CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 29 pot

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 29
NGUYÊN TỬ
TRONG TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trong lý thuyết phi tương đối tính, trường thuần tĩnh điện không có
ảnh hưởng khác biệt nào lên hạt có spin so với hạt không có spin:
moment từ riêng chỉ thể hiện trong tương tác với từ trường.
Ở đây, ta sẽ thấy năng lượng của electron (và nguyên tử) có một
thành phần phụ thuộc spin ngay cả khi electron chỉ chịu tác dụng
của trường tĩnh điện, nếu tính đến các “hiệu chỉnh tương đối tính”.
Việc khảo sát trạng thái của nguyên tử ở đây là không thể thực hiện
được, nếu không dùng đến phương pháp nhiễu loạn.

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1. Các hiệu chỉnh tương đối tính đối với năng lượng của electron
Khi nhận được phương trình Pauli như trường hợp giới hạn của phương
trình Dirac, ta đã rút









=
4
3
ψ
ψ
η
Từ (26.9) và được hệ thức sau:
1
2
2
ˆ
ηση






+
Φ++
= A
c
e
p
emcE
c



(29.1)
Sau đó, coi E ≈ mc
2
và bỏ qua eΦ, ta có hệ phương trình gần đúng:
12
ˆ
2
ηση






+= A
c
e
p
mc
c


(29.2)








=−−






−
=−+






−
(26.9)
(26.8)
EeΦmcA
c
e
pc
EeΦmcA
c
e
pc
222
2

1
111
2
2
ˆ
ˆ
ηηηησ
ηηηησ











=−−






−
=−+







−
(26.9)
(26.8)
EeΦmcA
c
e
pc
EeΦmcA
c
e
pc
222
2
1
111
2
2
ˆ
ˆ
ηηηησ
ηηηησ





Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bây giờ ta sẽ thay (29.2) bởi một hệ thức chính xác hơn. Muốn
vậy, ta dùng khai triển sau (với x đủ nhỏ về trị tuyệt đối):
1
1
1
32
+−+−=
+
xxx
x
(29.3)
Khi đó, nếu đặt E = mc
2
+
ε
thì
ε
và
ε
+eΦ sẽ đủ nhỏ và:
( )
n
n
n
mc
e
mc
mc

e
mcemcemcE
∑
∞
=






Φ+
−=
Φ+
+
=
Φ++
=
Φ++
0
22
2
222
2
1
2
1
2
1
1

.
2
1
2
11
ε
ε
ε
(29.4)
Nếu trong khai triển (29.4) ta chỉ dữ lại số hạng bậc 0, ta nhận lại
được (29.2). Muốn có kết quả chính xác hơn, ta lấy thêm số hạng bậc
nhất. Khi đó:






Φ+
−=
Φ++
222
2
1.
2
11
mc
e
mcemcE
ε

(29.5)

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
(ở đây viết dấu ‘=’ nhưng ta hiểu là gần bằng).
Thế (29.5) vào (29.1), ta được:
1
2
2
2
ˆ
2
1
η
σε
η
mc
p
mc
U







−
−=
(29.6)

trong đó U = eΦ.
Mặt khác, từ (26.8), tức là từ phương trình:
111
2
2
ˆ
ηηηησ
EemcA
c
e
pc =Φ−+






+


(29.7)
với
0=A

, ta được:
( )
21
2
ˆ
ηση

pcemcE

=Φ+−
hay
( )
21
ˆ
ησηε
pcU

=−
(29.8)

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
kết hợp (29.6) và (29.8) ta có:
( )
1
2
1
2
ˆ
2
1
ˆ
η
σε
σηε
mc
p

mc
U
pcU








−
−=−
Bây giờ ta dùng đẳng thức sau (bạn đọc tự chứng minh !):
[ ]
( )
pfipfifppfp
ˆˆ
.
ˆˆ
2



×∇+∇−=
σσσ
(29.10)
( )
[ ]
( )

ϕη
σ
ηη
ε
εη
pU
cm
i
pU
cm
U
m
p
mc
U
ˆ
4
ˆ
4
2
2
1
22
1
22
11
2
2
1





∇−×∇++






−
−=
(29.11)
(29.9)
Áp dụng (29.10) vào (29.9), ta được:

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bây giờ ta chú ý rằng
ε
- U là động năng của hạt và có thể coi gần bằng
m
p
2
ˆ
2

Khi đó toán tử ở vế phải của (29.11) sẽ là:
3210
ˆˆˆˆˆ

VVVHH +++=
(29.12)
( )
rU
m
p
H

+=
2
ˆ
ˆ
2
0
(29.13)
trong đó:
23
4
1
8
ˆ
ˆ
cm
p
V −=
(29.14)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( )

[ ]
pU
cm
V
ˆ
4
ˆ
22
2


×∇=
σ
(29.15)
( )
[ ]
∇×∇= U
cm
V
22
2
3
4
ˆ

(29.16)
Ý nghĩa của
0
ˆ
H

là rõ ràng :
đó là tổng năng lượng ‘phi tương đối tính’ của hạt.
Toán tử
1
ˆ
V
là hiệu chỉnh tương đối tính của động năng.
Toán tử
2
ˆ
V
được gọi là năng lượng tương tác spin - quỹ đạo
(chú ý rằng
0
ˆ
2
≠V
mặc dù từ trường bằng không);

