(Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan

BË GIO DƯC V€ €O T„O

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

A THÙC MA TRŠN: SÜ PH…N BÈ GI TRÀ
RI–NG, CC ÀNH Lị BIU DIN DìèNG V
MậT Sẩ VN  LIN QUAN

LUN N TI˜N Sž TON HÅC

BœNH ÀNH - N‹M 2018


BË GIO DƯC V€ €O T„O

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

A THÙC MA TRŠN: SÜ PH…N BÈ GI TRÀ
RI–NG, CC ÀNH Lị BIU DIN DìèNG V
MậT Sẩ VN  LIN QUAN

Chuyản ngnh: Ôi Số v Lỵ thuyát số
MÂ số: 9460104
PhÊn biằn 1:

PGS. TS. PhÔm Tián Sỡn
Trữớng Ôi hồ
 LÔt

PhÊn biằn 2:

TS. Hỗ Minh Ton

Viằn ToĂn hồ
- Viằn Hn lƠm Khoa hå
v  Cỉng ngh» Vi»t Nam

Ph£n bi»n 3:

TS. L¶ ự
Thoang

Trữớng Ôi hồ
Phú Yản

BNH NH - NM 2018


Lới
am oan
Luên Ăn ny ữủ
hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồ
Quy Nhỡn dữợi sỹ hữợng dăn
ừa
TS. Lả Cỉng Tr¼nh v  TS. inh Trung Háa. Tỉi xin
am oan Ơy l
ổng trẳnh nghiản
ựu
ừa tổi. CĂ
kát quÊ trong Luên Ăn l trung thỹ
, ữủ

Ă
ỗng t¡
gi£
ho ph²p sû
dưng v 
h÷a tøng ÷đ
ai
ổng bố trữợ
õ.

TM. Têp th hữợng dăn

TS. Lả Cổng Trẳnh

TĂ
giÊ

Dữ Th Hỏa Bẳnh


Lới
Êm ỡn
Luên Ăn ny ữủ
hon thnh trong quĂ trẳnh hồ
têp v nghiản
ựu tÔi Khoa ToĂn,
Trữớng Ôi hồ
Quy Nhỡn dữợi sỹ hữợng dăn
ừa Tián sắ Lả Cổng Trẳnh v Tián sắ inh

Trung Hỏa. Trữợ
tiản, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sư
án Tián sắ Lả Cổng Trẳnh.
Thy Â
h bÊo tên tẳnh v hữợng dăn tổi tứ nhỳng bữợ
u lm nghiản
ựu. Thy tÔo
ho tổi mởt mổi trữớng hồ
têp v nghiản
ựu
i m, thƠn thiằn những
ng rĐt nghiảm
tú
. Thy luổn ởng viản, giúp ù  tổi tứng bữợ
tián bở trong nghiản
ựu khoa hồ
.
ữủ
hồ
têp, lm viằ
vợi thy l iÃu may mưn v hÔnh phú
ối vợi tổi.
Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sư
án Tián sắ inh Trung Hỏa. Thy luổn ởng viản,
khẵ
h lằ, giúp ù v theo sĂt quĂ trẳnh nghiản
ựu
ừa tổi. M
dũ thy khổng trong
nữợ

, những thy văn thữớng xuyản trao ời khoa hồ
vợi tổi. CĂ
hởi thÊo do thy tờ
hự
 giúp tổi trững thnh rĐt nhiÃu
Ê và khoa hồ
lăn
uở
sống.
Tổi xin
Êm ỡn Tián sắ Hỗ Minh Ton. CÊm ỡn anh vẳ nhỳng buời thÊo luên rĐt hỳu
ẵ
h vÃ
Ă
vĐn à liản quan án nh lỵ biu diạn dữỡng v  B i to¡n mỉmen.
Tỉi xin gûi líi
£m ìn
h¥n thnh án Ban GiĂm hiằu Trữớng Ôi hồ
Quy Nhỡn,
Phỏng o tÔo sau Ôi hồ
 tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt  tổi hồ
têp tÔi trữớng. 
biằt,
tổi xin gûi líi
£m ìn ¸n Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n
ũng
Ă
thy giĂo,
ổ giĂo trong
Khoa  tÔo ra mởt mổi trữớng hồ

têp thƠn thiằn,
i m v rĐt
huyản nghiằp. iÃu
ny giúp tổi
õ ởng lỹ
 phĂt trin bÊn thƠn.
Tổi xin gỷi lới
Êm ỡn án Ban GiĂm hiằu Trữớng Cao ng Sữ phÔm H TƠy, Phỏng
Tờ
hự

Ăn bở Â tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt
ho tỉi i hå
. Tỉi
ng xin gûi líi
£m ỡn án
Ban Chừ nhiằm Khoa Tỹ nhiản v
Ă
bÔn b ỗng nghiằp  luổn ừng hở, ởng viản,
hia s
¡

ỉng vi»
º tỉi
â thíi gian tªp trung nghiản
ựu tÔi Trữớng Ôi hồ
Quy
Nhỡn.
Tổi xin
Êm ỡn

Ă
bÔn nghiản
ựu sinh tÔi Trữớng Ôi hồ
Quy Nhỡn  luổn ởng
viản,
hia s giúp ù tổi trong quĂ trẳnh hồ
têp v nghiản
ựu.
Tổi xin gỷi lới biát ỡn án gia ẳnh hai bản nởi ngoÔi. Nhỳng ngữới thƠn  luổn ừng
hở, ởng viản tổi. Hồ l
hộ dỹa tinh thn vỳng
hư
 tổi yản tƠm hồ
têp v nghiản
ựu khi xa nh. 
biằt, tổi xin gỷi lới biát ỡn sƠu sư
án ngữới mà thƠn yảu
ừa mẳnh.
CÊm ỡn sỹ hy sinh
ao
Ê
ng nhữ tẳnh yảu vổ hÔn
ừa mà dnh
ho
on. Tẳnh thữỡng
bao la
ừa mà luổn ừ Đm trĂi tim
on.

i

Cuối
ũng, tổi xin dnh tẳnh
Êm 
biằt án
hỗng v hai
on thƠn yảu
ừa mẳnh.
CÊm ỡn anh v hai
on  án bản ới em, giúp ù, ởng viản em. Gia ẳnh luổn l nỡi
bẳnh yản
ừa em.


