Đề ôn tập hình học lớp 12 (15)

ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 015.
Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng
là trọng tâm tam giác
và tam giác
chóp
và thể tích khối lăng trụ
A. .
Đáp án đúng: D

B.

có đáy là tam giác vng cân,
, là tâm hình chữ nhật
.

.

C.

. Gọi ,
lần lượt
. Tính tỉ số thể tích của khối

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Đặt:

(

).

Chọn hệ trục tọa độ

thỏa mãn

trùng với điểm

, các tia

lần lượt trùng với các tia

.
Suy ra:

,

,

,

,

,

Ta có:

,
và

đồng phẳng và tứ giác
Ta lại có
mặt phẳng

là hình thang với hai đáy là

,

song song với nhau
và

.
bốn điểm

.

nên
có véc tơ pháp tuyến

phương trình mặt phẳng

là:

.
1


Suy ra:

.

Diện tích hình thang

là:

,

trong đó

,

.
Từ

ta có thể tích khối chóp

là:
.

Mặt khác thể tích khối lăng trụ

là:

Vậy ta có tỉ số thể tích khối chóp

.

và thể tích khối lăng trụ

là:

.
Câu 2. Trong không gian

, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

?
A.
C.
Đáp án đúng: A

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Trong không gian

, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

?
A.
Lời giải

. B.

Ta có

. C.

.

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ
nào sau đây đúng?
A.

. D.

, ,

khơng đồng phẳng.

C. vng góc với
Đáp án đúng: D

.

.

, cho ba véctơ

. Câu

B.

cùng phương với

D.

, ,

.

đồng phẳng.
2


Giải thích chi tiết: Ta có:

. Hai véctơ

,

khơng cùng phương.

. Ba véctơ , , đồng phẳng.
Câu 4. Diện tích tồn phần của một hình trụ có bán kính đáy là 10 cm và khoảng cách giữa 2 đáy bằng 5 cm là
A.

B.

C.
.
Đáp án đúng: A
Câu 5.

D.

Trong không gian Oxyz, cho điểm
là điểm

có tọa độ

A.

.

C.
Đáp án đúng: B

. Hình chiếu vng góc của điểm

.

B.

.

D.

.

Câu 6. Cho hình chóp
có
là hình vng cạnh
cân tại . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết:
+ Gọi

B.

.

lần lượt là trung điểm

C.

. Kẻ

+ Gọi
Cách 1:

là hình chiếu vng góc của
. Qua

+ Chọn hệ trục toạ độ

+ Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

D.

tại

lên

vng

.

.
,

.
.

dựng đường thẳng

sao cho:

đều và tam giác

.

vng tại
+ Gọi

, tam giác

lên mặt phẳng (Oxy)

.

,

và

.

,

là mặt cầu đi qua 4 điểm

Suy ra phương trình mặt cầu là:

.
.
3

Cách 2:

Trên 2 tia

lấy hai điểm

sao cho

+

.

;

+ Trong tam giác

.

có:

.

Vậy diện tích mặt cầu là:
Câu 7. Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng
?
A.
Đáp án đúng: A
Câu 8.

B.

Cho hai vectơ

C.

D.

là:
B.

C.
Đáp án đúng: A
Câu 9.

D.

Cho hình nón đỉnh

có chiều cao

cắt đường trong đáy tại hai điểm

A.

Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng

. Tọa độ của vectơ

A.

theo

:

khoảng cách

từ tâm

và bán kính đáy

, mặt phẳng

sao cho

, với

đi qua

là số thực dương. Tích

của đường tròn đáy đến

.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: A

D.

.

4


Giải thích chi tiết:
Mặt phẳng
Gọi

đi qua

cắt đường trịn đáy tại hai điểm

là hình chiếu vng góc của

lên

(

là trung điểm

).

Ta có:

theo giao tuyến
Trong

kẻ

thì

.

có
Vậy
Câu 10.
Trong khơng gian

.
, mặt phẳng

đi qua điểm nào dưới đây?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết: Điểm

có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng
nên
.
Câu 11.
Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình
cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích
phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng

thể tích kem đóng băng ban đầu. Gọi

chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số

và

lần lượt là

.
5


A.

.

B.

.

C.
.

D.
.
Đáp án đúng: D
Câu 12. Khối nón có đường cao bằng a và độ dài đường sinh bằng 2a có diện tích xung quanh bằng
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

Giải thích chi tiết: Bán kính đáy
Vậy
Câu 13. Cho tam giác
A.

.

D.

.

.

.
, trọng tâm

. Kết luận nào sau đây đúng?

.

C.
Đáp án đúng: C
Câu 14. Cho hình hộp

C.

B.
.

.

D. Khơng xác định được
có tất cả các cạnh bằng
. Cho hai điểm

.

và

thỏa mãn lần lượt

,

. Độ dài đoạn thẳng

?
A.
.

Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.

D.

.

6


Giải thích chi tiết:
Từ giả thiết, suy ra các
,
tứ diện
là tứ diện đều.

,

là các tam giác đều bằng nhau và có cạnh bằng 1. Từ đó suy ra

Gọi G là trọng tâm tam giác ABD. Suy ra
Dễ dàng tính được:
Chọn hệ trục

;
như hình vẽ:

,

,

,

Ta có:

,

,

,

và

B là trung điểm của
Vậy

.

.

.
.

.

Câu 15. Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
, đường cao bằng
đỉnh , đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác
bằng:
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

Câu 16. Cho hai điểm phân biệt
A.

B.

.
và

C.

.

. Thể tích của khối nón

D.

.

Khẳng định nào sau đây đúng?
C.

D.
7


Đáp án đúng: B
Câu 17. Cho tứ diện
. Gọi
diện
và khối tứ diện

lần lượt là trung điểm của
bằng

A. .
Đáp án đúng: B

.

B.

C.

và

. Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
.
Ta có
Câu 18.
Cho hình chóp tứ giác đều
bên
là

.
Gọi

là hình hộp chữ nhật có bốn đỉnh là bốn trung điểm của các cạnh

và bốn đỉnh còn lại nằm trong mặt đáy
Thể tích của khối chóp đã cho bằng

(tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối hộp

A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:

Lời giải.
Chiều cao của khối chóp gấp hai lần chiều cao khối hộp và diện tích mặt đáy khối chóp gấp

lần diện tích mặt

đáy khối hộp. Do đó
Câu 19.
Trong không gian với hệ tọa độ
thuộc
A.
C.
Đáp án đúng: B

sao cho

, cho hai điểm

,

nhỏ nhất ?

.

B.
.

Giải thích chi tiết: Gọi

. Tìm tọa độ điểm

D.
là điểm thỏa mãn

.
.
khi đó ta có
8


Khi đó

nhỏ nhất khi và chỉ khi

là hình chiếu của

lên mặt phẳng

Ta có phương trình
nên
Vậy
là điểm cần tìm.
Câu 20. Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I . Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một
đường trịn có diện tích bằng 2 π và khoảng cách từ I mặt phẳng (P) bằng 1. Tính bán kính của mặt cầu (S) .
A. 6
B. 9
C. 3
D. √ 3
Đáp án đúng: D
Câu 21. Tính diện tích của mặt cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng .
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án đúng: D

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ
của là
A.

cho đường thẳng

.

C.
Đáp án đúng: C

B.
.
là

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

, chiều cao

.

C.

Giải thích chi tiết: Một hình trụ trịn xoay có bán kính đáy
bằng

Ta có

nên

. D.

phẳng
thể tích

bằng
của khối

thì có diện tích xung quanh bằng
.

D.

, chiều cao

.

thì có diện tích xung quanh

.
.

Câu 24. Cho hình chóp
vng góc của đỉnh

.
.

Câu 23. Một hình trụ trịn xoay có bán kính đáy

. C.

.

D.

Giải thích chi tiết: Một véctơ chỉ phương của

A.
. B.
Lời giải

Một véctơ chỉ phương

có đáy

lên mặt phẳng

là tam giác cân với
là điểm

. Một mặt phẳng đi qua
.

thuộc cạnh

vng góc với cạnh

và
với
, cắt

. Hình chiếu
. Góc giữa
lần lượt tại

và mặt
. Tính

9


A.

.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: B

D.

.

Giải thích chi tiết: Cho hình chóp
Hình chiếu vng góc của đỉnh
và mặt phẳng
. Tính thể tích
A.
Lời giải

có đáy

lên mặt phẳng

bằng

là điểm

. Một mặt phẳng đi qua

của khối

. B.

là tam giác cân với

và

thuộc cạnh

với

vng góc với cạnh

.
. Góc giữa

, cắt

lần lượt tại

.

. C.

. D.

.

Ta có:

.

;

.
.

Nhận thấy:
Giả sử mặt phẳng
là hình chiếu của

vng tại
đi qua
trên

hay

và vng góc với
, lấy

sao cho

.
.
.

10


Ta có:

.

.
----- Hết ----Câu 25. Tính thể tích

của khối chóp có đáy là hình vng cạnh a √ 2 và chiều cao là a √ 3.

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 26. Trong khơng gian

, đường thẳng

A.

có một vectơ chỉ phương là
B.

C.
D.
Đáp án đúng: A
Câu 27. Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có đáy) đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu
có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là
.Biết khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước. Tính thể tích nước
cịn lại trong bình.
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

11


Vì đúng một nửa khối cầu chìm trong nước nên thể tích khối cầu gấp 2 lần thể tích nước tràn ra ngồi.
Gọi bán kính khối cầu là
Xét tam giác
bình nước)

, lúc đó:

có

Trong tam giác

.

là chiều cao bình nước nên

( Vì khối cầu có đường kính bằng chiều cao của

có:

.

Thể tích khối nón:

.

Vậy thể tích nước cịn lại trong bình:
Câu 28. Trong khơng gian

, cho điểm

. Có bao nhiêu mặt cầu
A. .
Đáp án đúng: A

B.

, cho điểm

Ta có

đi qua

và

và tiếp xúc với hai mặt phẳng
C.

. Có bao nhiêu mặt cầu

Gọi

đi qua

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
A. . B.
Lời giải

và hai mặt phẳng
.

,

?

D. Vô số.

và hai mặt phẳng

và

và tiếp xúc với hai mặt phẳng

,

?

. C. . D. Vô số.
là tâm của mặt cầu
tiếp xúc với

và

.
nên

.
Suy ra,

thuộc mặt phẳng

Khi đó mặt cầu
Mặt cầu
Ta có

đi qua

:

.

có bán kính
nên

.
, do đó

thuộc mặt cầu

tâm

bán kính

.

.
12


Do đó
và
có đúng một điểm chung, tức là có duy nhất một điểm chung
Vậy có duy nhất một mặt cầu thỏa mãn.
Câu 29.
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng
A.
.

Đáp án đúng: B

B.

Câu 30. Cho hình chóp

và chiều cao bằng

.

C.

có đáy là hình thang vng tại

phẳng đáy trùng với trung điểm của đoạn thẳng
phẳng

và mặt phẳng đáy bằng

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

thỏa mãn.

là
.

D.

và

. Hình chiếu vng góc của

. Biết rằng

C.

lên mặt

và góc giữa mặt

. Tính thể tích khối chóp
.

.

theo

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Gọi
Kẻ

là trung điểm

, suy ra

vng góc BD tại

.

, khi đó

Xét hai tam giác đồng dạng

và

.
ta có:

.
Xét

vng tại

, ta có:

Vậy

.

.

Câu 31. Trong khơng gian
. Gọi

, cho mặt cầu
là mặt phẳng song song với

và mặt phẳng
và cắt

theo thiết diện là đường tròn
13


sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình trịn giới hạn bởi
trình của mặt phẳng

có thể tích lớn nhất. Phương

là

A.

hoặc

C.
Đáp án đúng: D

.

hoặc

.

B.

hoặc

.

D.

hoặc

.

Giải thích chi tiết:
Mặt cầu
Gọi
Đặt

có tâm

và bán kính

là bán kính đường trịn

và

.

là hình chiếu của

lên

.

ta có

Vậy thể tích khối nón tạo được là
Gọi

với

.
. Thể tích nón lớn nhất khi

đạt giá trị lớn nhất

Ta có
.
Bảng biến thiên :

Vậy

khi

.
14

Mặt phẳng

nên

Và

.

Vậy mặt phẳng
có phương trình
hoặc
.
2
2
2
Câu 32. Phương trình mặt cầu x + y + z + 4x – 2y + 6z – 2 = 0 có bán kính R bằng
A. R = 2 √ 3
B. R =√ 58
C. R = √ 2
Đáp án đúng: D
Câu 33. Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh
tam giác
phẳng vng góc với mặt đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
Đáp án đúng: C
Câu 34.

B.

Cho khối lăng trụ
phẳng
tích khối

C.

Gọi

A.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

B.

đều và nằm trong mặt

D.

lần lượt là trung điểm của hai cạnh

chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Gọi
Khi đó tỷ số

D. R = 4

và

là thể tích khối

Mặt
và

là thể

bằng
C.

D.

Ta có
Áp dụng cơng thức giải nhanh:
Suy ra

15


Câu 35. Trong không gian

A. 2.
Đáp án đúng: B

, cho đường thẳng

. Số giá trị của tham số
B. 1.

Giải thích chi tiết: Trong không gian

A. 1. B. 0.
Lời giải

thẳng

để hai đường thẳng
C. Vô số.

song song với nhau
D. 0.

, cho đường thẳng

. Số giá trị của tham số
C. Vô số.
D. 2.

Từ giả thiết suy ra đường thẳng

và đường thẳng

để hai đường thẳng

đi qua điểm

có một véctơ chỉ phương là

và đường thẳng

song song với nhau

và có một véctơ chỉ phương là

, đường

.

Để
Vậy có đúng 1 giá trị của tham số

để hai đường thẳng

Câu 36. Diện tích của mặt cầu có đường kính
A.
.
Đáp án đúng: C
Câu 37.
Cho tứ diện

B.

. Gọi
và

song song với nhau.

là

.

C.

là trung điểm của

.

D.

.

. Khi đó tỷ số thể tích của hai khối tứ diện

bằng

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 38. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng 2 a. Thể tích của khối lăng
trụ đó là
a3 √3
a3 √ 3
a3 √3
A.

.
B.
.
C.
.
D. a 3 √ 3.
12
6
2
Đáp án đúng: C

Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ
tơ chỉ phương của đường thẳng ?
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

, cho đường thẳng
.

C.

. Véc-tơ nào sau đây là một véc.

D.

.
16

Giải thích chi tiết: Một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng

là

.

Câu 40. Gọi lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ
của hình trụ đã cho được tính bởi cơng thức nào dưới đây ?
A.
Đáp án đúng: A

B.

C.

Diện tích xung quanh
D.

----HẾT---

17