Bài giảng Đại số lớp 11: Phương pháp quy nạp toán học - Trường THPT Bình Chánh

Cơ: Lê Thị Thanh Phương
Tổ Tốn
Trường THPT Bình Chánh


Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) :"3n  3n + 1"& Q(n) :"2n  n", n  *
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi n * thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
Trả lời:
a. P(n)

Q(n)
n

3n

1

3

2

9

3

27

4

81

5

243

?

3n+1

n

2n







4

S

1

2

7

2

4

10

Đ
Đ

3

8

13

Đ

4

16

16

Đ

5

32

?

n







1

Đ

2

Đ

3

Đ

4

Đ

5

Đ

b. Với mọi n * P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định
chắc chắn là đúng hay sai.

Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n 
bước sau:

* ta thực hiện theo các

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
B2: Giả sử mệnh đề đúng với

n = k  1 (Giả thiết qui nạp-GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
2. Ví dụ áp dụng:


Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi n N*, ta có:

n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n =
2

Lời giải:
+) Với n = 1, ta có

VT(1) = 1, VP(1) =

(1)

1(1 + 1)
=1
2

, vậy đẳng thức (1) đúng.

k (k + 1)
(GTQN)
2
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
(k + 1)[(k + 1) + 1]
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) =
(2)
2
Thật vậy: VT (2) = (1 + 2 + 3 + ... + k ) + (k + 1)
+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 1 + 2 + 3 + ... + k =

k 2 + k + 2 ( k + 1) k 2 + 3k + 2
k (k + 1)
=
+ (k + 1) =
=
2
2
2
(k + 1)  (k + 1) + 1 (k + 1) ( k + 2 ) k 2 + 3k + 2
VP(2) =
=

=
2
2
2
 VT (2) = VP(2)
Vậy với mọi n N*, ta có: 1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1)
2

(1)


Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi n N*, ta có: Q ( n ) :"2  n " đúng.
n

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có VT = 21 = 2  VP = 1 ,vậy Q(n) đúng.
k
+) Giả sử Q(n) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: 2  k ( GTQN )
Kiểm tra Q(n)
Ta phải chứng
minh
đúng
với Q(n)
n=1 đúng với n = k+1, tức là
k +1
phải chứng minh: 2  k + 1

Thật vậy, theo GTQN:

2k  k

 2.2k  2.k

 2k +1  k + k  k + 1 ( vì k  1)
 2k +1  k + 1
n
Vậy với mọi n N*, ta có: Q ( n ) :"2  n " đúng.


§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n 
bước sau:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với

* ta thực hiện theo các

n = k  1 (Giả thiết qui nạp-GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
2. Ví dụ áp dụng:
Chú ý: (SGK- 82)

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n ≥ p ta thực hiện theo các
bước sau:

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=p
B2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k ≥ p (Giả thiết qui nạp-GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1


CMR :n  N * un = 13n − 1 6 (1)
▪ Với n = 1 ta có:

u1 = 131 − 1 = 12 6

(Mệnh đề (1) đúng)

▪ Giả sử mệnh đề (1) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1, tức là :
Thật vậy:

uk = 13k − 1 6
uk +1 = 13k +1 − 1 6

uk +1 = 13k +1 − 1 = 13.13k − 1

= 13.13k − 13 + 12

= 13(13k − 1) + 12
= 13uk + 12 6
Vậy với mọi n N*, ta có: un = 13n − 1 6


CMR n 

*

( 2)

: 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2

▪ Với n = 1, ta có VT= 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1)2=VP, đẳng thức (2) đúng
▪ Giả sử đẳng thức đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

1.4 + 2.7 + ... + k (3k + 1) = k (k + 1)2

(GTQN)

Ta phải chứng minh đúng với n = k+ 1, tức là :

1.4 + 2.7 + ... + k (3k + 1) + (k + 1) 3(k + 1) + 1 = (k + 1) (k + 1) + 1

2

= (k + 1)(k + 2)2

Thật vậy:

VT (*) = [1.4 + 2.7 + ... + k (3k + 1)] + (k + 1) 3(k + 1) + 1

= k (k + 1) 2 + (k + 1) 3(k + 1) + 1

= (k + 1)[k (k + 1) + 3k + 4]

= (k + 1)(k 2 + 4k + 4)
= (k + 1)(k + 2)2
= VP(*)
Vậy với mọi n N*, ta có:

1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2

( *)


CMR : n  2, n  N

: 3n  3n + 1

( 3)

▪ Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng
k

▪ Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: 3

Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là :

 3k + 1

3k +1  3(k + 1) + 1

Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có:

3k  3k + 1  3k +1  3(3k + 1)

k +1

3

 9k + 3

 3k +1  3k + 4 + 6k 1
Vì 6k 1 0 nê n : 3k +1  3k + 4
Vậy: n  2, n  N

cã : 3n  3n + 1


§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC

•Nêu phương pháp qui nạp tốn học ?
•Chú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ p ?
• Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài tốn bằng
phương pháp qui nạp.
• Các bài tập về nhà 1,2,3,4,5 SGK/82+83.

• Đọc bài : Bạn có biết Suy luận qui nạp.