Công thức cơ bản của hàm số lượng giác

TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
I. HỆ THỨC CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
1.
22
sin x cos x 1
,

2
sin x (1 cosx)(1 cosx)  


2
cos x (1 sinx)(1 sinx)  

2.
sinx
tanx = ,(x k )
cosx 2

  
,

cosx
cotx = (x k )
sinx

,

k
tanx.cotx=1(x )
2




1
tanx =
cotx
,
1
cotx =
tanx

3.
2
2
1
1 tan x,(x k )
2
cos x

    
,
2
2
1
1 cot x,(x k )
sin x

   


2
2
1
tan x 1,(x k )
2
cos x

    
,
2
2
1
cot x 1,(x k )
sin x
   


2
2
2
tan x
sin x
1 tan x


;
2

2
2
cot x
cos x
1 cot x


;

2
22
1 1 cot x
cos x cot x


;
2
22
1 1 tan x
sin x tan x


;

II. CÔNG THỨC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT.

Hai góc đối nhau:
Hai góc bù nhau
Hai góc phụ nhau
sin(-α) = -sin α

cos(-α) = cosα

tan(-α) = -tan α

cot(-α) = -cot α
sin(π – α) = sinα

cos(π – α) = -cosα

tan(π – α) = -tanα

cot(π – α) = -cotα
sin( ) cos
2




cos( ) sin
2




tan( ) cot
2




cot( ) tan
2






www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
Hai góc hơn kém
2



Hai góc hơn kém nhau π (bỏ thay bởi II.1)
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
tan( ) cot
2
cot( ) tan
2










  
  
  

sin( π + α) = -sin α
cos(π + α) = -cosα
tan(π + α) = tan α
cot(π + α) = cot α
||
||
sin( ) ( 1)
( ) ( 1)
( ) tan
cot
sin ,
cos cos
tan
( ) cot
k
k
kk
k
Z
k

k








  
  





III. CÔNG THỨC CỘNG
1. cos(x

y) = cosx.cosy sinx.siny
2. sin(x

y) = sinx.cosy

siny.cosx
3.
tanx tany
tan(x y) =
1 tanx.tany




4.
cotx.coty 1
cot(x y) =
cotx coty



IV. CÔNG THỨC NHÂN:
A. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI.
1.
2 2 2 2
cos2x=cos x sin x 1 2sin x 2cos x 1    

2. sin2x = 2sinx.cosx = (sinx + cosx)
2

- 1 = 1 - (sinx - cosx)
2


3.
2
2tanx
tan2x
1- tan x


B. CÔNG THỨC NHÂN BA.

1.
3
sin3x 3sinx-4sin x

2.
3
cos3x = 4cos x 3cosx

3.
3
2
3tanx - tan x
tan3x
1 3tan x



TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
C. CÔNG THỨC HẠ BẬC.
2
2
2
1 cos2x
1. cos x
2
1 cos2x
2. sin x
2

1 cos2x
3. tan x
1+cos2x







3
3
3
3cosx cos3x
4. cos x
4
3sin x sin3x
5. sin x
4
3sin x sin3x
6. tan x
3cosx cos3x








D. CÔNG THỨC
sin ,cos ,tan ,cotx x x x
theo: t = tan
x
2
:
2
2
2
2
2
2t
1. sinx =
1+t
1- t
2. cosx =
1t
2t
3. tanx =
1- t
1- t
4. cotx =
2t


V. Công thức biến đổi tích thành tổng:
 
1
cosx.cosy= cos(x+y)+cos(x-y)
2

 
1
sinx.siny= - cos(x+y)-cos(x-y)
2

 
1
sinx.cosy= sin(x+y)+sin(x-y)
2

 
1
cosx.siny= sin(x+y)-sin(x-y)
2

VI. Công thức biến đổi tổng thành tích:
x+y x-y
cosx+cosy=2cos .cos
22

x+y x-y
cosx-cosy=-2sin .sin
22

TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
x+y x-y
sinx+siny=2sin .cos

22

x+y x-y
sinx-siny=2cos .sin
22

sin(x y)
tanx tany
cosx.cosy



sin(x y)
cotx cot y
sinx.siny



VII. Một số công thức hay dùng trong giải phương trình lượng giác
4 4 2 2 2 2 2 2
1
1.sin os (sin os ) 2sin os 1 sin 2
2
x c x x c x xc x x     

6 6 2 2 3 2 2 2 2 2
3
2.sin os (sin os ) 3sin os (sin os ) 1 sin 2
4
x c x x c x xc x x c x x      

3.
sin cos 2 cos( )
4
x x x


,
cos sin 2sin( )
4
x x x

  

4.
2 2 2 2
cos2x=cos x sin x 1 2sin x 2cos x 1    

5. sin2x = 2sinx.cosx = (sinx + cosx)
2

- 1 = 1 - (sinx - cosx)
2


Bảng giá trị các hàm số lượng giác của các góc đặc biệt:

x

HS
LG

0


6


4


3


2


2
3



3
4



5
6






0
o
30
o

45
o

60
o

90
o

120
o

135
o

150
o
180
o

sinx

0


1
2

2
2


3
2


1


3
2


2
2


1
2

0


cosx

1

3
2


2
2


1
2


0


-
1
2


-

2
2


-
3
2


-
1

TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867

tanx

0

3
3


1


3

||

-
3


-1

-
3
3


0


cotx

||

3


1

3
3


0

-
3
3


-1

-
3


||

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Phương trình lượng giác cơ bản
a. sinx = m
sinx = m vô nghiệm khi |m|>1 & có nghiệm khi
1 1 1mm    

2
sin sin ( )
2
xk
x m k Z
xk



  


   

  


Nếu m không nằm trong các giá trị lượng giác đặc biệt:
arcsin 2
sin sin ( )
arcsin 2
x m k
x m k Z
x m k





   

  


Chú ý:
+ sinx = ±1  x = ±
2

+ k2π

+ sinx = 0  x = kπ
+
u v k2
sinu sinv
u v k2
  


    



u v k2
sinu sinv sinu sin( v)
u v k2
   

     
    



b. cosx = m
cosx = m vô nghiệm khi |m|>1 & có nghiệm khi
1 1 1mm    

2
cos cos 2 ,( )
2
xk

x m x k k Z
xk

  



       

  


Nếu m không nằm trong các giá trị lượng giác đặc biệt:
TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
arccos 2
cos cos arccos 2 ,( )
arccos 2
x m k
x m x m k k Z
x m k





      

  



Chú ý:
+ cosx = 1  x = k2π.
+ cosx = -1  x= π +k2π
+ cosx = 0  x=
2

+ kπ
+
cosu=cosv u v k2    

+
cos sin cos cos( )
2
u v u v

   

+
cos sin cos cos( )
2
u v u v

    

+
cosu=cosv u v k2    

c. tanx = m (ĐK:

2
xk



)

tan tan ,( )x m x k k Z
  
     


tan tan arctan ,( )x m x m k k Z

     

tanu tanv u v k    

Chú ý:
+
tan 0 .x x k



+
tan 1 .
4
x x k



   

+
tan 1 .
4
x x k


     

d. cotx = m ( ĐK:
xk


)
cot cot ,( )x m x k k Z
  
     


cot cot cot ,( )x m x arc m k k Z

     


Chú ý:
TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
+

cot 0 .
2
x x k




+
cot 1 .
4
x x k


   

+
cot 1 .
4
x x k


     

2. Phương trình bậc 2 với một hàm số lượng giác.
Các dạng phương trình cơ bản.
a. asin
2

u(x) + bsinu(x) + c = 0.
b. acos

2

u(x) + bcosu(x) + c = 0.
c. atan
2

u(x) + btanu(x) + c = 0.
d. acot
2

u(x) + bcotu(x) + c = 0.
Cách giải:
Đặt t = sinu(x) (
1t
)
Phương trình trở thành: at
2

+ bt + c = 0.
Ta giải phương trình bậc 2 với ẩn t.

3. Phương trình bậc 3 với một hàm số lượng giác.
Các dạng phương trình cơ bản.
a. asin
3

u(x) + bsin
2

u(x) + csinu(x) + d = 0.

b. acos
3

u(x) + bcos
2

u(x) + ccosu(x) + d = 0.
c. atan
3

u(x) + btan
2

u(x) + ctanu(x) + d = 0.
d. acot
3

u(x) + bcot
2

u(x) + c cotu(x) + d = 0.
Cách giải:
Đặt t = sinu(x) (
1t
)
Phương trình trở thành: at
3

+ bt
2

+ ct + d = 0.
Ta giải phương trình bậc 3 với ẩn t.
Bài 4. Phương trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx.
Tóm tắt lý thuyết:
1. Dạng phương trình: asinx + bcosx = c (1) với a
2

+ b
2

> 0.
2. Phương pháp giải.
Cách 1: Phương pháp góc phụ của sin, cos.
asinx + bcosx = c 
2 2 2 2 2 2
sinx cos
a b c
x
a b a b a b

  

Vì
22
22
22
2 2 2 2
1
a b a b

ab
a b a b
   

  
   


   
nên có thể chọn 1 trong 2 cách.
* Nếu đặt
2 2 2 2
os ; sin
ab
c
a b a b



thì (1) 
22
sin( )
c
x
ab




* Nếu đặt

2 2 2 2
sin ; os
ab
c
a b a b



thì (1) 
22
os( )
c
cx
ab




Cách 2: Đặt ẩn phụ theo t = tan
x
2
. Sử dụng công thức phân đôi biểu diễn
sin ,cosxx
theo t.(Cách
này không phổ biến)
Chú ý: Điều kiện tồn tại nghiệm:
(1) có nghiệm 
2 2 2
22
1

c
c a b
ab
   


TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867

5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx.
a. Dạng phương trình:
22
a.sin .sinxcos . os 0 (1)x b x cc x d   

b. Phương pháp giải:
- Bước 1: Xét cosx = 0,
(1) 0.ad  

TH1: Nếu
0ad
thì
2
xk



là nghiệm của phương trình (1).
TH2: Nếu
0ad

thì chuyển sang Bước 2.
- Bước 2: Chia cả hai vế của (1) cho
2
cos 0x 
ta nhận được phương trình.
(1) 
22
a.tan .tanx (1 tan ) 0x b c d x    
. Đặt t = tanx.
Phương trình (1) trở thành (a + d).t
2

+ b.t + (c + d) = 0 (2).
- Bước 3: Giải phương trình (2) tìm nghiệm t

o
= tan
x
2
 nghiệm x.

6: Phương trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx.
a. Phương trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx.
* Dạng chính tắc:
3 2 2 3
a.sin .sin xcos .sinx os os 0x b x c c x dc x   

* Dạng mở rộng:
3 2 2 3
a.sin .sin xcos .sinx os os ( sinx cos ) 0x b x c c x dc x m n x     

b. Phương pháp giải:
- Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm hay không.
- Bước 2: Giả sử cosx = 0 không là nghiệm của phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình cho cos
3

x

0 và sử dụng các công thức:
22
23
1 sinx
(1 tan ); tan (1 tan )
os os
x x x
c x c x
   
.
Biến đổi phương trình ta nhận được 1 phương trình bậc 3 ẩn tanx.
- Bước 3: Nhẩm nghiệm để giải phương trình bậc 3 ẩn tanx. Từ nghiệm tanx ta sẽ tìm được
nghiệm x.
7. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng với sinx, cosx.
a. Phương trình đối xứng với sinx, cosx.
* Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0. (1)
* Phương pháp:
Đặt t = sinx + cosx =
2
2, 2
2 sin( )

4
1
sin os
2 os( )
2
4
t
x
t
xc x
cx























(1)  at + b (
t
2

-1
2
) + c = 0  2at + b(t
2

- 1) + 2c = 0
 f(t) = bt
2

+ 2at + (2c - b) = 0
Giải biện luận f(t) = 0  Nghiệm
2, 2t



 Nghiệm x.
b. Phương trình nửa đối xứng với sinx, cosx.
* Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0. (2)
* Phương pháp:
Đặt t = sinx - cosx =
2
2, 2
2 sin( )

4
1
sin os
2 os( )
2
4
t
x
t
xc x
cx























(2)  at + b (
2
1
2
t
) + c = 0  2at + b(1- t
2

) + 2c = 0
 g(t) = bt
2

- 2at - (2c + b) = 0
TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
Giải biện luận g(t) = 0  Nghiệm
2, 2t



 Nghiệm x.
8. Phương trình lượng giác đối xứng với tan, cot.
a.Dạng phương trình:
22
a(tan cot ) (tan cot ) 0x x b x x c    
(1).

4 4 2 2
a(tan cot ) (tan cot ) 0x x b x x c    
(2)
b. Phương pháp giải: Điều kiện
2
k
x



Đặt
2 2 2
2
tan cot (| | 2) tan cot 2.
sin2
t x x t t x x
x
       

(1)

2
( ) 2 0.g t at bt c a    

Giải biện luận g(t) = 0  Nghiệm
t
 Nghiệm x.
9. Phương trình lượng giác đối xứng với sin
2N

x, cos
2N

x.
10. Phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc.
11. Phương trình lượng giác dạng phân thức.
Phương pháp chung:
Xét phương trình:
(sin, os,tan,cot)
(sin, os,tan,cot)
Fc
Gc
=0. (1)
- Bước 1: Đặt điều kiện mẫu thức G(sin, cos, tan, cot)

0. (2)
- Bước 2: Biến đổi (1) và tìm nghiệm x.
+ Biến đổi hệ quả: Sau khi tìm x phải thử điều kiện (2)
+ Biến đổi tương đương: Vừa biến đổi vừa kiểm tra điều kiện (2).
- Bước 3: Nếu biến đổi hệ quả thì thử điều kiện (2) để nhận nghiệm (1).
+ Thử điều kiện dạng thô: Thử bằng hàm số lượng giác.
+ Thử điều kiện dạng tinh: Thử bằng kết quả của x.
+ Phương pháp hình học: Biểu diễn nghiệm và (2) trên đường tròn đơn vị.
+ Phương pháp đại số: Giải phương trình nghiệm nguyên dạng vô định.
12. Phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Xét phương trình cơ bản.

(sin, os,tan,cot) (sin, os,tan,cot)f c g c

a. Phương pháp 1: Xét dấu của biểu thức f.

0
0
f
fg
fg
f
fg


















b. Phương pháp 2: Bình phương 2 vế.

2

22
2
0
0
g
g
fg
fg
fg





  







c. Phương pháp 3: Xét tính tuần hoàn của tập nghiệm.
+ Tìm nghiệm trên 1 chu kỳ cơ sở T > 0 để phá dấu giá trị tuyệt đối.
+ Ứng với nghiệm x

o
 T ta có nghiệm trên R là x

o

+ n. T
13. Phương trình lượng giác dạng vô tỷ.
Biến đổi cơ bản: f = g 
2
0g
fg






14. Phương trình lượng giác
sin os 1
mn
x c x

a. Dạng phương trình :
2, 2
sin os 1
0, 2
mn
mn
x c x
mn








TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
b. Phương pháp: Sử dụng
22
0 sinx , cos ,sin , os 1x x c x
để đánh giá
sin ,cos
nm
xx
từ đó so
sánh với đẳng thức :
22
sin os 1x c x

15. Phương pháp lượng giác giải phương trình đại số
Các dạng biến đổi lượng giác.
Dạng 1: Nếu x
2

+ y
2

= 1 thì đặt
 
sin
0,2
os

x
yc










Dạng 2: Nếu x
2

+ y
2

= a
2

(a > 0) thì đặt
 
sin
0,2
os
xa
y ac











Dạng 3: Nếu
||xm
thì đặt
 
sin ,
22
os 0,
xm
x mc


  


  








Đặc biệt, với m=1 đặt
 
sin ,
22
os 0,
x
xc


  


  









Dạng 4: Nếu
||xm
hoặc biểu thức
22
xm
thì đặt x =
cos

m

với
3
0, ,
22


   



   

Đặc biệt, với m=1 đặt x =
1
cos

với
3
0, ,
22


   



   
.

Dạng 5: Nếu không ràng buộc điều kiện cho biến số và toán có chứa biểu thức
22
xm
thì đặt x = m tan  với
;
22







Đặc biệt, với m=1 đặt x =tan với
;
22