Mử
lử
Danh mử

Ă
kỵ hiằu

iii

M u

1

1 Mởt số kát quÊ
huân b

12

1.1

Sỹ phƠn bố nghiằm
ừa
Ă
a thự
mët bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2

B i to¡n thù 17
ừa Hilbert v mởt số nh lỵ biu diạn d÷ìng
ho a thù
18
1.2.1

B i to¡n thù 17
õa Hilbert v nh lỵ Artin . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.2

Mởt số nh lỵ biu diạn dữỡng
ho a thự

. . . . . . . . . . . . .

19

B i to¡n tèi ÷u a thù
v  b i to¡n mỉmen . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.3.1

B i to¡n tèi ÷u a thù

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.3.2

B i to¡n mæmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.4

Hẳnh hồ
Ôi số thỹ

ho a thự
ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.5

T½nh xĂ
nh dữỡng
ừa
Ă
a thự
ma trên v thun nhĐt hõa
ừa
húng 32

1.6

Chuân ma trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

2 Sỹ phƠn bố giĂ tr riảng
ừa a thự
ma trên

36

38

2.1

DÔng ma trên
ừa nh lỵ Enestrom-Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2

CĂ
nh lỵ dÔng Cau
hy
ho a thù
ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3

So s¡nh
¡

h°n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

i


3 CĂ
nh lỵ biu diạn dữỡng
ho a thự

ma trên

58

3.1

DÔng ma trên
ừa nh lỵ Putinar-Vasiles
u . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.2

DÔng ma trên
ừa nh lỵ Di
kinson-Povh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.3

DÔng ma trên
ừa nh lỵ Handelman

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.3.1

DÔng ma trên
ừa nh lỵ Handelman trản n-ỡn hẳnh . . . . . . .

63

3.3.2

DÔng ma trên
ừa nh lỵ Handelman trản
Ă
a diằn lỗi,
ompa
t

66

3.3.3

Mởt thuêt toĂn tẳm biu diạn dữỡng
ho a thự
ma trên dữỡng
trản mởt a diằn lỗi
ompa
t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

K˜T LUN

75

Danh mử

Ă

ổng trẳnh
ừa tĂ
giÊ liản quan án Luên Ăn

77

Ti liằu tham khÊo

78

ii


Danh mử

Ă
kỵ hiằu
R
R+
C
N
K
Rn
Cn

Mt (R)
Mt (C)
St (R)
X
X
C[z]
R[X]
R(X)
Mt (R[X])
St (R[X])
AT
A<0
A0
||A||
P 2
A

: Trữớng
Ă
số thỹ
: Têp hủp
Ă
số thỹ
khổng Ơm
: Trữớng
Ă
số phự
: Têp
Ă
số tỹ nhi¶n

: R ho°
C
: Khỉng gian thü
n
hi·u
: Khỉng gian phự
n
hiÃu
: Vnh
Ă
ma trên vuổng
Đp t vợi
Ă
phn tỷ trản R
: Vnh
Ă
ma trên vuổng
Đp t vợi
Ă
phn tỷ trản C
: Vnh
Ă
ma trên ối xựng
Đp t trong Mt (R)
: bë n bi¸n (X1 , ..., Xn )

: X1α1 ...Xnαn , α = (α1 , ..., αn ) ∈ Nn

: Vnh a thự
mởt bián z vợi hằ số phù

: V nh a thù
n bi¸n X = (X1 , ..., Xn ) vợi hằ số thỹ
: Trữớng
Ă
thữỡng
ừa vnh a thự
R[X]
: Vnh
Ă
ma trên
Đp t vợi
Ă
phn tỷ trản R[X]
: Vnh
Ă
ma trên ối xựng
Đp t trong Mt (R[X])
: Ma trên
huyºn và
õa ma trªn A ∈ Mt (R[X])
: Ma trên A nỷa xĂ
nh dữỡng
: Ma trên A xĂ
nh dữỡng
: Chuân toĂn tỷ
ừa ma trên A
: Têp hủp tĐt
Ê
Ă
tờng bẳnh phữỡng

ừa hỳu hÔn
phn tû trong mët v nh giao ho¡n A

iii


M u
Kỵ hiằu K[X] := K[X1 , Ã Ã Ã , Xn ] l  v nh
¡
a thù
n bi¸n X1 , · · · , Xn vỵi h» sè trong
K. Kỵ hiằu Mt (K), Mt (K[X]) ln lữủt l vnh
Ă
ma trên vuổng
Đp t vợi
Ă
phn tû
trong K v  K[X]. Méi ma trªn A ∈ Mt (K[X]) ữủ
gồi l mởt ma trên a thự
ho
mởt
a thự
ma trên, bi vẳ nõ
õ th biu diạn dữợi dÔng mởt a thự
n ân X1 , Ã Ã Ã , Xn vợi
hằ số trản Mt (K) nh÷ sau:
d
X
A=
Aα X α ,

|α|=0

trong â, α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn , |α| := α1 + · · · + αn , X α := X1α1 · · · Xnαn , Aα ∈ Mt (K),
d l bê

ao nhĐt
ừa
Ă
ỡn thự
trong A. Do â, º thèng nh§t
¡
h gåi trong ton
Luên Ăn, mội ma trên trong Mt (K[X]) ữủ
gồi l mởt a thự
ma trên.
ối tữủng nghiản
ựu
hẵnh
õa Luªn ¡n l 
¡
a thù
ma trªn, v  ối vợi mội trữớng
hủp
ừa số bián,
húng tổi quan tƠm án
Ă
bi toĂn khĂ
nhau. Do õ,  thuên tiằn
ho ngữới ồ
,

húng tổi tĂ
h v trẳnh by
Ă
bi toĂn liản quan trong hai phn riảng
biằt nhữ sau.

1. CĂ
a thự
ma trên mởt bián

Trong phn ny
húng tổi trẳnh by mởt số vĐn à liản quan án
Ă
a thự
ma trên mởt
bián, tự
l xt
Ă
a thự
ma trên
õ dÔng

P (z) = Ad z d + · · · + A1 z + A0 ,
trong â, z l  bi¸n sè v  Ai ∈ Mt (C), ∀i = 0, ..., d. C¡
a thù
ma trên mởt bián l sỹ
m rởng tỹ nhiản
ừa a thù
°
tr÷ng λIt − A

õa mët ma trªn A ∈ Mt (C), trong â
It l  ma trªn ỡn v trong Mt (C).
Náu Ad 6= 0, thẳ P (z) ữủ
gồi l mởt a thự
ma trên bê
d. Khi Ad = It , P (z) ÷đ
gåi l  mởt a thự
ma trên moni
.
Náu tỗn tÔi mởt v
tỡ kh¡
khæng x ∈ Ct v  λ ∈ C sao
ho P ()x = 0, thẳ ữủ
gồi
l mởt gi¡ trà ri¶ng
õa P (z), v  khi â x ữủ
gồi l mởt v
tỡ riảng
ừa P (z) tữỡng ựng
vợi giĂ tr riảng .
Nhữ vêy, mội giĂ tr riảng
õa P (z) l  mët nghi»m
õa a thù
°
trững det(P (z)).
Têp hủp
Ă
giĂ tr riảng
ừa P (z) ữủ
kỵ hiằu bi (P (z)) v ữủ

gồi l  phê
õa a
thù
ma trªn P (z).

1


Chú ỵ thảm rơng trong trữớng hủp P (z) = zIt A, a thự

trững
ừa ma trên
A Mt (C), thẳ mội giĂ tr riảng
ừa a thự
ma trên P (z) l mởt giĂ tr riảng
õa ma
trªn A. Do â
â thº nâi gi¡ trà riảng
ừa a thự
ma trên l mởt khĂi niằm m rởng
ừa
giĂ tr riảng
ừa mởt ma trên.

Bi toĂn gi¡ trà ri¶ng a thù
(Polynomial Eigenvalue Problem - PEP) l tẳm mởt giĂ
tr riảng v mởt v
tỡ khĂ
khæng x ∈ Ct sao
ho P (λ)x = 0. Trong tr÷íng hđp d = 1

hóng ta
â b i to¡n giĂ tr riảng tờng quĂt
Ax = Bx.
Hỡn nỳa, náu A1 = It th¼
hóng ta
â b i to¡n gi¡ trà riảng
huân

Ax = x.

Bi toĂn giĂ tr riảng bê
hai (Quadrati
Eigenvalue Problem - QEP) tữỡng ựng vợi trữớng
hủp d = 2.
a thự
ma trên mởt bián
õ nhiÃu ựng dửng trong
Ă
lắnh vỹ
nhữ phữỡng trẳnh vi
phƠn, lỵ thuyát hằ thống, k thuêt Wiener-Hopf,
ỡ hồ
v lỵ thuyát rung, giÊi tẵ
h số,
... M
dũ tm quan trồng
ừa a thự
ma trên l khĂ ró rng những
Ă
ti liằu và Ôi

số tuyán tẵnh v lỵ thuyát ma trªn ·
ªp v· nâ khỉng nhi·u. Hai
ỉng trẳnh u tiản
viát y ừ nhĐt và a thự
ma trên l
ừa Frazer, Dun
an v Collar [15 nôm 1955 v
Lan
aster [26 nôm 1966. CÊ hai Ãu phĂt trin lỵ thuyát a thự
ma trên thổng qua lỵ
thuyát
ừa hằ rung. Chóng ta
â thº g°p a thù
ma trªn khi nghiản
ựu hằ phữỡng trẳnh
vi phƠn (
õ bê
lợn hỡn 1) vợi hằ số hơng, tự
l hằ
õ dÔng
d
X
i=0

Ai



d
dt

i

u(t) = 0.

Viằ
tẳm nghiằm
ho hằ dÔng u(t) = x0 e0 t , vợi x0 , 0 ở
lêp vợi t, trỹ
tiáp dăn án bi
toĂn giĂ tr riảng - v
tỡ riảng
ừa a thự
ma trên.
Bản
Ônh õ, b i to¡n gi¡ trà ri¶ng QEP
â nhi·u ùng dưng v o khoa hå
v  kÿ thuªt.
Mët têng quan v· nhúng ựng dửng
ừa QEP ữủ
trẳnh by trong
uốn sĂ
h
õa Gohberg,
Lan
aster v  Rodman [16℄, Hamarling, Munro v  Tisseur [18℄ v Zeng v Su [56 Â ữa
ra nhỳng thuêt toĂn º gi£i b i to¡n QEP. èi vỵi b i to¡n PEP,
â v i nghi¶n
ùu v·
h°n

ho gi¡ trà ri¶ng
õa
Ă
a thự
ma trên ữủ
thiát lêp theo
huân
ừa
Ă
hằ số
ừa
a thự
ma trên Â
ho
hng hÔn nhữ
ổng trẳnh
ừa Higham v Tisseur [22. Tuy nhi¶n,
2


viằ
tẵnh giĂ tr riảng
ừa
Ă
a thự
ma trên (thêm
hẵ tẵnh giĂ tr riảng
ừa ma trên
vổ hữợng v tẳm nghiằm
ừa

Ă
a thự
mởt bián) l  mët b i to¡n khâ. Câ mët ph÷ìng
ph¡p l°p º tẵnh
Ă
giĂ tr riảng ny ữủ
ữa ra bi Simon
ini v  Perotti [52℄. Hìn núa,
vi»
t½nh gi£ phê
õa
Ă
a thự
ma trên trong [21
ung
Đp thổng tin v· phê, tù
l ,
h¿ ra
¡

h°n
ö thº º x¡
ành óng mët mi·n
õa m°t ph¯ng phù

hựa
Ă
giĂ tr
riảng õ. Vẳ thá viằ
tẳm

hn
ho giĂ tr riảng
ừa a thự
ma trên mởt bián l mởt viằ
lm rĐt
õ ỵ nghắa.
Bi toĂn u tiản m
húng tổi têp trung nghiản
ựu trong Luên ¡n nh÷ sau.
Cho P (z) = Ad z d + · · · + A1 z + A0 l  mët a thù
ma trªn. Ch¿ ra
¡
sè m
v  M "õ tèt" sao
ho
m ≤ |λ| ≤ M, ∀ λ ∈ σ(P (z)),

B i to¡n 1.

tù
l 
h¿ ra
¡

h°n "ừ tốt"
ho giĂ tr riảng
ừa P (z).
Trong trữớng hđp t = 1, tù
l  tr÷íng hđp
õa

¡
a thự
mởt bián vợi hằ số phự
,
Bi toĂn ny  ữủ
nghiản
ựu bi nhiÃu nh toĂn hồ
,
õ th k ra Ơy
Ă
kát quÊ
ừa Cau
hy [31, 33, Enestr
om v  Kakeya [31, 33℄, Joyal, Labelle v  Rahman [24℄, Datt
v Govil [8, ...
 
1
d
 ỵ rơng náu Ad l mởt ma trên suy bián, thẳ a thự
z P
õ mởt giĂ tr riảng
z
bơng 0, v náu A0 l mởt ma trên suy bián thẳ 0 l mởt giĂ tr riảng
ừa P (z). Do õ, trong
Luên Ăn ny
húng tổi luổn xt nhỳng a thự
ma trên vợi
Ă
h» sè Ad v  A0 khỉng suy
bi¸n, º tø â tẳm mởt

hn trản v mởt
hn dữợi
ho giĂ tr riảng .
Trong trữớng hủp t > 1, viằ
tẳm
¡

h°n
ho gi¡ trà ri¶ng
õa a thù
ma trên P (z)
theo
huân (toĂn tỷ)
ừa
Ă
ma trên hằ số Â ữủ
thỹ
hiằn v trẳnh by trong b i b¡o
õa Higham v  Tisseur [22℄. Mư
½
h
h½nh u tiản
ừa
húng tổi trong Luên Ăn l giÊi
quyát Bi toĂn 1, ữa ra
Ă

hn mợi "ừ tốt"
ho giĂ tr riảng
ừa a thự

ma trên, tứ
õ so sĂnh vợi
Ă

hn ữủ
ữa ra bi Higham v Tisseur.

2. CĂ
a thự
ma trên nhiÃu bián

Trong phn ny
húng tổi trẳnh by mởt số vĐn à liản quan án
Ă
a thự
ma trên
õ
số bián lợn hỡn 1. Trữợ
tiản, xt trữớng hủp t = 1, tự
l xt
Ă
a thự

õ số bián lợn
hỡn mởt.
Cho f ∈ R[X] := R[X1 , ..., Xn ], G = {g1 , ..., gm } R[X]. Kỵ hiằu
( n
)
X
X

R[X]2 =
fi2 |fi ∈ R[X], n ∈ N ,
i=1

3


têp hủp
Ă
tờng bẳnh phữỡng
ừa
Ă
a thự
trong R[X];

KG = {x ∈ Rn |g1(x) ≥ 0, ..., gm(x) 0},

têp nỷa Ôi số õng
ỡ bÊn trong Rn x¡
ành bði G;
MG = {t0 +

m
X
i=1

ti gi |ti ∈

X

R[X]2 , i = 0, ..., m},

mỉun bª
hai nhä nhĐt trản R[X]
hựa G;
X
X
m
TG = {
t g11 ...gm
|t
R[X]2 },
=(1 ,...,m ){0,1}m

tiÃn thự tỹ nhọ nhĐt trản R[X]
hựa G.
Chú ỵ MG TG , v khi G = ∅ ta
â K∅ = Rn , M∅ = T∅ =

P

R[X]2 .

Dạ thĐy náu f TG (hay MG ) thẳ f 0 trản KG . Do õ, mởt
Ơu họi tỹ nhiản t ra
l
hiÃu ngữủ
lÔi
ừa i·u n y
â óng khỉng? Tù

l ,

f ≥ 0 tr¶n KG = f TG (hay MG )?
Náu
Ơu trÊ lới l úng,
húng ta
õ ữủ
mởt nh lỵ biu diạn dữỡng (Positivstellensatz),
hay nh lỵ biu diạn khổng Ơm (Ni
htnegativstellensatz). Trong mởt số ti liằu (
hng
hÔn, [32),
Ă
tĂ
gi£ sû dưng thuªt ngú
hung l  "Positivstellensatz". Do â, trong ton
bở luên vôn
húng tổi thống nhĐt dũng thuêt ngỳ Positivstellensatz (nh lỵ biu diạn
dữỡng).
Trong trữớng hủp 
biằt, G = , ta
õ
Ơu họi:
X
f 0 trản Rn =⇒ f ∈
R[X]2 ?

C¥u tr£ líi
ho
¥u häi ny ữủ

ữa ra bi Hilbert (1888),
h ra rơng
Ơu họi trản
h
úng trong ba trữớng hủp 
biằt
ừa số bián v bê

ừa f . Sau õ, tÔi Ôi hởi ToĂn hồ
thá giợi tờ
hự
tÔi Paris nôm 1900, Hilbert  ữa ra mởt danh sĂ
h gỗm 23 "B i to¡n
th¸ k", trong sè â, B i to¡n thù 17 trong danh s¡
h n y ÷đ
ph¡t biºu nh÷ sau:

B i toĂn thự 17
ừa Hilbert: Cho f R[X]. Kỵ hi»u R(X) l  tr÷íng
¡
th֓ng

õa v nh a thù
R[X]. Kỵ hiằu
)
( k  
X
X fi 2
|k N, fi , gi ∈ R[X], gi 6= 0, i = 1, · · · , k .
R(X)2 =

gi
i=1
4


Náu f 0 trản Rn ,
õ suy ra ữủ
hay khổng f

P

R(X)2 ?

Mởt số vĐn à liản quan án viằ
biu diạn thnh tờng bẳnh phữỡng (
ừa a thù
, ph¥n
thù
) v  B i to¡n thù 17
õa Hilbert ữủ

húng tổi trẳnh by trong Mử
1.2.1.
Viằ
nghiản
ựu
Ă
nh lỵ biu diạn dữỡng õng vai trỏ quan trång trong b i to¡n
tèi ÷u a thù
v  b i to¡n mỉmen. Cư thº hìn, b i to¡n tèi ÷u a thù

l bi toĂn tẳm

f = inf f (x),
xKG

(0.1)

vợi f R[X], G v KG xĂ
nh nhữ trản. Trong tr÷íng hđp G = ∅, KG = Rn , b i toĂn
trản ữủ
gồi l bi toĂn tối ữu a thự
khỉng r ng b
.
B i to¡n tèi ÷u a thù
÷đ
nhi·u nh nghiản
ựu quan tƠm tứ
Ă
lắnh vỹ
khĂ
nhau nhữ Ôi số thỹ
, quy hoÔ
h nỷa xĂ
nh v lỵ thuyát toĂn tỷ. Shor [51 l ngữới
u tiản Ăp dửng mởt k thuêt tối ữu lỗi 
ỹ
tiu mởt a thự
nhiÃu bián khổng rng
buở
. Nesterov [36 Â

h¿ ra °
t½nh
õa nân mỉmen bði
¡
r ng b
nûa x¡
ành
trong tr÷íng hđp
¡
phn tû
õa nõn tữỡng ựng l
Ă
a thự
khổng Ơm
õ th viát
ữủ
thnh tờng
Ă
bẳnh phữỡng a thự
. Trong nộ lỹ
giÊm bợt a thự
nhiÃu bián,
Lasserre [27 l ngữới u tiản  Ăp dửng
Ă
kát quÊ Ôi số thỹ
gn Ơy
ừa Putinar
[39  thiát lêp mởt dÂy
Ă
nợi lọng hởi tử án giĂ tr tối ÷u

õa mët b i to¡n tèi ÷u a
thù
. Sau ¥y
hóng tỉi minh håa rã hìn v· ùng dưng
õa
Ă
nh lỵ biu diạn dữỡng
trong viằ
giÊi quyát bi toĂn tối ữu a thự
(xem,
hng hÔn, [28).
Biu thự
(0.1)
õ th viát lÔi dữợi dÔng

f = inf f (x) = sup{λ|λ ≤ f (x), x ∈ KG }
x∈KG

= sup{λ|f (x) − λ ≥ 0, x ∈ KG }

= sup{λ|f (x) − λ > 0, x ∈ KG }.

Nhữ thá, viằ
tẳm f ữủ

huyn sang tẳm supremum
õa
¡
sè λ sao
ho f − λ khổng

Ơm (ho
dữỡng) trản KG .  giÊi quyát bi toĂn khõ ny, mởt trong nhỳng ỵ tững l
thay thá i·u ki»n khỉng ¥m bði mët i·u ki»n n o â ỡn giÊn hỡn, trong õ
õ
hựa
Ă
tờng bẳnh phữỡng, 
õ th tiáp
ên bơng
Ă
h sỷ dửng Quy hoÔ
h nỷa xĂ
nh (SDP).
Vợi ỵ tững õ, mởt trong nhúng
¡
h º nỵi läng i·u ki»n "f − λ 0 trản KG " l xt
biu diạn f dữợi dÔng
m
X
f = t0 +
ti gi ,
trong â ti ∈

P

i=1

R[X] . Tù
l , nỵi läng i·u ki»n "f −λ ≥ 0 tr¶n KG " th nh "f −λ ∈ MG ".
2

5


iÃu ny dăn án viằ
xt bi toĂn

f sos,G = sup{λ|f − λ ∈ MG }.

(0.2)

Rã r ng, n¸u f − MG thẳ f 0 trản KG . Do â f sos,G ≤ f ∗ . Hỡn nỳa, náu ta
õ
mởt nh lỵ biu diạn dữỡng
ho a thự
f trản KG thẳ f sos,G = f .
Tuy nhiản viằ
tẳm f sos,G khổng dăn án mởt Quy hoÔ
h nỷa xĂ
nh, bi vẳ
húng
ta khổng
hn ữủ
bê

ừa
Ă
a thự
ti trong biu diạn
ừa f .  nhên ữủ

mởt
Quy hoÔ
h nỷa xĂ
nh,
húng ta xt
Ă
số nguyản k vợi

2k max{deg(f ), deg(g1 ), . . . , deg(gm )}.
X²t b i to¡n

fksos,G = sup{λ|f − λ = t0 +

m
X
i=1

ti gi , ti ∈

X

R[X]2 , deg(t0 ), deg(ti gi ) 2k}.

(0.3)

Khi õ fksos,G ữủ
tẵnh qua mởt Quy hoÔ
h nỷa xĂ
nh. Hỡn nỳa,
sos,G

f sos,G ≤ f ∗
fksos,G ≤ fk+1

v  lim fksos,G = f sos,G .
k

Tiáp theo
húng tổi giợi thiằu vai trỏ
ừa
Ă
nh lỵ biu diạn dữỡng trong viằ
giÊi
quyát bi toĂn mổmen. DÔng thự nhĐt
ừa bi toĂn mổmen ữủ
phĂt biu nhữ sau.
Cho K l mởt têp
on õng trong Rn . Cho L : R[X1 , ..., Xn ]
R l mởt phiám hm tuyán tẵnh. Họi liằu
õ tỗn tÔi mởt ở o Borel dữỡng à vợi gi¡
hùa
trong K sao
ho vỵi måi f ∈ R[X1 , ..., Xn ],
Z
L(f ) = f dµ?

B i to¡n mỉmen (dÔng 1)

K

Haviland (1935, [20) Â ữa ra mởt iÃu kiằn

n v ừ
ho sỹ tỗn tÔi
ừa ở o dữỡng
à,
ử th nhữ sau.

nh lỵ 1 (Haviland, [20). iÃu kiằn
n v ừ  tỗn tÔi mởt ở o Borel dữỡng à vợi
giĂ
hựa trong K sao
ho vợi måi f ∈ R[X1 , ..., Xn ] ta
â
Z
L(f ) = f dà
K

l L(f ) 0 vợi mồi f ≥ 0 tr¶n K .
6


ối vợi
Ă
têp têp
on õng trong Rn
õ dÔng K = KG , vợi G l mởt têp
on hỳu
hÔn no õ trong vnh a thự
R[X], mởt dÔng khĂ

ừa bi toĂn mổmen ữủ

phĂt biu
nhữ sau.
Cho G = {g1 , ..., gm } ⊆ R[X]; KG , TG ữủ
nh nghắa nhữ
trản. Náu L(f ) 0, f TG thẳ
õ tỗn tÔi mởt ở o Borel dữỡng à
õ giĂ
hựa trong
KG sao
ho
Z

Bi toĂn mổmen (dÔng 2)

L(f ) =

f dà

KG

vợi mồi f R[X] hay khổng?
Chú ỵ rơng vợi f TG thẳ f 0 trản KG . Do õ bi toĂn mổmen dÔng 2 yáu hỡn
bi toĂn mổmen dÔng 1. Tuy nhiản, náu
húng ta
õ mởt nh lỵ biu diạn dữỡng trản
KG thẳ hai bi toĂn trản tữỡng ữỡng vợi nhau (qua nh lỵ Haviland). Ngữới ồ

õ th
xem thảm và ựng dửng
ừa

Ă
nh lỵ biu diạn dữỡng  giÊi quyát
Ă
bi toĂn mổmen
trong
Ă
ti liằu [28, [17.
CĂ
nh lỵ biu diạn dữỡng
ho a thự
 nhên ữủ
nhiÃu sỹ quan tƠm
ừa
Ă
nh to¡n hå
. Krivine (1964) v  Stengle (1974) [25, 54℄ ¢ ữa ra biu diạn "
õ mău thự
"
ho
Ă
a thự
dữỡng (tữỡng ựng, khổng Ơm, bơng khổng) trản mởt têp nỷa Ôi số õng
ỡ bÊn. Viằ
tẳm
Ă
nh lỵ biu diạn dữỡng "khổng mău thự
" hiằn văn ang thu hút
sỹ quan tƠm
ừa nhiÃu ngữới.
Nôm 1991, vợi viằ

tẳm líi gi£i
ho B i to¡n mỉmen b¬ng
ỉng
ư Gi£i tẵ
h hm,
S
hm
udgen [46 Â ữa ra mởt nh lỵ biu diạn dữỡng trản têp
ompa
t. Cử th,
S
hm
udgen khng nh rơng: Náu f > 0 trản KG v KG l têp
ompa
t thẳ f TG .
Mởt trữớng hủp 
biằt
ừa nh lỵ S
hm
udgen ữủ
ữa ra trữợ
õ bi Handelman
[19, biu diạn
Ă
a thự
dữỡng trản mởt a diằn lỗi,
ompa
t.
Viằ
ữa ra mởt iÃu kiằn  Êm bÊo

Ă
a thự
dữỡng trản KG thuở
vo MG khâ
hìn so vỵi th
v o TG . Mët i·u ki»n nhữ thá ữủ
Putinar [39 ữa ra nôm 1993, vợi
iÃu kiằn a
simet
ừa mổun bê
hai MG . Như
lÔi, mởt mổun bê
hai M trong vnh a
thự
R[X] ữủ
gồi l a
simet náu tỗn tÔi số tỹ nhiản k N sao
ho k(X12 +...+Xn2) M .
nh lỵ biu diạn dữỡng
ừa Putinar ữủ
phĂt biu nhữ sau: GiÊ sỷ MG a
simet. Khi
õ, náu f > 0 trản KG thẳ f MG .
Chú ỵ rơng, MG a
simet thẳ TG a
simet. Hỡn nỳa, TG a
simet tữỡng ữỡng vợi KG
ompa
t. Hỡn nỳa, náu f
õ nghiằm trong KG thẳ

Ă
nh lỵ
ừa S
hm
udgen v Putinar
õ th khổng
ỏn úng. Do õ, S
heiderer [42, 43 Â ữa ra mởt tiảu
huân Hessian 
7


£m b£o
ho
¡
a thù
khỉng ¥m (tù
l 
õ nghiằm) trản KG thuở
vo TG (tữỡng ựng,
MG ) vợi iÃu kiằn KG
ompa
t (tữỡng ựng, MG a
simet).
Biu diạn
Ă
a thự
dữỡng (khổng Ơm) trản mởt têp
on khỉng
ompa

t trong Rn
khâ hìn nhi·u. Trong tr÷íng hđp KG khỉng
ompa
t, S
hweighofer (2006, [50℄) kh¯ng
ành r¬ng: Gi£ sû f ∈ R[X] bà
h°n tr¶n KG , v  f
h¿
õ hỳu hÔn giĂ tr tiằm
ên trong
KG v ton bở Ãu dữỡng. Khi õ, náu f > 0 trản KG thẳ f TG .
Như
lÔi rơng, têp hủp

R (f, KG ) := {y ∈ R|∃xk ∈ KG , xk → ∞(k → ∞), f (xk ) → y}
l  tªp
¡
gi¡ trà ti»m
ªn
õa f .
Pâlya [37℄
õ kát quÊ sau Ơy, biu diạn
Ă
a thự
dữỡng trản Rn+ \ {0}, trong õ
Rn+ = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn : xi 0}:
Cho f l mởt a thự
thun nhĐt. Náu f > 0 trản Rn+ \ {0} thẳ tỗn tÔi mởt số tỹ nhiản N
n
N

P
Xi
f
õ tĐt
Ê
Ă
hằ số khĂ
khổng Ãu dữỡng.
ừ lợn sao
ho a thự
i=1

Nôm 1995, Rezni
k  ữa ra mởt nh lỵ biu diạn dữỡng biu diạn thnh tờng
Ă
bẳnh phữỡng
ho
Ă
a thự
thun nhĐt dữỡng trản Rn \ {0}. nh lỵ Rezni
k nõi rơng:
Cho f l mởt a thự
thun nhĐt bê

hđn vợi f (x) > 0, x Rn \ {0}. Khi õ, tỗn tÔi
n

P 2 N
P
mởt số tỹ nhiản N ừ lợn sao

ho
Xi
f R[X]2 .
i=1

Tờng quĂt
ho kát quÊ
ừa Rezni
k, Putinar v Vasiles
u [40 Â ữa ra mởt nh
lỵ biu diạn dữỡng trản mởt têp nỷa Ôi số õng
ỡ bÊn trong Rn . Gn Ơy, nôm 2015,
Di
kinson v Povh [10 Â kát hủp nh lỵ Põlya v nh lỵ Putinar-Vasiles
u  ữa ra
mởt nh lỵ biu diạn
ho
Ă
a thự
dữỡng trản mởt têp
on nỷa Ôi số õng
ỡ bÊn
trong Rn . Chi tiát
ho
Ă
nh lỵ biu diạn dữỡng ny ữủ

húng tổi trẳnh by trong
Mử
1.2.2

ừa Luên Ăn.

Sau Ơy
húng tổi Ã
êp mởt số vĐn à liản quan án trữớng hủp t > 1, xt biu
diạn
ừa
Ă
a thự
ma trên xĂ
nh dữỡng (tữỡng ựng, nỷa xĂ
nh dữỡng) trản mởt
têp
on
ừa Rn . Kỵ hiằu St (R[X]) l têp hủp
Ă
a thự
ma trên ối xựng
Đp t trong
Mt (R[X]). Vợi mội F ∈ St (R[X]) v  G = {G1 , ..., Gm } St (R[X]), kỵ hiằu

KG := {x Rn |Gi (x)< 0, i = 1, ..., m},
tªp nûa Ôi số õng
ỡ bÊn trong Rn xĂ
nh bi G .
8


 Ơy, vợi mội a thự
ma trên G St (R[X]) v  vỵi méi x ∈ Rn , G(x)< 0 ữủ

dũng
 kỵ hiằu
ho ma trên G(x) l nỷa xĂ
nh dữỡng, tự
l vợi mồi v Rt , v T G(x)v 0.
Kỵ hiằu G(x) 0 ữủ
hiu l ma trên G(x) l xĂ
nh dữỡng, tự
l vợi mồi v
Rt \ {0}, v T G(x)v > 0.
Kỵ hiằu
X
MG := {
ATij Gi Aij |Gi ∈ G ∪ {It }, Aij ∈ Mt (R[X])},
i,j

mỉun bª
hai nhọ nhĐt trản Mt (R[X])
hựa G .

TiÃn thự tỹ nhọ nhĐt
hựa G s ữủ
kỵ hiằu bi TG . Trong tr÷íng hđp G = ∅,
T
t R[X] := M = T l têp hủp
Ă
tờng hỳu hÔn
ừa nhỳng phn tỷ
õ dÔng A A,
trong õ A ∈ Mt (R[X]), v  nâ l  mỉun bª

hai nhä nhĐt trong Mt (R[X]).

P

Ró rng, náu F TG ho
MG thẳ F < 0 trản KG . VĐn Ã
hẵnh tiáp theo
húng tổi
quan tƠm trong Luên Ăn nhữ sau
Cho F ∈ St (R[X]), G = {G1 , ..., Gm } ⊆ St (R[X]). Gi£ sû F ≻ 0 trản KG .
Vợi iÃu kiằn no thẳ F TG ho
F MG .

Bi toĂn 2.

Liản quan án bi toĂn ny, S
herer v Hol [44 Â ữa ra mởt dÔng ma trên biu
diạn
Ă
a thự
ma trên xĂ
nh dữỡng trản n
ng nhữ
Ă
a thự
ma trên xĂ
nh dữỡng trản KG m MG a
simet
ho nh lỵ Põlya v nh lỵ Putinar; trong õ
n

P
n = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn |xi ≥ 0, xi = 1}.
i=1

Cimpri
[6 ữa ra dÔng ma trên
ho nh lỵ Krivine-Stengle; Cimpri
v Zalar [7 Â
nghiản
ựu bi toĂn mỉmen
ho
¡
a thù
to¡n tû v  hå ¢ ữa ra mởt dÔng ma trên
ho nh lỵ S
hm
udgen; Lả Cổng Trẳnh [29 Â ữa ra mởt dÔng ma trên
ho nh lỵ biu
diạn dữỡng
ừa Krivine-Stengle, S
hweighofer, S
heiderer,... Chi tiát
ho
Ă
kát quÊ ny
ữủ

húng tổi trẳnh by trong Mử
1.4
ừa Chữỡng 1.

DÔng ma trên
ho nh lỵ biu diạn dữỡng
ừa Põlya [37 õng mởt vai trỏ quan trồng
trong lỵ thuyát iÃu khin. Hu hát
Ă
bi toĂn iÃu khin tuyán tẵnh Ãu dăn án
Ă
bĐt ng thự
ma trên. RĐt nhiÃu trong số
Ă
bi toĂn ny
õ th giÊi ữủ
khi
Ă
bĐt
ng thự
ma trên l tuyán tẵnh. Ró hỡn, mởt bĐt ng thự
ma trên tuyán tẵnh (Linear
Matrix Inequality - LMI)
õ dÔng

L(X) := A0 + A1 X1 + ... + An Xn ≻ 0,

(0.4)

trong â X = (X1 , ..., Xn ) l  n bi¸n thü
v  A0 , A1 , ..., An ∈ Sn (R) l 
¡
ma trªn èi xựng

ho trữợ
. BĐt ng thự
(0.4)
h ra L(x) xĂ
ành d÷ìng, tù
l , v T L(x)v > 0, ∀ v ∈
9


Rn \ {0}. Khi â, mi·n x¡
ành
õa LMI l
G := {x Rn |L(x) 0}.
nh lỵ biu diạn dữỡng
ừa Põlya
ho a thự
ma trên [44 kh¯ng ành r¬ng: Gi£ sû F
l  mët a thù
ma trên ối xựng thun nhĐt bê
d. Náu F 0 trản n thẳ tỗn tÔi số tỹ
nhiản N sao
ho
X
(X1 + · · · + Xn )N F =
Aα X α ,
|α|≤N +d

trong â, Aα l 
¡
ma trªn nûa x¡

ành d÷ìng, X α = X1α1 ...Xnαn . º rã hìn v·
¡
ùng
dưng n y,
â thº xem
hi ti¸t trong b i b¡o
õa S
herer v  Hol [44℄.
Mư
ẵ
h
hẵnh tiáp theo
ừa
húng tổi trong Luên Ăn l giÊi quyát Bi toĂn 2, ữa ra
dÔng ma trên
ho
Ă
nh lỵ biu diạn dữỡng
ừa Putinar-Vasiles
u, Di
kinson-Povh v
Handelman.
Ngoi Mử
lử
, Danh mử

Ă
kỵ hiằu, Lới m u, Danh sĂ
h
Ă

ổng trẳnh
ừa tĂ
giÊ liản quan án Luên Ăn, Ti liằu tham khÊo v Kát luên, nởi dung
hẵnh
ừa Luên Ăn
ữủ

húng tổi trẳnh by trong ba
hữỡng.
Trong Chữỡng 1
húng tổi
ung
Đp nhỳng khĂi niằm v kát quÊ
ỡ bÊn ữủ
sỷ dửng
trong Luên Ăn gỗm: Sỹ phƠn bố nghiằm
ừa
Ă
a thù
mët bi¸n, B i to¡n thù 17
õa
Hilbert v  mët số nh lỵ biu diạn dữỡng, Bi toĂn mổmen v Bi toĂn tối ữu a thự
,
dÔng ma trên
ho mởt số nh lỵ biu diạn dữỡng. Cuối
hữỡng
húng tổi ữa ra kát quÊ
mợi và mối liản hằ giỳa tẵnh dữỡng
ừa a thự

ma trên v thun nhĐt hõa
õa nâ.
Trong Ch֓ng 2
hóng tỉi ÷a ra mët sè
hn
ho giĂ tr riảng
ừa a thự
ma trên.
Cử th,
húng tổi  ữa ra mởt số dÔng ma trên
ho nh lỵ Enestr
om-Kakeya (
Ă
nh
lỵ 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4). Mởt số dÔng ma trên
ho
Ă
nh lỵ dÔng Cau
hy
ng ữủ

húng
tổi ữa ra trong
Ă
nh lỵ 2.2.2, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.12, 2.2.14, 2.2.16, 2.2.17.
Ci
h÷ìng, trong Mư
2.3,
hóng tỉi tr¼nh b y b£ng so s¡nh
Ă

hn  Ôt ữủ
trong
hữỡng ny vợi
Ă

hn ữủ
ữa ra bi Higham v Tisseur [22 trản
ũng vẵ dử v phn
mÃm tẵnh toĂn.
Trong Chữỡng 3
húng tổi nghiản
ựu
Ă
nh lỵ biu diạn dữỡng
ho
Ă
a thự
ma trên. Cử th,
húng tổi ữa ra dÔng ma trên
ho
Ă
nh lỵ biu diạn dữỡng
ừa
Putinar-Vasiles
u, Rezni
k, Di
kinson-Povh v Handelman. Riảng ối vợi dÔng ma trên
ho nh lỵ Handelman,
húng tổi ữa ra mởt thừ tử

 tẳm biu diạn
ho mởt a thự
ma trên xĂ
nh dữỡng trản mởt a diằn
ompa
t, lỗi trong Rn .
10


CĂ
kát quÊ
hẵnh
ừa Luên Ăn ữủ

húng tổi
ổng bố trong
Ă
bi bĂo [12, 30, tiÃn
Đn phâm [13 v  ữủ
bĂo
Ăo tÔi:

ã Hởi thÊo ToĂn hồ
MiÃn Trung-TƠy Nguyản ln I, Trữớng Ôi hồ
Quy Nhỡn, Bẳnh
nh, 12-14/08/2015;
ã Hởi thÊo quố
tá The 6th International Conferen
e on Matrix Analysis and Appli
ations (ICMAA), Trữớng Ôi hồ

Duy TƠn,  Nđng, 15-18/06/2017;
ã Hởi thÊo quố
tá String-Math 2018, Trữớng Ôi hồ
Tohoku, Sendai, Nhêt BÊn,
18-22/06/2018;
ã Hởi thÊo què
t¸ The 7th International Conferen
e on Matrix Analysis and Appli
ations (ICMAA 2018), Trữớng Ôi hồ
Shinshu, Nagano, Nhêt BÊn, 22-25/06/2018;
ã Seminar Khoa ToĂn, Trữớng Ôi hồ
Quy Nhỡn, Bẳnh nh;
ã Ôi hởi ToĂn hồ
Viằt Nam ln thự IX, Trữớng Ôi hồ
Thổng tin Liản lÔ
, 1418/08/2018.

Bẳnh nh, thĂng 11 nôm 2018
TĂ
giÊ

Dữ Th Hỏa Bẳnh

11


Chữỡng 1
Mởt số kát quÊ
huân b
Trong

hữỡng ny
húng tổi trẳnh by mởt số kát quÊ
huân b
ho
Ă

hữỡng
ỏn
lÔi
ừa Luên Ăn. Sỹ phƠn bố nghiằm
ừa a thự
mởt bián nhữ nh lỵ Cau
hy [31, 33
v mởt số nh lỵ dÔng Cau
hy, nh lỵ Enestr
om-Kakeya [53, Corollary 3 ữủ
trẳnh
by trong Mử
1.1. Chúng tổi s trẳnh by mởt số nh nghắa
ỡ bÊn trong Hẳnh hồ
Ôi
số thỹ
, ữủ
trẵ
h dăn tứ
Ă

ổng tr¼nh
õa S
hm

udgen [45, 47, 48℄, Cimpri
[5, 6℄ v 
Marshall [32 trong Mử
1.2.  Ơy
húng tổi
ng trẳnh by mởt số nh lỵ biu diạn
dữỡng
ho a thự
. Mởt số nh lỵ biu diạn dữỡng
ho a thự
ma trên ữủ

húng tổi
trẳnh by trong Mử
1.4. ng dửng
ừa
Ă
nh lỵ biu diạn dữỡng trong Bi to¡n tèi
÷u a thù
v  B i to¡n mỉmen s³ ÷đ

húng tổi trẳnh by trong Mử
1.3. Cuối
hữỡng
húng tổi ữa ra mởt số kát quÊ mợi và mối liản hằ giỳa tẵnh dữỡng
ừa a thự
ma trên
v thun nhĐt hõa
ừa nõ.

1.1 Sỹ phƠn bố nghiằm
ừa
Ă
a thự
mởt bián
Bi toĂn tẳm nghiằm
ừa
Ă
a thù
mët bi¸n l  mët trong nhúng b i to¡n
ì bÊn
ừa Ôi số. Tuy nhiản viằ
tẳm
hẵnh xĂ
nghiằm
ừa a thự
mởt bián khổng phÊi lú
no
ng dạ d ng. Do â, thay v¼ t¼m nghi»m
õa a thù
,
húng ta tẳm miÃn
hựa
Ă
nghiằm
ừa nõ. ối vợi
Ă
a thự
hằ số thỹ
, ta

õ
Ă
dÔng tữỡng ữỡng sau Ơy
ừa
nh lỵ Enestr
om-Kakeya.

nh lỵ 1.1.1 (Enestrom-Kakeya, dÔng 1, [53, Corollary 3). Cho f (z) l mởt a thù

bª
d

f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 , ai ∈ R, ∀i = 0, ..., d.
12