CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 28 docx

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 28
HIỆU ỨNG STARK

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trong bài này ta sẽ dùng phương pháp nhiễu loạn để chỉ
ra bằng lý thuyết một hiệu ứng đã được phát hiện từ trước
khi có cơ học lượng tử:
sự tách mức năng lượng của nguyên tử trong điện trường ngoài
(hiệu ứng Stark).

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1. Sơ lược về hiệu ứng Stark nói chung
Xét một nguyên tử trong điện trường đều có cường độ cỡ từ 10
4
đến
10
7
V/m (dưới 10
4
V/m sự tách mức hầu như không quan sát được,
còn trên 10
7

V/m thì xảy ra sự ion hóa: một vài electron bị bứt ra khỏi
nguyên tử).
Điện trường như vậy là rất mạnh, tuy nhiên so với điện trường gây
bởi hạt nhân trong phạm vi kích thước nguyên tử (cỡ 5. 10
11
V/m) thì
vẫn còn là rất yếu, nên có thể coi như một nhiễu loạn
Ký hiệu hàm thế năng của electron quang học trong nguyen tử là
U(r) còn hàm thế năng của nó trong trường ngoài là V(r).
Giả sử điện trường ngoài
E

hướng theo trục Oz. Khi đó, với giả thiết hạt nhân nằm ở gốc tọa độ, ta có:

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( )
EezrVV


−==
(28.1)
( )
[ ]
ψψψ
µ
EEezrU
=−+∇−



2
2
2
(28.2)
phương trình cho trạng thái dừng của electron sẽ là:
trước hét ta xét nguyên tử dạng hydrogen (không phải nguyên tử hydrogen).
Khi không có trường ngoài, các mức năng lượng của electron sẽ là
0
nl
EE
=
(0 ≤ l≤ n-1; n = 1, 2, 3, …) và các hàm riêng tương ứng là:
( ) ( )
ϕθψ
,
0
lmnlnlm
YrR
=
(28.3)
( )
lm
≤
.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Rõ ràng, mỗi mức năng lượng
0
nl

E
có cấp suy biến là 2l+1 do m có thể lấy 2l+1 giá trị.
Khi xét môt mức năng lượng xác định, hàm trạng thái chỉ còn phụ
thuộc m nên ta tạm thời ký hiệu nó với với một chỉ số m.
Như vậy, các hàm riêng với mức năng lượng đã cho sẽ là:
00
1
0
1
0
,, ,,
llll
ψψψψ
−+−−
Hàn trạng thái tùy ý ở mức năng lượng
0
nl
E
sẽ có dạng có dạng:
∑
−=
=
l
lm
mm
c
0
ψϕ
(28.5)
(28.4)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bằng cách tính trực tiếp hoặc dùng suy luận về tính đối xứng, dễ
thấy thế năng trung bình
V
của electron quang học trong trường ngoài bằng 0.
cũng chính là hiệu chỉnh năng lượng trong xấp xỉ bậc nhất, nên
khẳng định vừa nêu có ý nghĩa là trong nguyên tử giống hydrogen
không có hiệu ứng tách mức bậc cao nói chung vẫn tồn tại.
Mặt khác,
V
Điều này liên quan với sự biến dạng của nguyên tử.
Lúc đó, nguyên tử được xem như một lưỡng cực điện.
Bằng những suy luận thông thường, người ta chứng minh được rằng
thế năng của electron quang học có dạng:

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2
2
EV

α
−=
(28.6)
trong đó
α
là một hằng số dương (rất nhỏ).
Tương ứng, khoảng cách giữa hai mức năng lượng gần nhau tách ra

từ một mức suy biến cũng tăng tỷ lệ với
2
E

Với chính nguyên tử hydrrogen thì xảy ra một tình huống hoàn toàn khác.
Do mỗi mức năng lượng
0
n
E
tương ứng với n
2
hàm riêng độc lập tuyến tính
0
nlm
ψ
(l=0, 1, …, n-1 và với mỗi n thì m = -l, -l+1, …, l-1, l)
0
n
E
sẽ là:
nên cấp suy biến tương ứng là n
2
. Trạng thái tổng quát ứng với
∑ ∑
−
= −=
=
1
0
0

n
l
l
lm
nlmlm
c
ψϕ
(28.7)

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trong mỗi trạng thái như vậy, dễ thấy giá trị trung bình
V
của thế năng (trrong trường ngoài) đều khác 0
Do đó, tách mức bậc nhất (tỷ lệ thuận với
E

vẫn tồn tại).
2. Hiệu ứng Stark trong nguyên tử hydrrogen
Ở đây ta chỉ xét môt trường hợp: sự tách của mức năng lượng thứ hai
(suy biến cấp 4).
Bốn hàm riêng tương ứng là:







=

=
=
=
−− )1(121)1(21
1121211
1021210
0020200
.
.
.
.
YR
YR
YR
YR
ψ
ψ
ψ
ψ
(28.8)

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trong đó:


