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
năng lượng này phụ thuộc vào điện trường.
Trong trường xuyên tâm, vì
dr
dU
r
r
U

=∇

nên:
SM
dr
dU
rmc
V
ˆ
ˆ
2
ˆ
2
2
2



=
(29.17)
Cuối cùng toán tử
3
ˆ
V
là toán tử phi - hermitic
U
cm
VV
2
22
2
33

4
ˆˆ
∇+−=
+

Ta lấy phần hermtic của nó và vẫn ký hiệu là
3
ˆ
V
Khi đó
U
cm
V
2
22
2
3
8
ˆ
∇=

(29.18)
Phần năng lượng này của hạt hoàn toàn xa lạ với mọi sự cắt nghĩa cổ
điển cũng như giả cổ điển.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Cấu trúc tinh tế của nguyên tử
Vì trong các trạng thái dừng bên trong nguyên tử, xung lượng của
electron rất nhỏ so với mc, nên có thể coi

321
ˆ
;
ˆ
;
ˆ
VVV
là các nhiễu loạn, và ta có thể hạn chế bởi xấp xỉ bậc nhất.
Để cho tiện, ta sẽ dùng hệ đơn vị nguyên tử, trong đó ta có
2
4
2
2
3
1

 e
mm
==
(29.19)
tỷ số
c
e

2
có giá trị gần bằng
137
1
được ký hiệu là
α

và gọi là hằng số cấu trúc tinh tế

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Từ (29.19) ta có:
2
22
4
22
2
23
1
α
===
c
e
cmcm 

do đó:
4
2
1
ˆ
8
ˆ
pV
α
−=

SM

dr
dU
r
V
ˆ
ˆ
1
2
ˆ
2
2


α
=

UV
2
2
3
8
ˆ
∇=
α

trong trường Coulomb, ta có
r
Z
U −=
Vì vậy:

2
4
2
2
3
1

 e
mm
==
2
4
2
2
3
1

 e
mm
==

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( )
r
Z
r
Z
V


δ
απα
2
2
8
ˆ
2
3
2
3
≈−=
và trị riêng (trong xấp xỉ bậc nhất) của nó là:
0
3
42
)1(
3
2
l
n
Z
E
δ
α
=
(29.20)
Như vậy phần năng lượng này khác 0 chitrong trạng thái với l = 0
Tiếp theo, có thể chứng tỏ rằng các trị riêng của
1
ˆ

V
bằng:












+
−=
2
1
1
4
3
2
3
42
)1(
1
l
n
n
Z

E
α
(29.21)

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Vì trong giới hạn phi tương đối tính thì năng lượng của electron
trong trường tĩnh điện không phụ thuộc vào spin, nên khi tính hiệu
chỉnh năng lượng spin - quỹ đạo có thể coi các hàm trạng thái
“không nhiễu loạn” chính là các hàm riêng đồng thời của
2
ˆ
j
z
j
ˆ
và
2
ˆ
M
Chú ý đến đẳng thức:
222
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2 SMjMS −−=

ta có thể viết lại

2
ˆ
V
như sau:
( )
222
3
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
1
4
ˆ
SMj
r
Z
V −−=
α
Do đó, trị riêng tương ứng là:
( ) ( )












−+−+






=
0
4
3
11
1
4
4
)1(
2
lljj
r
Z
E
α
(29.22)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Vì:

( )
1
2
1
1
3
3
3
+






+
=






llln
Z
r
nên cuối cùng ta có (với l ≠ 0):
( ) ( )
( )
( )

0
1
1
2
1
4
3
11
4
3
42
)1(
2 l
lll
lljj
n
Z
E
δ
α
−













+






+
−+−+
=
(29.23)
Đặc biệt, với
2
1
+= lj
từ (29.23) ta có

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( )
( )
0
1
1
2
1
1

4
3
42
)1(
2 l
ll
n
Z
E
δ
α
−












+







+
=
(29.23’)
và với
2
1
−= lj
thì:
( )
0
1
2
1
1
4
3
42
)1(
2 l
ll
n
Z
E
δ
α
−



















+
−=
(29.23’’)
Với cả
2
1
±= lj
tổng hiệu chỉnh cho E
1
và E
2
đều là:

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam













+
−=
+
2
1
1
4
3
4
3
42
)1(
21
j
n
n
Z
E

α
(29.24)
Có thể thấy rằng (29.24) lại cũng đúng cả khi l = 0.
Công thức này gọi là ‘công thức cấu trúc tinh tế’ và được A. Sommerfeld
tìm ra trong năm 1916 (tức là trước khi có cơ học lượng tử).
Chú ý rằng, công thức (29.24) không phụ thuộc trực tiếp vào l, nhưng
dùng được cho cả hai giá trị
2
1
±= lj
với j ≠ 0 cho trước

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Cũng cần lưu ý rằng công thức này cho thấy năng lượng phụ thuộc vào
cả spin (vì spin phụ thuộc j), mặc dù trường ngoài là thuần tĩnh điện.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY

307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam