trước, ε là một hằng số rất nhỏ (từ “rất nhỏ” có ý nghĩa cụ
thể trong những bài toán cụ thể) gọi là tham số nhiễu loạn.

Nhiệm vụ của chúng ta là tìm hiểu E và ψ sao cho:

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
(27.3)
ψψ
EH =
ˆ
hay:
( )
(27.4)
ψψε
EWH =+
ˆˆ
0
Nghiệm của (27.3) sẽ được tìm dưới dạng:
(27.5)
∑
=
n
nn
a
0
ψψ
Thế (27.5) vào (27.4), ta thu được:
( )
∑∑
=+
n
nn

n
nnn
EaWHa
000
0
ˆˆ
ψψεψ
hay:
( )
∑∑
=+
n
nn
n
nnnn
EaWEa
0000
ˆ
ψψεψ
suy ra:
( )
[ ]
(27.6) 0 =−+
∑
00
ˆ
nn
n
n
EEWa

ψε
Nhân hai vế (27.6) với
*0
n
ψ
rồi lấy tích phân trong toàn không gian, với giả thiết là hệ
{ }
0
n
ψ
đã được trực giao và chuẩn hóa (trực chuẩn), ta được:

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( )
[ ]
27.7) ( 0
0
=+−
∑
nmnnmn
n
aWEE
εδ
trong đó:
(27.8) dvWW
nmmn
∫
=
0*0

ˆ
ψψ
là phần tử của ma trận
W
ˆ
Các đẳng thức (27.7) cho ta một hệ phương trình bậc nhất với vô số phương trình
(m=1, 2, 3, …) và vô số ẩn số (a
1
, a
2
, a
3
,…)
Nhớ rằng các hệ số a
1
, a
2
, a
3
,…và E là phụ thuộc ε, tức là chúng là các hàm của biến ε,
ta viết chúng dưới dạng chuõi lũy thừa theo ε :
(27.9)
∑
+∞
=
=
0
)(
k
kk

mm
aa
ε
(27.10)
∑
+∞
=
=
0
)(
k
kk
EE
ε

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Thế (27.9) và (27.10) vào (27.7), hay tiện hơn, thế chúng vào đẳng thức sau (cố nhiên là
tương đương với (27.7)):
( )
)(27.7' 0
0
=++−
∑
≠mn
nmnmmmm
aWWEEa
εε
ta được
( ) ( ) ( )

( ) ( )
(27.11)

0
)0()2()1()2()0(0)1()1(2
)0()1()0(0)0()1()0()0(0
=+
+






−+−+−+
+






+−+−+−
∑
∑
≠
≠
m
nm
nmnmmmmn

nm
nmnmmmmnmm
aEaWaEEaEW
aWaEEaEWaEE
ε
ε
(Ở chỗ dấu chấm (…) là tất cả các số hạng từ bậc 3 trở lên).
Nếu bỏ qua các số hạng từ bậc k+1 trở lên trong khi giải, ta sẽ có xấp xỉ bậc k.
2. Xấp xỉ bậc 0 và bậc 1
Bỏ qua tất cả các số hạng chứa ε, từ (27.9), (27.10), (27.11) ta được

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
)(27.9'
)0(
mm
aa =
)(27.10'
)0(
EE =
( )
)(27.11' - 0
)0()0()0(
=
mm
aEE
Vì hàm trạng thái
∑
=
n

nn
a
0
ψψ
không thể đồng nhất bằng 0 nên ít nhất phải có một hệ số a
k
nào đó khác không.
Nhưng khi đó, từ (27.11’) ta có
0)0(
m
EE =
với mọi m ≠ k; do đó
0
)0(
=≡
mm
aa
với mọi m ≠ k. Như vậy, ψ trùng với một trong các trạng thái
0
n
ψ
Bây giờ ta giữ lại thêm số hạng chứa ε (và bỏ qua các số hạng chứa các lũy thừa bậc 2
trở lên). Khi đó.
)'(27.9' εaaa
)(
mmm
1)0(
+=
)'(27.10'
)1()0(

EEE
ε
+=
( ) ( ) ( )
)'(27.11' 0
)0()1()0()0()0()1()0()0()0(
=






++−+
∑
≠mn
nmnmmmmnmm
aWaEEaEWaEE
ε

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Chọn
)0(
m
a
và
)0(
E
như trong xấp xỉ bậc 0, tức là

mkm
a
δ
=
)0(
và
0)0(
k
EE =
(với k cố định), khi đó (29.11’’) trở thành:
( ) ( ) ( )
0
)1(00)1(00
=






++−+
∑
≠mn
mkmnmkmmkmnmkkm
WaEEEWEE
δδεδ
Rõ ràng số hạng đầu ở vế trái của đẳng thức này luôn bằng 0, do đó ta có:
( ) ( )
(27.12) - 0
)1(00)1(

=++−
∑
≠mn
mkmnmkmmkmn
WaEEEW
δδ
với m = k, từ (27.12) ta được:
0
)1(
=− EW
kk
hay
(27.13)
kk
WE =
)1(

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
với m ≠ k, cũng từ (27.12) ta có:
( )
- 0
)1(00
=+
mkmkm
WaEE
suy ra (với m ≠ k):

( )
(27.14)

-
00
)1(
km
mk
m
EE
W
a =
Ta còn phải xác định
)1(
k
a
. Muốn thế, ta viết lại hàm trạng thái ψ như sau (với a
n
lấy gần đúng bằng
)1()0(
nn
aa
ε
+
):
( )
(27.15)
∑∑∑∑
+=+==
n
nn
n
nn

n
nnn
n
nn
aaaaa
0)1(0)0(0)1()0(0
ψεψψεψψ
Do
nkn
a
δ
=
)0(
nên (27.15) có thể viết lại thành:
(27.16)
∑
+=
n
nnk
a
0)1(0
ψεψψ

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ta yêu cầu ψ cũng phải được chuẩn hóa.
(27.17)
∫
=
ψϕψϕ

dv
*
và chú ý rằng
ψϕααψϕ
=
và
ψϕαψαϕ
*
=
, ta có:
( )
(27.18)
2
∑
∑∑∑∑
+++=
=+






++=
==
n
nnkk
n
nn
m

mm
n
nnkk
n
nnkk
aaaa
aaaa
)1()*1(2)1()*1(
0)1(0)1(0)1(000)1(00
1
1
εε
ψψεψψψψεψψ
ψψ
Khi đó, với cách viết:

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bỏ qua số hạng bậc hai trong (27.18), ta được
( )
0
)1()*1(
=+
kk
aa
, tức là phần thực của
)1(
k
a
bằng 0. Nhưng vì luôn có thể chọn

)1(
m
a
thực nên ta có:
(29.19) 0
)1(
=
k
a
Ta hãy viết lại hệ thức (27.11) cho m = k (hãy luôn nhớ: k cố
định!) và bỏ qua các số hạng bậc cao hơn 2.
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
(27.11)

0
)0()2()1()2()0(0)1()1(2
)0()1()0(0)0()1()0()0(0
=+
+






−+−+−+
+







+−+−+−
∑
∑
≠
≠
m
nm
nmnmmmmn
nm
nmnmmmmnmm
aEaWaEEaEW
aWaEEaEWaEE
ε
ε

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( ) ( ) ( )
( ) ( )
)''(27.11'

0
)0()2()1()2()0(0)1()1(2
)0()1()0(0)0()1()0()0(0
=+

+






−+−+−+
+






+−+−+−
∑
∑
≠
≠
k
kn
nknkkkkk
kn
nknkkkkkkk
aEaWaEEaEW
aWaEEaEWaEE
ε
ε
Thế các giá trị trong xấp xỉ bậc 0 và 1 vào đây

( )
0,,,
)1()1()0(0)0(
====
kkknkkk
aWEaEE
δ
ta được:
∑
≠
=
kn
nkn
EaW
)2()1(
suy ra:
(27.20)
∑
≠
−
=
kn
nk
nknk
EE
WW
E
00
)2(

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
còn
)2(
k
a
vẫn được tìm từ điều kiện chuẩn hóa đối với hàm trạng thái.
Tuy nhiên, việc tính
)2(
k
a
không thật quan trọng, nếu ta không tiến hành các bước xấp xỉ bậc cao
hơn nữa.
Ở xấp xỉ bậc 2, năng lượng được tính theo công thức:
(27.22)
∑
≠
−
−+=
kn
kn
nknk
kkk
EE
WW
WEE
00
20
εε

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Chú ý:
1. Ta có εW
kk
(số hạng hiệu chỉnh năng lượng bậc 1) chính là
dv
kk
∫
0*0
εψψ
tức là giá trị trung bình của nhiễu loạn,
2. Do
*
nkn
WW =
nên
2
knnkkn
WWW =
. Vì vậy “hiệu chỉnh bậc 2” của năng lượng luôn âm khi k là trạng
thái nền, tức là trạng thái với mức năng lượng thấp nhất.
nếu trạng thái tương ứng là trạng thái cơ bản thứ k (cố định) đối với
hạt “không bị nhiễu loạn”.

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
4. Trường hợp suy biến
Bây giờ ta xét trường hợp trong đó các mức năng lượng chưa bị
nhiễu loạn có thể suy biến, nghĩa là mỗi mức năng lượng

0
n
E
ứng với một số hàm riêng độc lập tuyến tính
00
2
0
1
, ,,
n
np
nn
ψψψ
(suy biến cấp p
n
). Khi đó, thay cho (27.7’) ta có:
( )
(27.23) 0
,,
0
=+−+
∑
≠
nqmp
mpnq
nqmpmpmmp
WaEWEa
εε
trong đó, đương nhiên:
(27.24)

∫
= dvψWψW
nq
*
mpmp,nq
00
ˆ
Lý giải tương tự trường hợp không suy biến, ta được:
0,
)0(0)0(
≠=
kpk
aEE
với mọi p=1, 2, 3,…, p
n
;
0
)0(
=
kp
a
với m ≠ k.

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Tiếp theo:
( )
(27.25) 0
,
)0()0(

,
0
=+−+
∑
≠
pk
pq
kqkpkqkpkpkpk
WaaEWE
εε
Các hệ thức (27.25) (với p=1, 2, 3,…, p
k
) chính là hệ gồm p
k
phương
trình bậc nhất với p
k
ẩn số
)0(
kp
a
Định thức của hệ này buộc phải bằng 0
)0()0(
1

k
kpk
aa ==
tức là:
vì nếu không hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
(27.26) 0 =
−+
−+
−+
EεWE
W
WEεWEW
WWEεWE
pkpk
pk
pk
pk
mkkk
,k
k
,kk,kkk,kk
,kk,kk,kkk
1
1
211221
12121
0
0
0
.
.
.

.
.
.
.


ε
εε
εε

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Đẳng thức này chính là phương trình bậc (p
k
) đối với ẩn E.
Vì khi khai triển định thức, ta được đa thức cấp p
k
đối với E nên
(27.26) có p
k
nghiệm (tính α lần, nếu là nghiệm bội α).
K ý hiệu các nghiệm đó là E
p
=E
kp
(p=1, 2, …, p
k
). Do ε rất nhỏ nên
các nghiệm này rất gần nhau.

Như vậy, nếu trong trường hợp không có nhiễu loạn, mức năng lượng
thưa k có cấp suy biến là p
k
(p
k
trạng thái cùng ứng với năng lượng )
0
k
E
thì khi có nhiễu loạn, chính mức năng lượng này cũng bị tách
thành nhiều mức ( p
k
mức) rất gần nhau!

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bây giờ ta xét một trường hợp riêng: suy biến cấp 2. Khi đó, (27.26)
trở thành:
( )
( )
(27.27) 0
2212
2111
,
0
,
,,
0
=
−+

−+
EWEW
WEWE
kkkkk
kkkkk
εε
εε
Đặt
( )
εδ
=−
0
k
EE
. Khi đó (27.27) có dạng:

( )
( )
(27.28) 0
2212
2111
,,
,,
=
−
−
δ
δ
kkkk
kkkk

WW
WW

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Phương trình (27.28) có hai nghiệm:

( )
(27.29)
2
,
2
,,,,
2,1
21
22112211
42
kk
kkkkkkkk
W
WWWW
+
+
±
+
=
δ
Từ (27.29) tính được hai mức năng lượng mới tách ra từ mức
0
k

E
là:
(27.30a)
1
0
1
εδ
+=
kk
EE
(27.30b)
2
0
2
εδ
+=
kk
EE
Các hàm trạng thái tương ứng có thể lấy bằng:
(27.31a)
00
211
sin.cos
k
i
k
i
k
ee
ψαψαϕ

ββ
−
+=
(27.31b)
00
212
.cos sin
k
i
k
i
k
ee
ψαψαϕ
ββ
−
+−=

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Đặc biệt, khi
2211
kkkk
WW =
, ta có:
( )
( )
(27.32a)






+=
++=
00
0
211
21111
2
1
kkk
kkkkkk
WWEE
ψψϕ
ε
( )
( )
(27.32b)





+−=
++=
00
0
212
21112

2
1
kkk
kkkkkk
WWEE
ψψϕ
ε

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 27
PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 27
PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT