Chuyen de so phuc nguyen hoang viet compress

Chươ

ng

4
PHỨC
VÀ
CÁC PHÉP
PHÉP TỐN
TỐN
SỐCÁC
PHỨC
CÁC
SỐ
SỐ PHỨC VÀ
PHÉPVÀ
TỐN
BÀI 1. NHẬP MƠN SỐ PHỨC
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.

Số phức và các khái niệm liên quan

a) Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R). Khi đó:
○ a là phần thực, b là phần ảo.

○ Nếu a = 0 thì z là số thuần ảo.

○ i là đơn vị ảo, i2 = −1.

○ Nếu b = 0 thì z là một số thực.

b) Quan hệ giữa các tập hợp số:
○ Tập số phức kí hiệu là C.
○ Quan hệ các tập hợp số: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
c) Hai số phức bằng nhau: Cho z1 = a + bi và z2 = c + di (a, b, c, d ∈ R). Khi đó:
®
®
a=c
a=0
○ z1 = z2 ⇔
.
○ z1 = 0 ⇔
.
b=d
b=0
d) Biểu diễn hình học của số phức
y
Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi duy nhất một điểm
M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ.

M

b
O

a

x

e) Mô-đun số phức:
# »
○ Độ dài của véc-tơ OM được gọi là mô-đun của số phức z và kí hiệu là |z|.
p
p
○ Từ định nghĩa, suy ra |z| = a2 + b2 hay |a + bi| = a2 + b2 .
Tính chất:
○ |z| ≥ 0, ∀z ∈ C; |z| = 0 ⇔ z = 0.





z
|z|
○

0

= 0 .
|z |
z

○ |z.z0 | = |z|. |z0 |.

○ ||z| − |z0 || ≤ |z ± z0 | ≤ |z| + |z0 |.

f) Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R).

2

1. NHẬP MÔN SỐ PHỨC

○ Ta gọi a − bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là z.

y
b

○ Vậy, z = a − bi hay a + bi = a − bi
○ Chú ý:

O
−b

• z.z = |z|2 = a2 + b2 ;

z = a + bi

a

x

z = a − bi

• z và z có điểm biểu diễn đối xứng nhau qua Ox.
2.

Phép toán trên số phức

a) Cộng, trừ hai số phức: Ta cộng (trừ) phần thực theo phần thực, phần ảo theo phần ảo.
○ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

○ (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.

b) Phép nhân hai số phức: Ta nhân phân phối, tương tự nhân hai đa thức. Lưu ý: i2 = −1.
c) Phép chia hai số phức: Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di. Thực hiện phép chia
thêm z2 ở tử và mẫu.
z1 z1 .z2 (a + bi) (c − di) (ac + bd) − (ad − bc)i
=
=
=
= m + ni.
z2 z2 .z2
c2 + d 2
c2 + d 2
1
d) Số phức nghịch đảo của z là .
z
e) Lũy thừa của đơn vị ảo:

3.

○ i2 = −1.

○ in = i nếu n chia 4 dư 1.

○ i3 = −i.

○ in = −1 nếu n chia 4 dư 2.

○ in = 1 nếu n chia hết cho 4.

○ in = −i nếu n chia 4 dư 3.

Phương trình bậc hai với hệ số thực

Xét phương trình ax2 + bx + c = 0, với a, b, c ∈ R và a 6= 0. Đặt ∆ = b2 − 4ac, khi đó:
√
−b ± ∆
a) Nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình có nghiệm x1,2 =
.
2a
p
−b ± i |∆|
b) Nếu ∆ < 0 thì phương trình có nghiệm x1,2 =
.
2a
b
c
c) Định lý Viet: x1 + x2 = − và x1 .x2 =
a
a
4.

Phương trình bậc hai với hệ số phức

Xét phương trình ax2 + bx + c = 0, với a, b, c ∈ C và a 6= 0. Đặt ∆ = b2 − 4ac = m ± ni.
…
…

√
|∆| + m
|∆| − m
¬ Một căn bậc hai của ∆ là Φ =
±i
, với |∆| = m2 + n2 .
2
2
­ Công thức nghiệm của phương trình là x1,2 =

−b ± Φ
.
2a

z1
, ta nhân
z2