Phuong phap tach bien handout

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ mơn Tốn ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

1 / 49


NỘI DUNG

1

BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA DÂY

2

BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TRONG THANH HỮU HẠN

3

PHƯƠNG TRÌNH L APLACE 2 CHIỀU TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

2 / 49


Bài tốn dao động của dây

Đặt vấn đề

Giải phương trình dao động của dây bằng
phương pháp tách biến Fourier. Xét phương
trình thuần nhất
utt = a2 uxx , 0 É x É L, t > 0,

với điều kiên biên là hai đầu dây được gắn
chặt
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0

và điều kiện ban đầu gồm hình dạng ban
đầu và vận tốc ban đầu
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

3 / 49


Bài toán dao động của dây

Đặt vấn đề

Nghiệm của phương trình có dạng
u(x, t) = X (x).T (t). Thay vào phương trình dao
động của dây ta được
X (x).T 00 (t) = a2 X 00 (x)T (t). Chia 2 vế cho
a2 X (x)T (t) ta được
T 00 (t)
X 00 (x)
=
= −λ, (λ = const.)
a2 T (t) X (x)
Vế trái chỉ phụ thuộc vào t , vế phải chỉ phụ thuộc
vào x, nghĩa là cho dù các biến số thay đổi, nhưng tỉ
số này ln bằng nhau. Nó chỉ có thể thỏa mãn nếu
bằng hằng số −λ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

4 / 49

Bài tốn dao động của dây

Đặt vấn đề

Từ đó ta thu được 2 phương trình vi phân
sau
T 00 (t) + a2 λT (t) = 0, T (t) 6= 0
X 00 (x) + λX (x) = 0, X (x) 6= 0.

Các điều kiện biên tương ứng là
u(0, t) = X (0)T (t) = 0, u(L, t) = X (L)T (t) = 0.

Từ đó suy ra X (0) = X (L) = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

5 / 49


Bài toán dao động của dây

Đặt vấn đề

Giải bài toán đơn giản nhất về trị riêng: Tìm
giá trị của tham số λ để

X 00 + λX = 0, X (0) = X (L) = 0

có nghiệm khơng tầm thường.
Phương trình đặc trưng k2 + λ = 0.
Với λ < 0 thì phương trình này có nghiệm
tầm thường vì
X (x) = Ae

với A + B = 0, Ae
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

p
− −λL

p
− −λx

+ Be

+ Be

p
−λL

p
−λx

,

= 0 ⇒ A = B = 0.

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

6 / 49


Bài toán dao động của dây

Đặt vấn đề

Với λ = 0 thì phương trình này có nghiệm
tầm thường vì
X (x) = A + Bx,

với A = 0, A + BL = 0 ⇒ A = B = 0.
Phương trình này có nghiệm khơng tầm
thường khi λ > 0. Khi đó
p
p
X (x) = D1 cos( λx) + D2 sin( λx),
p
X (0) = D1 = 0, X (L) = D2 sin( λL) = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

7 / 49


Bài tốn dao động của dây

Đặt vấn đề

p
p
nπ
. Do đó bài
D2 6= 0 nên sin( λL) = 0 ⇒ λ =
L

tốn chỉ có nghiệm khơng tầm thường khi
giá trị riêng λ = λn =

³ nπ ´2

L
nπx
tương ứng Xn(x) = sin
.
L

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

. Các hàm riêng

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

8 / 49


Bài tốn dao động của dây

Đặt vấn đề

Giải phương trình
T 00 (t) + a2 λT (t) = 0, T (t) 6= 0
³ nπ ´2
ta được
với λ = λn =
L
nπat
nπat
Tn (t) = An cos
+ Bn sin
,
L
L

với An, Bn là các hằng số tùy ý.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

9 / 49


Bài toán dao động của dây

Đặt vấn đề

Nghiệm riêng của phương trình dao động
của dây đã cho là un(x, t) = Xn(x)Tn(t) =
ả
nat
nx
nat
+ Bn sin
.
sin
= An cos
L
L
L
à

Nghim tng quỏt u(x, t) =
=


X
n=1

à


P
n=1

un (x, t) =

ả
nat
nat
nx
An cos
+ Bn sin
sin
.
L
L
L

TS. Lờ Xuõn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

10 / 49

Bài toán dao động của dây

Đặt vấn đề

Điều kiện ban đầu u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x)
giúp ta xác định các hệ số tùy ý An, Bn. Ta có
u(x, 0) = f (x) =

∞
X

An sin

n=1

ut (x, 0) = g(x) =

∞
X
n=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Bn .

nπx
,
L

nπx

nπa
sin
.
L
L

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

11 / 49


Bài tốn dao động của dây

Khái niệm chuỗi và tích phân Fourier

n
nπx o
nπx
, cos
là các hàm
Tập các hàm 1, sin
L
L
trực giao nhau trong khoảng (−L, L) với tích
RL
vơ hướng < u, v >= u(x).v(x)dx.
−L

ĐỊNH NGHĨA 1.1
Hàm f (x) được gọi là trơn từng khúc trong 1
khoảng nào đó, có nghĩa là trong khoảng
này có thể chia ra nhiều khoảng nhỏ, mà
trong mỗi khoảng nhỏ đó, hàm f (x) và đạo
hàm f 0(x) của nó liên tục.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

12 / 49


Bài tốn dao động của dây

Khái niệm chuỗi và tích phân Fourier

ĐỊNH NGHĨA 1.2
Hàm trơn từng khúc f (x) có thể được biểu
diễn dưới dạng
f (x) = A0 +

∞ ³
X
n=1

nπx ´
nπx

An cos
+ Bn sin
L
L

được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biểu
diễn hàm f (x) trong khoảng (−L, L).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

13 / 49


Bài tốn dao động của dây

Khái niệm chuỗi và tích phân Fourier

Các hệ số Fourier A0, An, Bn được tìm theo
công thức
1
< f ,1 >
=
A0 =
< 1, 1 > 2L
An =

Bn =

< f , cos( nπx
)>
L
|| cos( nπx
)||2
L
< f , sin( nπx
)>
L
)||2
|| sin( nπx
L

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

1
=
L

Z

L

f (x)dx,
−L

ZL
f (x) cos

−L

1
=
L

ZL
f (x) sin

−L

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

³ nπx ´
L

³ nπx ´
L

dx,

dx.

TP. HCM — 2016.

14 / 49


Bài toán dao động của dây

∞
X

f (x) =

An sin

n=1

ZL
f (x) sin

⇒
−L

g(x) =

∞
X

Bn .

n=1

ZL
g(x) sin
−L
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Khái niệm chuỗi và tích phân Fourier

nπx
⇒ f (x) là hàm lẻ
L

nπx
dx = 2
L

ZL
f (x) sin
0

nπx
dx.
L

nπa
nπx
sin
⇒ g(x) là hàm lẻ
L
L

nπx
dx = 2
L

ZL

g(x) sin
0

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

nπx
dx.
L
TP. HCM — 2016.

15 / 49


Bài tốn dao động của dây

Khái niệm chuỗi và tích phân Fourier

Như vậy, trong bài toán dao động của dây ta
có
< f , Xn > 2
=
An =
||Xn ||2
L

f (x) sin
0

2
< g, Xn >

Bn = nπa
=
||Xn ||2 nπa
L

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

L

Z

nπx
dx.
L

L

Z

g(x) sin
0

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

nπx
dx.
L

TP. HCM — 2016.

16 / 49


Bài tốn dao động của dây

Ví dụ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH




utt = uxx , 0 < x < 1, t > 0,
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0,

 u(x, 0) = sin(πx), u (x, 0) = 3x
t

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

17 / 49


Bài tốn dao động của dây

Ví dụ

Biểu diễn nghiệm dưới dạng
u(x, t) = X (x).T (t), suy ra
X 00 (x) T 00 (t)
=
X (x)
T (t)

Vì vế trái của đẳng thức khơng phụ thuộc
vào x, cịn vế phải khơng phụ thuộc vào t,

T 00
X 00
và
không phụ thuộc vào x và t,
do đó
T
X

có nghĩa là

X 00 (x) T 00 (t)
=
= −λ2 .
X (x)
T (t)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

18 / 49


Bài tốn dao động của dây

Ví dụ

Từ điều kiện biên ta có
u(0, t) = X (0)T (t) = 0
u(1, t) = X (L)T (t) = 0

)
⇒ X (0) = X (1) = 0

Tìm giá trị của λ để
X 00 + λ2 X = 0, X (0) = X (1) = 0, khơng có nghiệm
tầm thường. Ta được λ > 0 và
X (x) = D1 cos λx + D2 sin λx. Theo điều kiện

biên suy ra
X (0) = D1 = 0, X (1) = D2 sin λ = 0 ⇒ λ = nπ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

19 / 49

Bài tốn dao động của dây

Ví dụ

Vậy bài tốn chỉ có nghiệm khơng tầm
thường khi giá trị riêng λ2 = λ2n = (nπ)2 tương
ứng ta có các hàm riêng Xn(x) = sin(nπx).
Với các trị riêng tìm được ta có nghiệm theo
biến t
Tn (t) = An cos(nπt) + Bn sin(nπt)

Nghiệm riêng của phương trình đã cho có
dạng
h
i
un (x, t) = Xn (t).Tn (t) = An cos(nπt) + Bn sin(nπt) sin(nπx)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN VÀ CHUỖI FOURIER

TP. HCM — 2016.

20 / 49