−=








−=
−
−
0
2
3
0
21
0
2

3
0
20
2
1
6
1
2
1
2
1
0
0
r
r
e
r
R
r
r
e
r
R
r
r
r
r
với r
0
là bán kính Bohr của aũy đạo thứ nhất, và:










=
=
=
±
±
ϕ
θ
π
θ
π
π
i
eY
Y
Y
.sin
8
3
cos
4
3

4
1
)1(1
10
00
(28.10)
(28.9)

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Để cho tiện ta sẽ ký hiệu lại các hàm riêng (28.8) như sau:
;;;;
4)1(21321122101200
ϕψϕψϕψϕψ
====
−
(28.11)
Trạng thái tổng quát ứng với mức năng lượng
0
2
E
sẽ là :
44332211
ϕϕϕϕψ
aaaa
+++=
(28.12)
Các phần tử ma trận của nhiễu là:
∫
=

dvVV
qppq
ϕϕ
ˆ
*
(28.13)
3
4
00
π
rYEeEezV

−=−=
nên :
Dễ thấy chỉ có V
12
và V
21
là khác 0 và do

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( )
( )
( )
0
0
4
0
10

4
2
4
0
0
0000
*
00
2
3
0
0
2
3
0
0
2112
3
2
1
12
,
12
2
1
.
3
4
6
2

2
2
1
0
00
rEee
rEe
dYdrre
r
r
r
Ee
rdvYYYe
r
r
r
Eee
r
r
r
VV
r
r
r
r
r
r
∫
∫∫
∫

∞+
−
−
−−
=






−=
=






−
−=
=−






−
==





ρ
ρ
ρ
ϕϕθ
π
(28.14)

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Để tìm các hệ số a
1
, a
2
, a
3
, a
4
trong (28.12), ta dùng hệ (27.25). Ở
đây, hệ phương trình này được viết lại như sau:
( )
∑
≠
=+−+
pq
qpqppq
aVaEVE 0

0
2
(28.15)
(p = 1, 2, 3, 4 và trong tổng ở (28.15) q lấy 3 giá trị khác p).
Do các phần tử ma trận khác với V
12
và V
21
đều bằng 0 nên hệ (28.15)
auy về 4 phương trình sau:
( )
( )
( )
( )







=−
=−
=−+
=+−
0
0
0
0
4

0
2
3
0
2
2
0
2121
2121
0
2
aEE
aEE
aEEaV
aVaEE
(28.16)

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Tương ứng, (27.26) trở thành:
( )
( )
( )
( )
0
000
000
00
00
0

2
0
2
0
221
12
0
2
=
−
−
−
−
EE
EE
EEV
VEE
(28.17)
Đây là phương trình đối với E. Rõ ràng nó có 3 nghiệm, trong đó
có 1 nghiệm kép, cụ thể:
12
0
2412
0
23
0
221
;; VEEVEEEEE
−=+===
(28.18)

Như vậy, sự tách mức vẫn chưa triệt để: vẫn còn một suy biến cấp 2.
Từ (28.18) suy ra:

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
- với
0
221
EEEE
===
thì a
1
=a
2
=0; a
3
, a
4
tùy ý
- với
12
0
23
VEEE
+==
thì a
1
=a
2
là tùy ý; a

3
=a
4
=0
- với
12
0
24
VEEE −==
thì a
1
=-a
2
là tùy ý; a
3
=a
4
=0
Các hàm trạng thái tương ứng là:
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
21020021
4
21020021
3
)1(21421134433
2,1

2
1
2
1
2
1
2
1
ψψϕϕψ
ψψϕϕψ
ψψϕϕψ
−=−=
+=+=
+=+=
−
aaaa

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Chú thích lịch sử:
Hiệu ứng Stark được Johannes Stark (1874-1957, người Đức) tìm ra năm 1913.
J. Stark cũng là người tìm ra hiệu ứng Doppler đối với sóng điện từ. Ông đã
được giải thưởng Nobel năm 1919.
Là một nhà Vật lý tài ba, nhưng J. Stark lại là một nhân vật quốc xã, ông ta
cùng với P. Lenard và một số nhà khoa học Đức khác chỉ thừa nhận “Vật lý
Đức” và điên cuồng chống lại “Vật lý Do thái”. Trong cái mà họ gọi là “Vật
lý Do thái” không chỉ có các lý thuyết của Q. Einstein, mà còn có cả Vật lý
lượng tử do chính những người đồng bào của họ như <. Planck và W.
Heisenberg góp phần đắc lực để xây dựng. Chính vì sự hẹp hòi đó mà J.
Stark đã không thể đi tiếp một vẻ vang trên con đường nhận thức, đã bỏ lỡ

khả năng duy nhất để giải thích hiệu ứng kỳ lạ mang tên ông ta, một hiện
tượng không thể nào giải thích nổi bằng tư duy phi lượng tử.

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 27
PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT

HONG DUC UNIVERSITY

307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 27
PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT